Analiza Matematyczna I Wydział MiNI PW (ISI i IAD)
Wykład 15
rok akad. 2020/2021 semestr zimowy
Własności całki Riemanna i główne twierdzenie rachunku cał- kowego
Własności całki Riemanna
Niech a, b ∈ R, a < b i niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną. Na poprzednim wykładzie zdefiniowalismy całkę Riemanna funkcji f . Teraz omówimy jej własności.
Twierdzenie 1. Niech f ∈ R([a, b]).
1. Zmiana wartości funkcji w skończonej ilości punktów nie zmienia wartości całki, tzn.
jeśli g : [a, b] → R oraz {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)} jest zbiorem skończonym, to g ∈ R([a, b]) oraz
Z b a
f (x)dx = Z b
a
g(x)dx.
2. Niech f, g : [a, b] → R będą funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna na [a, b] i niech α, β ∈ R. Wówczas αf + βg ∈ R([a, b]) i zachodzi równość:
Z b a
(αf (x) + βg(x))dx = α Z b
a
f (x)dx + β Z b
a
g(x)dx.
3. Jeśli c ∈ (a, b) to f jest całkowalna na przedziałach [a, c] oraz [c, b] i ponadto Z b
a
f (x)dx = Z c
a
f (x)dx + Z b
c
f (x)dx.
4. Jeśli f jest funkcją nieujemną na [a, b], to Z b
a
f (x)dx 0.
5. Niech f, g ∈ R([a, b]) będą funkcjami takimi, że dla dowolnego x ∈ [a, b] zachodzi nie- równość f (x) g(x). Wówczas
Z b a
f (x)dx Z b
a
g(x)dx.
6. Funkcja |f | jest całkowalna na [a, b] oraz
Z b a
f (x)dx
¬ Z b
a
|f (x)|dx.
7. Jeśli M = supx∈[a,b]f (x) to
Z b a
f (x)dx ¬ M (b − a).
Dowód. Własności 2 i 4 są natychmiastową konsekwencją definicji. Udowodnimy lub przed- stawimy idee dowodów pozostałych własności.
1. Mamy f = g + (f − g), więc korzystając z własności 2 wystarczy udowodnić, że funkcja f − g (która jest równa 0 wszędzie poza punktami x1, .., xm) jest całkowalna i jej całka równa się 0. Niech
M = max{|f (x1) − g(x1)|, ..., |f (xm) − g(xm)|}.
Dla funkcji f − g utwórzmy sumę σn odpowiadającą podziałowi o średnicy δn, przy czym δn→ 0. Funkcja f − g nie jest tożsamościowo równa 0 w co najwyżej 2m przedziałach, więc
|σn| ¬ 2mM δn, czyli σndąży od 0 przy n → ∞.
3. Podzielmy przedział [a, b] tak, aby punkt c był punktem podziału. Jeśli różnica pomiędzy sumą górną a sumą dolną odpowiadającą przedziałowi [a, b] jest dowolnie mała, to tym bar- dziej różnica pomiędzy sumami górnymi a dolnymi odpowiadającymi przedziałom [a, c] oraz [c, b] jest dowolnie mała. Stąd mamy całkowalność na przedziałach. Równość Rabf (x)dx = Rc
af (x)dx +Rcbf (x)dx wynika z tego, że można rozważać tylko te podziały [a, b], w których c występuje jako punkt podziału. Szczegóły pozostawiam dla Państwa.
5. Z własności 2 funkcja f −g jest całkowalna, a z własności 4 całka z tej funkcji jest nieujemna.
6. Całkowalność wynika z faktu, że różnica pomiędzy sumą górną a sumą dolną dla |f | jest mniejsza lub równa różnicy pomiędzy sumą górną a sumą dolną dla f . Natomiast z własności 4 mamy:
∀x ∈ [a, b] ± f (x) ¬ |f (x)| =⇒
Z b a
f (x)dx
¬ Z b
a
|f (x)|dx.
7. Niech M = supx∈[a,b]f (x). Wówczas dla dowolnego f ∈ [a, b] zachodzi nierówność f (x) ¬ M i z własności 5 i 1 mamy:
Z b a
f (x)dx ¬ Z b
a
M dx = M Z b
a
1dx = M (b − a).
Całka jako funkcja granicy całkowania
Niech f będzie funkcją całkowalną na przedziale [a, b]. Cały czas zakładamy, że f jest ogra- niczona. Zdefiniujmy dla x ∈ [a, b] funkcję F : [a, b] → R wzorem
F (x) = Z x
a
f (t)dt, (1)
przy czym przyjmiemy
Z a a
f (t)dt = 0.
Zauważmy, że ta funkcja jest dobrze zdefiniowana, tzn. całka (1) istnieje przy każdym x ∈ [a, b].
Twierdzenie 2. Jeśli f ∈ R([a, b]) to funkcja dana wzorem F (x) =
Z x a
f (t)dt
jest ciągła w [a, b].
Dowód. Niech x ∈ [a, b]. Weźmy h ∈ R takie, że x+h ∈ [a, b]. Wówczas, korzystając z wcześniej udowodnionych własności otrzymujemy dla h > 0:
F (x + h) = Z x+h
a
f (t)dt = Z x
a
f (t)dt + Z x+h
x
f (t)dt = F (x) + Z x+h
x
f (t)dt,
zaś dla h < 0:
F (x + h) = Z x+h
a
f (t)dt = Z x
a
f (t)dt − Z x
x+h
f (t)dt = F (x) − Z x
x+h
f (t)dt.
W obu przypadkach
|F (x + h) − F (x)| ¬ |M h|, gdzie M = sup
x∈[a,b]
f (x),
a stąd wynika, że
lim
h→0F (x + h) = F (x), czyli F jest ciągła w x.
Uwaga. Będziemy stosować zapis Z a
b
f (x)dx = − Z b
a
f (x)dx.
Twierdzenie 3 (Główne twierdzenie rachunku całkowego). Jeśli f ∈ R([a, b]) to funkcja F (x) =
Z x a
f (t)dt
ma pochodną F0 równą f w każdym punkcie, w którym f jest ciągła.
Dowód. Niech x0 będzie punktem z przedziału [a, b]. Załóżmy, że f jest ciągła w x0. Naszym celem jest wykazanie, że istnieje F0 w punkcie x0 oraz, że F0(x0) = f (x0). Z ciągłości f w punkcie x0 mamy
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ [a, b] |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − f (x0)| < ε.
Ustalmy ε > 0 i dobierzmy do niego δ. Wówczas dla dodatniego h < δ mamy (dla h ujemnego otrzymamy analogiczne oszacowania):
(f (x0) − ε) h ¬ Z x0+h
x0
f (t)dt ¬ (f (x0) + ε) h.
Stąd
f (x0) − ε ¬ F (x0+ h) − F (x0)
h ¬ f (x0) + ε.
Z dowolności ε otrzymujemy
F0(x0) = lim
h→0
F (x0+ h) − F (x0)
h = f (x0).
Wniosek. Każda funkcja ciągła na przedziale [a, b] ma w tym przedziale funkcję pierwotną, która wyraża się wzorem
F (x) = Z x
a
f (t)dt.
Związek całki Riemanna z całką nieoznaczoną
Definicja. Jeśli f : [a, b] → R ma funkcję pierwotną F to całką oznaczoną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy liczbę F (b) − F (a).
Następne twierdzenie mówi, że dla funkcji ciągłych całka Riemanna jest równa całce ozna- czonej.
Twierdzenie 4 (Podstawowy wzór rachunku całkowego). Jeśli f jest funkcją ciągłą na prze- dziale [a, b], zaś Φ jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f to
Z b a
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).
Dowód. Z wniosku z Tw. 3 wiemy, że funkcja F (x) =
Z x a
f (t)dt jest funkcją pierwotną dla f . Zatem
F (x) = Φ(x) + C,
gdzie Φ jest dowolnie wybraną funkcją pierwotną dla f . Z tego, że F (a) = 0 wnioskujemy, że Φ(a) = −C, czyli
Z x a
f (t)dt = F (x) = Φ(x) − Φ(a).
Podstawiając x = b otrzymujemy Z b
a
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).
Twierdzenie o wartości średniej
Na ćwiczeniach udowodnimy następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5 (Twierdzenie o wartości średniej dla całki). Jeśli f, g są funkcjami ciągłymi na przedziale [a, b] i funkcja g ma stały znak w przedziale [a, b] (tzn. jest stale niedodatnia lub stale nieujemna) to istnieje ξ ∈ [a, b] takie, że
Z b a
f (x)g(x)dx = f (ξ) Z b
a
g(x)dx.
Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast (po podstawieniu g ≡ 1) następujący wniosek.
Wniosek. Jeśli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b], to istnieje ξ ∈ [a, b] takie, że Z b
a
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
Przekształcanie całek oznaczonych
Z poznanych wcześniej wzorów na całkowanie przez części i przez podstawienie otrzymujemy natychmiast analogiczne wzory dla całki Riemanna (całki oznaczonej), przy założeniu, że funkcje podcałkowe są ciągłe.
Twierdzenie 6 (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie). Jeśli f : [α, β] → R jest funkcją ciągłą na przedziale [α, β], zaś g : [a, b] → [α, β] jest funkcją klasy C1 na przedziale [a, b] oraz α = g(a), β = g(b) to
Z β α
f (x)dx = Z b
a
f (g(t))g0(t)dt.
Twierdzenie 7 (Twierdzenie o całkowaniu przez części). Jeśli f, g są funkcjami klasy C1 na przedziale [a, b] to
Z b a
f (x)g0(x) dx = [f (x)g(x)]ba− Z b
a
f0(x)g(x) dx,
gdzie [f (x)g(x)]ba oznacza różnicę f (b)g(b) − f (a)g(a).
