8. MOC W OBWODZIE PRĄDU SINUSOIDALNEGO 8.1. MOC CHWILOWA

(1)

8. MOC W OBWODZIE PRĄDU SINUSOIDALNEGO 8.1. MOC CHWILOWA

Jeśli na zaciskach dwójnika SLS występuje napięciowe wymuszenie harmoniczne, to prąd zmienia się również sinusoidalnie z tą samą pulsacją Niech u

( )

t =U_msin

(

ωt+Ψ_u

)

oraz i

( )

t = I_msin

(

ωt +Ψ_i

)

Moc chwilowa pobierana przez analizowany dwójnik, wyniesie (zal.1.4)

( ) ( ) ( )

t u t i t U_m

(

t _u

)

I_m

(

t _i

)

p = = sin ω +Ψ sin ω +Ψ (8.1)

Ponieważ ^α ^β ⁼

(

^α ⁻^β

)

⁻ cos

(

^α ⁺^β

)

2 cos 1

2 sin 1

sin , otrzymamy

( )

U^mI^m

(

_u _i

)

U^mI^m

(

t _u _i

)

t

p = Ψ −Ψ − cos 2ω +Ψ +Ψ

cos 2

2 (8.2)

uwzględniając U_mI_m =U_m I_m =U I 2

2 2 oraz ϕ =Ψ_u −Ψ_i

ostatecznie p

( )

t =UIcosϕ −UI cos

(

2ωt +Ψ_u +Ψ_i

)

(8.3)

( )

t > 0

p w przedziałach czasu, w których na- pięcie oraz prąd mają jednakowe znaki.

Dwójnik pobiera moc (energię) ze źródła.

u t( )

i t( ) p t( )

-

+ +

- -

ωt

( )

t <0

p w przedziałach czasu, w których na- pięcie oraz prąd mają różne znaki.

Dwójnik oddaje moc do źródła, przekazuje energię nagromadzoną w polu magnetycznym cewek i polu elektrycznym kondensatorów.

UWAGA: Zmiana znaku mocy chwilowej występuje tylko w obwodach zawierają- cych elementy L,C . Jeśli obwód posiada tylko rezystory, energia nie mo-

(2)

dr inż. Marek Szulim

e-mail: [email protected] 2/10

8.2. MOC CZYNNA, POZORNA I BIERNA

Jak wynika z wzoru (8.3) moc chwilowa ma dwie składowe

( ) ( )

4 4

4 3

4 4

4 2

43 1 42

1 1 2

2 cos

cos UI t _u _i

I U t

p = ϕ − ω +Ψ +Ψ

składowa stała składowa zmienna

o częstotliwości dwukrotnie większej od częstotliwości napięcia i prądu

Moc chwilowa oscyluje zatem sinusoidalnie z często- tliwością 2f wokół wartości stałej UIcosϕ , a jej amplituda wynosi UI.

W zależności od wartości kata ϕ , tzn. charakteru dwój- nika, wartość składowej stałej zmienia się i w krańcowych przypadkach wynosi

dla:

UI I

U =

→

= ϕ

ϕ 0 cos

0

2 → cos =

±

= π ϕ

ϕ UI

ωt p t( )

1

2

UI

UI cosϕ

Energia w ciągu jednego okresu wynosi W p

( )

t dt

T T ⁼

∫

0

Jeżeli energię tę podzielimy przez czas równy okresowi T, to otrzymamy

wartość średnią mocy chwilowej za okres T, którą nazywamy

MOCĄ CZYNNĄ i oznaczamy przez P

( ) ( )

4 4 4 4

4 3

4 4 4 4

4 2

1 0

0 0

0

2 1 cos

1 cos 1

=

∫

⁼ ⁻ ⁺ ⁺

= UI t dt

dt T I

T U dt t T p

P

T

i u T

T ϕ ω Ψ Ψ (8.4)

(3)

zatem

MOC CZYNNA ϕ cos I U

P = [W] (8.5)

Moc czynna jest równa iloczynowi wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między napięciem i prą- dem, zwanego współczynnikiem mocy.

Moc czynna P jest liczbą rzeczywistą niezależną od czasu t.

Jeśli dla dwójnika SLS

> 0

P P<0

oznacza to, że moc czynna jest faktycznie pobierana

przez dwójnik z otoczenia oddawana

przez dwójnik do otoczenia Dla dwójnika SLSB gdy jest

rezystancyjny idealną cewką lub idealnym kondensatorem moc czynna osiąga wartość

maksymalną P=UI minimalną P = 0

Moc czynna odpowiada więc energii, która wydziela się w jednostce czasu w postaci ciepła w elementach rezystancyjnych – można ją zatem wyrazić w trzech równoważnych postaciach

2

cos RI2 GU I

U

P= ϕ = = _(8.6)

(4)

Urządzenia elektryczne mają określone znamionowe wartości napięcia i prądu, dlatego charakteryzuje się je nie mocą czynną, lecz wielkością bę- dącą iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu, zwaną

MOCĄ POZORNĄ i oznaczoną przez S I

U

S = [VA] (8.7)

Oznacza to, że moc pozorna jest równa największej wartości mocy czynnej, którą można otrzymać przy danym napięciu U oraz prądzie I.

Porównując zależność (8.7) z (8.3) można stwierdzić, że moc pozorna jest liczbowo równa amplitudzie składowej zmiennej mocy chwilowej.

Współczynnik mocy jest więc stosunkiem mocy czynnej do pozornej ϕ ϕ

cos = cos

= UI I U S

P (8.8)

Ponieważ dla dwójnika szeregowego RLC (zal. 6.68) U = ZI zaś dla dwójnika równoległego RLC (zal. 6.71) I =YU

to po uwzględnieniu ich w (8.7) moc pozorną można wyrazić w trzech równoważnych postaciach:

2

2 YU

I Z I U

S = = = (8.9)

(5)

W obwodach elektrycznych prądu harmonicznego znajduje zastoso- wanie jeszcze trzecia wielkość będąca iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między napięciem i prądem, zwana

MOCĄ BIERNĄ i oznaczana symbolem Q ϕ

sin UI

Q = [var] (8.10)

Z trójkąta napięć dwójnika szeregowego RLC wynika, że

XI U sinϕ = zaś z trójkąta prądów dla dwójnika równoległego

BU Isinϕ = −

to po uwzględnieniu ich w (8.10) moc bierną można wyrazić w trzech równoważnych postaciach:

2

sin X I2 BU UI

Q = ϕ = = − _(8.11)

Czyli moc bierna związana jest z istnieniem w obwodzie elementów reaktancyjnych. Ponieważ kąt ϕ jest dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym, ujemny w przypadku obwodów o charakterze pojemnościo- wym, zatem jeśli

• ϕ > 0; sinϕ > 0; to Q > 0 (moc bierna indukcyjna jest dodatnia);

• ϕ <0; sinϕ <0; to Q < 0 (moc bierna pojemnościowa jest ujemna)

(6)

8.3. ZESPOLONA MOC POZORNA

I*

U

S = (8.12)

Podstawiając U =U e^j^Ψ^u oraz I^* = Ie⁻^j^Ψⁱ otrzymujemy

(^Ψ ^Ψ ) UI e ^ϕ UI

(

cosϕ jsinϕ

)

e I U

S = ^j ^u⁻ ⁱ = ^j = + (8.13)

Część rzeczywista zespolonej mocy pozornej jest równa mocy czynnej P, a część urojona mocy biernej Q układu, czyli:

[ ] [ ]

_⎪⎭^⎪^⎬

⎫

=

S I

U Q

S I

U P

Im sin

Re cos

ϕ

ϕ (8.14)

Wobec tego zespoloną moc pozorną można przedstawić w postaci:

Q j P

S = + (8.15)

Moduł zespolonej mocy pozornej

I U Q

P

S = ² + ² = (8.16)

jest równy mocy pozornej układu a argument zespolonej mocy pozornej

ϕ S =

arg (8.17)

kątowi przesunięcia fazowego między napięciem i prądem

Zespoloną moc pozorną S można przedstawić geome- trycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za pomo- cą trójkąta mocy.

S ϕ Im

Re P

Q

(7)

Wyrazimy zespoloną moc pozorną w zależności od impedancji Z dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

I Z U =

czyli S =U I^* = Z I I^*

wobec czego S = Z I² =

(

R+ jX

)

I² (8.18)

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

[ ]

² ^, ^Im

[ ]

²

Re S RI Q S XI

P = = = =

a moc pozorna jest równa

2 2

2 Q ZI

P

S = + =

Natomiast zespolona moc pozorna w zależności od admitan- cji Y dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

U Y I =

Wartość sprzężoną I^* otrzymamy zastępując wszystkie wielkości występu- jące w tym wzorze przez wielkości sprzężone.

Zatem S =U I^* =U Y^*U^*

wobec czego S =Y^*U² =

(

G− jB

)

U² (8.19)

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

[ ]

² , Im

[ ]

²

Re S GU Q S BU

P= = = = −

a moc pozorna jest równa

2 2

2 Q YU

P

S = + =

(8)

PRZYKŁAD 8.1

Na zaciskach dwójnika panuje napięcie U =

(

50+ j100

)

V , prąd płyną- cy przez dwójnik wynosi I =

(

10− j10

)

A. Obliczyć moce dwójnika.

Zespolona moc pozorna S =U I^* =

(

50+ j100

)(

10+ j10

) (

−500+ j1500

) [ ]

VA

= Moc czynna ^P⁼ ^Re

[ ]

^S ⁼ ⁻⁵⁰⁰

[ ]

^W

Moc bierna Q =Im

[ ]

S =1500

[ ]

var Moc pozorna S = P² +Q² =1581

[ ]

VA PRZYKŁAD 8.2

Obliczyć moce dla dwójnika przedsta- wionego na rysunku – dane:

(

j

)

V

U = 100+ 50 R= 50 Ω, L= 1 mH, f= 100 kHz.

U

I R L

Reaktancja dwójnika ^X_L ⁼ ²^π^f^L ⁼ ²^π ^⋅¹⁰⁰^⋅¹⁰³^⋅¹^⋅¹⁰⁻³ ⁼⁶²⁸

[ ]

^Ω

Impedancja dwójnika Z = R+ jX_L ⁼

(

⁵⁰⁺ ^j⁶²⁸

) [ ]

^Ω

Prąd dwójnika

(

j

) [ ]

A

Z

I =U = 0,092− 0,152

Zespolona moc pozorna S =U I^* =

(

100+ j50

)(

0,092+ j0,152

) (

1,6+ j19,8

) [ ]

VA

= Moc czynna ^P ⁼ ^Re

[ ]

^S ⁼¹^,⁶

[ ]

^W

Moc bierna Q = Im

[ ]

S =19,8

[ ]

var Moc pozorna S = P² +Q² =19,9

[ ]

VA

(9)

8.4. DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA

Dopasowanie obciążenia do źródła przebiegu harmonicznego może dotyczyć mocy czynnej lub mocy pozornej.

Warunkiem dopasowania pod względem:

• Mocy czynnej jest równość

*w dP Z

Z = (8.20)

gdzie: ZdP - impedancja obciążenia w warunkach dopasowania, Z_w* - sprzężona wartość impedancja wewnętrznej źródła.

Wówczas

w w

o

Z P U

cosϕ 4

2

max = (8.21)

• Mocy pozornej są równości

w dS Z

Z = (8.22a)

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

±

−

∈ +

∈

−

=

2 0

, 2 2 0

w w w dS

dla dla dla π ϕ

ϕ π π

ϕ (8.22b)

(10)

PRZYKŁAD 8.3

Dobrać wartości elementów regulowanych R₂ , C₂ tak - aby uzyskać dopasowanie odbiornika ze względu na moc czynną. Ob- liczyć tę moc – dane:

( )

t

(

t

)

V

e =14,14sin 500000

R1 = 1 kΩ, C₁ = 1 nF, L = 1 mH

DA

R₁ C₁

C₂ R₂

e(t) L

DP Impedancja DA (źródła): Z_W

1 1

1 C R j

X j

R _C

+ ω

=

−

=

(

1000 j− 2000

) [ ]

Ω

=

[ ]

Ω

j o

e ⁶³^,⁴³ 2236 ⁻

=

Z warunku dopasowania wynika, że Re

[

ZDP

]

= Re

[ ]

ZW

[

ZDP

]

Im

[ ]

ZW

Im = − Czyli:

[ ]

^Z ^k^Ω

R₂ = Re _W =1 oraz

2 1

1 1

1

C j L

C j

j ω

ω + ω ⁼ ⁻

stąd po przekształceniach

[ ]

F L C

C₂ = 1₂ − ₁ =3⋅10₋⁹ ω

Moc czynna: ^P ⁴^Z^w^E^cos ^w ⁴ ²²³⁶ ^cos¹⁰

(

⁶³^,⁴³^o

)

⁰^,⁰²⁵

^{[ ]}

^W

2 2

− =

⋅

= ⋅

= ϕ