Zadania Arkusz 7

Zadania Arkusz 7 Badanie funkcji - Zastosowania rachunku różniczkowego

1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

i) f(x) = 1

3x³−1

2x²− 2x + 1, ii) f(x) = x³+ 3x − 5,

iii) f(x) = 1 4 −

1

3x³− x², iv) f(x) = x²(1 − x)²,

v) f(x) = x + 1 x,

vi) f(x) = −x³+ 2x²− 2x, vii) f(x) = 1

2x²+ 8 x², viii) f(x) = 4x²− 1

x, ix) f(x) = x − 1

x,

x) f(x) = x⁴ e^x, xi) f(x) = x − e^x, xii) f(x) = x²e^−x, xiii) f(x) = x

ln x,

xiv) f(x) = x − ln(1 + x), xv) f(x) = ln(1 − x²), xvi) f(x) = x + 2

x + ln x, xvii) f(x) = e^{x2−x1 3}, xviii) f(x) = x^x.

O d p o w i e d ź. i) f jest rosnąca w przedziałach (−∞, −1) i (2, +∞), a malejąca w przedziale (−1, 2); ii) f jest rosnąca w przedziale (−∞, +∞); iii) f jest rosnąca w przedziale (−2, 0), a malejąca w przedziałach (−∞, −2) i (0, +∞); iv) f jest rosnąca w przedziałach (0, 1/2) i (1, +∞), a malejąca w przedziałach (−∞, 0) i (1/2, 1); v) f jest rosnąca w prze- działach (−∞, −1) i (1, +∞), a malejąca w przedziałach (−1, 0) i (0, 1); vi) f jest malejąca w przedziale (−∞, +∞); vii) f jest rosnąca w przedziałach (−2, 0) i (2, +∞), a malejąca w przedziałach (−∞, −2) i (0, 2); viii) f jest rosnąca w przedziałach (−1/2, 0) i (0, +∞), a malejąca w przedziale (−∞, −1/2); ix) f jest rosnąca przedziałach (−∞, 0) i (0, +∞);

x) f jest rosnąca w przedziale (0, 4), a malejąca przedziałach (−∞, 0) i (4, +∞); xi) f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0), a malejąca w przedziale (0, +∞); xii) f jest rosnąca w prze- dziale (0, 2), a malejąca w przedziałach (−∞, 0) i (2, +∞); xiii) f jest rosnąca w przedziale (e, +∞), a malejąca w przedziałach (−∞, 0), (0, 1) i (1, e); xiv) f jest rosnąca w przedziale (0, +∞), a malejąca przedziale (−1, 0); xv) f jest rosnąca w przedziale (−1, 0), a malejąca w przedziale (0, 1); xvi) f jest rosnąca w przedziale (1, +∞), a malejąca w przedziale (0, 1);

xvii) f jest rosnąca w przedziałach (−∞, 0) i (2/3, 1), a malejąca w przedziałach (0, 2/3) i (1, +∞); xviii) f jest rosnąca w przedziale (e⁻¹,+∞), a malejąca w przedziale (0, e⁻¹).

2. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

i) f(x) = 2x³+ 3x²− 12x + 1, ii) f(x) = x³− 3x,

iii) f(x) = x⁴− 4

3x³+ 3, iv) f(x) = 6

x +1

2x²+ 5x,

v) f(x) = 9

x + x²+ 7x, vi) f(x) = 1

x + 4x², vii) f(x) = 3x + 5

1 − x², viii) f(x) = 5x + 13 1 − x² , 1

Zadania Arkusz 7

ix) f(x) = x²+ 3 x+ 1, x) f(x) = x²

x− 1, xi) f(x) = x³e^−x, xii) f(x) = x²ln x,

xiii) f(x) = ln x x , xiv) f(x) = x

ln x, xv) f(x) = xe^x13, xvi) f(x) = x^{ln x}.

O d p o w i e d ź. i) fmax = f(−2), f^min = f(1); ii) fmax = f(−1), f^min = f(1); iii) f_min = f(1); iv) fmin = f(−3 −√

3), fmax = f(−3 +√

3), fmin = f(1); v) fmin = f(−3), fmax = f(−3/2), f^min = f(1); vi) fmin = f(1/2); vii) fmax = f(1/3), fmin = f(3); viii) fmax = f(−5), f^min = f(−0, 2); ix) f^max = f(−3), f^min = f(1); x) fmax = f(0), fmin = f(2); xi) fmax = f(3); xii) fmin = f(−1/2); xiii) f^max = f(e); xiv) fmin = f(e); xv) fmin = f(√³

3); xvi) fmin = f(1).

3. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:

i) f(x) = x³− 3x²+ 6x − 2, x∈ 〈−1, 1〉, ii) f(x) = −2x³− 15x²+ 10, x∈ 〈−6, 2〉, iii) f(x) = 1

3x³−5

2x²+ 4x, x∈ 〈0, 3〉, iv) f(x) = x − 2√

x, x∈ 〈0, 4〉, v) f(x) = x²ln x, x∈ 〈1, e〉, vi) f(x) = x − 2 ln x, x∈ 〈1, 3〉.

4. Zbadaj czy wraz ze wzrostem dochodu x rośnie popyt y na odpowiednie dobra stosując:

i) dla dóbr podstawowych funkcję Törnquista pierwszego rodzaju postaci

y= 2x

x+ 1, x∈ 〈0, +∞),

ii) dla dóbr wyższego rzędu funkcję Törnquista drugiego rodzaju postaci

y= x− 5

x+ 2, x∈ 〈0, +∞),

iii) dla dóbr luksusowych funkcję Törnquista trzeciego rodzaju postaci

y= x · x

x+ 3, x∈ 〈0, +∞).

5. Dla jakiej wartości parametru m funkcja

f(x) = x³+ 5x − mx − 2

ma ekstremum lokalne w punkcie x = −5? Czy jest to minimum czy maksimum?

2

Zadania Arkusz 7

6. Znajdź wartość parametru p, dla której funkcja f(x) = x³+ px²+ 1

ma ekstremum lokalne w punkcie x = 1. Czy jest to minimum czy maksimum?

7. Jakie wymiary powinien mieć walec o powierzchni 36π cm², by jego objętość była naj- większa?

8. Płotem o długości 100 m należy ogrodzić prostokątny teren przylegający do muru. jakie powinny być wymiary ogrodzenia, aby objęło teren o największej powierzchni?

9. Niech

K(x) = 0, 01x³− 3x²+ 252x

oznacza koszt całkowity dziennej produkcji x kg masła, przy czym ze względu na ogranicze- nia technologiczne wielkość produkcji nie może być mniejsza niż 50 kg i nie może przekroczyć 1000 kg.

i) Znajdź wielkość produkcji, której odpowiada najmniejszy koszt.

ii) Oblicz ten koszt.

3