GAL II*, 27 luty 2018r.
Przestrzenie ilorazowe, własność uniwersalna
Zadanie 1. Niech P będzie przestrzenią funkcji wielomianowych zR do R. Określamy W ={p ∈ P : p(0) = p(1)}, V = {p ∈ P : p(0) = p(1) = 0}.
Jaki jest wymiar przestrzeni P/W oraz P/V ?
Zadanie 2. Niech A⊂ R będzie zbiorem domkniętym oraz niech C(X) oznacza zbiór funkcji ciągłych na zbiorze X ⊆ R. Wtedy C(A) ≃ C(R)/I(A), gdzie I(A) = {f ∈ C(R) | ∀x∈Af (x) = 0}.
Zadanie 3. Rozważamy przestrzenie liniowe nadQ. Udowodnić, że:
(a) Jeśli U ={(a, b) ∈ R2: a + b∈ Q}, to R2/U≃ R/Q.
(b) Jeśli W ={(a, b, c) ∈ R3: a +Q = b + Q = c + Q, to R3/W ≃ (R/Q)2. (c) Jeśli X ={(a, 0, 0) ∈ R3: a∈ Q}, to W/X ≃ Q2.
Zadanie 4. Niech W ⊆ V , oraz Q, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem F oraz niech πQ : V → Q będzie takim przekształceniem liniowym o własności W ⊆ ker(πQ), że dla każdego prze- kształcenia liniowego T : V → U o własności W ⊆ ker(T ) istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe TQ: Q→ U takie, że T = TQ◦ πQ. Pokazać, że Q≃ V/W .
Zadanie 5. Niech V będzie przestrzenią liniową, oraz niech W ⊆ V oraz U ⊆ W . Pokazać, że W/U utoż- samiać można z podprzestrzenią przestrzeni V /U oraz wskazać izomorfizm przestrzeni W/UV /U oraz V /W ,
Zadanie 6. Niech V będzie przestrzenią liniową oraz W jej podprzestrzenią. Pokazać, że ma miejsce bijekcja pomiędzy podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V /W oraz takimi podprzestrzeniami U prze- strzeni V , że W ⊆ U ⊆ V . Pokazać, że można dobrać taką bijekcję, która zachowuje sumy i przecięcia podprzestrzeni.
Zadania kategoryjne:
http://duch.mimuw.edu.pl/~aweber/zadania/gal2017gw/gal2017cw.pdf http://cheng.staff.shef.ac.uk/autumn07/section02.pdf
