Grupy rozwiązalne

Ćwiczenia:

1. Pokazać, że: niepusty podzbiór H grupy G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich h₁, h₂ ∈ H zachodzi warunek:

h₁h⁻¹₂ ∈ H.

2. Niech G będzie grupą, a H jej podgrupą. Pokazać, że przekształcenie odwracania ele- mentu

i : G → G, i(g) = g⁻¹ indukuje w naturalny sposób przekształcenie:

i : G/H → H\G, gH 7→ Hg⁻¹,

które jest bijekcją pomiędzy zbiorem warstw lewostronnych i zbiorem warstw prawostron- nych podgrupy H.

3. Pokazać, że jeśli G jest grupą skończoną, to każdy element g ∈ G ma rząd skończony oraz

|g| | |G|.

4. Niech G₁, G₂ będą grupami oraz niech:

φ : G₁ → G₂ będzie homomorfizmem grup. Pokazać, że:

φ(xy⁻¹) = φ(x)φ⁻¹(y), φ(y⁻¹x) = φ⁻¹(y)φ(x).

5. Niech φ : G₁ → G₂ będzie homomorfizmem grup. Pokazać, że:

(a) φ(e₁) = e₂.

(b) φ(g⁻¹) = φ(g)⁻¹, dla każdego g ∈ G.

(c) Ker φ / G₁.

(d) Im φ jest podgrupą w G₂.

6. Udowodnić, że G jest grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie:

i : G → G g 7→ g⁻¹ jest izomorfizmem.

7. Pokazać, że grupa G, w której każdy element ma rząd równy 2 jest abelowa.

8. Czy grupa G, w której każdy element ma rząd równy 3 jest abelowa?

9. Pokazać, że: jeśli H i K są podgrupami grupy G, ponadto H jest podgrupą K, to:

[G : H] = [G : K][K : H].

10. Niech N będzie dzielnikiem normalnym grupy G oraz H będzie podgrupą grupy G. Po- kazać, że H ∩ N jest dzielnikiem normalnym grupy H.

11. Niech H będzie podgupą grupy G. Pokazać, że następujące warunki są równoważne:

(a) H jest dzielnikiem normalnym grupy G.

(b) g⁻¹Hg ⊂ H dla każdego g ∈ G.

(c) gHg⁻¹ = H dla każdego g ∈ G.

(d) gH = Hg, dla każdego g ∈ G.

(e) (aH)(bH) = (ab)H, dla każdych a, b ∈ G.

12. Pokazać, że w grupie abelowej każda podgrupa jest normalna.

13. Pokazać, że jeśli podgrupa H ⊂ G ma indeks 2, to H / G.

14. Zbiór Z(G) = {g ∈ G; gg⁰ = g⁰g dla wszystkich g⁰ ∈ G} nazywamy centrum grupy G.

Pokazać, że:

(a) Z(G) / G,

(b) Z(G) jest abelowa,

(c) G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy Z(G) = G.

15. Niech G będzie grupą.

(a) Element [g₁, g₂] := g₁g₂g₁⁻¹g₂⁻¹ nazywamy komutantem elementów g₁, g₂ ∈ G.

(b) Grupę generowaną przez wszystkie elementy postaci g₁g₂g₁⁻¹g₂⁻¹ dla dowolnych ele- mentów g₁, g₂ ∈ G nazywamy komutatorem grupy G, oznaczamy: [G, G]. Inaczej możemy to zapisać:

[G, G] := h[g₁, g₂] : g₁, g₂ ∈ Gi . Pokazać, że:

(a) dla dowolnych x, y, g ∈ G zachodzi: g[x, y]g⁻¹ = [gxg⁻¹, gyg⁻¹], (b) [G, G] / G,

(c) G/[G, G] jest grupą abelową,

(d) jeśli N / G i G/N jest abelowa, to [G, G] ⊂ N .

16. Korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie wykazać, że:

(a) R/Z ∼= T¹, gdzie T¹ = S¹ := {z ∈ C^×: |z| = 1} jest podgrupą C^×. (b) C^×/R^×∼= T¹.

(c) C^×/T¹ ∼= R^×>0.

(d) T¹/µ_n∼= T¹, gdzie µ_n= {z ∈ T¹ : zⁿ = 1}.

(e) C^×/µn ∼= C^×.

(f) C^×/H_n ∼= T¹, gdzie H_n= {z ∈ C^× : Arg z = ^2kπ_n , k ∈ Z}.

(g) H_n/µ_n∼= R^×>0.

(h) GL_n(R)/ SLn(R) ∼= R^×. (i) GL_n(C)/ SLn(C) ∼= C^×.

(j) GL_n(R)/ GLn(R)>0 ∼= Z/2, gdzie GLn(R)>0 = {A ∈ GL_n(R) : det A > 0}.

(k) GL_n(R)/ ESLn(R) ∼= R^×>0, gdzie ESL_n(R) = {A ∈ GLn(R) : det A = ±1}.

(l) Z³/{(a, b, c) ∈ Z³ : 3a + 2b + 5c ≡ 0 (mod 20)} ∼= Z/20.

(m) Z³/{(a, b, c) ∈ Z³ : 3a + b + 2c = a − 3b + 4c = 0} ∼= Z².

(n) Z³/{(a, b, c) ∈ Z³ : a + 2b + 3c = 3a + b + 2c = 2a + 3b + c = 0} ∼= Z³. (o) R⁴/{(a, b, c, d) ∈ R⁴ : a + b = a − 3b = b − 4d} ∼= R².

(p) R³/{(2a + b, a − 2b, 3a) : a, b ∈ R} ∼= R.

17. Grupę G nazywamy doskonałą, gdy G = [G, G].

Pokazać, że nieprzemienna grupa prosta jest doskonała.

17⁰. Niech φ : G₁ → G₂ będzie homomorfizmem grup. Pokazać, że:

(a) jeśli N₂/ G₂, to φ⁻¹(N₂) / G₁.

(b) jeśli φ jest epimorfizmem i N₁/ G₁, to φ(N₁) / G₂. 18. Pokazać, że każda grupa rzędu 21 nie jest prosta.

19. Pokazać, że każda grupa rzędu 35 nie jest prosta.

20. Pokazać, że każda grupa rzędu 33 nie jest prosta.

21. Czy dowolna grupa rzędu pq, gdzie p < q są liczbami pierwszymi, jest prosta?

22. Niech grupa G działa na X oraz x ∈ X dowolne. Pokazać, że zbiór St(x) jest podgrupą grupy G.

23. Niech G będzie grupą i n ∈ N. Zdefiniujmy zbiór:

X := {(g₁, g₂, . . . , g_n) ∈ Gⁿ: g₁g₂. . . g_n = e_G}.

Pokazać, że przekształcenie:

d : Z/n × X → X d (i, (g₁, g₂, . . . , g_n)) :=







(g₁, g₂, . . . , g_n), gdy i = 0 (g_n−i+1, g_n−i+2, . . . , g_n, g₁, g₂, . . . , g_n−i), gdy i 6= 0 jest działaniem grupy Z/n na zbiorze X.

24. Niech x będzie dowolnym elementem grupy G. Każdy element grupy G postaci gxg⁻¹ nazywamy sprzężeniem elementu x.

Niech N / G. Pokazać, że grupa G działa na N przez sprzężenie:

d : G × N → N, d(g, n) := gng⁻¹.

25. Klasą sprzężoności elementu g ∈ G względem podgrupy H ⊂ G nazywamy zbiór:

g^H := {hgh⁻¹ : h ∈ H}.

Pokazać, że:

(a) dla dowolnych g₁, g₂ ∈ G mamy:

g₁^H ∩ g₂^H = ∅ albo g₁^H = g₂^H. (b) jeśli H / G, to dla każdego h ∈ H mamy zawieranie h^G ⊂ H.

(c) H / G wtedy i tylko wtedy, gdy H = ^S_h∈Hh^G.

(d) każde dwa elementy g₁, g₂ ∈ h^G dla dowolnego h ∈ G są sprzężone, tzn. istnieje g ∈ G takie, że g₁ = gg₂g⁻¹.

26. Niech G 6= {eG} będzie grupą skończoną. Udowodnić, że jeśli dowolne dwa elementy e_G 6= g₁, g₂ ∈ G są sprzężone, to G ma rząd równy 2.

27. Niech p będzie liczbą pierwszą. Grupę G nazywamy p-grupą, gdy:

|G| = pⁿ, dla pewnego n ∈ N.

Udowodnić, że jeśli G jest p-grupą, to Z(G) 6= {e_G}.

28. Udowodnić następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Jeśli

π : B  A

jest epimorfizmem grup abelowych i A jest wolna, to istnieje homomorfizm:

s : A → B taki, że:

π ◦ s = IdA.

29. Niech A będzie grupą abelową. Zdefiniujmy zbiór:

A_t:= {a ∈ A; ∃m ∈ N : ma = 0}.

Pokazać, że zbiór A_t jest podgrupą w A.

30. Grupę abelową A nazywamy beztorsyjną, gdy A_t = {0}. Niech A będzie grupą abelową.

Pokazać, że A/A_t jest beztorsyjna.

31. Niech G = Z ⊕ Z. Pokazać, że elementy:

β₁ = (a, b), β₂ = (c, d), gdzie a, b, c, d ∈ Z

są bazą (wolnymi generatorami) grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy det

"

a b c d

#

= ±1.

32. Niech A będzie grupą abelową. Niech p będzie dowolną liczbą pierwszą. Zdefiniujmy zbiór:

A_p :=ⁿa ∈ A : p^ka = 0, dla pewnego k ∈ N^o=

=ⁿa ∈ A : |a| = p^k, dla pewnego k ∈ N ∪ {0}^o. Zbiór A_p nazywamy częścią p-prymarną grupy A.

(a) Pokazać, że A_p jest podgrupą grupy A.

(b) Pokazać, że część p-prymarna skończonej grupy abelowej A jest p-grupą. Jest to największa w sensie inkluzji p-podgrupa grupy A.

33. Mówimy, że A jest grupą abelową torsyjną, gdy A = At.

Największym wspólnym dzielnikiem liczb a₁, a₂, . . . a_n ∈ Z takich, że istnieje 1 ≤ i ≤ n takie, że a_i 6= 0 nazywamy największą liczbę d ∈ N taką, że d | a1, . . . , d | a_n. W przypadku, gdy a₁ = a₂ = . . . = a_n = 0 przyjmujemy, że największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 0. Największy wspólny dzielnik liczb a₁, a₂, . . . a_n∈ Z oznaczamy:

(a₁, a₂, . . . , a_n) lub nwd(a₁, a₂, . . . , a_n), lub gcd(a₁, a₂, . . . , a_n).

(a) Zadanie pomocnicze: Niech a₁, a₂, . . . a_n∈ Z. Pokazać, że zbiór:

I = {k₁a₁+ . . . + k_na_n : k₁, . . . , k_n∈ Z}

jest równy zbiorowi wielokrotności liczby gcd(a₁, a2, . . . , an). Wniosek z zadania pomocniczego: Istnieją liczby k₁, . . . , k_n∈ Z takie, że gcd(a1, a₂, . . . , a_n) = k₁a₁+ . . . + k_na_n.

(b) Jeśli A jest grupą abelową torsyjną, to:

A =^M

p

A_p.

34. Niech A będzie p-grupą abelową. Udowodnić, że jeśli 0 6= b ∈ A oraz k ≥ 0 całkowite takie, że p^kb 6= 0 i |p^kb| = p^r, to |b| = p^r+k.

35. Pokazać, że Q z dodawaniem nie jest wolną grupą abelową.

36. Pokazać, że jeśli A jest skończenie generowaną p-grupą abelową typu (p^r1, p^r2, . . . , p^rs), gdzie r₁ ≥ r₂ ≥ . . . ≥ r_s ≥ 1, to ciąg liczb całkowitych (r₁, r₂, . . . , r_s) jest jednoznacznie wyznaczony.

37.^∗ Pokazać, że jeśli G jest skończoną grupą abelową rzędu ab, gdzie (a, b) = 1, to:

G ∼= A ⊕ B, gdzie |A| = a oraz |B| = b.

38.^∗ Pokazać, że Z/mn ∼= Z/m ⊕ Z/n wtedy i tylko wtedy, gdy (m, n) = 1.

Definicja 1. Jeśli:

A ∼= Z /p^k1¹ ⊕ Z /p^k2² ⊕ . . . ⊕ Z /p^ks^s ⊕ Zⁿ,

gdzie p₁, p₂, . . . , p_s są liczbami pierwszymi, k₁, k₂, . . . , k_s ∈ N, n, s ∈ N ∪ {0} oraz p^k1¹ ≤ p^k₂² ≤ . . . ≤ p^k_s^s, to mówimy, że A ma typ:

(p^k₁¹, p^k₂², . . . , p^k_s^s; n).

39. Wyznaczyć typy następujących grup:

(a) Z /6 ⊕ Z /150, (b) Φ(24),

(c) Φ(35), (d) Φ(5), (e)^∗ Φ(2014).

40. Czy następujące grupy są ze sobą izomorficzne:

(a) Z /44 ⊕ Z /20∼= Z /4 ⊕ Z /120,^? (b) Z /13 ⊕ Z /7∼= Z /93,^?

(c) Z /2 ⊕ Z /12 ⊕ Z /80∼= Z /2 ⊕ Z /4 ⊕ Z /240.^? 41. Wyznaczyć typ następującej grupy:

Z⁴/{(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ Z⁴ : x₁ ≡ 2x₂ (mod 60) oraz x₄ = 0}.

Twierdzenie 2 (O zgodnym wyborze bazy). Niech A będzie wolną grupą abelową rangi n ≥ 1 (zbiór wolnych generatorów/baza grupy A jest mocy n) oraz niech B będzie jej podgrupą. Istnieją wtedy zbiory wolnych generatorów:

{α₁, α₂, . . . , α_n} oraz {β₁, β₂, . . . , β_m} grup A i B odpowiednio takie, że:

1. m ≤ n,

2. ∀ 1 ≤ i ≤ m ∃ k_i ∈ Z : βi = k_iα_i.

Twierdzenie 3. Jeśli {α₁, α₂, . . . , α_n} jest zbiorem wolnych generatorów wolnej grupy abe- lowej A oraz podgrupa B ⊂ A ma zbiór wolnych generatorów {k₁α₁, k₂α₂, . . . , k_mα_m}, gdzie k₁, . . . , k_m ∈ N oraz m ≤ n, to:

A/B ∼= Z /k1⊕ Z /k²⊕ . . . ⊕ Z /k^m⊕ Z^n−m.

42. Znaleźć bazy zgodne wolnej grupy abelowej A oraz jej podgrupy B oraz obliczyć grupę ilorazową A/B, podać jej typ, gdzie:

(a) A = Z[i] := {a + bi : a, b ∈ Z} = Z ⊕ Z i, B = h2 + 3i, 4 + 5ii, (b) A = Z[i], B = h2 + 3i, 4 + 5i, 7 + 7ii,

(c) A = Z³, B = h(3, 5, 2), (4, 1, −2)i, (d) A = Z[√

3] := {a + b√

3 : a, b ∈ Z} = Z ⊕ Z√

3, B = (4 +√ 3) Z[√

3], (e) A = Z², B = h(2, −7), (4, −2)i,

(f ) A = Z⁴, B = {(x₁, x₂, x₃, x₄) : x₁ = 2x₂+ 5x₃, x₄ = 0}, (g) A =^L3_i=1Z aⁱ, B = h4a₁+ 6a₂, 3a₁− 5a₂+ 2a₃i.

43. Czy B = {(x₁, x₂, x₃) ∈ Z³ : x₁+ 2x₂+ 3x₃ = 0} jest wolną grupą abelową. Jeśli tak, to znaleźć bazy zgodne dla Z³ i B oraz wyliczyć Z³/B i podać jej typ.

44. Czy grupa Z[¹₃] jest wolną grupą abelową?

45. Wyznaczyć typ następującej grupy:

Z⁵/{(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) ∈ Z⁵ : x₁ ≡ x₃ (mod 8) oraz x₂ = x₅ = 0}.

46. Czy każda grupa abelowa, która nie ma elementów torsyjnych, jest wolna?

47. Czy każda grupa abelowa, skończenie generowana, która nie ma elementów torsyjnych, jest wolna?

48. Niech A := Z x1⊕ Z x2⊕ Z x3 i niech B := Z y1 + Z y2+ Z y3, gdzie:

y₁ = 4x₁+ 5x₂ + x₃, y₂ = 8x₁+ 9x₂ + x₃, y₃ = 4x₁+ 6x₂ + 2x₃. Znaleźć: A/B.

Grupy rozwiązalne

Definicja 4. Grupę G nazywamy rozwiązalną, gdy istnieje następujący ciąg:

G = G₀ ⊃ G₁ ⊃ G₂ ⊃ . . . ⊃ G_r = {e},

taki, że G_i/ G_i−1 oraz grupy ilorazowe G_i−1/G_i są abelowe, dla i = 1, 2, . . . , r.

Definicja 5. Niech G będzie grupą skończoną oraz niech p będzie liczbą pierwszą taką, że p^kk|G|. Każdą podgrupę H ⊂ G taką, że |H| = p^k nazywamy p-podgrupą Sylowa grupy G.

Twierdzenie 6 (Sylowa). Niech G będzie grupą skończoną i niech p będzie liczbą pierwszą taką, że p | |G|. Wówczas:

1. G zawiera p-podgrupy Sylowa.

2. Jeżeli n_p oznacza liczbę p-podgrup Sylowa, to n_p ≡ 1 (mod p).

3. Każda p-podgrupa grupy G jest zawarta w pewnej p-podgrupie Sylowa.

4. Jeżeli H₁ i H₂ są p-podgrupami Sylowa grupy G, to istnieje g ∈ G taki, że gH₁g⁻¹ = H₂. 49. Niech G będzie grupą. Pokazać, że jeśli H jest podgrupą grupy G, to dla każdego g ∈ G

— zbiór gHg⁻¹ też jest podgrupą grupy G.

50. Niech G będzie grupą, X := {H ⊂ G : H jest podgrupą grupy G}. Pokazać, że:

d : G × X → X, d(g, H) := gHg⁻¹ (1)

jest działaniem grupy G na zbiorze X.

Normalizatorem H w G nazywamy zbiór:

N (H) := St(H) = {g ∈ G : gHg⁻¹ = H}.

51. Udowodnić następujący wniosek z twierdzenia Sylowa:

Wniosek 7. Niech G będzie grupą skończoną i niech p będzie liczbą pierwszą taką, że p | |G|. Wówczas liczba np | |G|.

52. Pokazać, że jeśli G jest grupą taką, że G/Z(G) jest cykliczna, to G jest abelowa (mamy G = Z(G)).

53. Pokazać, że jeśli |G| = p², to G jest abelowa.

Uwaga 1. G ma dokładnie jedną p-podgrupę Sylowa H, tzn. Orb(H) = {H} ⇔ dla każdego g ∈ G : gHg⁻¹ = H ⇔ H jest dzielnikiem normalnym grupy G.

54. Pokazać, że jeśli |G| = pq, gdzie q > p są liczbami pierwszymi i q 6≡ 1 (mod p), to G jest abelowa.

55. Niech G będzie grupą oraz N / G. Pokazać, że jeśli N oraz G/N są rozwiązalne, to G jest rozwiązalna.

56. Pokazać, że G jest rozwiązalna, gdzie:

(a) |G| = 45, Można to zadanie uogólnić:

(b) |G| = 3^k5, gdzie k ∈ N, (c) |G| = 30,

(d) |G| = 42.

Kilka słów o rzędach elementów w grupie

Twierdzenie 8. Rząd elementu a ∈ Z/n (z dodawaniem modulo n) wynosi: _nwd(a,n)ⁿ .

Twierdzenie 9. Rząd cyklu długości l: γ = (i₁, i₂, . . . , i_l) ∈ S_n wynosi l. Rząd dowolnej permutacji σ ∈ Sn zapisanej w postaci iloczynu rozłącznych cykli:

σ = γ₁· γ₂· . . . · γ_k, gdzie γ_i jest długości l_i, wynosi nww(l₁, l₂, . . . , l_k).

57. Znaleźć rzędy elementów w grupach:

(a) 10 w grupie Z /12, (b) 8 w grupie (Z /15)^×,

(c)

σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 2 8 9 7 4 6 1

! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2 3 1 4 5 7 6 9

!

w grupie S₉.

Grupy rozwiązalne — c.d.

58. Pokazać, że każda grupa rzędu 12 jest rozwiązalna oraz nie jest prosta. W szczególności grupa A₄ ⊂ S₄ nie jest prosta (bo |S₄| = 4! = 24, |A₄| = ²⁴₂ = 12).

59. Rozwiązać równania:

(a) (1 5 8 3 2 4 7 6) · x = (9 2 3 8 1) w S₁₀, (b) x · 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 2 3 1 4 5 7 6 9

!

= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 2 8 9 7 4 6 1

!

w S₉.

Pierścienie

Definicja 10. Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : R × R → R i z mnożeniem · : R × R → R, dla których są spełnione następujące warunki:

P1. (R, +) jest grupą abelową.

P2. Dla dowolnych a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) (łączność mnożenia).

P3. Dla dowolnych a, b, c ∈ R :

a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c (rozdzielność mnożenia względem dodawania).

Jeśli ponadto R 6= {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e ∈ R taki, że:

dla każdego a ∈ R : a · e = e · a = a, to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką.

Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn.:

dla każdego a, b ∈ R : a · b = b · a, to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym.

Definicja 11. Niech R będzie pierścieniem z jedynką. Element a ∈ R nazywamy jedno- ścią/elementem odwracalnym, gdy istnieje element b ∈ R taki, że:

ab = ba = 1.

Definicja 12. Niech R będzie pierścieniem przemiennym. Element 0 6= a ∈ R nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje niezerowy element b ∈ A taki, że:

ab = 0.

Definicja 13. Niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez dzielników zera nazywamy dzie- dziną całkowitości.

Definicja 14. Podzbiór I pierścienia R nazywamy ideałem, gdy spełnione są następujące warunki:

1. 0 ∈ I,

2. ∀ a, b ∈ I : a − b ∈ I, 3. ∀ a ∈ I, b ∈ R : ab, ba ∈ I.

60. (a) Niech A będzie pierścieniem z jedynką. Pokazać, że zbiór wszystkich jedności pier- ścienia A jest grupą (z mnożeniem).

(b) Pokazać, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to Z/p jest dziedziną całkowitości.

61. Wykonać następujące dzielenia z resztą:

(a) X⁴− 9X³+ 23X²− 16X + 13 przez X − 5 w Z[X]

Odp. X⁴− 9X³+ 23X²− 16X + 13 = (X − 5)(X³− 4X²+ 3X − 1) + 8.

(b) 2X⁴+ X³+ X²+ 3X + 3 przez 3X²+ X + 4 w Z /5[X]

Odp. 2X⁴+ X³+ X²+ 3X + 3 = (3X²+ X + 4)(4X²+ 4X + 2).

(c) X⁵+ 4X⁴+ 3X²+ 2 przez 2X³ + X + 4 w Z /5[X]

Odp. X⁵+ 4X⁴+ 3X²+ 2 = (2X³+ X + 4)(3X²+ 2X + 1) + 4X²+ X + 3.

(d) 2X⁵+ 8X⁴+ 7X³+ 3X + 5 przez 3X³+ 7X²+ 5X + 1 w Z /11[X]

Odp. 2X⁵+8X⁴+7X³+3X +5 = (3X³+7X²+5X +1)(8X²+6X +8)+5X²+X +8.

62. Wyznaczyć element odwrotny do liczby (a) 35 w pierścieniu Z /37

Odp. 18

(b) 125 w pierścieniu Z /257 Odp. 220

(c) 637 w pierścieniu Z /1734 Odp. 49

(d) 1633 w pierścieniu Z /1734 Odp. 103

63. Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznaczyć nwd(f, g), gdzie

(a) f, g ∈ Z /2[X], f (X) = X⁴+ X³ + X²+ 1, g(X) = X⁵+ X²+ 1 (b) f, g ∈ Z /3[X], f (X) = X⁵+ 2X³+ X + 1, g(X) = X⁴+ X²+ 2 (c) f, g ∈ Z /5[X], f (X) = X⁴+ 4X³+ X²+ 3, g(X) = X³+ 4X + 3

(d) f, g ∈ Z /7[X], f (X) = X⁴+ 5X³+ 2X + 6, g(X) = X³+ 4X²+ 4X + 5 (e) f, g ∈ Z /7[X], f (X) = X³+ X² + 6X + 4, g(X) = X⁴+ 6X³+ 2X²+ 2 64. Znaleźć nwd(x³− x²− 4x + 4 , x²− x − 6) w Q[x].

Odp. 2x+4