Logika z algebrą dla I roku Technik Komputerowych Zadania na ćwiczenia w dniu 4 XII 2003 r.

Logika z algebrą dla I roku Technik Komputerowych Zadania na ćwiczenia w dniu 4 XII 2003 r.

1. Które spośród własności: (symetria, asymetria, antysymetria, zwrotność, przeciwzwrotność, przechodniość, spójność) przysługują relacji R{0,1,2,3}{0,1,2,3} gdy:

a) R = {<0,0>, <1,1>, <0,1>}

b) R = {<0,0>, <1,1>, <2,2>, <3,3>, <0,1>, <1,0>}

c) R = {<0,1>, <1,0>, <2,0>, <0,2>, <2,3>, <0,3>}

d) R = {<0,1>, <0,2>, <1,2>, <2,2>, <0,0>, <1,1>}

2. Czy relacja zawierania się zbiorów określona na zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych jest:

a) zwrotna b) symetryczna c) przechodnia

3. Czy dla każdego zbioru X:

a) suma mnogościowa każdych dwóch relacji symetrycznych na X jest relacją symetryczną na X b) część wspólna każdych dwóch relacji przechodnich na X jest relacją przechodnią na X c) jeżeli R jest relacją przechodnią na X oraz R  S XX, to S jest relacją przechodnią na X d) suma mnogościowa każdych dwóch relacji spójnych na X jest relacją spójną na X

4. Proszę znaleźć relację która jest:

a) zwrotna i symetryczna lecz nie jest przechodnia b) zwrotna i przechodnia lecz nie jest symetryczna b) symetryczna i przechodnia lecz nie jest zwrotna

5. Czy każda relacja binarna zawiera się w iloczynie kartezjańskim dziedziny relacji przez przeciwdziedzinę relacji?

6. Czy różnica mnogościowa dwóch relacji zwrotnych może być relacją zwrotną?

7. Na zbiorze {0,1,2,...} wprowadzamy relację R przyjmując, że a{0,1,2,...} jest w relacji z b{0,1,2,...} gdy a-b=(a-b)². Czy R jest relacją równoważności?

8. Na zbiorze liczb rzeczywistych określamy relację S przyjmując, że liczba rzeczywista x jest w relacji S z liczbą rzeczywistą y gdy |x-2|=|y+2|. Czy S jest relacją:

a) zwrotną b) symetryczną c) przechodnią d) spójną e) asymetryczną f) antysymetryczną g) przeciwzwrotną

9. Niech N={0,1,2,...}, N^N oznacza ogół funkcji f:N®N. Na zbiorze N^N wprowadzamy relację

=prawie wszędzie przyjmując, że funkcja f:N®N jest prawie wszędzie równa funkcji g:N®N, jeżeli zbiór

{nN: f(n)¹g(n)} jest skończony. Proszę pokazać, że relacja =prawie wszędzie jest relacją równoważności.

10. Na zbiorze liczb rzeczywistych definiujemy relację W przyjmując, że xWy gdy xy>0. Czy relacja W jest zwrotna, symetryczna, asymetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna?

Plik z zadaniami dostępny jest pod adresem: http://www.cyf-kr.edu.pl/~rttyszka/dec4.doc