ZAGADNIENIE DOBORU LICZBY KLAS W KLASYFIKACJI SPEKTRALNEJ

Taksonomia 20. Klasyfikacja i analiza danych – teoria i zastosowania ISSN 1899-3192

Marek Walesiak

8niwersytet (konomiczny we :rocáawiX

ZAGADNIENIE DOBORU LICZBY KLAS W KLASYFIKACJI SPEKTRALNEJ

Streszczenie: : artykXle Srzetestowano SrzydatnoĞü SiĊciX indeksyw oceny jakoĞci klasyfi- kacji w zaJadnieniX doEorX liczEy klas w klasyfikacji sSektralnej XwzJlĊdniającej cztery tySy odleJáoĞci kwadrat odleJáoĞci eXklidesowej odleJáoĞü eXklidesowa odleJáoĞü miejska odleg- áoĞü *'01. : eksSerymentach wykorzystano klasyczne dane metryczne o znanej strXktXrze klas oEiektyw wygenerowane z wykorzystaniem z fXnkcji cluster.Gen SakietX clu- sterSim oraz nieklasyczne zEiory danych Xtworzone z wykorzystaniem fXnkcji SakietX mlbench geozoo oraz zEioryw wáasnych. 'la modeli w kaĪdym eksSerymencie wygene- rowano 0 zEioryw danych SrzeSrowadzono klasyfikacjĊ sSektralną z zastosowaniem odSo- wiedniego indeksX i otrzymane rezXltaty klasyfikacji Sorywnano ze znaną strXktXrą klas za Somocą skorygowanego indeksX 5anda.

SáRZa klXczRZe: analiza skXSieĔ klasyfikacja sSektralna liczEa klas.

1 WstĊS

=agadnienie doEorX liczEy klas naleĪy do najwaĪniejszych krokyw w kaĪdej Sroce- dXrze klasyfikacyjnej.

: artykXle Srzetestowano SrzydatnoĞü SiĊciX indeksyw oceny jakoĞci klasyfika- cji w zagadnieniX doEorX liczEy klas w klasyfikacji sSektralnej XwzglĊdniającej czte- ry tySy odlegáoĞci. : eksSerymentach wykorzystano klasyczne dane metryczne o znanej strXktXrze klas oEiektyw wygenerowane z wykorzystaniem z fXnkcji clu- ster.Gen SakietX clusterSim oraz nieklasyczne zEiory danych Xtworzone z wykorzystaniem fXnkcji SakietX mlbench geozoo oraz zEioryw wáasnych.

2 Klas\IikacMa sSektralna

W jednym z Sodstawowych krokyw klasyfikacji sSektralnej wyznacza siĊ sSektrXm widmo macierzy /aSlace¶a. W matematyce zEiyr wartoĞci wáasnych macierzy na- zywa siĊ sSektrXm widmem macierzy zoE. nS. [KolXSa 19 s. 182]. 3odstawo- wy algorytm klasyfikacji sSektralnej dla danych metrycznych zaSroSonowano

w Sracy Ng -ordan i Weiss [2002]. Inne algorytmy klasyfikacji sSektralnej scharak- teryzowano m.in. w Sracach Shortreed [200] oraz 9erma i 0eila [2003].

3rocedXra klasyfikacji sSektralnej oEejmXje nastĊSXjące kroki¹:

1. 8stalenie zEiorX oEiektyw i zmiennych. 3o zgromadzeniX danych konstrXXje siĊ macierz danych _ij

x n m

ª ºu

¬ ¼

X i – nXmer oEiektX j – nXmer zmiennej a w Srzy- SadkX danych metrycznych znormalizowaną macierz danych _ij .

z n m

ª º u

¬ ¼ Z 2. 'oEyr zmiennych.

Szczegyáową charakterystykĊ etaSyw 1-2 zaSrezentowano m.in. w Sracach Wa- lesiaka [2005; 2009].

3. 2Eliczenie symetrycznej macierzy SodoEieĔstw A

> @

Aik n n_u affinity matrix miĊdzy oEiektami dla ktyrej A_ii 0 oraz

e[S 

ik ik

A  ˜V d dla iz k 1

gdzie:

V

– Sarametr skali

dik – miary odlegáoĞci dla ryĪnych skal SomiarX zoE. Walesiak [2012] ik !1 n – nXmery oEiektyw.

W artykXle Srzetestowano zastosowanie we wzorze 1 miar odlegáoĞci d dla _ik danych metrycznych XjĊtych w taE. 1.

Tabela 1. 0iary odlegáoĞci d dla danych metrycznych _ik

Nr Nazwa miary odlegáoĞci )ormXáa )Xnkcja Sakiet SrogramX 5 1 kwadrat odlegáoĞci

eXklidesowej

2

1 

m

ik j ij kj

d

¦

z z dist stats

2 eXklidesowa d_ik

¦

^m_j1z_ijz_kj² dist stats 3 miejska 0anhattan dik

¦

^mj ₁zijzkj dist stats

4 *'01

1 1 1

 1

2 2 2

1 1 1 1

1 2

2

m m n

ikj kij ilj klj

j j l

l i k ik

m n m n

ilj klj

j l j l

a b a b

d

a b

z

 

ª º

« ˜ »

¬ ¼

¦ ¦ ¦

¦¦ ¦¦



ikj ij kj

a z z a_ilj z_ijz_lj

kij kj ij

b z z b_klj z_kjz_lj

dist.GDM clusterSim

  

ij kj lj

z z z – znormalizowana wartoĞü j-tej zmiennej dla i-tego k-tego l-tego oEiektX.

ħrydáo: oSracowanie wáasne.

1 -est to algorytm zaSroSonowany w Sracy Ng -ordan i Weiss [2002] Sor. Walesiak i 'Xdek [2009; 2010]. W artykXle Walesiaka [2012] dokonano jego modyfikacji w krokX 3 Srzy oEliczaniX macierzy SodoEieĔstw affinity matrix.

W krokX tym moĪna zastosowaü do oEliczenia elementyw macierzy SodoEieĔstw Aik izk estymatory jądrowe zoE. KaratzogloX [200] s. 13-14; 3oland i =e- Xgmann [200]: jądro gaXssowskie z odlegáoĞcią 1 z taE. 1 jądro wielomianowe

jądro liniowe jądro w Sostaci tangensa hiSerEolicznego jądro %essela jądro /aSla- ce¶a z odlegáoĞcią 2 z taE. 1 jądro $N29$ jądro áaĔcXchowe dla danych tek- stowych.

4. KonstrXkcja znormalizowanej macierzy /aSlace¶a

L D

^1/2

AD

^1/2 

D

– diagonalna macierz wag w ktyrej na gáywnej Srzekątnej znajdXją siĊ sXmy kaĪdego wiersza z macierzy A

> @

Aik . W rzeczywistoĞci znormalizowana macierz /aSla- ce¶a SrzyjmXje Sostaü:

I  L

. W algorytmie dla XSroszczenia analizy Somija siĊ macierz jednostkową

I

zoE. Ng -ordan i Weiss [2002]. WáasnoĞci tej macierzy Srzedstawiono m.in. w Sracy Yon /X[EXrg [200] s. 5-.

5. 2Eliczenie wartoĞci wáasnych i odSowiadających im wektoryw wáasnych dla macierzy

L

 a nastĊSnie XSorządkowanie wektoryw wáasnych wedáXg malejących wartoĞci wáasnych. 3ierwsze u wektoryw wáasnych u – liczEa klas tworzy ma- cierz E

> @

eij o wymiarach nuu^.

. 3rzeSrowadza siĊ normalizacjĊ macierzy E zgodnie ze wzorem

2 1 u

ij ij ij

j

y e

¦

e ⁱ ! – nXmer oEiektX ^{1 n} j !1 u – nXmer zmiennej

u – liczEa klas. 'ziĊki tej normalizacji dáXgoĞü kaĪdego wektora wierszowego ma- cierzy Y

> @

yij jest rywna jeden.

. 0acierz

Y

stanowi SXnkt wyjĞcia zastosowania klasycznych metod analizy skXSieĔ SroSonXje siĊ tXtaj wykorzystanie metody k-Ğrednich.

3odejĞcie sSektralne XjĊte w krokach 3- nie jest nową metodą klasyfikacji.

W wynikX zastosowania tego SodejĞcia dokonXje siĊ takiego rozmieszczenia oEiektyw w Srzestrzeni o liczEie wymiaryw rywnej liczEie klas aEy klasy oEiek- tyw Eyáy wyraĨnie seSarowalne. KlasyfikacjĊ oEiektyw SrzeSrowadza siĊ w Sodej- ĞciX sSektralnym wykorzystXjąc w tym celX jedną z klasycznych metod analizy skXSieĔ w Srezentowanym algorytmie zastosowano metodĊ k-Ğrednich.

3. InGeks\ Rcen\ MakRĞci klas\IikacMi sáXĪące Z\bRrRZi liczb\ klas

'o rozwiązania zagadnienia wyEorX oStymalnej liczEy klas moĪna w klasyfikacji sSektralnej wykorzystaü:

a. 0etody EazXjące na dekomSozycji sSektralnej nS. metodĊ *irolamiego [2002] – zoE. Walesiak [2012]

E. Indeksy oceny jakoĞci klasyfikacji stosowane w klasycznej analizie skXSieĔ nS. indeksy z SakietX clusterSim: 'aYiesa-%oXldina – index.DB &aliĔskiego

i +araEasza – index.G1 %akera i +XEerta – index.G2 +XEerta i /eYina – in- dex.G3 gaS – index.Gap +artigana – index.H Krzanowskiego i /ai – in- dex.KL SilhoXette – index.S.

W czĊĞci symXlacyjnej artykXáX zastosowano w klasyfikacji sSektralnej SiĊü in- deksyw sáXĪących wyEorowi liczEy klas zoE. taE. 2.

Tabela 2. WyErane indeksy oceny jakoĞci klasyfikacji sáXĪące wyEorowi liczEy klas

/S. Nazwa indeksX SymEol )ormXáa KryteriXm wyEorX

liczEy klas

1 =miennoĞü wewnątrz- klasowa

W& WC u  W tr _u ˆ arg min^  `

u

u WC u

2 &aliĔskiego

i +araEasza *1 /  1

1  /  

u

u

B u

G u W n u



  1 G u R_ ˆ arg ma[^ 1 `

u

u G u

3 Krzanowskiego

i /ai K/ 1

  ^u

u

KL u DIFF

DIFF_  KL u R

2/ 2/

 1 ^m 1 ^m

u u u

DIFF u W_ u W

ˆ arg ma[^  `

u u KL u

4 'aYiesa-

-%oXldina '%

1

  1 ma[

r s u

r s

r s rs

S S

DB u u z d

§  ·

¨ ¸

© ¹

¦

u^{ˆ arg min^}u DB u^`

5 Hartigana H   ^u₁ 1  1

u

H u W n u

W_

§ ·

  

¨ ¸

© ¹ 

  H u R_

najmniejsze u dla ktyrego H u  10d

B – macierz kowariancji miĊdzyklasowej u W_u – macierz kowariancji wewnątrzklasowej

tr – Ğlad macierzy B Wu u trButrW  u r s 1 ...u – nXmer klasy u – liczEa klas

 1 

i k ! n – nXmer oEiektX n – liczEa oEiektyw j !1 m – nXmer zmiennej m – liczEa

zmiennych ²

1 m

r s

rs j j

j

d

¦

z_x z_x – odlegáoĞü (Xklidesa miĊdzy Ğrodkami ciĊĪkoĞci klas r i s;

z 

r s

j j

z_{x x} – j-ta wsSyárzĊdna Ğrodka ciĊĪkoĞci klasy r s; ²

1

1

r m

r r

r ij j

i P j r

S z z

n  ^x

¦¦

 – miara rozSro- szenia oEiektyw w klasie odchylenie standardowe odlegáoĞci oEiektyw w r-tej klasie od Ğrodka ciĊĪ- koĞci klasy.

ħrydáo: oSracowanie wáasne na Sodstawie Srac: Walesiak [2011] s. 1; (Yeritt /andaX /eese i Stahl [2011] s. 114-115.

4. Analiza SRryZnaZcza inGeksyZ Rcen\ MakRĞci klas\IikacMi sáXĪąc\cK Z\bRrRZi liczb\ klas Z klas\IikacMi sSektralneM z czterePa PiaraPi RGleJáRĞci

$nalizĊ Sorywnawczą na Sodstawie dwych tySyw danych metrycznych klasycznych i nieklasycznych SrzeSrowadzono dla SiĊciX indeksyw z taE. 2 oraz czterech miar odlegáoĞci z taE. 1 zastosowanych w klasyfikacji sSektralnej.

W eksSerymencie Sierwszym wykorzystano klasyczne dane metryczne o znanej strXktXrze klas oEiektyw wygenerowane z wykorzystaniem fXnkcji cluster.Gen SakietX clusterSim zoE. Walesiak i 'Xdek [2012] na Sodstawie modeli zawar- tych w taE. 3.

Tabela 3. &harakterystyka modeli w analizie symXlacyjnej

nm m u lo ĝrodki ciĊĪkoĞci klas 0acierz kowariancji

¦

5 3 3 40 15;  – 3 3; 12; –

45; 18; –9

jj 1

V 1d d  j 3

12 13 09

V V   V₂₃ 09

 2 5 40 20 25 25

20

5; 5 –3; 3 3; –3

0; 0 –5; –5 V_jj  1 V_jl 09

23 2 3 30 0 35 0; 4 4; 8 8; 12

1

1 09

09 1

ª  º

6 «¬ »¼ ₂ 15 0 0 15

ª º

6 « »

¬ ¼

3

1 05 05 1

ª º

6 « »

¬ ¼

24 2 4 30 0; 5 5; 14 14; 5 5; –4 V_jj  1 V_jl 0

nm – nXmer modelX w fXnkcji cluster.Gen SakietX clusterSim; m – liczEa zmiennych

u – liczEa klas; lo – liczEa oEiektyw w klasach jedna liczEa oznacza klasy rywnoliczne. ħrydáo: oSracowanie wáasne.

Na rysXnkX 1 Srzedstawiono graficzną SrezentacjĊ Srzykáadowych zEioryw da- nych Xtworzonych z wykorzystaniem fXnkcji cluster.Gen SakietX cluster- Sim dla danych metrycznych.

W eksSerymencie drXgim nieklasyczne zEiory danych zawierające 30 oEiektyw zoE. rys. 2 wygenerowano z wykorzystaniem Sakietyw mlbench fXnkcja mlbench.spirals geozoo fXnkcja dini.surface oraz zEioryw worms Walesiak i 'Xdek [2009] i circles.

'la modeli w kaĪdym eksSerymencie wygenerowano 40 zEioryw danych Srze- Srowadzono klasyfikacjĊ sSektralną z czterema odlegáoĞciami i odSowiednimi indek- sami wyEorX liczEy klas rozwaĪano Sodziaáy od 2 do 10 klas a nastĊSnie Soryw- nano otrzymane rezXltaty klasyfikacji ze znaną strXktXrą klas za Somocą skorygowa- nego indeksX 5anda zoE. HXEert i $raEie [1985].

model 5 skXSienia doErze seSarowalne

– skXSienia wydáXĪone model  skXSienia sáaEo seSarowalne – skXSienia wydáXĪone

model 23 skXSienia sáaEo seSarowalne – skXSienia zryĪnicowane dla klas

model 24 skXSienia doErze seSarowalne – skXSienia normalne

Rys. 1. *raficzna Srezentacja Srzykáadowych zEioryw danych Xtworzonych z wykorzystaniem fXnkcji cluster.Gen SakietX clusterSim dane metryczne

ħrydáo: oSracowanie wáasne z wykorzystaniem SrogramX R.

TaEela 4 SrezentXje XSorządkowanie analizowanych metod klasyfikacji sSek- tralnej z 4 odlegáoĞciami zastosowanych z odSowiednimi indeksami wyEorX liczEy klas wedáXg Ğrednich wartoĞci skorygowanego indeksX 5anda Soliczonego z 40 symXlacji dla klasycznych danych metrycznych wygenerowanych w Sakiecie clusterSim.

Rys. 2. 3rzykáadowe zEiory danych Xtworzone z wykorzystaniem fXnkcji Sakietyw mlbench mlbench.spirals geozoo dini.surface oraz zEioryw worms i circles ħrydáo: oSracowanie wáasne z wykorzystaniem SrogramX R.

W SrzySadkX tySowych zEioryw danych metrycznych najleSiej strXktXrĊ klas odkrywaáy metody klasyfikacji sSektralnej z kwadratem odlegáoĞci eXklidesowej z indeksami odSowiednio: W& '% *1 K/. Nieco gorsze rezXltaty otrzymXje siĊ z wykorzystaniem klasyfikacji sSektralnej z odlegáoĞcią *'01 z tymi samymi in- deksami Soz. 4 5   w zestawieniX. Najgorsze rezXltaty otrzymXje siĊ dla indek- sX Hartigana.

Tabela 4. 8Sorządkowanie analizowanych metod klasyfikacji sSektralnej z wyEraną miarą odlegáoĞci oraz indeksem oceny jakoĞci klasyfikacji wedáXg Ğrednich wartoĞci skorygowanego indeksX 5anda dla danych metrycznych wygenerowanych w Sakiecie clusterSim

3oz. 0etoda ĝrednia* Ksztaát skXSieĔ /iczEa zmiennych zakáycających

1 2 3 4 0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 sSecc1BW& 054 09 012 0539 0935 0 042 2 sSecc1B'% 054 09 012 0539 0935 0 042 3 sSecc1B*1 051 09 012 0539 0935 0 03

4 sSecc1BK/ 038 0918 00 0859 089 08 008 5 sSecc4BW& 032 094 053 028 099 00 094

 sSecc4B'% 032 094 053 028 099 00 094

 sSecc4B*1 028 094 053 025 0952 05 091 8 sSecc4BK/ 021 095 014 0844 001 084 058 9 sSecc3BW& 091 080 085 04 03 089 0592 10 sSecc3B'% 091 080 085 04 03 089 0592 11 sSecc3B*1 00 0843 084 030 035 09 0525 12 sSecc3BK/ 058 090 0843 0842 012 09 038 13 sSecc2BW& 05 0908 0885 0555 0833 095 0359 14 sSecc2B'% 05 0908 0885 0555 0833 095 0359 15 sSecc2BK/ 050 095 049 0919 022 0839 0281 1 sSecc2B*1 049 0912 088 0555 0820 093 0199 1 sSecc1BH 0484 0440 02 0 058 0518 0451 18 sSecc4BH 0482 053 0231 008 055 0508 0455 19 sSecc2BH 0304 045 02 02 0431 049 0129 20 sSecc3BH 029 0348 023 008 0290 0380 0211

* k8 + k9/2 gdzie k8 k4 + k5 + k + k/4

/iczEa w nawiasie Srzy nazwach metod klasyfikacji sSektralnej: 1 – kwadrat odlegáoĞci eXkli- desowej s(Xclidean 2 – odlegáoĞü eXklidesowa eXclidean 3 – odlegáoĞü miejska manhattan 4 – odlegáoĞü *'01 *'01.

SymEole indeksyw wyjaĞniono w taE. 2.

ħrydáo: oEliczenia wáasne z wykorzystaniem SrogramX 5.

TaEela 5 SrezentXje XSorządkowanie analizowanych metod klasyfikacji z 4 od- legáoĞciami zastosowanych z odSowiednimi indeksami wyEorX liczEy klas wedáXg Ğrednich wartoĞci skorygowanego indeksX 5anda Soliczonego z 40 symXlacji dla nietySowych danych metrycznych wygenerowanych z wykorzystaniem Sakietyw mlbench mlbench.spirals geozoo dini.surface oraz zEioryw worms i circles.

W SrzySadkX nietySowych zEioryw danych metrycznych najleSiej strXktXrĊ klas odkrywaáy metody klasyfikacji sSektralnej z odlegáoĞcią *'01 z indeksami odSo- wiednio *1 W& '%. Nieco gorsze rezXltaty otrzymXje siĊ z wykorzystaniem kla- syfikacji sSektralnej z kwadratem odlegáoĞci eXklidesowej z indeksami odSowied- nio: *1 W& '%. *orzej z Soszczegylnymi indeksami Srezentowaáy siĊ metody klasyfikacji sSektralnej z odlegáoĞciami odSowiednio eXklidesową i miejską.

Tabela 5. 8Sorządkowanie analizowanych metod klasyfikacji sSektralnej z wyEraną miarą odlegáoĞci oraz indeksem oceny jakoĞci klasyfikacji wedáXg Ğrednich wartoĞci skorygowanego indeksX 5anda dla danych metrycznych otrzymanych z Sakietyw mlbench mlbench.spirals geozoo dini.surface oraz zEioryw worms i circles

3oz. 0etoda ĝrednia* =Eiory danych

sSirals worms dini circles

1 2 3 4 5 6 7

1 sSecc4B*1 0915 0980 083 0849 0994

2 sSecc4BW& 0914 0980 0835 0849 0994

3 sSecc4B'% 0914 0980 0835 0849 0994

4 sSecc1B*1 088 0994 092 0590 1000

5 sSecc1BW& 089 0994 091 053 1000

 sSecc1B'% 089 0994 091 053 1000

 sSecc4BK/ 024 059 0818 094 024

8 sSecc1BK/ 018 031 055 02 024

9 sSecc2B*1 014 089 099 0022 090

10 sSecc2BW& 008 0858 095 0053 095

11 sSecc2B'% 008 0858 095 0053 095

12 sSecc3BW& 082 08 059 0149 0943

13 sSecc3B'% 082 08 059 0149 0943

14 sSecc3B*1 081 0889 00 0122 0943

15 sSecc4BH 054 054 054 08 048

1 sSecc1BH 048 049 0844 0383 015

1 sSecc3BK/ 0534 0533 088 0113 003

18 sSecc2BK/ 0514 053 09 0050 04

19 sSecc2BH 042 041 092 0024 015

20 sSecc3BH 0440 030 04 00 05

* k4 + k5 + k + k/4

/iczEa w nawiasie Srzy nazwach metod klasyfikacji sSektralnej: 1 – kwadrat odlegáoĞci eXkli- desowej s(Xclidean 2 – odlegáoĞü eXklidesowa eXclidean 3 – odlegáoĞü miejska manhattan 4 – odlegáoĞü *'01 *'01.

SymEole indeksyw wyjaĞniono w taE. 2.

ħrydáo: oEliczenia wáasne z wykorzystaniem SrogramX 5.

SkrySty do analiz symXlacyjnych z SXnktX 4 są aXtorstwa dra $ndrzeja 'Xdka.

W analizach symXlacyjnych wykorzystano fXnkcjĊ speccl SakietX clusterSim w wersji 0.41-5 SrzyjmXjąc w domyĞle Sarametry sáXĪące wyszXkiwaniX SarametrX skali

V

. 3arametr

V

zoE. wzyr 1 ma fXndamentalne znaczenie w klasyfikacji sSektralnej. 3oszXkXje siĊ takiej wartoĞci SarametrX

V

 ktyra minimalizXje zmien- noĞü wewnątrzklasową Srzy zadanej liczEie klas u. -est to heXrystyczna metoda So- szXkiwania minimXm lokalnego. W klasyfikacji sSektralnej z odlegáoĞciami: eXklide- sowa kwadrat eXklidesowej miejska otrzymane rezXltaty klasyfikacji XzaleĪnione są od gyrnej granicy SrzedziaáX SrzeszXkiwania SarametrX sigma oraz od SrzyjĊtej liczEy Srzedziaáyw w kaĪdej iteracji domyĞlnie: 10. W klasyfikacji sSektralnej z odlegáoĞcią *'01 gyrna granica nie ma wSáywX na wyniki klasyfikacji. *yrna

granica SarametrX sigma w zasadzie niewiele siĊ zmienia dla danej liczEy oEiektyw ze wzglĊdX na Xnormowanie odlegáoĞci *'01 w Srzedziale [0; 1].

Wang [2010] SrzeSrowadziá m.in. analizĊ symXlacyjną SrzydatnoĞci szeĞciX kla- sycznych indeksyw oceny jakoĞci klasyfikacji &aliĔskiego i HaraEasza Hartigana

Krzanowskiego i /ai gaS jXmS SilhoXette oraz dwych wáasnych SroSozycji dla metody klasyfikacji sSektralnej zgodnie z algorytmem Ng -ordan i Weiss [2002].

$nalizĊ symXlacyjną SrzeSrowadzono dla dwych zEioryw danych nieklasycznych.

=askakXjąco sáaEe wyniki w odkrywaniX strXktXry klas odnotowano dla indeksX *1

&aliĔskiego i HaraEasza. 3rzeSrowadzony eksSeryment symXlacyjny w Srezentowa- nym artykXle dla danych nieklasycznych SokazXje odmienny rezXltat. 3rawdoSo- doEnie indeksy oceny jakoĞci klasyfikacji oEliczono w artykXle Wanga [2010] na Sodstawie Sierwotnej macierzy danych krok 1 algorytmX a Sowinno siĊ je oEliczyü na Sodstawie Srzeksztaáconej macierzy danych Y ¬ ¼ª ºy_ij otrzymanej w krokX  algorytmX.

5. PRGsXPRZanie

W artykXle Srzetestowano SrzydatnoĞü SiĊciX indeksyw oceny jakoĞci klasyfikacji w zagadnieniX doEorX liczEy klas w klasyfikacji sSektralnej XwzglĊdniającej cztery tySy odlegáoĞci. W eksSerymentach wykorzystano klasyczne oraz nieklasyczne dane metryczne o znanej strXktXrze klas oEiektyw.

W eksSerymencie I najleSiej strXktXrĊ klas odkrywaáa klasyfikacja sSektralna z kwadratem odlegáoĞci eXklidesowej oraz indeksami W& '% *1 K/ w eksSery- mencie II zaĞ klasyfikacja sSektralna z odlegáoĞcią *'01 oraz indeksami *1 W&

'%.

3rzeSrowadzone eksSerymenty wykazaáy wysoką skXtecznoĞü indeksyw oceny jakoĞci klasyfikacji stosowanych w klasycznej analizie skXSieĔ w zastosowaniX do odkrywania liczEy klas w klasyfikacji sSektralnej.

LiteratXra

(Yeritt %.S. /andaX S. /eese 0. Stahl '. 2011 Cluster Analysis Wiley &hichester.

*irolami 0. 2002 Mercer kernel-based clustering in feature space ÄI((( Transactions on NeXral Networks´ Yol. 13 no. 3 SS. 80-84.

HXEert /. $raEie 3. 1985 Comparing partitions Ä-oXrnal of &lassification´ no. 1 SS. 193-218.

KaratzogloX $. 200 Kernel Methods. Software, Algorithms and Applications 5ozSrawa doktor- ska 8niwersytet Techniczny we WiedniX.

KolXSa 0. 19 ElemenWDUQ\Z\NáDGDOJHEU\OLQLRZHMGODHNRQRPLVWyZ 3aĔstwowe Wydawnictwo NaXkowe Warszawa.

Ng $. -ordan 0. Weiss <. 2002 On Spectral Clustering: Analysis and an Algorithm [w:]

T. 'ietterich S. %ecker =. *hahramani red. Advances in Neural Information Processing Sys- tems 14 0IT 3ress &amEridge SS. 849-85.

3oland -. =eXgmann T. 200 Clustering the Google Distance with Eigenvectors and Semidefinite Programming Knowledge 0edia Technologies )irst International &ore-to-&ore WorkshoS

'agstXhl -Xly 23-2 *ermany.

Shortreed S. 200 Learning in Spectral Clustering 5ozSrawa doktorska 8niYersity of Washing- ton.

9erma '. 0eila 0. 2003 A Comparison of Spectral Clustering Algorithms Technical reSort 8W-

&S(-03-05-01 8niYersity of Washington.

Yon /X[EXrg 8. 200 A Tutorial on Spectral Clustering 0a[ 3lanck InstitXte for %iological &y- Eernetics Technical 5eSort T5-149.

Walesiak 0. 2005 5HNRPHQGDFMHZ]DNUHVLHVWUDWHJLLSRVWĊSRZDQLDZSURFHVLHNODV\ILNDFML]ELRUX

RELHNWyZ [w:] $. =eliaĞ red. Przestrzenno-czasowe modelowanie i prognozowanie zjawisk go- spodarczych Wydawnictwo $( Krakyw s. 185-203.

Walesiak 0. 2009 $QDOL]D VNXSLHĔ [w:] 0. Walesiak (. *atnar red. Statystyczna analiza da- nych z wykorzystaniem programu R Wydawnictwo NaXkowe 3WN Warszawa s. 40-433.

Walesiak 0. 2011 8RJyOQLRQD PLDUDRGOHJáRĞFL *'0 Z VWDW\VW\F]QHM DQDOL]LH ZLHORZ\PLDURZHM

z wykorzystaniem programu R, Wydawnictwo 8( Wrocáaw.

Walesiak 0. 2012 Klasyfikacja spektralna a skale pomiaru zmiennych, Ä3rzegląd Statystyczny´

z. 1 s. 13-31.

Walesiak 0. 'Xdek $. 2009 2GOHJáRĞü*'0GODGDQ\FKSRU]ąGNRZ\FKDNODV\ILNDFMDVSHNWUDOQD

3race NaXkowe 8( we WrocáawiX nr 84 s. 9-19.

Walesiak 0. 'Xdek $. 2010 Klasyfikacja spektralna z wykorzysWDQLHP RGOHJáRĞFL *'0 [w:]

K. -ajXga 0. Walesiak red. Klasyfikacja i analiza danych – teoria i zastosowania Taksono- mia 1 3race NaXkowe 8( we WrocáawiX nr 10 s. 11-11.

Walesiak 0. 'Xdek $. 2012 clusterSim package 85/ httS://www.5-Sroject.org.

Wang -. 2010 Consistent selection of the number of clusters via crossvalidation Ä%iometrika´

Yol. 9 issXe 4 SS. 893-904.

AUTOMATIC DETERMINATION OF THE NUMBER OF CLUSTERS USING SPECTRAL CLUSTERING

SXPPary: The SaSer tested the XsefXlness of fiYe indices assessing the TXality of classifica- tion within-groXS disSersion 'aYies-%oXldin inde[ &aliĔski HaraEasz inde[ Hartigan inde[ Krzanowski /ai inde[ in the issXe of selection of the nXmEer of clXsters in the sSectral clXstering taking into accoXnt foXr tySes of distance sTXared (Xclidean distance

(Xclidean distance 0anhattan distance *'01 distance. The article eYalXates twenty clXs- tering SrocedXres foXr sSectral clXstering methods and fiYe indices Eased on two tySes of simXlated data classic and non-classic. (ach clXstering resXlt was comSared with the known clXster strXctXre aSSlying corrected 5and inde[.

KeyZRrGs: clXster analysis sSectral clXstering nXmEer of clXsters.