Dzieło naukowe Kazimierza Żorawskiego
Kazimierz Żorawski urodził się 22 czerwca 1866 roku w Szczuszynie, wsi powiatu ciechanowskiego. Po ukończeniu gimnazjum studiował w latach 1884-1888 nauki matematyczne na rosyjskim wówczas Uni
wersytecie Warszawskim, gdzie także uzyskał stopień kandydata nauk matematycznych na podstawie rozprawy z zakresu astronomii, opartej na dokonanych przez siebie obserwacjach. Korzystając z przyznanego mu przez Uniwersytet Warszawski stypendium im. Kopernika, spędził następne trzy lata w Niemczech, studiując matematykę na uniwersy
tetach w Lipsku i Getyndze. Decydujący wpływ na jego rozwój i kierunek zainteresowań naukowych wywarł pobyt w Lipsku, gdzie wówczas wy
kładał znakomity matematyk norweski Sophus Lie, twórca teorii grup ciągłych. Z inicjatywy Liego powstała pierwsza praca naukowa Żoraw- skiego {l} i1), która przyniosła mu stopień doktorski, nadany w roku .1891 przez Uniwersytet Lipski. Bezpośrednio niemal po uzyskaniu stopnia doktorskiego, bo w roku 1892, rozpoczyna się jego działalność nauczy
cielska, najpierw w charakterze habilitowanego docenta na Politechnice Lwowskiej, a w kilka lat później (1895), w charakterze profesora nadzwy
czajnego na Uniwersytecie Jegiellońskim w Krakowie. Mianowany w roku 1898 profesorem zwyczajnym, pozostaje na katedrze matematyki tego Uniwersytetu do roku 1919, po czym przenosi się do Warszawy, gdzie zajmuje kolejno stanowisko profesora Politechniki i Uniwersytetu aż do przejścia na emeryturę. Na wniosek Wydziału Matematyczno- -Przyrodniczego zostaje wówczas mianowany profesorem honorowym Uniwersytetu Warszawskiego. Przejście na emeryturę nie przerywa jego pracy naukowej, którą uprawia niemal do chwili swej śmierci (23 stycznia 1953), pozostawiając liczne rozprawy w rękopisie.
Praca naukowa i nauczycielska nie wypełniają całej działalności K. Żorawskiego. Jako profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego pełni w roku 1905/6 funkcje dziekana, a w roku 1917/18 funkcje rektora, uczestniczy w organizowaniu Akademii Górniczej, przez kilkanaście lat zarządza z ramienia Senatu Akademickiego liczącą kilkaset lat fundacją,
i1) Numery zawarte w nawiasach { j odnoszą się do spisu prac K. Żorawskiego, numery zawarte w nawiasach [ ] — do prac cytowanych.
80 W. Ś l e b o d z i ń s k i
tzw. Bursą Akademicką, reorganizuje ją i przeprowadza budowę no
wego dla niej gmachu. Przez rok 1920/21, w trudnym okresie organi
zowania szkolnictwa wyższego, zajmuje stanowisko dyrektora Departa
mentu Nauki i Szkół Wyższych w ówczesnym Ministerstwie Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego.
Zasługi naukowe K. Żorawskiego były wysoko cenione przez współ
czesny mu polski świat naukowy, czego przejawem było powołanie go na członka wielu towarzystw naukowych. W roku 1900 został wybrany członkiem-korespondentem, a w roku 1916 członkiem czynnym Akademii Umiejętności. W .1910 r. został członkiem Królewskiego Czeskiego To
warzystwa Nauk w Pradze, w 1920 r. członkiem Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, w 1923 r. członkiem czynnym Akademii Nauk Techni
cznych, wreszcie w kwietniu 1952 został powołany na członka tytular
nego Polskiej Akademii Nauk.
Przed omówieniem naj ważniej szych prac K. Żorawskiego warto zauważyć, że równocześnie niemal z jego pracą doktorską ukazała się również bardzo cenna i ważna rozprawa doktorska Stanisława Zaremby (1889), który w roku 1900 objął drugą katedrę matematyki na Uniwer
sytecie Jagiellońskim. Można zdaje się powiedzieć, że z wystąpieniem tych dwóch uczonych matematyka polska przestała być wyłącznie konsu
mentem cudzych myśli i cudzych wyników i że rozpoczął się od tej chwili jej czynny i twórczy udział wr rozwoju tej nauki. Ówczesne warunki polityczne sprawiły, że przez kilkanaście lat Stanisław Zaremba i Kazi
mierz Żorawski byli jedynymi reprezentatami matematyki polskiej wobec zagranicy i o istnieniu polskiej szkoły matematycznej nie można było wtedy mówić. Przypomnienie tych rzeczy i porównanie ich ze stanem obecnym najlepiej uwidocznia olbrzymi postęp dokonany w ciągu sześć
dziesięciu kilku lat mimo katastrofy, której doznała matematyka polska w czasie inwazji hitlerowskiej.
Wspomnieliśmy już, że Kazimierz Żorawski był uczniem Liego, twórcy teorii ciągłych grup przekształceń. Zagadnieniem, z którego ta teoria wyrosła, było pytanie, jakie uproszczenia możemy uzyskać w pro
cesie całkowania równań różniczkowych, zwyczajnych i o pochodnych cząstkowych, jeżeli występujące w nich zmienne będziemy poddawali różnym przekształceniom, i jak można sklasyfikować takie równania za pomocą różnych rodzajów przekształceń. Systematyczne i głębsze badanie takich zagadnień doprowadziło Liego do stworzenia teorii grup ciągłych jako odrębnej dyscypliny matematycznej o własnych pojęciach i problemach. Gdy Żorawski przybył do Lipska, gdzie wówczas Lie był profesorem tamtejszego uniwersytetu, teoria grup ciągłych była świeżym, nowoodkrytym terenem badań, pociągającym swymi zagadnieniami wielu wrybitnych matematyków. Prace tych uczonych poszły w dwróch
głównie kierunkach: jedni, jak Engel, Killing, a przede wszystkim Car- tan, zajmowali się tym, co dzisiaj nazywamy strukturą abstrakcyjnych grup Liego, a więc rzeczą niezależną od sprawy ich realizacji za pomocą takich lub innych przekształceń; inni, jak Klein, Picard, Yessiot, Tresse i Żorawski, interesowali się przede wszystkim zastosowaniami teorii grup do geometrii i do różnych działów analizy.
Dla Żorawskiego ulubionym terenem badań były zagadnienia równo
ważności dwóch tworów analitycznych lub geometrycznych względem pewnej grupy przekształceń, innymi słowy: zagadnienia konstrukcji pełnego układu niezmienników różniczkowych takich obiektów. Drugą ważną dziedziną jego twórczej pracy była stworzona przez Poincarego i Liego teoria niezmienników całkowych, w owym czasie również świeżo odkryty teren badań. W obu tych gałęziach matematyki uzyskał K. Żo
rawski ważne wyniki, które w dalszym ciągu dokładniej omówimy. Z ża
lem przy tej sposobności stwierdzić trzeba, że niektóre z doniosłych osiągnięć naszego uczonego zostały stracone dla nauki polskiej. Stało się tak bądź dlatego, że były opublikowane jedynie w języku polskim, bądź też z powodu wielkiej skromności autora, który podając we wstępie do pracy jej treść, jak gdyby starał się ukryć lub zbagatelizować najważ
niejsze w niej zawarte rezultaty. Z tego powodu niektóre z jego osiągnięć uszły uwadze zagranicznych uczonych; po pewnym czasie zostały przez nich powtórnie uzyskane i powszechnie uznane za ich dorobek naukowy.
Przejdziemy teraz do analizy najważniejszych prac K. Żorawskiego.
I. Teoria form różniczkowych
Do tego działu matematyki należy pierwsza praca naszego uczo
nego, mianowicie wspomniana już teza doktorska ogłoszona w języku polskim i niemieckim, {l}. Przedmiotem jej było następujące zagadnienie:
Dane są dwie powierzchnie zwykłej przestrzeni; zbadać, czy można jedną z nich otrzymać z drugiej przez zginanie połączone ewentualnie z odbiciem symetrycznym. Ponieważ chodzi tutaj o zagadnienie o cha
rakterze lokalnym, należałoby raczej mówić o dwu płatach powierzchni, dla uproszczenia będziemy jednak w dalszym ciągu używrali terminu powierzchnia. Bardziej precyzyjnie można to zagadnienie sformułować następująco: Czy można między punktami obu powierzchni ustalić odpo- wiedniość wzajemnie jednoznaczną i różniczko walną tak, ażeby metryka na obu powierzchniach była identyczna. Chodzi tu oczywiście o metrykę indukowaną przez metrykę otaczającej przestrzeni euklidesowej. Metryka ta określona jest na obu powierzchniach odpowiednio formami różnicz
kowymi drugiego stopnia
(1) ds2 = Edu2 -\-2Fdudv -\-Gdv2, dś2 = EdTi2Jr2Fdudv-\-Gdv2.
Roczniki P. T. M. - Prace Matematyczne ТГ 6
82 W. Ś l e b o d z i ń s k i
Analitycznie zadanie sprowadza się więc do następującego: Zbadać, czy istnieje i, ewentualnie, wyznaczyć przekształcenie postaci
przeprowadzające jedną z form (1) w drugą. Zagadnienie to formułujemy zwykle krócej: Zbadać, czy formy (1) są równoważne względem ogólnej grupy przekształceń postaci (2). Sprowadza się ono do utworzenia pełnego układu niezmienników różniczkowych formy ds2 względem grupy ogólnej.
Nazwę niezmiennika różniczkowego rzędu p nadajemy każdemu wyrażeniu Ф(и, v , E , F , G, d E jdu, ...) utworzonemu ze zmiennych u , v , ze współ
czynników E, F , G oraz ich pochodnych aż do rzędu p, jeśli to wyra
żenie nie zmienia swej wartości przy przekształceniach grupy, innymi słowy, jeżeli zachodzi równość
w której E , F , G, ... oznaczają wielkości obliczone dla formy powstałej z ds2 przez przekształcenie (2). Żorawski pokazał, jak należy wyznaczać te niezmienniki, określił liczbę niezależnych dla każdego rzędu oraz obliczył efektywnie kilka takich niezmienników najniższych rzędów.
Nazwał je niezmiennikami Gaussa, ponieważ najniższy taki niezmiennik (rzędu 2) został znaleziony przez Gaussa (krzywizna Gaussa). W tej samej pracy znajdujemy rozważania tyczące się dwóch innych pokrewnych zagadnień. Załóżmy mianowicie, że do formy ds2 zostały dołączone pewne funkcje / i , / 2, . . . zmiennych u , v albo równanie postaci v = f{u). Dla układu złożonego z formy i z funkcji albo z formy i z równania można sformułować zagadnienia analogiczne do poprzedniego. I te zagadnienia rozwiązał Żorawski: pokazał, jak należy obhczać niezmienniki każdego z tych dwóch układów (niezmienniki Beltramiego i Mindinga).
Omawianą tu rozprawę Żorawskiego można słusznie nazwać klasy
czną ze względu na jej konstrukcję i metodę oraz doprowadzenie wszyst
kich rozważań i rachunków aż do zupełnego wyczerpania zagadnienia.
Dlatego była ona zawsze wysoko ceniona przez znawców przedmiotu i do dzisiaj jeszcze jest cytowana. Twórca teorii grup, S. Lie, omawiając w trzecim tomie swego głównego dzieła ([6], rozdział 3, str. 810) prace różnych matematyków poświęcone grupom przekształceń, tak się o niej wyraża: „Spośród lipskich dysertacji wymienimy nadto piękną pracę Żorawskiego o niezmiennikach gięcia... Żorawski z wielką zręcznością wykonał trudne i skomplikowane obliczenia, potrzebne do rozwiązania zagadnienia. Ponieważ praca ta należy do działu niezmienników róż
niczkowych, przeto wspominam tu o niej krótko, zamierzając do niej powrócić w projektowanym dziele o niezmiennikach różniczkowych” (2).
(2) Dzieło to nie ukazało się z powodu choroby i śmierci- Liego.
(2) u = <p(u, v), V — y( u, v)
Cytuje.tę pracę także F. Klein w swym dziele o rozwoju matematyki w X IX w. ([3], część II, str. 202). Nazwisko Żorawskiego jest zresztą, jedynym nazwiskiem polskiego matematyka, wymienionym w książce Kleina.
Formom różniczkowym drugiego stopnia poświęcił Żorawski jeszcze trzy inne prace {32} (dwie prace) i {48}, ogłoszone w Sprawozdaniach Saskiego Towarzystwa Naukowego. W tezie doktorskiej posługiwał się operatorami różniczkowymi Liego, nazwanymi przez niego transformacja
mi infinitezymalnymi; w pierwszej zaś z wymienionych prac pokazał, jak się rozwiązuje zagadnienie niezmienników gięcia posługując się skoń
czonymi transformacjami. Przy tej sposobności wykazał także błędy w rozumowaniach niemieckiego matematyka J. Knoblaucha, który w jednej ze swych prac zajmował się tym samym zagadnieniem [4].
Dalsze dwie prace zostały poświęcone uogólnionym zagadnieniom, mia
nowicie niezmiennikom różniczkowym kwadratowej formy różniczkowej n zmiennych i pary takich form.
II. Teoria niezmienników całkowych
Pojęcie niezmiennika całkowego wprowadził do matematyki H. Poin
care w jednej ze swych prac poświęconych mechanice niebios. Nieco odmienne pojęcie niezmiennika całkowego, oparte na pojęciu grupy ciągłej, pochodzi od S. Liego; należy nadmienić, że między obu poję
ciami nie ma istotnej różnicy i że łatwo można jedno z nich sprowadzić do drugiego. Dzisiaj pojęcie to odgrywa, jak wiadomo, ważną rolę w teorii równań różniczkowych, w teorii grup ciągłych, w topologii i w integral
nych zagadnieniach geometrii różniczkowej oraz wtmechanice. E. Goursat wr swym dziele o zagadnieniu Pfaffa i E. T. Whittaker w swym wykładzie dynamiki poświęcili temu pojęciu osobne rozdziały, a E. Cartan opubli
kował książkę o teorii niezmienników całkowych. K. Żorawski był jednym z pierwszych matematyków", którzy należycie ocenili znaczenie nowrego pojęcia. Już w roku 1895 ogłosił obszerną pracę {12} zawierającą nowe i ważne twierdzenia o niezmiennikach skończonych i nieskończonych grup, używając tego pojęcia w sensie nadanym mu przez Liego. Udowo
dnił w niej między innymi podstawowe twierdzenie, że grupa przekształceń o jednym parametrze, określona układem równań
dxhjdt = fh(xl , ж2, . .. , xn) ,
ma niezmienniki całkowe każdego stopnia, oraz pokazał, wr jaki sposób można te niezmienniki skonstruować. Twierdzenie to, udowodnione po raz pierwszy przez Żorawrskiego, można znaleźć na przykład we wspo
mnianej już książce Goursata ([2], str. 212), wr rozdziale poświęconym
6*
84 W. Ś l e b o d z i ń s k i
niezmiennikom całkowym. Nazwisko Żorawskiego nie jest jednak w y
mienione ani w tym miejscu, ani na innych stronicach rozdziału. Stało się tak prawdopodobnie dlatego, że praca Żorawskiego została ogłoszona po polsku z bardzo krótkim tylko streszczeniem w języku niemieckim, nie można się więc dziwić, że rezultaty otrzymane przez naszego uczo
nego uszły uwadze Goursata.
W kilka lat później, bo w roku 1902, ukazała się druga praca Żoraw
skiego o niemiennikach całkowych {26}, zawierająca również nowe i ważne wyniki. Ażeby przedstawić główne jej twierdzenie, rozpatrzmy p -krotną całkę
П
(3) f J ? A hih^ hpdxhldxh\ . . d x hp, s ^ . . . ^ = 1
rozpostartą na pewną p-wymiarową rozciągłość 8 ?i-wymiarowej prze
strzeni. Jeżeli punkty rozciągłości 8 poddamy ruchowi stacjonarnemu określonemu równaniami
(4) dxh/dt = ^h{x1, x 2, . . . , x n),
to przejdzie ona w pewną rozciągłość 8 t . Całka (3) jest niezmiennikiem układu (4), jeżeli w^artość jej, obliczona dla 8t , jest dla każdego t równa wartości obliczonej dla 8. Pierwszym zagadnieniem, które się teraz na
rzuca, jest pytanie, w jaki sposób można poznać, czy całka (3) jest nie
zmiennikiem przekształceń (4). Praca Żorawskiego przynosi odpowiedź na to pytanie w postaci kryteriów różniczkowych, które muszą spełniać współczynniki A. Ponieważ praca ta była ogłoszona wyłącznie po polsku, bez streszczenia w obcym języku, przeto treść jej pozostała nieznana ogółowi matematyków, a wzory Żorawskiego zostały ponownie odkryte przez E. Goursata w roku 1908, a więc w sześć lat później. Lie cytując pracę Żorawskiego w jednej ze swych rozpraw o niezmiennikach całko
wych, tak o niej mówi: „Jest to niewątpliwie cenna praca o niezmienni
kach całkowych. Niestety, mogłem odczytać jedynie wzory, bez tekstu tej polskiej rozprawy”. Ponieważ także de la Yallće Poussin omawiając prace De Dondera zauważył, że praca Żorawskiego jest trudno dostępna ze względów językowych, przeto autor ogłosił w roku 1913 jej wyciąg w języku niemieckim {43}. Ta spóźniona publikacja nie uratowała prawa do pierwszeństwa i w cytowanej książce Goursata wzory Żorawskiego podane są bez wymienienia ich autora.
Obok swego głównego wyniku, omawiana rozprawa zawiera ponadto interesujące uogólnienia twierdzeń z kinematyki o liniach i natężeniach wirów; twierdzenia te zawarte są w innej pracy {22} Żorawskiego, którą w dalszym ciągu omówimy. Niektóre wyniki pracy {26} zostały, w sto
pniu mniej ogólnym, odkryte ponownie przez belgijskiego matematyka Th. De Dondera.
W 1909 r. ukazała się trzecia praca {38} Żorawskiego o niezmienni
kach całkowych. Zawiera ona różne uogólnienia wyników uzyskanych w poprzedniej pracy oraz zastosowania do teorii mnożnika zupełnych układów równań liniowych o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.
III. Teoria ruchu ośrodka ciągłego i ciała sztywnego
Ta dziedzina matematyki była dla Żorawskiego głównym przedmio
tem zainteresowań i twórczej pracy w latach 1900-1926. W okresie tym ukazało się kilkanaście jego rozpraw poświęconych różnym zagadnieniom kinematyki; są to mianowicie prace: {22}, {24}, {39}-{42}, {46}, {47}, (62), (53), (56), (60) i (64).
Przedmiotem pierwszej z nich były własności linii wirowych ruchu doskonałej i nieściśliwej cieczy, danego za pomocą równań postaci (5) dx/dt = u(x, у , z, t), dyjdt — v(x, у , z, t), dzjdt — w(x, у , z , t ) (używam tutaj i w dalszym ciągu oznaczeń innych niż autor, posługujący się symbolami transformacji infinitezymalnych, ponieważ własności tych symboli nie są ogólnie znane). Linie wirowe ruchu (5) określone są równa
niami
dxjtj = dy/r) = dz/C, gdzie
I = ^(dw/dy — dvldz), rj — \(du]dz—dwfdx), £ = ^(dv/dx—du/dy), a natężenia wartością całki
J J tjdydz-\-r)dzdx-\-£dxdy.
Helmholtzowi zawdzięczamy dwa jjodstawowe twierdzenia o własno
ściach wirów; mówią one 1° że linie wirowe są złożone stale z tych sa
mych cząstek materii i 2° że natężenie linii wirowych jest stałe w czasie i w przestrzeni, jakikolwiek byłby ruch. Klasyczne te twierdzenia pod
dały Kelwinowi myśl pojmowania atomów jako wirów doskonałej cieczy.
Twierdzenia Helmholtza zostały przez niego udowodnione przy pe
wnych założeniach dynamicznych o siłach zewnętrznych działających na ciecz. Ponieważ zaś mają one charakter twierdzeń kinematycznych, przeto naturalne wydaje się następujące pytanie: Jakie własności musi mieć ruch (5), ażeby pierwsze lub drugie twierdzenie Helmholtza pozosta
wało prawdziwe, niezależnie od wszelkich założeń dynamicznych, i jaka jest wzajemna zależność obu twierdzeń? Pytanie tak ogólnie sformuło
wane po raz pierwszy postawił Żorawski i dał na nie pełną odpowiedź.
86 ЛУ. Ś l e b o d z i ń s k i
W ostatnich kilku latach twierdzenia Żorawskiego były przedmiotem artykułów dwóch amerykańskich matematyków ([8], [9]), którzy między innymi podali ich nowe, uproszczone dowody. Twierdzenia swe o liniach wirowych uogólnił następnie Żorawski na przypadek u-wymiarowej przestrzeni w pracy {26} z 1902 r. (omówionej tu w paragrafie II).
Przedmiotem trzech następnych prac {39}, {40} i {41} z zakresu kinematyki jest pewne zagadnienie równoważności dwóch ruchów cieczy w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Pomyślmy sobie mianowicie dwa takie ruchy dane odpowiednio za pomocą, układu równań różnicz
kowych
(6) dxh/dt = uh(xl, x2, . . . , xn, t) (h — 1 , 2 , . .. , n) oraz układu
(7) dxhjdt — uh{xl, x %, . . . , x n, t) (h = 1 , 2 , . .. , n)
i zapytajmy, czy można jeden z nich przekształcić w drugi transformacją określoną wzorami
П
(8) x% = JT Ą-Ax{t),
?■=i
których współczynniki są -funkcjami czasu t, spełniającymi warunki ortogonalności o wyznaczniku \Aj(t)\ — 4-1. Eównania (8) przedstawiają ciągły ruch ciała sztywnego w przestrzeni o współrzędnych жг; zadanie będące przedmiotem pracy da się więc wypowiedzieć w następujący sposób: Czy można dobrać taki ruch ciała sztywnego, ażeby dla obser
watora z nim związanego ruch (7) był tym samym ruchem, którym jest (6) dla obserwatora nieruchomego. Zagadnienie to sprowadza się do następującego zagadnienia analitycznego: Utworzyć pełny układ nie
zmienników różniczkowych układu (6) ze względu na nieskończoną grupę przekształceń (8) zależnych od %(w+l)/2 dowolnych funkcji zmien
nej t. Autor skonstruował podstawowy układ niezmienników różniczko
wych oraz operatory różniczkowe, za pomocą których można następnie obliczać niezmienniki wyższych rzędów. W ostatniej pracy wyprowadził nadto pewien układ zależności różniczkowych między niezmiennikami podstawowymi, charakteryzujących w zupełności ruch i nazwanych jego naturalnymi równaniami. Wynikło stąd twierdzenie: Ażeby ruchy (6) i (7) były równoważne względem grupy (8), potrzeba i wystarcza, ażeby miały identyczne równania naturalne. Nazwa równania naturalne jest uzasadniona ścisłą analogią między tymi równaniami a równaniami naturalnymi krzywych i powierzchni przestrzeni euklidesowej. Jako zastosowanie ogólnej teorii zostało tu także rozwiązane następujące zagadnienie: Jakie własności musi mieć ruch (6), ażeby dla obserwatora
związanego z odpowiednio dobranym ciałem sztywnym ruch ten przed
stawiał się jako stacjonarny, tj. ażeby funkcje uh we wzorach (7) były niezależne od czasu.
Podstawą dla rozważań w tych trzech i w innych pracach z zakresu kinematyki była dylatacja elementu liniowego ds przestrzeni euklide- sowej, tj. stosunek jego przyrostu spowodowanego ruchem (6) do pier
wotnej długości. Dylatacja wyraża się wzorem П
^ ay dx% doć/ds2, gdzie ац = \ (did/dx*-\-dv? /дхг) .
i , i = i
Z definicji dylatacji wynika wprost, że kwadratowa forma różnicz
kowa znajdująca się w liczniku jest związana niezmienniczo z ruchem ośrodka ciągłego. W ten sposób badanie takiego ruchu zostało związane z teorią kwadratowych form różniczkowych i ich rodzin. Prace dotyczące tej teorii, a omówione w paragrafie I, były właśnie wywołane potrzebą stworzenia aparatu pomocniczego dla badania ruchu ośrodka ciągłego.
Praca {46} z 1914 r. zawiera rozwiązanie ogólniejszego zagadnienia.
Autor zakłada mianowicie, że w przestrzeni Riemanna dana jest skoń
czona deformacja lub ciągła, jednoparametrowa rodzina deformacji i rozwiązuje zagadnienie równoważności dwóch obiektów, z których każdy złożony jest z kwadratowej formy różniczkowej i z równań deformacji.
Z innych prac Żorawskiego, tyczących się ruchów i deformacji ciągłego ośrodka, szczególnie ważna jest praca {43}. Rozwiązane w niej zostało w całej ogólności następujące zagadnienie: №ech
П
ds2 — ahi{x)dxhdx%
h , i =1
będzie liniowym elementem euklidesowej przestrzeni odniesionej do współ
rzędnych krzywoliniowych xh; jeżeli przestrzeń poddamy deformacji określonej wzorami хг — x%Jr ep'(xl1 x2, . .., xn), to dla zdeformowanego elementu ds będziemy mieli wzór
П П
ds2 = JT1 ahi(x)dxhdx% = ^ [ahi(x)Ą-2bhi(x)]dxhdx‘l,
Л,г=1 h , i = 1
którego współczynniki bhi noszą nazwę składowych deformacji. Załóżmy teraz, że dany jest pewien układ funkcji bhi(x) i zapytajmy, jakie warunki muszą one spełniać, ażeby istniała deformacja o składowych bM(x) i jak tę deformację wyznaczyć.
Praca Żorawskiego daje odpowiedź na oba pytania, które w przy
padku trój wymiarowej przestrzeni i współrzędnych prostokątnych były
88 W. Ś l e b o d z i ń s k i
przedmiotem wielu prac Beltramiego, Kirchhoffa, Barre de Saint Ye- nanta i innych.
Pytania, dla których odpowiedzi szukał Żorawski w swoich pracach z dziedziny kinematyki, należą, do sfery zagadnień otwartej dla nauki przez Liego. Należy jednak wyraźnie zaznaczyć, że zarówno wybór za
gadnień, jak i znalezienie odpowiedniej metody dla ich rozwiązania były własnym i oryginalnym wkładem Żorawskiego do nauki. Żorawski celował przy tym w zręcznym pokonywaniu długich i skomplikowanych rachun
ków, których wówczas nie można było uniknąć, ponieważ doskonalsze narzędzie matematyczne, jakim jest teoria form zewnętrznych Cartana, było w owym czasie dopiero w początkowym okresie swego rozwoju.
IV. Równania różniczkowe
Z prac Żorawskiego należących do dziedziny równań różniczkowych omówimy dwie najważniejsze {14} i {54}. Przedmiotem pierwszej jest całkowanie pewnej szczególnej klasy zwyczajnych równań różniczko
wych trzeciego rzędu. Przypuśćmy mianowicie, iż wiadomo nam o rów
naniu
(9) dzyj dxz — F( x, y, dyjdx, d2y/ dx2), że można je sprowadzić do postaci
(10) dzv/ duz = 0
za pomocą zmiany zmiennych określonej wzorami (11) X=<p( u, V) , y = y > ( u , v ) ,
i że znane nam są te wzory. Ponieważ całka ogólna równania (10) dana jest bezpośrednio, przeto tym samym znana staje się całka równania (9).
Prosta ta uwaga prowadzi do następującego zagadnienia: Znaleźć kry
teria, które pozwalają poznać, czy równanie (9) da się przekształcić w równanie (10), oraz w przypadku, gdy zawarte w tych kryteriach warunki są spełnione, podać konstrukcję równań (11). Zagadnienie to Żorawski rozwiązał w zupełności, posługując się niezmiennikami róż
niczkowymi grupy przekształceń zachowujących równanie (10); znalazł mianowicie ogólny kształt równania, które można przekształcić w ró
wnanie (10), oraz podał metodę wyznaczania przekształcenia (11).
Okazało się, że to ostatnie zadanie, a więc i całkowanie równania oma
wianej kategorii, sprowadza się do całkowania równania Bicattiego i kilku kwadratur. Należy nadmienić, że podobnym zagadnieniem w przy
padku równania drugiego rzędu zajmowali się S. Lie i A. Tresse; przejście od rzędu drugiego do rzędu trzeciego nie jest tutaj tylko banalnym po-
wtórzeniem rozumowań, lecz także i w rezultatach nie ma wielkiej ana
logii. Zauważyć też należy, że Żorawski stronę algorytmiczną zagadnienia posunął dalej niż wspomniani matematycy.
Przechodzę teraz do omówienia nierównie ważniejszych prac {54}
i {49}. Przedmiotem pierwszej było zagadnienie konstrukcji niezmienni
ków" różniczkowych układu równań
(.12) d ^ j d t 2 — f ( t , X 1, ж2, . .. , xn, dxl /dt, dx2 /dt, . .. , dxnfdt) (i = 1 , 2 , . . . , n) Awzględem ogólnej grupy przekształceń*punktowych хг = хг{х1, х2, . . . , x n) oraz zastosowanie tych niezmiennikówr do odpowiedniego zagadnienia równoważności; oba zagadnienia zostały przez Żorawskiego rozwiązane w ogólnym przypadku.
Praca Żorawskiego ma wiele wspólnego z pewnymi gałęziami geo
metrii różniczkowej, które powstały i rozwinęły się wr kilka lat po uka
zaniu się rozprawy Żorawskiego. Jest bowiem rzeczą widoczną, że (12) obejmuje jako szczególny przypadek układ równań geodezyjnych prze
strzeni o koneksji afinicznej; ażeby ten przypadek otrzymać, należy założyć, że funkcje f w równaniach (12) są jednorodnymi wielomianami drugiego stopnia względem pochodnych dxhjdt o współczynnikach nie
zależnych od t. Teoria Żorawskiego związana z równaniem (12) zawiera więc implicite teorię zwaną Geometry of paths (uprawianą przez szkołę w Princeton), ujętą oczywiście czysto analitycznie, bez interpretacji geometrycznej. Ше jest także niespodzianką, że w rozumowaniach Żo
rawskiego występują wielkości oznaczone przez niego symbolami , a będące uogólnieniem współczynników przesunięcia równoległego w prze-
• strzeni o koneksji afinicznej; znajdujemy tam także operator, który jest uogólnieniem pochodnej współzmienniczej, oraz wielkość analogiczną do tensora krzywizny. Można więc., stwierdzić, że praca Żorawskiego zawierała jako szczególny przypadek teorię przestrzeni o koneksji afi
nicznej stworzonej później przez J. A. Schoutena i H. Weyla; zdanie to należy oczywiście rozumieć wr ten sposób, że zagadnienie zostało przez Żorawskiego ujęte wyłącznie ze stanowiska teorii niezmienników bez jakiejkolwiek interpretacji geometrycznej różnych wielkości i opera
torów. Stwierdzony tutaj fakt nasuwał pytanie, czy praca Żorawskiego nie może stać się podstawą dla geometrii o koneksji ogólniejszej niż afiniczna. Myśl ta została zrealizowana w rozprawach kilku mate
matyków^3), a wybitny geometra wioski E. Bortolotti zapowiedział dalsze uogólnienie oparte na równaniu o pochodnych cząstkowych dru
(3) Zob. [5], [1], [7]. Praca D. D. Kosambiego powstała niezależnie od pracy Żorawskiego.
90 W. Ś l e b o d z i ń s k i
giego rzędu. Niestety, z powodu przedwczesnej śmierci tego uczonego zamiar ten nie został zrealizowany, powstały tylko trzy krótkie noty na ten temat.
V. Geometria różniczkowa
Żorawski ma w swym dorobku naukowym także kilka prac z dzie
dziny geometrii różniczkowej. Najważniejszą z nich jest niewątpliwie rozprawa {30}, zawierająca pełny układ niezmienników różniczkowych powierzchni trójwymiarowej przestrzeni afinicznej. Geometria różniczkowa przestrzeni afinicznej została rozwinięta w drugim dziesiątku bieżącego stulecia, w pracach kilku niemieckich geometrów (W. Blaschke, G. Pick, L. Berwald i inni). O stosunku rozprawy Żorawskiego do ich prac można powiedzieć to samo, co mówiliśmy w poprzednim paragrafie o stosunku rozprawy o układzie równań (12) do teorii różnych koneksji: jest ona mianowicie równoważnikiem, ze stanowiska teorii niezmienników, geo
metrycznej teorii powierzchni w przestrzeni afinicznej.
Omówienie działalności naukowej K. Żorawskiego nie byłoby zu
pełne, gdybyśmy nie wspomnieli o dwutomowym podręczniku geometrii analitycznej {67}, napisanym w sposób oryginalny, a wyróżniający się tym, że bardzo obszernie była w nim potraktowana dziedzina tworów urojonych, jak wektory, proste i koła urojone, oraz ich interpretacja w dziedzinie rzeczywistej.
Prace naukowe Kazimierza Żorawskiego S k r ó t y
ВАС — Bulletin de PAcademie de Cracovie. Classe des Sciences mathematiques et nature lies.
MMPli — Monatshefte fiir Matłiematik und Physik.
PMF — Prace Matematyczno-Fizyczne.
RAU — Rozprawy Wydziału matematyczno-przyrodniczego Akademii Umieję
tności w Krakowie.
SGW — Bericłite der mathematisch-płiysikalisclien Klasse der Koniglichen Sacli- sischen Gesellschaft der Wissenschaften.
TNW — Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydz. III.
WM — Wiadomości Matematyczne.
Prace ogłoszone równocześnie w dwu tekstach: polskim i niemieckim lub: czes
kim i niemieckim, zamieszczone są pod tym samym numerem.
1. O pewnym odkształceniu powierzchni, RAU 23 (1891), str. 225-291.
Tiber Biegungsinvarianten. Bine Anwendung der Lieschen Gruppentheorie, Acta Mathematica 16 (1892), str. 1-67.
2. O całkowaniu układów równań różniczkowych cząstkowych rządu pierwszego liniowych i jednorodnych, PMF 3 (1892), str. 1-32.
3. Uzupełnianie ciągłych grup przekształceń, RAU 24 (1892), str. 32-40.
4. Niezmienniki różniczkowe pewnej nieskończonej ciągłej grupy przekształcęń, RAU 24 (1892), str. 41-55.
5. Przyczynek do teoryi zmiany zmiennych w równaniach różniczkowych zw y
czajnych rządu pierwszego, KAU 26 (1893), str. 67-99.
6. O zbieżności iteracyi, KAU 26 (1893), str. 271-288.
7. Drobne przyczynki do teoryi przekształceń i jej zastosowań, RAU 26 (1893), str. 289-300.
8. O pochodnych nieskończenie wielkiego rządu, RAU 26 (1893), str. 419-433.
9. O szeregach odwracających, PMF 5 (1894), str. 146-159.
10. Iteracye i szeregi odwracające, RAU 27 (1894), str. 240-249.
11. O wielkościach zasadniczych ogółnej teoryi powierzchni, RAU 28 (1895), str. 1-7.
12. O całkach niezmiennych ciągłych grup przekształceń, RAU 28 (1895), str. 232-273.
fiber IntegraMnvarianten der continuierłichen Transformationsgruppen, ВАС (1895), str. 127-130.
13. O linii wskazującej krzywizną powierzchni, RAU 29 (1896), str. 250-265.
14. O całkowaniu pewnej kategoryi równań różniczkowych zwyczajnych rządu trzeciego, RAU 34 (1898), str. 141-205.
15. Przyczynek do teoryi nieskończenie małych przekształceń, RAU 34 (1898), str. 218-232.
16. O pewnych prądach matematyki współczesnej, WM 3 (1899), str. 48-53.
17. O działalności naukowej Sophusa Liego, WM 3 (1899), str. 85-119.
18. O zbieżności szeregów odwracających, RAU 37 (1900), str. 139-153.
19. Przyczynek do geometryi nieskończenie małych przekształceń, RAU 37 (1900), str. 153-175.
20. fiber einige Kategorien infinitesimaler Transformationen der Ebene, SGW 1, str. 77-96.
21. fiber infinitesimale Transformationen der Ebene, welche gewissen geómetri- schen Bedingungen genugen, MMPh 12 (1907), str. 185-202.
22. O zachowaniu ruchu wirowego, Dziennik IX Zjazdu lekarzy i przyrodników polskich, Kraków 1900, str. 99.
fiber die Erhaltung der Wirbelbewegung, ВАС 1900, str. 335-342.
O zachowaniu ruchu wirowego, RAU 39 (1901), str. 236-250.
23. O pewnym zagadnieniu z teoryi podobnego odwzorowania powierzchni, RAU 39 (1901), str. 218-232.
fiber ein Problem der Theorie der conformen Abbildung von Flachen, ВАС 1900, str. 325-335.
24. O pewnych zmianach długości liniowych elementów podczas ruchu ciągłego układu materyalnego punktów, RAU I, 38 (1901), str. 353-365; II, 42 (1902), str.170-211.
fiber gewisse Anderungsgeschwindigkeiten von Linienelementen bei der Bewegung eines continuierłichen materiellen Systems, ВАС I, 1900, str. 367-372; II, 1901, str.
486-499.
25. O warunkach niezmienności pewnych równań różniczkowych przy nieskoń
czenie małych przekształceniach, PMF 12 (1901), str. 1-10.
26. O własnościach pewnej całki wielokrotnej bądących uogólnieniem dwóch twier
dzeń z teoryi wirów, PMF 13 (1902), str. 107-153.
27. Notiz iiber Translationsfldchen, SGW 57 (1905), str. 233-245.
28. Aufstellung einiger Kriimmungsformeln, die Integralfldchen partieller Diffe- rentialgleichungen erster Ordnung betreffen, Archiv der Mathematik u. Physik, 3. Reihe,
11 (1906), str. 197-205.
92 W. Ś l e b o d z i ń s k i
29. Tiber Krummungseigenschaften der Scharen von Linienelementen, PMF 17 (1906) , str. 41-76.
30. liber die Differentialinvarianten der Fldchen in bezug auf die lineare Gruppe und iiber Translationsfldchen, ВАС 1906, str. 865-901.
31. Tiber eine die partiellen Differentialgleichungen betreffende Relation, ВАС 1907, str. 1040-1052.
32. Zur Invariantentheorie der Differentialformen zweiten Grades, SG W I 59 (1907) , str. 160-186; II, 60 (1908), str. 20-52.
33. Notizen ans dem Gebiete der Differentialgeometrie, PMF I, 18 (1907), 143-169;
II, 22 (1911), str. 35-58.
34. O pewnych badaniach z teoryi form różniczTcowych stopnia drugiego, Spra
wozdanie z posiedzeń naukowych w Sekcyach X Zjazdu lekarzy i przyrodników polskich, Lwów 1908.
35. O pewnym związku dotyczącym równań różniczkowych cząstkowych rządu pierwszego. Sprawozdanie z posiedzeń naukowych w Sekcyach X Zjazdu lekarzy i przyrodników polskich, Lwów 1908.
36. Stanisław Kępiński ( Wspomnienie pośmiertne), WM 12 (1908), str. 161-167.
37. fiber konforme Abbildungen von Fldchen, ВАС 1909, str. 311-334.
38. fiber gewisse Transformationseigenschaften der vielfachen Integrate, ВАС 1909, str. 483-452.
39. fiber stationdre Bewegungen kontinuierlicher Medien, ВАС 1911, str. 1-17.
40. Invariantentheoretische TJntersuchungen gewisser Eigenschaften der Bewe
gungen kontinuierlicher Medien, ВАС 1911, str. 175-218.
41. fiber gewisse Eigenschaften der Bewegungen kontinuierlicher Medien, ВАС 1912, str. 269-292.
42. fiber gewisse Pfaffsche Systeme, welche bei Bewegungen kontinuierlicher Me
dien invariant bleiben, ВАС 1912, str. 436-461.
43. fiber Deformationskomponenten, ВАС 1912, str. 721-754.
44. fiber Eigenschaften eines vielfachen Integrals, welche Verallgemeinerungen zweier Sdtze der Theorie der Wirbelbewegung sind, MMPh 24 (1913), str. 277-299.
45. О jistych vlastnostach polar, Rozprawy Ćeske Akademie, Trida 2, 23 (1914).
fiber gewisse Eigenschaften der Polaren, Bulletin International de l’Academie des Sciences de Bohóme, 19 (1914).
46. fiber Invarianten der Deformationen und kontinuierlicher Bewegungen von Medien, ВАС 1914, str. 107-161.
47. fiber Bewegungen kontinuierlicher Medien mit vorgelegten invarianten Kur- venscharen, ВАС 1914, str. 220-240.
48. fiber Invarianten gewisser For mensy steme, SGW 46 (1914), str. 103-11^7.
49. О jistych differencialnych invariantech systemu obycejnych differencialnich rovnic druheho pofddu, Eozprawy Ceske Akademie, Trida 2, 24 (1915).
fiber gewisse Differentialinvarianten der Systeme yewóhnlicher Differentialglei
chungen zweiter Ordnung, Bulletin International de Г Academic des Sciences de Bo- heme 20 (1915).
50. О obluokovych elementach soustav plosnf/ch, More vyhovuje urditym podmin- kam, Rozpravy Ćeske Akademie, Trida 2, 24 (1915).
fiber Linienelemente der Fldchenscharen, die gewissen Bedingungen geniigen, Bulletin International de l’Academie des Sciences de Boheme 20 (1915).
51. fiber gewisse Kategorien von Differentialinvarianten der Flachenisometrie, ВАС 1915, str. 77-92.
52. fiber gewisse Kelationen, welche Deformationen und kontinuierliche Bewe- gungen von Medien betreffen, ВАС 1915, str. 122-163.
53. fiber gewisse Eigensekaften der Wirbel, ВАС 1915, str. 188-206.
54. fiber Differentialinvarianten gewisser Systeme gewóhnlich Differerential- gleieJiungen gegeniiber Punkttransformationen, ВАС 1915, str. 241-274.
55. O warunkach nakładalności Mnij krzywych, Księga pamiątkowa ku czci Bolesława Orzecliowicza, Lwów 1916, str. 639-661.
56. fiber Einteilung der Bewegungen kontinuierlicher Medien in gewisse Kate- gorien, ВАС 1917, str. 1-36.
57. O zastosowaniach teoryi grup przekształceń w innych dziedzinach matematyki, Poradnik dla samouków, t. 3, Warszawa 1923, str. 99-130.
58. O pewnej własności ruchów sztywnych i kompłeksów Uniowych, TNW 19 (1926), str. 105-112.
59. Własności pewnej kategorji przekształceń punktowych w płaszczyźnie, RAU 65/66 (1926), str. 37-69.
60. Kuchy sztywne i kompleksy liniowe, RAU 65/66 (1926), str. 287-339.
61. Spółzmienne punkty rzeczywiste punktów zespolonych, TNW 19 (1926), str.
113-132.
62. fiber Transformationen, welche eine partiełle Differentialgleichung von be- sonderer Form erfullen, TNW 20 (1927), str. 421-433.
63. O wektorach zespolonych, TNW 20 (1927), str. 531-547.
64. Cztery przyczynki z zakresu kinematyki ciał sztywnych, Akademia Nauk Technicznych, 2 (1929).
65. O pewnych przekształceniach czterowymiarowej przestrzeni, będących w związku z własnościami funkcyj zmiennych zespolonych, RAU 68 (1928), str. 1-30.
66. fiber ein System zweier partielłer Differentialgleichungen von einer besonderen Form (z polskim streszczeniem), TNW 22 (1929), str. 67-104.
67. Wykład geometrii analitycznej, Warszawa, t. T 1930, t. II, 1934.
Prace cytowane
[ 1 ] E. Cart an, Observation sur le Memoire precedent, Math. Zeitschrift 33 (1933), str. 619-622.
[2] E. G oursat, Leęons sur le problems de Pfaff, Paris 1922.
[3] F. K lein, Die Entwickłung der Mathematilc im XIX Jahrhundert, В. II, Berlin 1927, str. X + 208.
[4] J. K nob lau ch , Die Biegungs-Invarianten und Kovarianten von gegebener Ordnung, Journal fiir reine und angewandte Mathematik 131 (1906), str. 247-267.
[5] D. D. K osam bi, Parallelism and path-spaces, Math. Zeitschrift 33 (1933), str. 608-618.
[6] S. Lie, Transformationsgruppen.
[7] W. Ś le b o d ziń sk i, Sur deux connexions generalisees, Prace Mat.-Fiz. 43 (1936), str. 167-205.
[8] C. A. T ru esd ell and R. C. Prim , fiorawski’s Kinematic theorems, Naval Ordonance Laboratory Memorandum 9354, 1947.
[9] - A derivation of Żorawski's criterion for permanent lines, Proc. Amer.
Math. Soc. 1 (I960), str. 32-34.
