Statystyka matematyczna (4 zas., 2011/2012)
4. Estymacja w modelach parametrycznych
Zad. 4.1 Dana jest próba prosta X1, . . . , Xn z poni»ej opisanego rozkªadu. Stosuj¡c metod¦ momentów, wyznacz estymator parametru θ dla:
(a) rozkªadu Poiss(θ),
(b) rozkªadu wykªadniczego E(θ),
(c) θ=N, dla rozkªadu jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N}, (d) rozkªadu geometrycznego G(θ),
(e) θ=(α, λ) dla rozkªadu gamma G(α, λ), α > 0, λ > 0, o g¦sto±ci f (x) = 1
λαΓ(α)xα−1e−x/λ1(0,∞)(x).
Zad. 4.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z poni»ej opisanego rozkªadu. Stosuj¡c metod¦ kwantyli, wyznacz estymator parametru θ dla:
(a) rozkªadu jednostajnego U(0, θ),
(b) θ = (µ, σ) w rozkªadzie normalnym N (µ, σ2), (c) θ = (α, β) w rozkªadzie Cauchy'ego o g¦sto±ci
f (x) = 1
πβ · 1
1 +
x−α β
2.
Zad. 4.3 Dysponuj¡c prób¡ prost¡ X1, . . . , Xn, znajd¹ estymator najwi¦kszej wiarogod- no±ci (ENW) parametru θ dla rozkªadu:
(a) geometrycznego G(θ),
(b) dwumianowego B(m, p), gdzie θ = p2, (c) Weibulla We(2, θ) o g¦sto±ci
f (x) = 2θ−2xe−(x/θ)21(0,∞)(x), θ > 0, (d) jednostajnego U(θ, θ + 1), θ ∈ R,
(e) wykªadniczego E(a, λ) o g¦sto±ci
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0, gdzie θ = (a, λ),
(f) Laplace'a La(µ, λ) o g¦sto±ci
f (x) = λ
2e−λ|x−µ|, gdzie θ = (µ, λ).
Zad. 4.4 Mierzymy k razy ci¦»ar ka»dego z n ró»nych obiektów. Niech Xi,j(i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n) b¦dzie wynikiem i-tego pomiaru j-tego obiektu. Pomiary Xi,j, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, s¡ niezale»ne o rozkªadach normalnych N(µj, σ2). Skonstruuj ENW[(µ1, . . . , µn, σ2)].
1
