1 Przestrzenie ilorazowe, wektory w lane

(1)

GAL z F, konspekt wyk lad´ ow: Endomorfizmy

14 marzec 2017

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toru´nczyk.

Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej.

1 Przestrzenie ilorazowe, wektory w lane

Przestrzenie ilorazowe [Kostrikin I.2.6]

1.1 Niech W ⊂ V para podprzestrzeni. Definiujemy relacje_,r´ownowa˙zno´sci w V: α ∼ β je´sli α − β ∈ W . Zbi´or klas abstrakcji ma strukture_,przestrzeni liniowej. Oznaczenie V /W .

1.2 Odwzorowanie π : V → V /W jest liniowe, jest epimorfizmem, ker(π) = W .

1.3 W lasno´s´c uniwersalna ilorazu: dla ka˙zdego przekszta lcenia liniowego φ : V → Z takiego, ˙ze φ|W = 0 istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ takie,˙ze φ = φ ◦ π:

V /W

W V

Z

// ∃!φ ι

**TT TT TT TT TT TT TT TT T

0

44jj jj jj jj jj jj jj j

0 tttt^πt::t J$$J JJ JJ J _∀φ

Innymi s lowy: wszystkie przekszta lcenia z V zeruja_,ce sie_, na W jednoznacznie faktoryzuja_, sie_, przez V /W . W lasno´s´c jednoznacznej faktoryzacji definiuje V /W z dok ladno´scia_,do izomorfizmu.

1.4 W lasno´s´c uniwersalna determinuje iloraz z dok ladno´scia_, do izomorfizmu. Je´sli odwzorowanie p : V → Q spe lnia warunek: p ◦ ι = 0 oraz dla ka˙zdego przekszta lcenia liniowego φ : V → Z takiego, ˙ze φ_|W = 0 istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie φ takie,˙ze φ = φ ◦ π:

Q

W V

Z

// ∃!φ ι

**TT TT TT TT TT TT TT TT T

0

44jj jj jj jj jj jj jj jj j

0 ttttt^pt::t J$$J JJ JJ J _∀φ

to Q ' V /W oraz ten izomorfizm jest zgodny z przekszta lceniami p : V → Q i π : V → V /W . 1.5 Gdy U, W ⊂ V , to

(U + W )/W ' U/(U ∩ W ).

1.6 Wniosek: Je´sli V = W ⊕ U to V /W ' U .

1.7 Wniosek: niech φ : V → Z be_,dzie przekszta lceniem liniowym, wtedy istnieje przekszta lcenie φ : V /ker(φ) → Z takie, ˙ze φ = φ ◦ π. Ponadto φ zadaje izomorfizm V /ker(φ) ' im(φ).

(2)

1.8 Je´sli V jest sko´nczonego wymiaru, to dim(V /W ) = dim(V ) − dim(W ). Kowymiar definiujemy jako

codimV(W ) = dim(V /W ).

Kowymiar mo˙ze by´c sko´nczony, nawet gdy dim V = ∞

1.9 ´Cwiczenie: Niech A ⊂ _R be_,dzie zbiorem domknie_,tym oraz niech C(A) oznacza zbi´or funkcji cia_,g lych na S. Wtedy C(A) ' C(_R)/I(A), gdzie I(A) = {f ∈ C(_R) | ∀x ∈ A , f (x) = 0}.

Endomorfizmy czyli operatory liniowe [Kos roz 2], [Tor VI]

1.10 End(V), czyli algebra operator´ow liniowych. Algebra macierzy Mn×n(K).

1.11 Wektory w lasne, warto´sci w lasne, przestrze´n w lasne Vλ = {α ∈ V | φ(α) = λφ}.

1.12 Przyk lad M (φ) =





1 2 2 2 1 2 2 2 1



, warto´sci w lasne λ = −1 i λ = 5, wektory w lasne dla λ = −1:

(−1, 1, 0), (−1, 0, 1), dla λ = 5: (1, 1, 1).

1.13 Metoda szukania wartoci wasnych i wektorw wasnych:

1. rozwia_,zujemy r´ownanie charakterystyczne det(M (φ) − λ I) = 0 2. rozia_,zujemy uk lad liniowy jednorodny (φ − λId)(v) = 0.

2 Warto´ ci w lasne i przestrzenie w lasne, posta´ c g´ ornotr´ ojka

_,

tna

2.1 Przyk lad: jakie sa_,wektory w lasne przekszta lcenia D : C^∞(R) → C^∞(R), D(f ) = f⁰? 2.2 Przyk lad: jakie sa_,wektory w lasne przekszta lcenia D : C^∞(S¹) → C^∞(S¹), D²(f ) = f⁰⁰? 2.3 Przyk lad φ(x, y) = (y, x + y): wyprowadzenie wzoru na liczby Fibonacciego.

2.4 ´Cwiczenie z analizy: Niech V = C^∞(_R), a) φ(f ) = (t²− 1)f⁰(t)0

. Sprawdzi´c, ˙ze wielomian Legendra P_n = ₂n¹n!

dⁿ

dtⁿ (t²− 1)ⁿ jest wektorem w lasnym z warto´scia_,w lasna_,n(n + 1).

b) φ(f ) = t f⁰− (1 − t²)f⁰⁰. Sprawdzi´c, ˙ze wielomian Czebyszewa T_njest wektorem w lasnym z warto´scia_, w lasna_,n². (Wielomian Czebyszewa spe lnia cos(nx) = T_n(cos(x)).)

2.5 Wielomian charakterystyczny W_φ(t) = det(M (φ − t Id)). (Nie zale˙zy od wyboru bazy.) 2.6 Gdy dim(V ) = 2, to

Wφ(t) = t²− 2 tr(M (φ)t + det(M (φ)) , gdzie dla macierzy A = {a_ij}_1≤i,j≤n ´slad tr(A) =Pn

i=1a_ii. Og´olniej,

Wφ(t) = (−1)ⁿtⁿ+ (1)ⁿ⁻¹tr(M (φ))tⁿ⁻¹+ . . .??? · · · + det(M (φ)) . 2.7 ´Cwiczenie: Dla dowolnych macierzy kwadratowych A, B mamy tr(AB) = tr(BA).

(3)

2.8 Je´sli wektory α_idla i = 1, . . . , k sa_,w lasne dla r´o˙znych warto´sci w lasnych, to sa_,liniowo niezale˙zne.

2.9 W szczególno´sci, je´sli Wφ(t) rozk lada sie_, na ró˙zne czynniki liniowe, to isnieje baza z lo˙zona z wektorów w lasnych. W tej bazie M (φ) jest diagonalna.

2.10 M´owimy, ˙ze endomorphizm φ ∈ End(V ) jest diagonalizowalny, je´sli w pewnej bazie V macierz φ jest diagonalna.

2.11 Kryterium diagonalizowalno´sci: φ jest diagoanalizowalny wtedy i tylko wtedy gdy:

1) Wφ(t) rozk lada sie_,na czynniki linowe w K 2) krotno´s´c λ w Wφ jest r´owna dim(Vλ)

2.12 Przyk lad φ(x, y) = (x + y, y), tu dim V₁ = 1 < krotno´s´c λ = 1 w W_φ(t) = (t − 1)². 2.13 Przyk lad φ(x, y) = (cos(t)x + sin(t)y, − sin(t)x + cos(t)y

2.14 Podprzestrzenie niezmiennicze. Je´sli istnieje podprzestrze´n niezmiennicza wymiaru k, to w pewnej bazie φ ma macierz blokowa_,g˙znotr´ojka_,tna_,.

2.15 Je´sli istnieje cia_,g podprzestrzeni niezmienniczych

0 = V⁰ ⊂ V¹ ⊂ V² ⊂ · · · ⊂ Vⁿ= V dim(V_k) = k,to w pewnej bazie φ ma macierz g˙znotr´ojka_,tna_,

2.16 Je´sli cia lo jest algebraicznie domknie_,te, to istnieje conajmniej jedna warto´s´c w lasna i wektor w lasny.

2.17 Niech φ be_,dzie endomorfizmem zdefiniowanym nad cia lem_K. Je´sli wielomian charakterystyczny ma pierwiastki w ciele_K, istnieje cia_,g podprzestrzeni liniowych niezmienniczych

0 = V⁰ ⊂ V¹ ⊂ V² ⊂ · · · ⊂ Vⁿ= V takich, ˙ze dim Vⁱ= i. (Zatem M (φ) jest g´ornotr´ojka_,tna w pewnej bazie.)

Dow´od indukcyjny korzystaja_,cy z naste_,puja_,cy oczywisty lemat: niech φ ∈ End(V ), ψ ∈ End(Z), f : V → Z, f φ = ψf . Je´sli W ⊂ Z jest ψ-niezmiennicza_, podprzestrzenia_,, to f⁻¹(W ) ⊂ V jest φ-niezmiennicza. Stosujemy lemat do ψ = ¯φ ∈ End(V /lin{v}), f = π : V → V /lin{v}, gdzie v jest dowolnym wektorem w lasnym.

Uwaga: Zwykle powy˙zsze twierdzenie dowodzi sie_, przy za lo˙zeniu, ˙ze cia lo jest algebraicznie domknie_,te. Aby wykaza´c twierdzenie jedynie przy za lo˙zeniu, ˙ze Wφ rozk lada sie_,, rozumowanie jest takie: Najpierw zak ladamy,

˙ze cia lo K jest zanurzone w ciele algebraicznie domknie,tym L. Konstrukcje przeprowadzamy dla przestrzeni wektorowych nad L. Wtedy nie ma przeszkód by sprowadzić φ do postaci górnotrójka_,tnej (zupelnie nas nie obchodzi jaki jest wielomian charakterystyczny ¯φ ∈ End(V /lin{v})). Jak ju˙z mamy postać górnotra_,jka_,tna_,, to widzimy, ˙ze wielomian charakterystyczny jest iloczynem λ_i− t, gdzie λ_i sa_, wzie_,te z przeka_,tnej. Wie_,c W_φ = (λ₁− t)Wφ¯. Wnioskujemy, ˙ze Wφ¯rozk lada sie_,w wyjsciowym ciele K.

Latwo te˙z udowodni´c formu le_, Wφ = (λ1− t)Wφ¯. Bez uciekania sie_,do algebraicznego domknie_,cia, tylko trzeba zobaczy´c jaki jest zwia_,zek macierzy M (φ) z M ( ¯φ) w odpowiedniej bazie.

2.18 Twierdzenie Cayleya-Hamiltona: W_φ(φ) = 0. W dowodzie korzystamy z tego, ˙ze ka˙zde cia lo jest zawarte w ciele algebraicznie domknie_,tym.

(4)

3 Przestzrenie pierwiastkowe

3.1 Wymiar przestrzeni w lasnej V_λ jest miejszy ba_,d´z r´owny krotno´sci λ w W_φ.

3.2 Przestrzeń pierwiastkowa: V_(λ) = {v ∈ V | ∃n ∈N: (φ − λ Id)ⁿ(v) = 0}. (Inna nazwa: uogólniona przestrzeń w lasna.)

3.3 Oznaczenie: zb´or warto´sci w lasnych endomorfizmu φ nazywamy spektrum i oznaczamy spec(φ).

3.4 Twierdzeinie o rozk ladzie na przestrzenie pierwiastkowe. Je´sli dim(V ) < ∞ i W_φ(t) rozk lada sie_, na czynniki liniowe w_K(np. _Kjest algebraicznie domknie_,te), to

V = M

λ∈Spec(φ)

V_(λ).

3.5 Lemat o wielomianach: dane wielomiany g1, . . . , gm ∈_K[x]. Istnieja_,wielomiany h1, . . . , hm ∈_K[x]

takie, ˙ze P g_ihi = N W D(g1, . . . , gm). (Dow´od indukcyjny ze wzgle_,du na m. Dla m = 2 algoryrm Euklidesa.)

3.6 Dow´od 3.4 z lematu o wielomianach, jak w [Kos roz II §4.3].

3.7 Za ló˙zmy, ˙ze φ : V → V spe lnia pewna_, to˙zsamo´sć wielomianowa_, f (φ) = 0 (gdy dim(V ) < ∞ to np. f = W_φ). Wielomian minimalny µ_φ jest wielomianem o najmniejszym stopniu spe lniaja_,cym µ_φ(φ) = 0. Ka˙zdy inny wielomian maja_,cy te_,w lasno´sć jest podzielny przez µ_φ. Naogó l µ_φ6= W_φ, choć w µ_φ musi wysta_,pić ka˙zdy czynnik liniowy z W_φ.

3.8 Rozk lad V =L

λ∈Spec(φ)V_(λ) mo˙zna udowodni´c tak˙ze gdy dim V = ∞ oraz φ spe lnia to˙zsamo´s´c wielomianowa_,i wielomian minimalny µ_φ rozk lada sie_,na czynniki liniowe.

3.9 Def: ψ ∈ End(V ) jest nilpotentny je´sli ψⁿ= 0 dla pewnego n. Je´sli przestrzeń jest skończonego wymiaru, to ten warunek jest równowa˙zny: V = V₍₀₎.

3.10 Def: V jest cykliczna (ze wzgle_,du na ψ), je´sli istnieje wektor α ∈ V , taki, ˙ze V jest rozpie_,ta przez {ψⁱ(α) | i ≥ 0}. M´owimy, ˙ze α generuje V .

3.11 Za l´o˙zmy, ˙ze ψ nilpotentny, V cykliczna, generowana przez α. Niech m najwie_,sze, takie, ˙ze ψ^m(α) 6= 0. Wtedy wektory

ψ^m(α), ψ^m−1(α), . . . , ψ(α), α

sa_, liniowo niezale˙zne (wie_,c sa_, baza_, V ). Macierz ψ tej w bazie jest postaci Jordana z jedna_, klatka_, o warto´sci w lasnej λ = 0







0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0

... 0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 0







Podsumowanie: Pokazali´smy, ˙ze V rozk lada sie_, na przestrzenie pierwiastkowe. Na V (λ) przekszta lcenie ψ = φ − λId jest nilpotentne. W naste_,pnym kroku udowodnimy,˙ze V (λ) rozk lada sie_,na sume_, prosta_,przestrzeni cyklicznych. Sta_,d wynika:

(5)

Twierdzenie o postaci kanonicznej Jordana Dla ka˙zdego endomorfizmu przestrzeni sko´nczonego wymiaru nad cia lem algebraicznie domknie_,tym istnieje baza, w kt´orej macierz przekszta lcenia jest klatkowo-diagonalna







J1 0 0 . . . 0 0

0 J2 0 . . . 0 0

...

0 0 0 . . . J_k−1 0

0 0 0 . . . 0 J_k





 z klatkami postaci

J_` =







λ 1 0 . . . 0 0 0 λ 1 . . . 0 0

... 0 0 0 . . . λ 1 0 0 0 . . . 0 λ





 [Kos roz II §4.2]

4 Tw Jordana efektywnie

4.1 Lemat: Za l´o˙zmy, ˙ze ψ nilpotentny na V oraz W 6= V podprzestrze´n cykliczna maksymalnego wymiaru. Wtedy istnieje wektor w lasny β ∈ V \ W .

4.2 Lemat: Za l´o˙zmy, ˙ze ψ nilpotentny na V oraz W podprzestrze´n cykliczna maksymalnego wymiaru.

Wtedy istnieje niezmiennicze dope lnienie do sumy prostej V = W ⊕ U . Dow. Indukcja po dim(V ): dzielimy przez lin(β).

4.3 ´Cwiczenie

µ_φ= Y

λ∈Spec(φ)

(x − λ)^r(λ),

gdzie r(λ) jest rozmiarem maksymalnej klatki Jordana z warto´scia_,w lasna_,λ.

4.4 Przyk lad: M (φ) =







2 1 1 1

−1 0 1 0

0 0 2 2

0 0 1 3







. Jedna klatka dla warto´sci w lasnej 4 rozmiaru 1 i jedna

dla warto´sci w lasnej 1 rozmiaru 3.

Efektywne znajdowanie bazy Jordana i jednoznaczno´sci rozk ladu 4.5 Szukanie bazy Jordana: dla λ ∈ Spec(φ). Rozwa˙zamy cia_,g podprzestrzeni

V = im(ψ⁰) ⊃ im(ψ¹) ⊃ im(ψ²) ⊃ · · · ⊃ im(ψ^r(λ)−1) ⊃ im(ψ^p) = im(ψ^p+1) = im(ψ^p+2) = . . . Wnioskujemy, ˙ze p = r(λ) jest rozmiarem najwie_,kszej klatki,

im(ψ^p) =M

µ6=λ

V_(µ), ker(ψ^p) = V_(λ), V = im(ψ^p) ⊕ ker(ψ^p).

Konstruujemy ,, la´ncuszki”

α⁽ⁱ⁾₁ 7→ α⁽ⁱ⁾₂ 7→ . . . 7→ α⁽ⁱ⁾_p−17→ α⁽ⁱ⁾_p 7→ 0

(6)

biora_,c za α⁽ⁱ⁾p baze_,ker(ψ) ∩ im(ψ^p−1). Dobieramy wektory α⁽ⁱ⁾_p−j ∈ ker(ψ^j) ∩ im(ψ^p−j) biora_,c przeci- wobrazy α⁽ⁱ⁾_p−j+1. Je´sli na kt´orym´s etapie uk lad wektor´ow {α⁽ⁱ⁾_p−j} nie rozpina im(ψ^p−j) ∩ ker(ψ^j) to uzupe lniamy go do bazy tej przestrzeni.

4.6 Inna metoda znajdowana bazy Jordana: badamy cia_,g

0 = ker(ψ⁰) ⊂ ker(ψ¹) ⊂ ker(ψ⁰) ⊂ · · · ⊂ ker(ψ^p) = ker(ψ^p+1).

Je´sli wiemy, ˙ze w postaci Jordana jest d = d(p, λ) klatek rozmiaru p, to wybieramy d wektorów liniowo niezale˙znych w α₁⁽ⁱ⁾ ∈ ker(ψ^p) je´sli ten wybór jest dostatecznie przypadowy, to uk lad wektorów α⁽ⁱ⁾_j = ψ^j−1(α⁽ⁱ⁾₁ ) (i = 1, . . . d, j = 1, . . . p) be_,dzie liniowo niezale˙zny. Uk lad ten nale˙zy dope lniać indukcyjnie do uk ladu liniowo niezale˙znego wybieraja_,c wektory z ker(ψ^k) dla k = p − 1, p − 2, . . . , 1.

5 Jednoznaczno´ s´ c postaci Jordana

5.1 Ilo´sć i typ klatek Jordana nie zale˙zy od wyboru bazy Jordana. Ilo´sć klatek k-wymiarowych z warto´scia_,w lasna_,λ jest równa d(k, λ). Niech ψ = φ − λId. Mamy

X

`≥k

d(`, λ) = dim(ker(ψ^k) − dim(ker(ψ^k−1).

Sta_,d

d(k, λ) = 2 dim(ker(ψ^k) − dim(ker(ψ^k−1) − dim(ker(ψ^k+1) = r(ψ^k+1) + r(ψ^k−1) − 2r(ψ^k).

5.2 M´owimy, ˙ze φ ∈ End(V ) jest diagonalizowalny, je´sli w pewnej bazie M (φ) jest diagonalna.

5.3 Endomorfizm φ jest p´o lprosty, je´sli dla ka˙zdej niezmienniczej przestrzeni U ⊂ V istnieje niezmiennicze dope lnienie W ⊂ V do sumy prostej.

5.4 Nad cia lem algebraicnie domknie_,tym φ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest p´o lprosty. ( ´Cw.)

5.5 Dla endomorfizmu diagonalizowalnego je´sli (φ − λ Id)^m(α) = 0 to (φ − λ Id)(α) = 0 . 5.6 Endomorfizm diagonalizowalny φ ma w lasno´s´c: ker(φ) = ker(φⁿ) dla ka˙zdego n ≥ 1.

5.7 Ćwiczenie: sprawdzić powy˙zsza_,w lasno´sć dla pó lprostego φ ∈ End(V ).

5.8 (Addytywny rozk lad Jordana-Chevalleya.) Je´sli φ zapisa´c jako φ = φ_d + φn, gdzie φ_d jest p´o lprosty, a φnjest nilpotentny oraz φnφ_d= φ_dφnto sk ladniki sa_,wyznaczone jednoznacznie.

5.9 Lemat: ker(φd− λ Id) = V_(λ). (Zatem φd na V_(λ) musi by´c mno˙zeniem przez skalar λ.) Dow. Niech N be_,dzie takie, ˙ze φ^N_n = 0 oraz V_(λ) = ker((φ − λ Id)^N).

Z przemienno´sci (φ_d− λ Id) i φ_n mamy (φ − λ Id)^N =PN

k=0 N

kφ^k_n(φ_d− λ Id)^{N −k}. Sta_,d dla v ∈ ker(φ_d− λ Id) mamy

(φ − λ Id)^N(v) = φ^N_n(v) +PN k=1

N

kφ^k_n(φ_d− λ Id)^{N −k}(v) = 0 + 0 = 0

(7)

Czyli V_(λ)= ker((φ − λ Id)^N) ⊂ ker(φ_d− λ Id).

Z drugiej strony φ_d− λ Id = (φ − λ Id) − φ_n, wie_,c (φ_d− λ Id)^2N(v) =P2N

k=0(−1)^{k 2N}_kφ^k_n(φ − λ Id)^{2N −k}(v) =

=PN −1

k=0(−1)^{k 2N}_kφ^k_n(φ − λ Id)^{2N −k}(v) +P2N

k=N(−1)^{k 2N}_kφ^k_n(φ − λ Id)^{2N −k}(v) Ale φ^k_n= 0 dla k ≥ N , wie_,c powy˙zsza suma jest r´owna

=PN −1

k=0(−1)^{k 2N}_kφ^k_n(φ − λ Id)^{2N −k}(v).

Dla v ∈ ker((φ − λ Id)^N), k < N mamy (φ_d− λ Id)^{2N −k}(v) = 0. Sta_,d dla v ∈ ker((φ − λ Id)^N) = V_(λ) (φ_d− λ Id)^2N(v) = 0

Zatem

ker((φ_d− λ Id)^2N) ⊂ ker((φ − λ Id)^N) = V_(λ). Ale skoro φ_d jest diagonalizowalny, to

ker((φ_d− λ Id) = ker(φ_d− λ Id)^2N) ⊂ V_(λ).

5.10 Z powy˙zszego lematu wynika jednoznaczno´s´c, bo dostali´smy, ˙ze (φ_d)_|V_(λ) = λ Id. Korzystamy z rozk ladu V =L

λ∈Spec(φ)V_(λ).

5.11 Jak znale´z´c φd nie szukaja_,c bazy Jordana?

Twierdzenie: istnieje wielomian p ∈K[t] taki,˙ze φd= p(φ).

5.12 Twierdzenie Chi´nskie o resztach. Niech R =_K[t] lub_Z. Niech f₁, f₂, . . . , f_m∈ R be_,da_,elementami parami wzgle_,dnie pierwszymi, oraz niech r₁, r₂, . . . r_m ∈ R dowolnymi elementami. Wtedy istnieje p ∈ R taki ˙ze dla k = 1, 2, . . . , m mamy p ≡ r_k mod f_k.

Dow´od dla R =K[t]. Oznaczmy przez K[t]/(f ) zbi´or reszt z dzielenia przez f . Oczywi´scieK[t]/(f ) ' K[t]_{<deg f} '_K^{deg f}. Niech f = f₁f₂. . . f_m oraz

θ :K[t]/(f ) →K[t]/(f1) ×K[t]/(f2) × · · · ×K[t]/(fm) be_,dzie zadane wzorem

p 7→ (p mod f₁, p mod f₂, . . . , p mod f_m)

Sprawdzamy, ˙ze θ jest monomorfizmem. Poniewa˙z dziedzina i przeciwdziedzina maja_, r´owne wymiary, wie_,c θ jest epimorfizmem.

5.13 Konstrukcja p spe lniaja_,cego p(φ) = φ_d: Niech µ_φ=Q_m

k=1(λ_k− t)ⁿ^k be_,dzie wielomianem mini- malnym (mo˙zna te˙z wzia_,´c wielomian charakterystyczny). Niech f_k = (λ_k− t)ⁿ^k, r_k = λ_k. Znajdujemy p z tw.chi´nskiego o resztach. Dla ka˙zdego k

p = g_k(t)(λ_k− t)ⁿ^k+ λ_k

W obcie_,ciu do V_(λ_k₎ przekszta lcenie p(φ) jest mno˙zeniem przez λk. Zatem p(phi) = φd.

5.14 Przyk lad: je´sli µ_φ= (a − t)²(b − t)² to p(t) = _(a−b)¹ 2(−2t³+ 3(a + b)t²− 6abt + ab(a + b)).

5.15 Wniosek: je´sli W jest φ-niezmennicza, to jest φ_d-niezmiennicza i φ_n-niezmiennicza.

5.16 Zbi´or endomorfizm´ow odwracalnych GL(V ) ⊂ End(V ) jest grupa_,. Oznaczamy GL_n(_K) :=

GL(_Kⁿ) = zbi´or macierzy n × n odwracalnych.

(8)

5.17 Ka˙zdy niepusty zbi´or G ⊂ GL(V ) zamknie_,ty ze wzgle_,du na sk ladanie i branie odwrotno´sci jest podgrupa_,.

5.18 Przyk lady podgrup:

– SLn(K) = {A ∈ GLn(K) | det(A) = 1}

– On(K) = {A ∈ GLn(K) | AA^T = 1}

– SOn(K) = On(K) ∩ SLn(K)

– macierze g´ornotr´ojka_,tne odwracalne

5.19 (Multiplikatywny rozk lad Jordana-Chevalleya.) Mówimy, ˙ze ψ jest unipotentny je´sli ψ − Id jest nilpotentny (czyli ψ jest postaci Id+nilpotentny). Za ló˙zmy, ˙ze φ jest odwracalny. Mo˙zna φ przedstawić jako z lo˙zenie φ = φ_dφ_u, gdzie φ_d jest diagonalizowalny, a φ_u jest unipotentny oraz φ_uφ_d = φ_dφ_u. Czynniki sa_,wyznaczone jednoznacznie.

Dow: φ = φ_d+ φ_n= φ_d(Id + φ⁻¹_d φ_n).

5.20 ´Cwiczenie: sparwadzi´c, ˙ze dla wy˙zej wymienionych podgrup je´sli φ ∈ G, to φ_d∈ G.