Współczesna mechanika konstrukcji w projektowaniu inżynierskim
Modern structural mechanics
with applications to civil engineering Andrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, eds.
X
Obliczeniowe modele materiałów:
uszkodzenie,
lokalizacja odkształce ń, przykłady
str. 259-278
X
Computational models of materials:
damage,
strain localization, applications
pp. 259-278
Jerzy Pamin
Politechnika Krakowska Wydział Inżynierii Lądowej
Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej
Andrzej Winnicki
Politechnika Krakowska Wydział Inżynierii Lądowej
Instytut Materiałów i Konstrukcji Budowlanych
Słowa kluczowe: sprężystość,
plastyczność, zarysowanie, uszkodzenie, metoda elementów skończonych,
lokalizacja odkształceń, zarysowanie chłodni kominowej, przebicie płyty
Keywords: elasticity, plasticity, cracking, damage, finite element method,
strain localization, cracking of cooling tower, punching of slab
X OBLICZENIOWE MODELE MATERIAŁÓW:
USZKODZENIE, LOKALIZACJA ODKSZTAŁCE ´ N, PRZYKŁADY
Jerzy PAMIN, Andrzej WINNICKI
Wst˛ep
W niniejszym rozdziale, uzupełniaj ˛ac przegl ˛ad podstawowych modeli materiałów przedstawio- ny w Rozdziale IX, omówiona jest najpierw zwi˛e´zle teoria uszkodzenia. Nast˛epnie zwrócono uwag˛e na problem modelowania odkształce´n zlokalizowanych. W drugiej cz˛e´sci przedstawio- no dwa przykłady nieliniowych analiz konstrukcji betonowych: przebicia płyty i zarysowania chłodni kominowej.
Słowa kluczowe: spr˛e˙zysto´s´c, plastyczno´s´c, zarysowanie, uszkodzenie, metoda elementów sko´n- czonych, lokalizacja odkształce´n, zarysowanie chłodni kominowej, przebicie płyty
1. Wprowadzenie
Rozdział przedstawia kontynuacj˛e przegl ˛adu podstawowych modeli materiałów in˙zynierskich, przedstawionego w Rozdziale IX. W szczególno´sci w p. 2 podano podstawowe informacje nt.
modeli mechaniki uszkodzenia. Jest to trzecia obok teorii plastyczno´sci i zarysowania podsta- wowa kontynualna teoria opisuj ˛aca nieliniowe zachowanie si˛e materiałów. Zało˙zono liniowe zwi ˛azki kinematyczne (małe deformacje) i ograniczono si˛e do ogólnego sformułowania trójwy- miarowego.
W p. 3 omówiono i zilustrowano problem powstaj ˛acy, gdy osłabienie materiału, wywołane np. przez uszkodzenie lub zarysowanie, prowadzi do niepoprawno´sci modelu matematycznego i w konsekwencji do patologicznej zale˙zno´sci wyników symulacji numerycznych od dyskre- tyzacji. W p. 4 przedstawiono wybrane wyniki numerycznego modelowania dwóch zagadnie´n in˙zynierskich: przebicia płyty ˙zelbetowej i nieliniowej odpowiedzi chłodni kominowej.
2. Uszkodzenie
Uszkodzenie materiału jest poj˛eciem ogólniejszym od zarysowania. Mo˙ze mie´c charakter ci ˛a- gliwy, gdy rozwa˙zamy du˙ze deformacje metali, stopów czy kompozytów, reprezentuj ˛ac nara-
stanie mikrodefektów (pustek, p˛ekni˛e´c) towarzysz ˛ace uplastycznieniu materiału [1–3]. W ma- teriałach quasi-kruchych takich jak beton czy skała uszkodzenie ma charakter kruchy. W odró˙z- nieniu od plastyczno´sci uszkodzenia struktury materiału wynikaj ˛a głównie ze zrywania wi˛ezów wewn˛etrznych pod działaniem napr˛e˙ze´n rozci ˛agaj ˛acych, czyli maj ˛a charakter dekohezji - znisz- czenia spójno´sci materiału [4].
Zwi ˛azki konstytutywne teorii uszkodzenia, por. [1, 2], mog ˛a mie´c ogóln ˛a posta´c uwzgl˛ed- niaj ˛ac ˛a anizotropowy charakter zjawiska
σ = (II − Ω) : De : (2.1)
gdzie II to tensor jednostkowy czwartego rz˛edu, Ω to tensor uszkodzenia czwartego rz˛edu, De jest tensorem Hooke’a, a dwukropek : oznacza skrócenie po dwóch wska´znikach. Zauwa˙zmy,
˙ze tensorowy współczynnik (II − Ω) odpowiada za redukcj˛e sztywno´sci spr˛e˙zystej materiału na skutek uszkodzenia. Identyfikacja eksperymentalna modelu anizotropowego o tak wielu para- metrach jest oczywi´scie bardzo trudna i dlatego u˙zywany jest tylko w specjalnych przypadkach, np. [5].
Łatwiej zastosowa´c jest izotropowy opis z tensorem Ω zawieraj ˛acym tylko dwa parametry uszkodzenia ω1 i ω2, np. w postaci (⊗ oznacza iloczyn tensorowy)
Ω = ω1I ⊗ I + ω2II (2.2)
gdzie I to tensor jednostkowy drugiego rz˛edu. Mog ˛a one degradowa´c w ró˙znym stopniu sztyw- no´s´c obj˛eto´sciow ˛a i dewiatorow ˛a materiału, lub sztywno´s´c na rozci ˛aganie i ´sciskanie, por. [6,7].
Najcz˛e´sciej w obliczeniach numerycznych stosowany jest opis skalarny, w którym uszkodzenie jest opisywane przez tylko jeden parametr ω
σ = (1 − ω) De: (2.3)
Parametr ten przyjmuje warto´s´c 0 dla materiału nieuszkodzonego, a osi ˛aga warto´s´c 1 dla całko- witej destrukcji materiału (napr˛e˙zenia spadaj ˛a do zera). Modele izotropowe umo˙zliwiaj ˛a (po- dobnie jak klasyczna plastyczno´s´c) modelowanie anizotropii nabytej w procesie odkształcenia.
Dalej przedstawimy jedno z mo˙zliwych sformułowa´n teorii uszkodzenia z parametrem ska- larnym. Opisuj ˛ac rozwój uszkodzenia materiału rozró˙znia si˛e ciało rzeczywiste, na które dzia- łaj ˛a odkształcenia (spełniajace równania nierozdzielno´sci) i napr˛e˙zenia σ (spełniaj ˛ace rów- nania równowagi), oraz fikcyjn ˛a nieuszkodzon ˛a konfiguracj˛e ciała wykazuj ˛ac ˛a tzw. efektywne odkształcenia ˆ i efektywne napr˛e˙zenia ˆσ, por. rys. 2.1. Ta konfiguracja reprezentuje nieusz- kodzony szkielet materiału. Zazwyczaj przyjmuje si˛e postulat, ˙ze odkształcenia ciała s ˛a równe odkształceniom efektywnym = ˆ [8, 9] a napr˛e˙zenia ciała i napr˛e˙zenia efektywne s ˛a powi ˛a- zane przez skalarn ˛a miar˛e uszkodzenia ω:
σ = (1 − ω) ˆσ , σ = Dˆ e : (2.4)
Miara ω, zwana w skrócie uszkodzeniem, jest funkcj ˛a parametru historii obci ˛a˙zenia κdi ro´snie od 0 do 1 gdy κdro´snie od warto´sci progowej κd0 do przyj˛etej warto´sci maksymalnej. W szcze- gólno´sci warto´s´c progowa κd0 mo˙ze przyjmowa´c warto´s´c 0 (np. je´sli zało˙zymy, ˙ze uszkodzenie w materiale towarzyszy uplastycznieniu, a parametr historii to miara odkształce´n plastycznych κ).
Celem okre´slenia zakresu spr˛e˙zystego zachowania si˛e materiału definiujemy powierzch- ni˛e uszkodzenia analogicznie do powierzchni plastyczno´sci. Jest fizycznie uzasadnione [10], ˙ze
Rysunek 2.1. Idealizacja zjawiska uszkodzenia uszkodzenia i postulat zgodno´sci odkształcenia w prze- strzeni fizycznej i efektywnej
o uszkodzeniu materiału decyduje jego deformacja, zatem powierzchnia uszkodzenia ograni- czaj ˛aca spr˛e˙zyste zachowanie materiału jest definiowana w przestrzeni odkształce´n
Fd = ˜ − κd = 0 (2.5)
gdzie ˜ jest miar ˛a skalarn ˛a odkształcenia. Podczas ewolucji uszkodzenia parameter historii mo-
˙ze by´c np. równy maksymalnej osi ˛agni˛etej warto´sci miary odkształcenia κd= max(κd0, ˜).
Miara ˜ jest definiowana tak, aby reprezentowa´c zachowanie materiału quasi kruchego, np.
dla betonu jest mo˙zliwe uwzgl˛ednienie ró˙znicy pomi˛edzy wytrzymało´sci ˛a na rozci ˛aganie i ´sci- skanie, por. [6,11,12]. Przykładowo w [11] zaproponowano miara zwan ˛a zmodyfikowan ˛a miar ˛a von Misesa, która zawiera pierwszy i drugi niezmiennik tensora odkształcenia, odpowiednio I1 and J 2, i zale˙zy od stosunku wytrzymało´sci materiału na jednoosiowe ´sciskanie i rozci ˛aganie k = fc0/ft0
˜
= k − 1
2k(1 − 2ν)I1 + 1 2k
v u u
t k − 1 1 − 2νI1
!2
+ 12k
(1 + ν)2J 2 (2.6) Obowi ˛azuj ˛a warunki obci ˛a˙zenia i odci ˛a˙zenia podobnie jak w teorii plastyczno´sci
Fd¬ 0 ˙κd 0 ˙κdfd = 0 (2.7)
Uszkodzenie nie mo˙ze male´c, podczas odci ˛a˙zenia jest zamro˙zone ˙ω = 0. Wynika z tego, ˙ze sieczna sztywno´s´c materiału (1 − ω)Dejest stała i punkt reprezentuj ˛acy stan materiału w prze- strzeni napr˛e˙zenie-odkształcenie wraca podczas odci ˛a˙zenia do pocz ˛atku układu (por. rys. 2.2), a to znaczy, ˙ze po odci ˛a˙zeniu nie pozostaj ˛a w materiale odkształcenia trwałe (mikrorysy i mikro- pustki ulegaj ˛a zamkni˛eciu). To nie jest zgodne z obserwacjami eksperymentalnymi wi˛ekszo´sci materiałów, cz˛esto zatem dokonuje si˛e sprz˛e˙zenia modelu uszkodzenia z modelem plastycz- no´sci dla odtworzenia odkształce´n trwałych i zredukowanej degradacji sztywno´sci spr˛e˙zystej.
Modele mo˙zna łatwo sprz ˛ac [8, 9, 13] zakładaj ˛ac, ˙ze zachowaniem nieuszkodzonego szkieletu
σ
(1 − ω)E E
σ
E E
Rysunek 2.2. Wykresy zale˙zno´sci napr˛e˙zenia od odkształcenia dla mechaniki uszkodzenia z porównaniu do teorii plastyczno´sci
materiału (w konfiguracji efektywnej) rz ˛adz ˛a równania spr˛e˙zysto-plastyczno´sci i równ. (2.3) zmienia si˛e w nast˛epuj ˛ace
σ = (1 − ω)De : e (2.8)
W modelu takim odkształcenie spr˛e˙zyste ejest obliczane z równa´n teorii plastyczno´sci. Mo˙zna przy tym zało˙zy´c, ˙ze miara odkształcenia w równ. (2.5) jest funkcj ˛a odkształcenia spr˛e˙zyste- go ˜(e) i to ono (lub równowa˙znie napr˛e˙zenia efektywne) decyduje o wzro´scie uszkodzenia.
Natomiast w analizie uszkodzenia zwi ˛azanego z deformacj ˛a plastyczn ˛a np. w metalach, od- kształcenia plastyczne p powinny mie´c wpływ na miar˛e ˜.
W modelu tym potrzebne jest jeszcze tylko okre´slenie zwi ˛azku pomi˛edzy uszkodzeniem i parametrem historii zwanego funkcj ˛a wzrostu uszkodzenia ω(κd). Przykładowa posta´c tej funkcji zaproponowana w [6] reprezentuje zale˙zno´s´c pomi˛edzy napr˛e˙zeniem i odkształceniem obserwowan ˛a w eksperymencie jednoosiowego rozci ˛agania próbki betonowej (osłabienie po zarysowaniu) i ma charakter eksponencjalny
ω(κd) = 1 − κo κd
1 − α + αe−η(κd−κo) (2.9) W funkcji tej wyst˛epuje parametr ci ˛agliwo´sci η zwi ˛azany z energi ˛a p˛ekania Gf i parametr nu- meryczny α, który okre´sla residualn ˛a no´sno´s´c materiału, bowiem spadek napr˛e˙ze´n i sztywno´sci do zera prowadzi do rozbie˙zno´sci oblicze´n.
Linearyzacja tego modelu konstytutywnego, tzn. obliczenie zale˙zno´sci ˙σ od ˙ czyli wy- znaczenie operatora stycznego Dtang, jest dokonywane analogicznie do modelu zarysowania przedstawionego w Rozdziale IX. Przykłady zastosowa´n takiego modelu w symulacjach zary- sowania konstrukcji betonowych zawieraj ˛a np. prace [14–16].
3. Problem lokalizacji odkształce ´n
Lokalizacja odkształcenia to zjawisko koncentracji odkształcenia materiału w małym podobsza- rze – zazwyczaj w ˛askim pa´smie – analizowanej próbki lub elementu konstrukcyjnego. W wyni- ku osłabienia materiału maj ˛acego mikrostruktur˛e, a modelowanego fenomenologicznie na po- ziomie makroskopowego opisu, w próbce lub elemencie odkształconym pocz ˛atkowo w sposób równomierny (stałe odkształcenia i napr˛e˙zenia) pojawia si˛e nagle pasmo procesu aktywnego, w którym materiał nadal si˛e uplastycznia, zarysowuje lub uszkadza, a reszta obszaru próbki (ele- mentu) wykazuje odci ˛a˙zenie. Typowym zjawiskiem tego typu s ˛a pasma ´scinania w gruntach.
Lokalizacja odkształce´n wyst˛epuje zazwyczaj w materiałach przed p˛ekni˛eciem czy inn ˛a form ˛a zniszczenia, zatem powinno by´c dobrze opisywane przez modele numeryczne i reprodukowane w symulacjach.
w wu
σ ft
Rysunek 3.1. Przykładowa zale˙zno´s´c napr˛e˙zenie σ – ró˙znica przemieszcze´n w
Opis teoretyczny zjawiska lokalizacji wykracza poza to opracowanie, zainteresowany Czy- telnik mo˙ze odwoła´c si˛e np. do prac [17, 18] lub ksi ˛a˙zek nt. modelowania materiałów w za- kresie nieliniowym, np. [19]. Problem polega na tym, ˙ze uwzgl˛ednienie osłabienia (lub nie- stowarzyszonego prawa płyni˛ecia plastycznego prowadz ˛acego do niesymetrycznego operatora stycznego) w klasycznych opisach o´srodka ci ˛agłego powoduje defekt w sformułowaniu modelu matematycznego skutkuj ˛acy patologiczn ˛a zale˙zno´sci ˛a rozwi ˛azania numerycznego od g˛esto´sci dyskretyzacji. Problem ten zostanie wyja´sniony poni˙zej.
Podczas osłabienia materiału w procesie obci ˛a˙zenia, w szczególno´sci dla betonu podle- gaj ˛acemu zarysowaniu przy rozci ˛aganiu, obserwuje si˛e do´swiadczalnie lokalizacj˛e odkształce´n niespr˛e˙zystych cr w strefach o małej, ale sko´nczonej szeroko´sci [20–22]. Odkształcenia próbki betonowej osiowo rozci ˛aganej po osi ˛agni˛eciu wytrzymało´sci na rozci ˛aganie przestaj ˛a by´c ho- mogeniczne – nast˛epuje lokalizacja odkształce´n niespr˛e˙zystych w stosunkowo w ˛askiej strefie, zwykle w ´srodku długo´sci próbki, podczas gdy w pozostałej cz˛e´sci próbki wyst˛epuj ˛a wył ˛acznie odkształcenia spr˛e˙zyste e, które ulegaj ˛a zmniejszeniu z uwagi na spadek napr˛e˙ze´n po zaryso- waniu. Tak wi˛ec w próbce mo˙zna do´swiadczalnie zaobserwowa´c dwa obszary – w ˛askie pasmo lokalizacji gdzie rozwijaj ˛a si˛e odkształcenia niespr˛e˙zyste i reszt˛e elementu podlegaj ˛ac ˛a odci ˛a-
˙zeniu. W takim przypadku do´swiadczalny pomiar odkształce´n zale˙zy silnie od wybranej bazy pomiarowej i nie daje obiektywnych rezultatów. W szczególno´sci nie da si˛e w jednoznaczny sposób ustali´c modułu osłabienia.
Do´swiadczenia wykazuj ˛a, ˙ze dla procesów z osłabieniem mo˙zna obiektywnie ustali´c za- le˙zno´s´c napr˛e˙zenie-ró˙znica przemieszcze´n w, gdzie ró˙znica przemieszcze´n dotyczy przeciwle- głych kraw˛edzi strefy lokalizacji – rys. 3.1. Pole pod krzyw ˛a reprezentuje energi˛e dyssypowan ˛a w procesie osłabienia i jest nazywane energi ˛a p˛ekania Gf
Gf =
Z wu
0
σdw (3.1)
Energia p˛ekania jest uwa˙zana za stał ˛a materiałow ˛a i dla danego typu obci ˛a˙zenia (jednoosiowego rozci ˛agania, ´sciskania lub ´scinania) mo˙ze by´c jednoznacznie ustalona na drodze do´swiadczalnej [20, 23].
Podobne zjawisko obserwujemy w opisie teoretycznym. Je´sli na szczeblu punktu mate- rialnego wprowadzimy zale˙zno´s´c napr˛e˙zenie-odkształcenie z osłabieniem, np. liniowym jak na rys. 3.2(a), to wówczas otrzymamy niejednoznaczn ˛a odpowied´z na szczeblu konstrukcji zale˙zn ˛a od szeroko´sci strefy lokalizacji, por. rys. 3.2(b). Ko´ncowe przemieszczenie u mo˙ze by´c równe warto´sci uL przy zało˙zeniu, ˙ze strefa lokalizacji obejmuje cał ˛a próbk˛e o długo´sci L. Je´sli jed- nak zało˙zymy, ˙ze strefa lokalizacji ma zerow ˛a szeroko´s´c, to ko´ncowa warto´s´c przemieszczenia b˛edzie równa 0. Nale˙zy zauwa˙zy´c, ˙ze w przyj˛etym modelu materiału z lokalnym zwi ˛azkiem napr˛e˙zenie-odkształcenie szeroko´s´c strefy lokalizacji nie jest zdefiniowana jako cecha mate- riału. Analizy teoretyczne dowodz ˛a, ˙ze przyj˛ecie lokalnej zale˙zno´sci napr˛e˙zenie-odkształcenie
εt εu ε hεu Lεu u
(a) (b)
σ
ft Ft
F
Rysunek 3.2. a) Zale˙zno´s´c napr˛e˙zenie-odkształcenie, b) odpowiadaj ˛aca niejednoznaczna zale˙zno´s´c siła- przemieszczenie
u F
40 20 9
3 5 1
9
1 3 5
L x
ε
εt Ft
Rysunek 3.3. a) Zale˙zno´s´c siła-przemieszczenie w funkcji liczby elementów, b) lokalizacja odkształce´n w elemencie ´srodkowym
z osłabieniem prowadzi na szczeblu konstrukcji do powstania stref lokalizacji o zerowej sze- roko´sci [17]. W strefach lokalizacji o zerowej szeroko´sci nie nast˛epuje dyssypacja energii, co powoduje, ˙ze zale˙zno´s´c siła-przemieszczenie dla materiału z osłabieniem pokrywa si˛e z za- le˙zno´sci ˛a dla spr˛e˙zystego odci ˛a˙zenia. Oznacza to, ˙ze przyj˛ecie lokalnej zale˙zno´sci napr˛e˙zenie- odkształcenie z osłabieniem nie opisuje poprawnie realnego zachowania materiału.
Mimo niepoprawnego sformułowania pod wzgl˛edem teoretycznym model materiału z lo- kalnym zwi ˛azkiem napr˛e˙zenie-odkształcenie z osłabieniem mo˙ze zosta´c zaimplementowany do programu MES. Przy próbie symulacji numerycznej osiowego rozci ˛agania próbki betonowej otrzymamy wyniki przedstawione na rys. 3.3. Zale˙zno´s´c siła-przemieszczenie zale˙zy w sposób patologiczny od liczby elementów sko´nczonych u˙zytych do dyskretyzacji próbki po długo´sci.
Wynika to z umiejscowienia strefy lokalizacji w jednym, ´srodkowym elemencie przy jednocze- snym spr˛e˙zystym odci ˛a˙zeniu wszystkich pozostałych elementów, por. rys. 3.3(b). Zmniejszenie długo´sci elementów sko´nczonych prowadzi do wzrostu odkształce´n w elemencie ´srodkowym (strefa lokalizacji) przy jednoczesnym zmniejszeniu odkształce´n w pozostałych elementach (strefa odci ˛a˙zenia) dla zadanej warto´sci przemieszczenia ko´nca próbki. Je´sli długo´s´c elementów sko´nczonych b˛edzie zmierza´c do zera to odkształcenie w elemencie ´srodkowym b˛edzie d ˛a˙zy´c do niesko´nczono´sci, a w pozostałych elementach do zera.
Lokalna dyssypacja energii na poziomie punktu materialnego gf wynosi (por. rys. 4.3 w Rozdziale IX)
gf =
Z u
0
σdcr (3.2)
Je´sli zało˙zy´c, ˙ze lokalizacja w rozwi ˛azaniu numerycznym jest ograniczona do jednego rz˛edu elementów sko´nczonych to prawdziwy jest wzór
gfhe= Gf (3.3)
gdzie he jest charakterystycznym wymiarem elementu. Powy˙zsze dwa równania prowadz ˛a do zale˙zno´sci
Z u
0
σdcr = Gf
he (3.4)
Traktuj ˛ac warto´s´c energii p˛ekania Gf jako stał ˛a materiałow ˛a mo˙zna z powy˙zszego wzoru wy- znaczy´c warto´s´c u, która musi by´c przyj˛eta w zwi ˛azku napr˛e˙zenie-odkształcenie na poziomie punktu materialnego, aby zapewni´c wyniki na szczeblu konstrukcji niezale˙zne od przyj˛etego podziału na elementy sko´nczone [24–26]
W przypadku liniowej zale˙zno´sci napr˛e˙zenie-odkształcenie przy osłabieniu (tak jak to po- kazano na rys. 9 w Rozdziale IX) lokalna dyssypacja energii na poziomie punktu materialnego gf wynosi
gf = 1
2ftu (3.5)
Wówczas zgodnie z równ. (3.4) warto´s´c odkształcenia u powinna by´c przyj˛eta jako
u = 2Gf
fthe (3.6)
Powy˙zej przedstawiony sposób prowadzi do otrzymania zale˙zno´sci siła-przemieszczenie na szczeblu konstrukcji niezale˙znej od przyj˛etego podziału na elementy sko´nczone. W tym celu zale˙zno´s´c napr˛e˙zenie-odkształcenie na poziomie punktu materialnego przy osłabieniu nie jest traktowana jako funkcja materiałowa, ale zgodnie ze wzorem (3.4) jest zale˙zna od wielko´sci elementu – w szczególnym przypadku (równ. 3.6) warto´s´c graniczna odkształcenia u jest od- wrotnie proporcjonalna do wymiaru elementu he. W zwi ˛azku z tym w literaturze przedstawiany sposób post˛epowania jest czasami opisywany jako zastosowanie "modułu osłabienia dopasowa- nego do siatki elementów". Z uwagi na swoj ˛a prostot˛e metoda ta jest cz˛esto implementowana do komercyjnych programów MES (np. [27]). Wad ˛a metody jest to, ˙ze strefa lokalizacji ograni- cza si˛e do jednego rz˛edu elementów i jej szeroko´s´c maleje wraz z zag˛eszczaniem siatki zamiast pozostawa´c stała. W przypadku elementów sko´nczonych wy˙zszego rz˛edu o wielu punktach cał- kowania numerycznego lub przy zło˙zonym stanie napr˛e˙zenia prawidłowe ustalenie warto´sci he nie jest rzecz ˛a trywialn ˛a, propozycje w tym zakresie podaj ˛a prace [26, 28].
Powy˙zsze post˛epowanie nie ma wpływu na model matematyczny zagadnienia deformacji nieliniowych zwi ˛azanych z zarysowaniem lub uszkodzeniem. Aby rozwi ˛aza´c problem niepo- prawno´sci modelu matematycznego dla materiału z osłabieniem i usun ˛a´c całkowicie patolo- giczn ˛a zale˙zno´s´c rozwi ˛azania dyskretnego od siatki nale˙załoby albo zastosowa´c poprawiony model o´srodka ci ˛agłego (co jest nazywane regularyzacj ˛a) albo skoncentrowa´c efekt osłabienia w interfejsie (linii w przypadku modeli dwuwymiarowych, powierzchni w przypadku mode- li trójwymiarowych) i modelowa´c o´srodek nieci ˛agły. To drugie podej´scie, zastosowane po raz pierwszy w [26], jest z powodzeniem wykorzystywane z pakietach MES jako tzw. rysy dyskret- ne. Interfejsowe elementy sko´nczone s ˛a zreszt ˛a wykorzystywane tak˙ze w modelowaniu zjawisk fizycznych zachodz ˛acych na granicy o´srodków, np. po´slizgu z tarciem zbrojenia w betonie.
Natomiast poprawione teorie o´srodka ci ˛agłego, rozwijane w kontek´scie modelowania ma- teriałów z osłabieniem, obejmuj ˛a teorie nielokalne, w tym modele z całkowym u´srednianiem wielko´sci mechanicznych, por. np. [29–31], modele continuum wy˙zszego rz˛edu (gradientowe), por. np. [32–36] i teorie o´srodka mikropolarnego. Do poprawionych teorii continuum, zapew- niaj ˛acych regularyzacj˛e, nale˙z ˛a tak˙ze wspomniane w Rozdziale IX modele uwzgl˛edniaj ˛ace za- le˙zno´s´c napr˛e˙zenia od pr˛edko´sci odkształcenia czyli modele lepkospr˛e˙zyste lub lepkoplastycz- ne [37–40].
Jako przykład modelu gradientowego poka˙zemy modyfikacj˛e opisu mechaniki uszkodzenia z poprzedniego punktu. Aby uczyni´c model ze skalarnym parametrem uszkodzenia modelem nielokalnym wystarczy zmodyfikowa´c definicj˛e powierzchni uszkodzenia przez zast ˛apienie lo- kalnej miary odkształcenia ˜ miar ˛a u´srednion ˛a ¯
Fd = ¯ − κd = 0 (3.7)
(a) Dyskretyzacja MES – siatka rzadka. (b) Rozkład zbrojenia siatkami.
Rysunek 4.1.Analizowana konfiguracja.
któr ˛a otrzymuje si˛e w wyniku rozwi ˛azania dodatkowego równania ró˙zniczkowego typu dyfu- zyjnego w postaci [33]
¯
− c∇2¯ = ˜ (3.8)
z jednorodnymi naturalnymi warunkami brzegowymi. W równaniu tym po prawej stronie wy- st˛epuje miara lokalna, która jest u´sredniana, a parametr c > 0 ma wymiar długo´sci do kwadratu i jest zwi ˛azany z tzw. wewn˛etrznym parametrem długo´sci, czyli w najprostszym przypadku dodatkow ˛a stał ˛a materiałow ˛a charakteryzuj ˛ac ˛a mikrostruktur˛e (niejednorodno´s´c) materiału.
Równanie (3.8) jest rozwi ˛azywane równocze´snie z równaniem gwarantuj ˛acym spełnienie równa´n równowagi, przy czym metoda elementów sko´nczonych opiera si˛e na słabych (całko- wych) formach tych warunków, a elementy sko´nczone dla modelu gradientowego musz ˛a mie´c aproksymowane dwa pola, obok wektora przemieszczenia tak˙ze u´srednion ˛a miar˛e odkształce- nia. Takie modele nie s ˛a jeszcze dost˛epne w komercyjnych pakietach do symulacji MES.
4. Przykłady analiz konstrukcji betonowych 4.1. Analiza przebicia płyty
Pierwszy przykład zaawansowanych oblicze´n to symulacja przebicia płyty przez słup przy u˙zy- ciu modelu betonu opartego na sprz˛e˙zonej teorii plastyczno´sci i uszkodzenia w pakiecie MES ABAQUS, nazwanym concrete damaged plasticity (w skrócie CDP), por. [41] i krótki opis w Rozdziale IX. W przykładzie tym zaj˛eto si˛e symetrycznym modelem poł ˛aczenia płyta-słup, przebadanego w laboratorium [42], dlatego analizowana jest ´cwiartka konfiguracji, por. [16].
Cały model jest dyskretyzowany elementami sze´sciennymi o liniowej interpolacji.
Rysunek 1(a) przedstawia widok rzadkiej siatki MES z góry, w symulacjach u˙zywano te˙z siatek zag˛eszczonych, w szczególno´sci z dwukrotnie wi˛eksz ˛a liczb ˛a elementów wzdłu˙z gru- bo´sci i dwukrotnym zag˛eszczeniem w ka˙zdym kierunku (siatka g˛esta). Zale˙zno´s´c rozwi ˛azania numerycznego od g˛esto´sci dyskretyzacji zbadano w [43] i generalna konkluzja jest taka, ˙ze przy zastosowaniu klasycznych modeli o´srodka ci ˛agłego wyniki zale˙z ˛a od g˛esto´sci siatki MES w sposób patologiczny, tzn. rozwi ˛azanie dla ka˙zdej siatki jest inne i przy zag˛eszczaniu zmierza do rozwi ˛azania niepoprawnego fizycznie. Aby unikn ˛a´c tego efektu nale˙załoby stosowa´c zre- gularyzowane modele kontinuum lub alternatywnie modele dopuszczaj ˛ace powstanie nieci ˛a- gło´sci przemieszcze´n w miejscu rysy (tzw. rysy dyskretne). W przedstawionej symulacji model
Tablica 4.1.Dane do symulacji numerycznej.
Stałe spr˛e˙zyste Moduł Younga [GPa] Współczynnik Poissona
Beton 34.4 0.2
Stal 205 0.3
Zbrojenie Odst˛ep Otulina (do osi) Pole przekroju Granica plast.
[mm] [mm] [mm2] [MPa]
rozci ˛agane w płycie 100 24 100 455
´sciskane w płycie 200 24 100 455
pr˛ety w słupie 25 300 455
strzemiona w słupie 50 455
jest zregularyzowany przez uwzgl˛ednienie w algorytmie teorii spr˛e˙zysto-plastyczno´sci członów lepkich [40, 44].
W symulacjach zało˙zono pełn ˛a przyczepno´s´c stali do betonu. i ograniczono si˛e do analizy płyty pomi˛edzy liniami podpór o wymiarach 1500×1500×120 mm. Podstawowe dane do symu- lacji podano w tabl. 4.1 (parametry materiałowe s ˛a rozumiane jako warto´sci ´srednie otrzymane z eksperymentu), a rozkład zbrojenia jest widoczny na rys. 1(b). Nie jest uwzgl˛ednione ˙zadne zbrojenie na przebicie, celem jest symulacja zjawiska przebicia. Obci ˛a˙zenie statyczne pokaza- ne na rys. 1(a) jest przykładane steruj ˛ac monotonicznym wzrostem przemieszczenia pionowego górnej płaszczyzny przekroju słupa.
Przyj˛eto nast˛epuj ˛ace parametry modelu: wytrzymało´s´c na jednoosiowe rozci ˛aganie ft = 2.13 MPa, k ˛at dylatacji ψ = 5.0◦, energia p˛ekania Gf,t = 106.5 N/m, granica plastyczno-
´sci przy ´sciskaniu fc = 50.0 MPa dla odkształcenia mia˙zd˙z ˛acego c1 = 0.0015. W zakresie rozci ˛agania zało˙zono liniowe osłabienie w zale˙zno´sci napr˛e˙zenia od odkształcenia odpowiada- j ˛ace podanej energii p˛ekania. Jednak˙ze, dla unikni˛ecia utraty zbie˙zno´sci rozwi ˛azania na skutek zerowego napr˛e˙zenia i sztywno´sci, napr˛e˙zenie σtliniowo maleje od warto´sci ftdo 0.2 ftdla od- kształcenia rozci ˛agaj ˛acego o warot´sci t1 = 0.02, a nast˛epnie zało˙zono stał ˛a residualn ˛a no´sno´s´c zarysowanego betonu.
Uszkodzenie i degradacja spr˛e˙zystych wła´sciwo´sci betonu s ˛a reprezentowane dodatkowo przez wzrost parametru ω liniowo od 0 warto´sci 0.9 dla odkształcenia t1 = 0.02 przy roz- ci ˛aganiu, a dla odkształcenia c2 = 0.2 przy ´sciskaniu, a nast˛epnie jest narzucony jako stały, ponownie dla unikni˛ecia problemów numerycznych. Znaczenie parametru lepko´sci µ zostało przeanalizowane w [16], w przedstawionych tutaj wynikach przyj˛eto µ = 0.002. Pozostałe parametry s ˛a domy´slnymi przyj˛etymi w modelu CDP w dokumentacji pakietu [41].
Ograniczamy prezentacj˛e wyników do jednego przypadku analizy przy u˙zyciu g˛estej siatki elementów sze´sciennych (wyniki dla innych przypadków przedstawiono w [16,43]). Na rys. 4.2 przedstawiono wybrane wyniki analizy. Wykres zale˙zno´sci siła-ugi˛ecie 2(a), otrzymany przy u˙zyciu pełnego sprz˛e˙zonego modelu CDP, został porównany z krzyw ˛a do´swiadczaln ˛a zaczerp- ni˛et ˛a z [16]. Jak wida´c, pocz ˛atkowa sztywno´s´c układu jest przeszacowana (to efekt idealizacji warunków brzegowych i pomini˛ecia rzeczywistego wst˛epnego uszkodzenia betonu przez np.
skurcz), co cz˛esto wystepuje w symulacjach. Natomiast no´sno´s´c modelu jest znacz ˛aco ni˙zsza od eksperymentalnej - przy P ≈ 180 kN i w ≈ 10 mm zaczyna si˛e osłabienie. Mo˙zna wpłyn ˛a´c na symulowan ˛a no´sno´s´c przyjmuj ˛ac wy˙zsz ˛a warto´s´c parametru lepko´sci, ale wi ˛a˙ze si˛e to z sil- niejszym i nierealistycznym wygładzeniem efektów zarysowania (uszkodzenia), nie b˛ed ˛a wi˛ec widoczne strefy zlokalizowanych odkształce´n modeluj ˛acych rysy.
Dodatkowo porównano wyniki z wykresem otrzymanym bez uwzgl˛ednienia uszkodzenia - jak wida´c wobec braku globalnego odci ˛a˙zenia wpływ uszkodzenia w modelu sprz˛e˙zonym na wykres siła-ugi˛ecie jest w tym te´scie niewielki. Jednak˙ze, lokalne redystrybucje napr˛e˙ze´n wi ˛a-
0 50 100 150 200 250
0 2 4 6 8 10 12
Ugi˛ecie w [mm]
bez uszkodzenia
z uszkodzeniem
SiłaP[kN]
Eksperyment
(a) Wykres siła-ugi˛ecie. (b) Deformacja.
(c) PEEQT, widok z boku. (d) ωt, widok z boku.
(e) PEEQT, widok z dołu. (f) ωt, widok z dołu.
(g) PEEQT, przekrój diagonalny. (h) ωt, przekrój diagonalny.
Rysunek 4.2. Wyniki symulacji dla siatki g˛estej. Porównanie wykresów siła-ugi˛ecie, odkształ- cenie płyty i rozkłady miar skalarnych reprezentuj ˛acych odkształcenia niespr˛e˙zyste przy roz- ci ˛aganiu (PEEQT) i uszkodzenie (ωt) dla ugi˛ecia w ≈ 12.5 mm.
˙z ˛a si˛e z odci ˛a˙zeniem materiału na poziomie punktu i to powoduje, ˙ze przedstawione na rys. 4.2 rozkłady parametrów wewn˛etrznych ilustruj ˛a inny rozkład zarysowania w strefie przebicia ni˙z dla przypadku bez uszkodzenia, por. [16]. Wida´c, ˙ze wykresy warstwicowe miary odkształce´n niespr˛e˙zystych przy rozci ˛aganiu (PEEQT, [41]) i uszkodzenia (ωt) s ˛a bardzo podobne, bo przy zarysowaniu to PEEQT determinuje wzrost uszkodzenia. Model przewiduje oprócz pionowej rysy przy samym słupie wywołanej zginaniem powstanie 2-3 nachylonych stref zarysowania (uszkodzenia), widocznych najlepiej w przekroju pionowym płaszczyzn ˛a symetrii (widok z bo- ku).
Mo˙zna powiedzie´c, ˙ze wyniki nie s ˛a w pełni zadowalaj ˛ace. Tak zdarza si˛e cz˛esto w symu- lacjach numerycznych zło˙zonych nieliniowych zagadnie´n. Przyj˛ety model mo˙zna na kilka spo- sobów udoskonala´c (np. przyj ˛a´c jeszcze g˛estsz ˛a siatk˛e MES, lepiej dobra´c parametry modelu materiału, uwzgl˛edni´c po´slizg stali wzgl˛edem betonu, modelowa´c powstanie rys dyskretnych).
Wa˙zne jest, aby ocenie poddawa´c nie tylko wykresy siła-przemieszczenie, reprezentuj ˛ace ewo- lucj˛e sztywno´sci układu w konsekwencji powstania odkształce´n niespr˛e˙zystych i uszkodzenia, ale tak˙ze rozkłady wielko´sci decyduj ˛acych o odpowiedzi.
4.2. Analiza chłodni kominowej
Jako drugi przykład przedstawiono analiz˛e no´sno´sci i trwało´sci dwóch hiperboloidalnych chłod- ni kominowych, wybudowanych w połowie lat 70. ubiegłego stulecia [45,46]. Celem tego przy- kładu jest przedstawienie mo˙zliwo´sci wykorzystania zaawansowanych modeli materiałowych przy ocenie no´sno´sci rzeczywistych obiektów budowlanych o du˙zej skali. Obliczenia prowa- dzono modeluj ˛ac nieliniowe zachowanie si˛e konstrukcji zarówno pod wzgl˛edem materiałowym (zarysowanie betonu, uplastycznienie stali zbrojeniowej) jak i geometrycznym (efekty drugiego rz˛edu).
Pierwszym obiektem jest chłodnia kominowa o wysoko´sci 120 m nad poziomem terenu.
Widok chłodni oraz szczegóły jej geometrii s ˛a przedstawione na rys. 4.3. Obiekt wyra´znie ró˙zni si˛e od innych tego typu konstrukcji istotnymi odchyłkami od zało˙zonej, projektowej hiperbolo- idy obrotowej. Odchyłki wynosz ˛a od -1.20 m do +0.90 m. Rozkład imperfekcji geometrycznych płaszcza wyznaczonych na podstawie pomiarów geodezyjnych przedstawiono na rys. 4.4.
Ocen˛e stanu technicznego przeprowadzono na podstawie przegl ˛adu powierzchni zewn˛etrz-
(a) (b)
Rysunek 4.3. Widok i geometria chłodni kominowej
Rysunek 4.4. Imperfekcje geometryczne chłodni
nej i wewn˛etrznej płaszcza chłodni oraz w oparciu o wyniki bada´n polowych i laboratoryjnych.
Na płaszczu stwierdzono uszkodzenia o charakterze lokalnym. Stan zewn˛etrznych i wewn˛etrz- nych powłok ochronnych uznano jako dobry. Jedynie w rejonie korony chłodni zewn˛etrzne powłoki zabezpieczaj ˛ace uległy znacznej destrukcji, co miejscami doprowadziło do przyspie- szonej korozji i zaawansowanych uszkodze´n betonu. Stwierdzono bardzo dobr ˛a przyczepno´s´c betonu narzutowego, lokalnych jego napraw oraz ta´sm CFRP do podło˙za, co pozwoliło na uwzgl˛ednienie współpracy tych elementów w analizie obliczeniowej oraz w ocenie bezpiecze´n- stwa konstrukcji.
Dla oceny no´sno´sci zastosowano metodyk˛e przedstawion ˛a w [47] dostosowan ˛a do spe- cyfiki chłodni kominowych. W symulacjach numerycznych zało˙zono ´srednie warto´sci parame- trów materiałowych (w tym wytrzymało´sci), obci ˛a˙zenia przyj˛eto w warto´sciach obliczeniowych uwzgl˛edniaj ˛ac ich mo˙zliwe kombinacje i kolejno´s´c przyło˙zenia. Obci ˛a˙zenie zmienne wiod ˛a- ce przykładano jako ostatnie prowadz ˛ac obliczenia a˙z do wyczerpania no´sno´sci konstrukcji.
W celu zapewnienia no´sno´sci konstrukcji na poziomie spełniaj ˛acym wymogi bezpiecze´nstwa mno˙znik obci ˛a˙zenia dla wiod ˛acego obci ˛a˙zenia zmiennego w warto´sci obliczeniowej powinien wynosi´c przynajmniej 1.30. Podobne podej´scie do zapewnienia wła´sciwego poziomu bezpie- cze´nstwa konstrukcji przy wykorzystaniu analizy nieliniowej mo˙zna znale´z´c w [48, 49]. Stoso- wanie warto´sci obliczeniowych dla parametrów materiałowych w analizie nieliniowej nie jest wła´sciwe, gdy˙z prowadzi do znacznego zani˙zenia sztywno´sci i przeszacowania przemieszcze´n konstrukcji nawet dla niskich poziomów obci ˛a˙zenia.
Model MES płaszcza chłodni i słupów podbudowy pokazano na rys. 4.5. Obliczenia prze- prowadzono w systemie MES DIANA. Do opisu utraty sztywno´sci betonu w wyniku zaryso- wania wykorzystano model wielokierunkowych, nieortogonalnych rys rozmytych o ustalonym kierunku [27]. W obszarze napr˛e˙ze´n ´sciskaj ˛acych zało˙zono liniowo-spr˛e˙zyste zwi ˛azki fizycz- ne betonu. Dla stali zbrojeniowej przyj˛eto spr˛e˙zysto-plastyczny model materiału z liniowym wzmocnieniem. Wzmocnienia z ta´sm CFRP zamodelowano jako materiał liniowo-spr˛e˙zysty p˛e- kaj ˛acy krucho po osi ˛agni˛eciu wytrzymało´sci na rozci ˛aganie. Model chłodni uwzgl˛edniał zbro- jenie siatkowe powłoki przy powierzchni zewn˛etrznej i wewn˛etrznej, zbrojenie na stan tarczo- wy i zbrojenie pier´scienia oraz lokalne wzmocnienia w postaci ta´sm w˛eglowych. Nieliniowo´s´c geometryczn ˛a uwzgl˛edniono w obliczeniach stosuj ˛ac tzw. całkowity opis Lagrange’a.
Przyj˛eto nast˛epuj ˛ace dane materiałowe: dla stali charakterystyczna granica plastyczno´sci fyk = 220 MPa, moduł Younga Es = 200 GPa, moduł wzmocnienia plastycznego hs = 1.7 GPa; dla betonu ´srednia wytrzymało´s´c na rozci ˛aganie fctm = 2.20 MPa, ´sredni moduł Younga Ecm= 30 GPa, współczynnik Poissona ν = 0.20, energia p˛ekania Gf = 40 N/m, osła-
fy
Rysunek 4.5. Model MES chłodni
bienie przy rozci ˛aganiu opisane krzyw ˛a Hordijka [27]; dla ta´sm CFRP ´srednia wytrzymało´s´c na rozci ˛aganie ff tm = 1250 MPa, ´sredni moduł Younga Ef m = 165 GPa.
Płaszcz chłodni zdyskretyzowano za pomoc ˛a zdegenerowanych, izoparametrycznych, o´smio- w˛ezłowych elementów sko´nczonych spełniaj ˛acych zało˙zenia pi˛ecioparametrowej teorii powłok, uwzgl˛edniaj ˛ac rzeczywist ˛a geometri˛e chłodni zgodnie z rys. 4.4. Słupy podbudowy zamodelo- wano wykorzystuj ˛ac przestrzenne elementy belkowe. Konstrukcja komina wywiewnego chłod- ni została poddana oddziaływaniu nast˛epuj ˛acych obci ˛a˙ze´n: ci˛e˙zar własny G, ci˛e˙zar torkretu GTR, parcie/ssanie wiatru na powierzchni zewn˛etrznej Wei ssanie na powierzchni wewn˛etrznej Wi oraz oddziaływanie temperatury w zimie TZ i lecie TL. Obci ˛a˙zenie parciem wiatru wraz z rozpatrywanymi kierunkami oddziaływania przedstawiono na rys. 4.6.
W wyniku przeprowadzonych analiz numerycznych otrzymano zale˙zne od poziomu po- szczególnych obci ˛a˙ze´n: deformacje konstrukcji (rys. 4.7), siły wewn˛etrzne w betonie powłoki w poszczególnych warstwach, rozkłady napr˛e˙ze´n w stali zbrojeniowej oraz morfologie zaryso- wania (rys. 4.8), a tak˙ze graniczne mno˙zniki obci ˛a˙zenia wiatrem.
Przykładowe historie przemieszcze´n wybranych w˛ezłów (charakteryzuj ˛acych si˛e najwi˛ek- sz ˛a warto´sci ˛a w chwili zniszczenia) pokazano na rys. 4.9. Na osi pionowej przedstawiony jest umowny bezwymiarowy czas, za pomoc ˛a którego definiowano sekwencj˛e przyło˙zenia obci ˛a-
˙ze´n. Dla kierunku działania wiatru 150 ◦ w pierwszej jednostce czasu konstrukcj˛e obci ˛a˙zono
Rysunek 4.6. Rozkład parcia od wiatru wiej ˛acego z kierunku 180◦, rozpatrywane kierunki wiatru
ci˛e˙zarem własnym G wraz z ci˛e˙zarem torkretu GTR w warto´sci obliczeniowej (tzn. z mno˙z- nikiem 1.35), a nast˛epnie wiatrem, zwi˛ekszaj ˛ac w czasie mno˙znik obci ˛a˙zenia dla wiatru a˙z do wyczerpania no´sno´sci. Podobny sposób post˛epowania jest przedstawiony dla kierunku działania wiatru 222 ◦. W tym przypadku dodatkowo w drugiej jednostce czasu obci ˛a˙zono konstrukcj˛e temperatur ˛a letni ˛a TL w warto´sci obliczeniowej (mno˙znik 1.5). Ze wzgl˛edu na du˙ze imperfek- cje geometryczne powłoka chłodni kominowej charakteryzuje si˛e widoczn ˛a nieliniowo´sci ˛a ju˙z dla obci ˛a˙zenia stałego, pogł˛ebiaj ˛ac ˛a si˛e wraz ze wzrostem obci ˛a˙ze´n ´srodowiskowych – wiatru i temperatury. Obci ˛a˙zenie cie˙zarem własnym powoduje powstanie lokalnie silnych stanów gi˛et- nych (rys. 4.8), co prowadzi do znacznego wyt˛e˙zenia zbrojenia równole˙znikowego i powstania rys. Dla chłodni kominowych o geometrii bez imperfekcji obci ˛a˙zenie ci˛e˙zarem własnym daje wył ˛acznie siły membranowe, nie powoduj ˛ac zarysowa´n.
Wyniki oblicze´n wskazały, ˙ze najbardziej niekorzystnym układem obci ˛a˙zenia jest wiatr wiej ˛acy z kierunków 150◦ i 186◦. W przypadku tych kombinacji deformacje płaszcza chłodni przypominaj ˛a lokalne zakl˛e´sni˛ecie w miejscu najwi˛ekszych imperfekcji. Najmniejsz ˛a no´sno´s´c otrzymuje si˛e dla kombinacji uwzgl˛edniaj ˛acych górn ˛a warto´s´c obliczeniow ˛a obci ˛a˙zenia sta- łego (tzn. z mno˙znikiem 1.35). Przyj˛ecie dolnej warto´sci obliczeniowej dla ci˛e˙zaru własnego (mno˙znik 1.00) prowadzi do zwi˛ekszenia no´sno´sci. Jak przedstawiono wy˙zej jest to zwi ˛azane z silnymi imperfekcjami geometrycznymi. Dla pozostałych kierunków oddziaływania wiatru deformacje konstrukcji wskazuj ˛a na globaln ˛a utrat˛e no´sno´sci, a minimalne mno˙zniki dla obci ˛a-
˙zenia wiatrem w chwili wyczerpania no´sno´sci osi ˛agaj ˛a wi˛eksze warto´sci.
Porównanie minimalnych warto´sci mno˙znika granicznego uzyskanego w obliczeniach λW,calc z mno˙znikiem wymaganym λW,req pokazało, ˙ze λW,calc > λW,req dla wszystkich rozpatrywa- nych kombinacji obci ˛a˙ze´n – rys 4.10. Oznacza to, ˙ze konstrukcja płaszcza chłodni kominowej pracuje z wymaganym poziomem bezpiecze´nstwa. Przy wyznaczeniu wymaganego minimalne- go mno˙znika obci ˛a˙zenia dla wiatru λW,req uwzgl˛edniono współczynnik dynamiczny, ró˙z˛e wia- trów, a tak˙ze redukcj˛e warto´sci charakterystycznej obci ˛a˙zenia wiatrem wynikaj ˛ac ˛a z zało˙zenia czasu dalszej eksploatacji chłodni ograniczonego do 15 lat (zamiast standardowo zakładane- go czasu 50 lat). Te zało˙zenia wyja´sniaj ˛a zale˙zno´s´c od kierunku działania wiatru i stosunkowo nisk ˛a warto´s´c λW,req.
Drugi omawiany obiekt stanowi chłodnia kominowa o wysoko´sci 90 m. Poni˙zej przedsta- wiono ocen˛e poziomu bezpiecze´nstwa pracy tej chłodni kominowej po 20 latach od wykona- nia ostatniego remontu powłoki. Przeprowadzone pomiary geodezyjne nie wykazały istotnych odchyłek płaszcza chłodni od zało˙zonej w dokumentacji projektowej geometrii. Do oblicze´n
Rysunek 4.7. Deformacje chłodni w chwili zniszczenia [m], kombinacje obci ˛a˙ze´n: wiod ˛acy wiatr z kierunku 150◦, wiod ˛aca temperatura przy wietrze z kierunku 222◦
Rysunek 4.8. Napr˛e˙zenia w zbrojeniu równole˙znikowym zewn˛etrznym w chwili zniszczenia [kPa], za- rysowania powierzchni wewn˛etrznej dla ci˛e˙zaru własnego w warto´sci obliczeniowej 1.35(G + GTR)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
przemieszczenie [m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5
t [-]
Kombinacja 1.35(G+GTR)+lWW150o 1.35(G+GTR)
lw.calc=1.2
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
przemieszczenie [m]
0 1 2 3 4 5
t [-]
Kombinacja 1.35(G+GTR)+1.5TL+lWW222o 1.35(G+GTR)
1.35(G+GTR)+1.5TL
lw.calc=2.5
(b)
Rysunek 4.9. Przemieszczenia wybranych punktów chłodni w funkcji przyło˙zonego obci ˛a˙zenia
0 60 120 180 240 300 360
j [o] 0.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5
lw.calc, lw.req
lw.calc lw.req
Rysunek 4.10. Porównanie granicznych warto´sci mno˙znika obci ˛a˙zenia dla wiatru λW,calc z warto´sci ˛a wymagan ˛a λW,req
X Y Z
.27 .52 .7.102 .127 .152 .176 .201 .226 .251 .276.301 .326 .351 .375
(a)
X Y
Z
(b)
Rysunek 4.11. Deformacje chłodni [m] i stan zarysowania dla mno˙znika obci ˛a˙zenia wiatrem o warto´sci 2.8
X Y
Z
-.41E5 -.131E5 .149E5 .429E5 .708E5 .988E5 .127E6 .155E6 .183E6 .211E6 .239E6 .267E6 .295E6 .323E6 .351E6
(a)
X Y
Z
-.423E5 -.269E5 -.114E5 .408E4 .196E5 .35E5 .505E5 .66E5 .814E5 .969E5 .112E6 .128E6 .143E6 .159E6 .174E6
(b)
Rysunek 4.12. Napr˛e˙zenia w zbrojeniu południkowym wewn˛etrznym i równole˙znikowym zewn˛etrznym [kPa] dla mno˙znika obci ˛a˙zenia wiatrem o warto´sci 2.8
przyj˛eto, ˙ze powłoka ´srodkowa chłodni jest idealn ˛a hiperboloid ˛a obrotow ˛a. Grubo´sci płaszcza, zbrojenie, geometri˛e wzmocnienia przyj˛eto zgodnie z dokumentacj ˛a projektow ˛a oraz dokumen- tacj ˛a napraw. Zestawienie obci ˛a˙ze´n oraz model obliczeniowy zbudowano w sposób analogiczny jak dla obiektu o wysoko´sci 120 m. Obliczenia z uwzgl˛ednieniem nieliniowo´sci geometrycz- nej oraz utraty sztywno´sci betonu powłoki w wyniku zarysowania i spr˛e˙zysto-plastycznej pracy stali zbrojeniowej dostarczyły szeregu informacji na temat rzeczywistego zachowania si˛e kon- strukcji płaszcza analizowanej chłodni – rys. 4.11 i 4.12.
Przy ustalaniu wymaganego minimalnego mno˙znika obci ˛a˙zenia dla wiatru w chwili wy- czerpania no´sno´sci konstrukcji uwzgl˛edniono współczynnik dynamiczny, pomini˛eto ró˙z˛e wia- trów i zało˙zono dalszy okres eksploatacji 50 lat co doprowadziło do warto´sci λW,req = 2.80.
Na rys. 4.13 i 4.14 zostały przedstawione wyniki analizy wpływu ci˛e˙zaru własnego, od- działywania temperatury, a tak˙ze korozji zbrojenia równole˙znikowego na ´scie˙zki obci ˛a˙zenie- przemieszczenie wybranego punktu na płaszczu chłodni oraz na graniczne mno˙zniki obci ˛a˙ze- nia wiatrem. Ponadto na rys. 4.14 pokazano wpływ efektów drugiego rz˛edu na zachowanie si˛e konstrukcji.
W tym przypadku kombinacj ˛a daj ˛ac ˛a najmniejsz ˛a no´sno´s´c jest działanie wiatru wraz z dol- n ˛a warto´sci ˛a obliczeniow ˛a dla ci˛e˙zaru własnego (mno˙znik 1.00), co jest typowe dla chłodni
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 przemieszczenie uA[m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
λW
Kombinacja 1.0(G+GTR)+λWW58 Kombinacja 1.35(G+GTR)+λWW58
λw.lim= 2.8
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
przemieszczenie uA[m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
λW
Kombinacja 1.0(G+GTR)+λWW58 Kombinacja 1.0(G+GTR)+1.5TZ+λWW58 Kombinacja 1.0(G+GTR)+1.5TL+λWW58 λw.lim= 2.8
(b)
Rysunek 4.13. Wpływ ci˛e˙zaru własnego i temperatury na zale˙zno´s´c obci ˛a˙zenie-przemieszczenie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
przemieszczenie uA[m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
λW
Zbroj. projektowane Red. zbroj. równoleż. o 20%
Red. zbroj. równoleż. o 40%
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
przemieszczenie uA[m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
λW
Analiza geometrycznie nieliniowa Analiza geometrycznie liniowa
(b)
Rysunek 4.14. Wpływ redukcji zbrojenia i efektów drugiego rz˛edu na zale˙zno´s´c obci ˛a˙zenie- przemieszczenie
kominowych bez imperfekcji. Sam ci˛e˙zar własny nie powoduje zarysowa´n i konstrukcja zacho- wuje pierwotn ˛a sztywno´s´c. Uwzgl˛ednienie oddziaływania temperatury zimowej TZ prowadzi do powstania pierwszych rys i zmniejszenia sztywno´sci jeszcze przed przyło˙zeniem obci ˛a˙zenia od wiatru, nie zmniejsza jednak no´sno´sci.
Rysunek 4.14 wyra´znie wskazuje, ˙ze w analizach chłodni kominowych koniecznie jest uwzgl˛ednienie nieliniowo´sci geometrycznej (zakładaj ˛ac du˙ze przemieszczenia, ale ogranicza- j ˛ac si˛e do małych odkształce´n). Analizowana chłodnia jest stosunkowo mało czuła na redukcj˛e ilo´sci zbrojenia, co zapewnia zachowanie odpowiedniej no´sno´sci, nawet gdyby w przyszło´sci pojawiła si˛e korozja stali zbrojeniowej.
Przedstawiona metodyka analizy globalnej no´sno´sci powłoki chłodni z uwzgl˛ednieniem efektów nieliniowo´sci fizycznej betonu i stali zbrojeniowej oraz nieliniowo´sci geometrycznej, stanowi ˛aca podstaw˛e oceny bezpiecze´nstwa i mo˙zliwo´sci dalszego u˙zytkowania tego obiektu, mo˙ze by´c równie˙z zastosowana w innych konstrukcjach poddanych obci ˛a˙zeniom zewn˛etrznym i wymuszonym, spowodowanych skurczem betonu i oddziaływaniami termicznymi (np. zbior- niki na ciecze i materiały sypkie). Prezentowane podej´scie obliczeniowe, polegaj ˛ace na wyzna- czaniu globalnego mno˙znika obci ˛a˙ze´n z uwzgl˛ednieniem zdolno´sci powłokowych konstrukcji
˙zelbetowych do redystrybucji sił wewn˛etrznych (np. w wyniku zarysowania), pozwala na bar- dziej precyzyjn ˛a ocen˛e no´sno´sci konstrukcji i w konsekwencji na zracjonalizowanie kosztów
utrzymania obiektu. Mo˙ze równie˙z decydowa´c o sensowno´sci dopuszczenia obiektu do dalszej eksploatacji w aspekcie ekonomicznym.
5. Podsumowanie i modele nieomówione
W rozdziale tym, b˛ed ˛acym kontynuacj ˛a Rozdziału IX, omówiono modele uszkodzenia, metody poprawnej reprezentacji zjawiska lokalizacji i przedstawiono dwa przykłady zaawansowanych symulacji omówionymi modelami (lub ich sprz˛e˙zeniami) zagadnie´n mechaniki konstrukcji be- tonowych. Jak wida´c, takie modelowanie wymaga wiedzy i do´swiadczenia, ale daj ˛a si˛e zauwa-
˙zy´c ogromne mo˙zliwo´sci symulacyjne nieliniowych modeli materiałów zaimplementowanych w MES.
Przynajmniej dwa aspekty takiego modelowania zostały w Rozdziale IX i niniejszym po- mini˛ete. Po pierwsze, wła´sciwo´sci materiałów in˙zynierskich ewoluuj ˛a w czasie. Przykładem s ˛a zjawiska reologiczne, np. skurcz i pełzanie. Modele tych zjawisk zostały omówione np.
w [3, 23, 50]. Po drugie, materiały poddane dostatecznie du˙zym lub długotrwałym obci ˛a˙zeniom mog ˛a ulec p˛ekni˛eciu. Przez p˛ekni˛ecie autorzy rozumiej ˛a powstanie rysy dyskretnej, czyli utrat˛e ci ˛agło´sci przemieszczenia. Modele mechaniki p˛ekania s ˛a omówione np. w [51].
Podzi˛ekowania
Autorzy wyra˙zaj ˛a podzi˛ekowanie współpracownikom, z których prac współautorskich zostały zaczerpni˛ete przykłady przedstawione w artykule, w szczególno´sci A. Wosatko i M.A. Polak (analiza przebicia) oraz M. Płacheckiemu, Sz. Ser˛edze, P. Krajewskiemu i Ł. Hojdysowi (ana- liza chłodni kominowej).
Bibliografia
[1] Skrzypek J., Ganczarski A.: Modelling of Material Damage and Failure of Structures: Theory and Applications. Springer, Berlin, New York, 1999.
[2] Skrzypek J.: Podstawy mechaniki uszkodze´n. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2006.
[3] Lemaitre J., Desmorat R.: Engineering Damage Mechanics: Ductile, Creep, Fatigue and Brittle Failures. Springer, Berlin, 2005.
[4] de Borst R.: Fracture in quasi-brittle materials: a review of continuum damage-based approaches.
Eng. Fract. Mech., 69(2), 2002, 95–112.
[5] Litewka A.: Effective material constants for ortotropically damaged elastic solid. Arch. Mech., 37(6), 1985, 631–642.
[6] Mazars J., Pijaudier-Cabot G.: Continuum damage theory - application to concrete. ASCE J. Eng.
Mech., 115, 1989, 345–365.
[7] Comi C.: A non-local model with tension and compression damage mechanisms. Eur. J. Mech.
A/Solids, 20(1), 2001, 1–22.
[8] Simo J. C., Ju J. W.: Strain- and stress-based continuum damage models - I. Formulation, II.
Computational aspects. Int. J. Solids Struct., 23(7), 1987, 821–869.
[9] Ju J. W.: On energy-based coupled elastoplastic damage theories: constitutive modeling and com- putational aspects. Int. J. Solids Struct., 25(7), 1989, 803–833.
[10] Grabacki J. K.: Constitutive equations for some damaged materials. Eur. J. Mech. A/Solids, 13, 1994, 51–71.
[11] de Vree J. H. P., Brekelmans W. A. M., van Gils M. A. J.: Comparison of nonlocal approaches in continuum damage mechanics. Comput. & Struct., 55(4), 1995, 581–588.
[12] Mazars J.: Application de la mécanique de l’edommagement au comportement non linéaire et à la rupture du béton de structure. Ph.D. dissertation, Université Paris 6, Paris, 1984.
[13] de Borst R., Pamin J., Geers M. G.D.: On coupled gradient-dependent plasticity and damage theories with a view to localization analysis. Eur. J. Mech. A/Solids, 18(6), 1999, 939–962.
[14] Peerlings R. H.J., de Borst R., Brekelmans W. A.M., Geers M. G.D.: Gradient-enhanced damage modelling of concrete fracture. Mech. Cohes.-frict. Mater., 3, 1998, 323–342.
[15] Wosatko A.: Finite-element analysis of cracking in concrete using gradient damage-plasticity.
Ph.D. dissertation, Cracow University of Technology, Cracow, 2008.
[16] Wosatko A., Pamin J., Polak M.: Application of damage-plasticity models in finite element analysis of punching shear. Comput. & Struct., 151, 2015, 73–85.
[17] de Borst R., Sluys L. J., Mühlhaus H.-B., Pamin J.: Fundamental issues in finite element analyses of localization of deformation. Eng. Comput., 10, 1993, 99–121.
[18] Pamin J.: Computational modelling of localized deformations with regularized continuum models.
Mechanics & Control, 30(1), 2011, 27–33.
[19] de Borst R., Crisfield M.A., Remmers J.J.C., Verhoosel C.V.: Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley, Second Edition, 2012.
[20] van Mier J. G. M.: Strain-softening of concrete under multiaxial loading conditions. Ph.D. disser- tation, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, 1984.
[21] Hordijk D. A.: Local approach to fatigue of concrete. Ph.D. dissertation, Delft University of Technology, Delft, 1991.
[22] Woli´nski S.: Wła´sciwo´sci betonu rozci ˛aganego i ich zastosowanie w nieliniowej mechanice p˛ekania betonu. Budownictwo i In˙zynieria ´Srodowiska, z.15, Politechnika Rzeszowska, Rzeszów, 1991.
[23] fib - Fédération internationale du béton: Code-type models for concrete behaviour. Background of MC2010. fib, 2013. Bulletin No 70.
[24] Bažant Z. P., Oh B.: Crack band theory for fracture of concrete. RILEM Materials and Structures, 16, 1983, 155–177.
[25] Pietruszczak S., Mróz Z.: Finite element analysis of deformation of strain-softening materials. Int.
J. Numer. Meth. Engng, 17, 1981, 327–334.
[26] Rots J. G.: Computational modeling of concrete fracture. Ph.D. dissertation, Delft University of Technology, Delft, 1988.
[27] TNO DIANA BV: DIANA Finite Element Analysis User’s Manual. Theory, 2014. Release 9.6., Delft, The Netherlands.
[28] Oliver J.: A consistent characteristic length for smeared cracking models. Int. J. Numer. Meth.
Engng, 28, 1989, 461–474.
[29] Bažant Z. P., Pijaudier-Cabot G.: Nonlocal continuum damage, localization instability and conver- gence. ASME J. Appl. Mech., 55, 1988, 287–293.
[30] Jirásek M.: Nonlocal models for damage and fracture: Comparison of approaches. Int. J. Solids Struct., 35(31-32), 1998, 4133–4145.
[31] Bobi´nski J.: Implementation and application examples of nonlinear concrete models with nonlocal softening. Ph.D. dissertation, Gdansk University of Technology, Gda´nsk, 2006. (in Polish).
[32] de Borst R., Mühlhaus H.-B.: Gradient-dependent plasticity: Formulation and algorithmic aspects.
Int. J. Numer. Meth. Engng, 35, 1992, 521–539.
[33] Peerlings R.H.J., de Borst R., Brekelmans W.A.M., de Vree J.H.P.: Gradient-enhanced damage for quasi-brittle materials. Int. J. Numer. Meth. Engng, 39, 1996, 3391–3403.
[34] Geers M.G.D.: Experimental analysis and computational modelling of damage and fracture. Ph.D.
dissertation, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, 1997.
[35] Liebe T., Steinmann P., Benallal A.: Theoretical and computational aspects of a thermodynamically consistent framework for geometrically linear gradient damage. Comput. Methods Appl. Mech.
Engrg., 190, 2001, 6555–6576.
[36] Pamin J.: Gradient-enhanced continuum models: formulation, discretization and applications. Se- ries Civil Engineering, Monograph 301, Cracow University of Technology, Cracow, 2004.
[37] Łodygowski T.: Numerical solutions of initial boundary value problems for metals and soils. Perzy- na P., redaktor, Localization and fracture phenomena in inelastic solids, CISM Course Lecture No- tes No. 386, Springer-Verlag, Wien - New York, 1998, 392–468.
[38] Sluys L. J.: Wave propagation, localization and dispersion in softening solids. Ph.D. dissertation, Delft University of Technology, Delft, 1992.
[39] Glema A.: Analysis of wave nature in plastic strain localization in solids. Monograph 379, Pozna´n University of Technology, Pozna´n, 2004. (in Polish).
[40] Winnicki A.: Viscoplastic and internal discontinuity models in analysis of structural concrete.
Series Civil Engineering, Cracow University of Technology, Cracow, 2007.
[41] SIMULIA: Abaqus Theory Manual (6.10). Dassault Systemes, Providence, RI, USA, 2010.
[42] Adetifa B., Polak M. A.: Retrofit of interior slab-column connections for punching using shear bolts. ACI Structural Journal, 102(2), 2005, 268–274.
[43] Wosatko A., Pamin J., Polak M.-A.: Comparison of simulation results for 3D punching shear pro- blem. Łodygowski T., i in., redaktorzy, Recent Advances in Computational Mechanics, Proc. 20th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2013, Pozna´n, 2013, CRC Press/Balkema, London, 2014, 79–88. First published as short paper in Proc. 20th International Conference on Computer Methods in Mechanics CMM-2013, Pozna´n, August 2013, MS13-15-16.
[44] Łodygowski T.: Theoretical and numerical aspects of plastic strain localization. Monograph 312, Pozna´n University of Technology, Pozna´n, 1996.
[45] Ser˛ega S., Płachecki M.: Nieliniowa analiza no´sno´sci powłoki hiperboloidalnej chłodni kominowej z uwzgl˛ednieniem nowych wymaga´n normowych. In˙zynieria i Budownictwo, 4, 2013, 213–216.
[46] Ser˛ega S., Hojdys Ł., Krajewski P., Płachecki M.: Ocena bezpiecze´nstwa chłodni kominowej eks- ploatowanej od 35 lat. In˙zynier Budownictwa, 12 (112), 2013, 96–102.
[47] VGB PowerTech e.V.: Structural Design of Cooling Towers. Technical Guideline for the Structu- ral Design, Computation and Execution of Cooling Towers. VGB-R 610Ue. Completely revised edition 2005.
[48] Cervenka V.: Global safety format for nonlinear calculation of reinforced concrete. Beton- und Stahlbetonbau, 103, 2008, 37–42.
[49] PKN: Eurokod 2 - Projektowanie konstrukcji z betonu - Cz˛e´s´c 2: Mosty z betonu - Obliczanie i reguły konstrukcyjne PN-EN 1992-2, 2010, Warszawa.
[50] Bažant Z.: Mathematical modeling of creep and shrinkage of concrete. John Wiley and Sons, Chichester, UK, 1988.
[51] Neimitz A.: Mechanika p˛ekania. PWN, Warszawa, 1998.
