1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
1. Wykaza´c, ˙ze iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cialem K ma nastepuj ace wlasno´sci:
(i)x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = ¯λ x, y,
(iii) x, θ = θ, x = 0
dla wszystkich x, y ∈ X, λ ∈ K.
2. Poda´c posta´c nier´owno´sci Schwarza w konkretnych przestrzeniach unitarnych (np. w prze- strzeniach omawianych na ´cwiczeniach).
3. Sprawdzi´c, ˙ze w przykladach z ´cwicze´n iloczyn skalarny ·, · jest zgodny z norma ·, je´sli
x =
x, x.
4. Wykaza´c, ˙ze iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest odwzorowaniem ciaglym, tzn. je´sli xn→ x i yn → y, to xn, yn → x, y .
5. Wykaza´c prawdziwo´s´c to˙zsamo´sci r´ownolegloboku i to˙zsamo´sci polaryzacyjnych.
6. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni C ([0, 1]) z norma supremum nie jest spelniona to˙zsamo´s´ c r´ownolegloboku, wiec nie jest to przestrz´ n unitarna.
7. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeniach l1 i L1(0, 1) nie jest spelniona to˙zsamo´s´c r´ownolegloboku, wiec nie s a to przestrzenie unitarne.
8. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni unitarnej X dla wektor´ow x1, x2, . . . , xn parami ortogonalnych, zachodzi
x1+ x2 + . . . + xn2 =x12+x22+ . . . +xn2.
9. Wykaza´c, ˙ze w nier´owno´sci Schwarza zachodzi r´owno´s´c wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y sa liniowo zale˙zne.
10. W przestrzeni unitarnej L2(0, 1) obliczy´c iloczyn skalarny funkcji f (t) = e2ti g(t) = e−t+ 1.
11. W przestrzeni unitarnej L2(0, π) obliczy´c odleglo´s´c pomiedzy funkcjami f (t) = 2sint i g(t) = sintcost.
12. W przestrzeni unitarnej L2(0, 1) obliczy´c dlugo´sci bok´ow tr´ojkata o wierzcholkach w punk- tach f, g, h, gdzie f (t)≡ 1, g(t) = t, h(t) = t2.
13. Dla macierzy A, B ∈ M(n × n,R) niech A, B = tr(ABT), gdzie BT jest macierza trans- wersalna do B, a trC oznacza ´slad macierzy C. Wykaza´ c, ˙ze powy˙zszy wz´or okre´sla iloczyn skalarny w przestrzeni M (n× n,R).
14. W przestrzeni unitarnej kat mi edzy wektorami okre´slamy jako ∠(x, y) taki, ˙ze cos∠ (x, y) = x, y
x y.
Obliczy´c katy w tr´ ojkacie o wierzcholkach x 1(t) ≡ 0, x2(t) ≡ 1, x3(t) = t w przestrzeni L2(−1, 1) .
15. Pokaza´c, ˙ze je´sli x, y =1
0 x(t)y(t) dt, to przestrz´n C ([0, 1]) jest przestrzenia unitarn a, ale nie jest przestrzenia Hilberta.
(Wsk. Rozwa˙zy´c ciag
xn(t) =
n−14, dla 0≤ t ≤ n1, t−14, dla n1 < t≤ 1, aby wykaza´c, ˙ze nie jest zupelna.)
16. Wyprowadzi´c posta´c funkcjonalu liniowego ograniczonego w konkretnych przestrzeniach Hilberta: lp, Lp(Ω, µ) dla 1 < p <∞ (ewentualnie dla L1(Ω, µ)).
17. Niech H bedzie przestrzeni a Hilberta i H = M ⊕ N, gdzie M⊥ = N i N⊥ = M. Niech PM : H → M, PN : H → N bed a odpowiednimi rzutami ortogonalnymi. Sprawdzi´ c, ˙ze ker PM = N i ker PN = M.
18. Niech X = c0, M =
(xk)∞k=1 ∈ c0; ∞
k=1 xk
2k = 0 .
(i) Sprawdzi´c, ˙ze M jest podprzestrzenia liniow a domkni et a przestrzeni X. (ii) Wykaza´c, ˙ze je´sli x∈ X \ M, to ||x − y|| > d(x, M) dla ka˙zdego y ∈ M.
(Wsk. Wykaza´c, ˙ze d(x, M ) =∞k=1xk
2k.)
19. Pokaza´c, ˙ze M jest podprzestrzenia liniow a domkni et a oraz znale´ z´c M⊥ i rozklad, je´sli:
(i) M =
x∈ L2R(0, 1) : 1
0 x(t) dt = 0
,
(ii) M =
x∈ L2(−1, 1) : 1
−1x(t) dt = 0 =1
−1tx(t) dt
,
(iii) M ={x ∈ L2(−1, 1) : x(t) = x(−t) prawie wszedzie na ( −1, 1)} .
20. Wykaza´c, ˙ze wektory jednostkowe ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), i ∈ {1, . . . , n} tworza uklad ortonormalny w przestrzeni unitarnej l2n.
21. Wykaza´c, ˙ze wektory jednostkowe ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), i ∈ N tworza uklad ortonor- malny w przestrzeni unitarnej l2.
22. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni unitarnej L2(0, 2π) funkcje
1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . . , cosnt, sinnt, . . . tworza uklad ortogonalny, a funkcje
√1
2π, cost
√π, sint
√π, . . . ,cosnt
√π , sinnt
√π , . . .
uklad ortonormalny.
23. Wykaza´c, ˙ze w zespolonej przestrzeni unitarnej L2(0, 2π) funkcje eint, n = 0,±1, ±2, . . .
tworza uklad ortogonalny, a funkcje
√1
2πeint, n = 0,±1, ±2, . . . uklad ortonormalny.
24. W przestrzeni L2(−1, 1) zortogonalizowa´c i zortonormalizowa´c uklad funkcji 1, ex, e−x, . . . .
25. Udowodni´c, ˙ze wielomiany Legendre’a Pn(x) = 1
2nn! ·dn((x2 − 1)n)
dxn , n = 0, 1, 2, . . . tworza uklad ortogonalny w przestrzeni L 2(−1, 1) oraz, ˙ze
Pn2 = 2
2n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
26. Wykaza´c, ˙ze wzory
Tn(x) =
x +√
x2− 1 n +
x−√
x2− 1 n
2n ,
Tn(x) = 21−ncos (n arccos x)
okre´slaja te same ci agi wielomian´ ow stopnia n zmiennej x.
27. Sprawdzi´c, ˙ze 1
−1
Tm(x)Tn(x) 1
√1− x2dx = 0, n = m
oraz, ˙ze 1
−1
[Tn(x)]2 1
√1− x2 dx = π
22n−1, n = 0, 1, 2, . . . , gdzie Tm(x) jest okre´slone w zadaniu powy˙zej.
28. Wykaza´c, ˙ze uklad Rademachera (rn)∞n=0 jest ortonormalny w przestrzeni L2(0, 1).
29. Niech {xj} , j = 1, 2, . . . , n bedzie sko´ nczonym ciagiem liniowo niezale˙znych wektor´ ow w przestrzeni unitarnej X. Niech
yk+1 =
x1, x1 . . . x1, xk x1 . . . . . . . . . . . .
xk, x1 . . . xk, xk xk
xk+1, x1 . . . xk+1, xk xk+1
G(x1, x2, . . . , xk) ,
gdzie k = 1, 2, . . . , n− 1, a wyra˙zenie w liczniku nale˙zy traktowa´c jako wyznacznik rozlo˙zony wzgledem element´ ow ostatniej kolumny, otrzymujac kombinacj e liniow a wektor´ ow x1, . . . , xk+1, i G(x1, . . . , xk) oznacza wyznacznik Gramma wektor´ow x1, . . . , xk.
Wykaza´c, ˙ze
(i) G(y1, . . . , yk) = G(x1, . . . , xk) dla ka˙zdego k = 1, . . . , n, (ii) yk+1 =
G(x1,... ,xk,xk+1)
G(x1,... ,xk) = d (xk+1, Mk) dla ka˙zdego k = 1, . . . , n− 1, (iii) uklad{yk}nk=1 jest ortogonalny.
30. Wykaza´c, ˙ze uklad wielomian´ow Hermite’a Hn(t) = (−1)net2 dn
dtn
e−t2
, n = 1, 2, . . .
jest ortogonalny z waga p(t) = e −t2 w przedziale I = (−∞, ∞) w przestrzeni L2(I).
31. Poda´c przyklady baz ortogonalnych w przestrzeniach ln2, l2, L2(0, 2π), odpowiednio.
32. Niech (ek)∞k=1 bedzie ukladem ortonormalnym zupelnym w niesko´ nczenie wymiarowej prze- strzeni Hilberta X. Przyjmijmy
Ax =
∞ k=1
(x, ek)ek+1.
Sprawdzi´c, ˙ze A jest dobrze okre´slonym operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni X.
33. Niech (ek)∞k=1 bedzie ukladem ortonormalnym zupelnym w niesko´ nczenie wymiarowej prze- strzeni Hilberta X. Przyjmijmy
Ax =
∞ k=1
(x, ek+1)ek.
Sprawdzi´c, ˙ze A jest dobrze okre´slonym operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni X.
34. Niech H bedzie przestrzeni a Hilberta, (e n)n∈N ukladem ortonormalnym zupelnym w H, a (λn)n∈N - ciagiem liczbowym ograniczonym. Sprawdzi´ c, ˙ze wz´or
Ax =
n∈N
λn(x, en)en
definiuje operator liniowy ograniczony i A = supn∈N|λn|.
35. Pokaza´c, ˙ze uklad
e0(t) = 1
√π, en(t) =
2
πcosnt, n = 1, 2, . . . jest ortonormalny zupelny w przestrzeni L2(0, π).
36. Pokaza´c, ˙ze uklad
en(t) =
2
πsinnt, n = 1, 2, . . . jest ortonormalny zupelny w przestrzeni L2(0, π).
37. Wypisa´c nier´owno´s´c Bessela dla ukladu trygonometrycznego w przestrzeni L2(−π, π).
38. Zbada´c, kt´ore z podanych uklad´ow tworza baz e ortogonaln a w l 2, a kt´ore nie:
(i) (1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, . . . ), . . . ,
(ii) (1,−1, 0, 0, . . . ), (1, 1, 0, 0, . . . ), (0, 0, 1, −1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 1, 0, 0, . . .) . . . . 39. Rozwa˙zy´c odwzorowanie T : ln2 → X okre´slone wzorem:
T
n
k=1
αkek
=
n k=1
αkxk,
gdzie α1, . . . , αn ∈ K, {ek}nk=1 jest ukladem ortonormalnym zlo˙zonym z wektor´ow jednostko- wych w l2n, a{xk}nk=1 jest ukladem ortonormalnym, kt´ory jest baza algebraiczn a w X. Wykaza´ c,
˙ze T jest izomorfizmem liniowym.
40. Wykaza´c zupelno´s´c nastepuj acych uklad´ ow:
(i){sinnx}∞n=1 w przestrzeni L2(0, π),
(ii) {sin(2n − 1)x}∞n=1 w przestrzeni L2(0,π2),
(iii) {1, t3, t6, . . .} w przestrzeni L2(0, 1), (iv) {1, t2, t4, t6. . .} w przestrzeni L2(0, 1).
Czy ostatni z tych uklad´ow jest zupelny w L2(−1, 1)?
41. Wykaza´c, ˙ze je´sli szereg trygonometryczny funkcji f ma posta´c:
a0 2 +
∞ n=1
(ancosnx + bnsinnx) ,
gdzie
an = 1 π
π
−π
f (x)cosnx dx n = 0, 1, 2, . . . ,
bn= 1 π
π
−π
f (x)sinnx dx n = 1, 2, . . . ,
to
c0 = 1
2a0, cm = 1
2(am− ibm) , c−m = 1
2(am+ ibm) , gdzie m = 1, 2, . . . i c0, cm, c−m sa wyra˙zone wzorami Eulera-Fouriera.
42. Poda´c posta´c to˙zsamo´sci Parsevala w przypadku rzeczywistym i zespolonym dla funkcji f ∈ L2(π, π) i jej szeregu Fouriera okre´slonego wzgledem trygonometrycznego ukladu ortonor- malnego.
43. Wyznaczy´c wsp´olczynniki Fouriera i zada´c zbie˙zno´s´c szeregu Fouriera dla funkcji okre´slonych w przedziale <−π, π) wzorami:
(i) f (t) = t, (ii) f (t) = |t|, (iii) f (t) = sgnt, (iv) f (t) = et.
44. Poda´c posta´c to˙zsamo´sci Parsevala dla trzech pierwszych funkcji z poprzedniego zada- nia w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Wykona´c bezpo´sredni rachunek.
45. W przestrzeni L2(−π, π) obliczy´c wsp´olczynniki Fouriera i rozwina´c w szereg trygono- metryczny funkcje f (t) = t(π − t) okre´slona na przedziale < 0, π > . Rozwa˙zy´ c dwa przypadki:
(i) przedlu˙zenie parzyste funkcji, (ii) przedlu˙zenie nieparzyste funkcji.
Zbada´c zbie˙zno´s´c otrzymanego szeregu.
46. Wykaza´c, ˙ze je´sli funkcja f : R → R jest nieparzysta i 2π-okresowa, to jej szereg Fo- uriera zale˙zy tylko of funkcji sinus, a je´sli jest parzysta, to od funkcji cosinus.
47. Niech g : R → R bedzie 2π-okresowa i g(x) = π−x
2
2
dla x ∈< 0, 2π). Znale´z´c jej szreg Fouriera i zbada´c jego zbie˙zno´s´c.
48. Niech f : R → R dana bedzie wzorem f (x) = sin3x. Znale´ z´c jej szereg Fouriera i zbada´c jego zbie˙zno´s´c.
49. Funkcje f :< 0, π > → R dana wzorem f (x) = e x przedstawi´c w postaci sumy szeregu
∞
n=1bnsinnx.
50. Funkcje g(x) = sinx przedstawi´ c w postaci sumy szeregu a0 + ∞
n=1ancosnx na prze- dziale (0, π).
51. W przestrzeni L2(0, 2π) wyznaczy´c rzut ortogonalny funkcji f (t) = t2 na podprzestrze´n liniowa rozpi et a na funkcjach
1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . . i obliczy´c norme tego rzutu.
52. W przestrzeni L2(−1, 1) wyznaczy´c rzut ortogonalny funkcji f(t) = e−t na podprzestrze´n liniowa rozpi et a na funkcjach
1, t, t2, . . . i obliczy´c norme tego rzutu.
53. W przestrzeni L2(0, 1) wyznaczy´c rzut ortogonalny funkcji f (t) = t na podprzestrze´n liniowa rozpi et a na funkcjach ukladu Rademachera i obliczy´ c norme tego rzutu.
54. Wykaza´c, ˙ze
∞ k=0
(−1)k 2k + 1 = π
4.
(Wsk. Rozwina´c w szereg trygonometryczny Fouriera funkcje f (x) = x okre´slon a na przedziale (−π, π), zbada´c jej zbie˙zno´s´c i policzy´c warto´s´c dla x = π2.)
55. U˙zy´c r´owno´sci Parsevala, aby wykaza´c, ˙ze (i)∞
n=1 1
n2 = π62, (ii) ∞
n=1 1
n4 = π904.
(Wsk. Skorzysta´c z odpowiedniej postaci r´owno´sci Parsevala dla szeregu trygonometrycznego i rozwina´c w szereg funkcje f (t) = t i f (t) = t2 na <−π, π > dla i) i ii) odpowiednio.)
56. Niech f ∈ L2(−π, π). Znale´z´c rzut ortogonalny f na podprzestrze´n M = lin {e−int, . . . , eint} ,
n∈N i znale´z´c odleglo´s´c f od M.
(Wsk. Wykaza´c, ˙ze wektory
eint 2π
n
k=−n sa ortonormalne.)
