Rezultaty obliczeń analitycznych i badań analogowych palisad kołowych

(1)

ZE SZ YT Y N A U K O W E PO LI TECHNIKI ŚLĄSKIEJ

Seria: E N ER GE TY KA z. 72 Nr kol. 60k

________ 1979

Andrzej SZAFRANIEC Inatytut M a sz yn

i U r z ą d z e ń En er ge ty oz ny oh

RE ZU L T A T Y O B L I CZ EŃ AN AL ITYCZNYCH I BA DA Ń A N A L OG OW YC H PA LI SA D KO ŁO WY CH

S t r e s z o z e n i e . Pr ze dstawiono w ł a s n ą m e to dę ob li cz eń przepływu po- te no ja ln eg o w p a li sa da oh w e n t y l a t o r ó w pr omieniowych o dowolnym kształ

cie profilu, ą także m e to dę mo de l o w a n i a elektryoznego takich pa li

sad w ośrodku elektrolitycznym. Porównano w y ni ki otrzymane tymi dwie

m a m e t o d a m i oraz do konano oceny obu metod.

W a żn ie js ze oz na oz en ia

CD

f u nk oj a prądu pr ęd ko ść k ą t o w a kąt

U W r

P M

- pr omień - stale - stała

- moment dipolowy - pr ędkość obwodowa - pr ędkość

- po te nc ja ł elektryczny indeksy

n — norm al ny Q - źródłowy w - w y p o ro wy

i - indukowany r - oyrkulaoyjny o - wi rowy r - promieniowy m i n - mini ma ln y m a x - maksym al ny prof - n a profilu.

(2)

156 A. Szafranlao

1. Wstęp

Zagadnienie przepływu płynu przez w i r u ją ce wi eń ce promieniowe jest jed

ny m z trudniejszych zadań aerodynamiki ze względu n a to, Ze przepływ taki jest trójwymiarowy, nieustalony, a pł yn jest lepki.

Pierwsze przybliżenie zwykle polega n a przyjęciu płaskiego przepływu potenojalnego. I taki przepływ został rozwiązany metodą analityczną i ana

logową.

Równanie opisujące przepływ wzgl ęd ny przez taką palisadę ko ło wą jest równaniem Poissona

V 2 lj> = 2(0. (i )

Niepotenojalność przepływu względnego w y n i k a z uwzględnienia siły odśrod

kowej i siły Coriolisa. Stanowi to podstawową trudność zarówno w m o de lo

waniu, jak i obliczeniach analitycznych. Całki ró wnania (i) poszukuje się w obu przypadkach jako superpozycji

y

t = °u f(i + CT 1>o + cr 1*r + 1IV

gdzie:

“lj)Q, ‘^>0 , lj>w oznaozają kolejno (zgodnie z interpretacją fizyczną) funkcje prądu przepływów: źródłowego, wirowego, oyrku- lacyjnego i wyporowego,

cu. cv> cr liozby wagowe.

Z oztereoh składowych funkcji prądu jodynie ■¡¡> jest składową niepoteoo- ojalną. Przedstawia się ją jako

^ w = + ł w r 2 ’ \ (3)

gdzie:

, - potencjalna fu nkcja prądu reprezentująca w p ł y w ło patek n a pole 1 2

przepływu g- o) r .

Składową $ j w y zn ac za się z warunku, b y profil był linią prądu w pr ze

pływie lj>v .

(| W r2 +^>lfJ)prof *= idem. (k)

Otrzymuje się stąd wa ru ne k brzegowy dla przepływu

(3)

Rezultaty obliozeń analitycznych, i« 157

2. Me to da analityczna

T a przedstawiona m e to da ba zu je na odwzorowaniu ko nf or em ny m oraz zawie

ra elementy metod rozkładu osobliwośoi. Jeżeli palisadę ko ło wą przekształ

ci się za pomocą funkcji (5) (i*ys - 1 ) •

3 - i * » t y  to otrzyma się petlisadę prostoliniową o podziałoś

. 23i 1

ł 1 = " • p'

(5)

(6 )

i kąci e ustawienia

In i= aro tg (— --- ).

t ra (7)

Stałą p dobiera się tak, b y długość oięoiwy profilu w otrzymanej pa li

sadzie b y ł a równ a 1. f “ 1

P = V ^ m 2 * l” 2 7 1 ' (8)

(4)

158 A. Szafraniec

Pr zepływ źródłowy bę dący efektem um ie szczenia źródła o wy da jn oś ci Q w = 0, prze ks zt ał ca się w poprzeczny opływ takiej palisady.Przepływ b ę dą cy rezultatem obecności w i r u o oyrkulaoji w ^ ^ = 0 prze

ks zt ał ca się w opływ wz dł uż ny palisady n a płaszczyźnie 'J. Natomiast ‘ijlp - przepływ cyrkułaoyjny wy ni kł y z obeoności oyrkulaoji P n a łopa tk ao h daje cyrkulacyjny op ły w palisady prostoliniowej. Te trzy składowe możn a w y z n a  czyć m e to dą odwzorowania n a palisadę waloów, gdzi e znana jest postać a n a  lityczna takioh przypadków opływów. Sposób ok re śl en ia fu nkcji odwzorująoej podano między innymi w [2] . Pozostaje do ro zw iązania składowa a raczej

■\j> . Po nieważ w s zy st ki e opływy rozwiązane zostały n a waloaoh, proponuje się również 1*w j w y zn ać za ć n a waloaoh. Przyjmując wa rt oś ć fu nkcji prądu n a profilu jako ró wn ą 0 otrzymuje się

V

( t w > - - ■ * £ (9)

prof

Pole tego przepływu zamodelowano pr ostym ro zk ła de m dipoli w e w n ąt rz w a l c ó w Jak wi adomo potencjał zespolony pojedynozego di pola wy no si

$ (z) = - 2^ " * z (1 0 )

a dipoli ro zm ie sz cz on yo h w i.t

gdzie

Wobec tego

- r Aj IMAG E ( Bj oth( X (z-Zj))}, (12) r w J

1

gdzie: . t

A - stała zawierająca moment dipola,

B, - stała zespolona reprezentująoa k i e r u n e k dipola,J Zj - ws pó łr zę dn a dipola,J

N - liozba dipoli.

Is tn ie je wi e l e m o żl iw yc h rozkładów dipoli. W konkretnym przypadku w y  brano N s 100, Zj = 0,9 . e i<3^, a k i e r un ek b y ł prostopadły do promieniawo- dząoego. Zależność (12) stanowi j-te równanie układu N r ó wn ać z liczbą N niew ia do my oh Aj. Po rozwiązaniu mo żn a określić już fu nkcję prądu ^ z (3) a prędkość jako

(5)

Rezultaty obllozeń analityoznyoh i. 112

g d z i e :

r,

<p

- ws pó ł r z ę d n e pu nktu n a pi as zozyźnie .

Po w y z n ac ze ni u p r ze pł yw ów je dn ostkowyoh na l e ż y przeprowadzić ich su- perpozyoję. Pu n k t e m wy j ś c i a jest prze pł yw if ^ (wynika z k s z t ał tu pa li sa

dy i ob rotów wirnika). Dalej mo ż n a określić ud zi ał przepływu źródłowego z w y d a t k u we nt y l a t o r a

Jako

Q = 2 % r 2 U 2 <p2r (15)

a stąd

°d = r 2 U 2 P ^ W i ^ r *

V pr zy pa dk u br a k u za wi ro wa ni a wstępnego, sumaryozna oyrkulaoja w p u n k  cie ^ 1 m 0 (lub przy 7^, z— =“=) musi b y ć równ a zero, 00 prowadzi do w a r u n

k u /

C^. - % C p = 0. (1 7)

Z ko le i na le ży w p ro wa dz ić w a r u n e k Żukowskiego (ewentualnie inny) o sp ły

wie w ostrzu

I ostrzu czyli

Cu wu + Cv w ńr + C r - wr + Vw = ° - ( 1 8 )

gdziet

w u ’w v ’w r ~ Pr ?c*lco^oi 1181 walo u w pu nkcie Sg przy Cu o Cv = Cy = 1.

związki 17 i. 18 tworzą układ r ó wn ań z k t ór yo h mo żn a wy zn a c z y ć C^. i Cp.

W ten sposób w z gl ęd ny p r ze pł yw palisadę przez został okre śl on y. Wi el ko

ściami wyjś oi ow ym i są: g e om et ri a palisady, obroty i w s k a ź n i k wy da tk u (p.^

Przedstawiony t o k obliczeń po zwala n a wy zn ao ze ni e prędkości fu nkcji prądu w do wolnym punkoie palisady kołowej. Ciśnienie obliozyć możn a z równania

A £ + ^ _ 4 = idam. (19)

(6)

160

A. Szafranieo

3. M e t o d a mode lo wa ni a analogowego

We ws zy st ki ch uprzednio wy m i e n i o n y c h składowych pr ze pl yw ao h profil jest lini ą prądu. Jedynie w <ij> wJ. jak wa r u n e k b r z e go wy otrzymuje się rozkład f u nkcji prądu n a profilu. Do zamodelowanla palisady wybrano me to dę su pe r

pozycji przepływów składo wy ch [4] , [3] . Modelowaniu podlega ją ij»^, l|>w J oraz superpozycja przepływu wiro we go i oyrkulaoy jnego -¡j) r (jedynie przy braku z a wi rowania wstępnego). Po miary w y ko ny wa no n a k o ło wy m m o de lu elektrolity

cznym przy w y ko rz ys ta ni u analogii elektrycznej typu B 1 , tzn. gdzie linii prądu odpowiada linia stałego na pi ęc ia el ek t r y o z n e g o . Schemat modelu sj) ^ w r a z z układem pomiarowym przedstawia rys. 2.

¥ tym przypadku elektrody umieszczone są n a dwóo h hi po te ty cz ny ch 11%- n i a c h prąd u (uprzednio w y z n a c z o n y c h ) . Profile wy konane są z materiału prze

wodz ąc eg o (oklejone fo l i ą miedzianą). Obrzeża modelu są izolowane.¥ p r z y  padku przepływu “p 0p zasilane są profile oraz obrzeża zewnętrzne modelu.

Dla składowej w j natomiast, zasilanie odbywa się dyskretnie n a profilu za pomocą dz ie ln ik a napięć, Wi el ko ść n a pi ęc ia zasilającego w y n i k a z (9)

(7)

Rezultaty obliczeń anali tyoznyoh i. 161

Superpozycję p r ze pr ow ad za się w y oh od zą o z tych sanryoh związków Jak po prze d n i o , Po mi ar y prowadzone sondą trójkońcówkową, mi erząc w da n y m punkcie w a rt oś ć potenc ja łu oraz różnic p o t e nc ja łó w A U y i A U (p. D l a przepływu <p^

m o ż n a łatwo przy po rz ąd ko wa ć p o m i er zo ny m ró żn ic om n a p i ę ć wart oś ci prędkości w i~;. A! mi an ow io ie

^ w J = t v j m i n + U max ^ w J m a x " ^ w J min^ ^21 ^

- _ (_AU) ^ w J ~ ^ w J m i n ( 2 2 )

"* A r U

i dalej Ww = + CO -x r.

Na po ds ta wi e wa r u n k u (lA) m o ż n a teraz przepr ow ad zi ć superpozycję

V = * Q + 1 f V ( 2 3 °

V = \ + V

Wy da j n o ś ć źródła Q m o ż n a obłi oz yć z (15).

Wy da j n o ś ć n a jeden profil

Q (2k)

n W a r t o ś ć q' odpo wi ad a wart oś ci U ^

U Q U' =Z ~ k

gdzie:

- n a p i ę c i e zasilania modelu k - ilość ł o pa te k n a modelu.

Wobe o tego

(25)

(8)

1 6a A. Szafraniee

W rezultaoie pomiaru otrzymuje się superpozycję ip Przepływ ten ule speł

nia warunku Żukowskiego. Wobec tego należy tak dobrać stałą K w (28),aby linia prądu wyszła z ostrza profilu

t E tou + “ ^or* (28)

Warunek ten można zapisać w postaoi

( 1|)Qw)b + ( t ^ + K [( ^ o r )B - (1>o r ) J =

-

(% J Â -

^V c ł K [ ( ^ r > A - ( 2 9 ) lub też Jako

< V + K wo r ) E - « V + K wo r V ( 3Q)

Stałą K można wyznaozyć pod- stawiająo w miejsoe Cp war- toćoi pomierzonych napięć Uq^

i podobnie w (

30

) zamiast ^cp A U or

można użyć ■ ■ ■ ■■ . a n

Opracowanie wyników pomiaru następowało przy użyciu maszy

ny cyfrowej ze względu na dużą

_ , liozbę punktów pomiarowyoh. Po

ny* • j

mierzone rozkłady różnic poten

cjałów aproksymowano szeregiem t ryg ono me try o znym.

4. Porównanie wyników. Wnioski

Do pomiaru i obliozeń przyjęto palisadę kołową dwuna-1ołopatkowego wen

ty lat ora modelowego (r2 ■ 0.4 a, Cd = 152.9 —)• Porównania obu metod doko

nano na rys. 4-7. 1 tak-na rys. 4 przedstawiono obliozony i pomierzony -oz- kład prędkośol na promieniu ra dla przepływu “¡j)w . Opróoz punktów pomia

rowyoh, na wykresie zaznaczono punkty otrzymane po aproksymaoji. Widoozne są rozbieżności w okolicy ostrza. Wynikają one główcie z dyskretyzaoJi po

miaru (zmniejszania odstępu w elektrodach sondy powoduje poprawę do- A n

kładnośoi pomiaru).

(9)

Rezultaty obliczeń analitycznych i.. . 163

0° 5° 10° 15° 20° 25“ 30° .

o Rys. 4. R o z k ł a d y prędkości w przepływie lj>w.

(10)

T

Rys. 6. Rozkłady prędkości n a profilu (f = O.I7 5)

(11)

Rezultaty obliegen analitycznych i. 165

Z kole i n a rys. 5 przedstawiono rozkład k ą t a wyloto we go Obliczenia wyko na no przy V 2r - O .2 65. Ja k wi d a ć istniejące tutaj różnice pomiędzy p o miarem an al og ow ym n i e przekraczają 1° i d o t y c z ą obszaru środka kanału.

Na rys. 6 porównano natomiast rozkłady prędkości n a profilu, a n a rys. 7 ro zkłady prędkości w w y b r a n y c h pr ze krojach kanału. Ja k widać, maksymalne odchyłki w y s t ę p u j ą w obszarze n o s k a i ostrza profilu. Przeciętna d o kł ad

ność w y no si około y% . Natomiast rozkłady prędkości w kanale dobrze zgadza

ją się z o b l i c z e n i a m i . Wy ni ka to ż trudności pomi ar ow yc h n a profilu przy prezentowanej meto dz ie pomiarowej.

Z p o ró wn an ia obu metod możn a w y sn uć następujące wnioski.

Dla typowych, standa rt ow yc h palisad praktyczniej jest wy ko na ć ob licze

n i a n a ma sz yn ie cyfrowej, jeżeli posiadane jest odpowiednie oprogramowanie Natomiast dla pa lisad ni et y p o w y c h - specjalnych,' jak np. palisady o nie

jednakowej podziałce, palisady segmentowe aparatów kierowniczych, pa li sa

dy w i e l os ze re go we oblicz en ia są już n a tyle kłopotliwe, że metody an alogo

we stają się konkurencyjne. W ośro dk ac h mało w y s p ec ja li zo wa ny ch w dziedzi

ni e bada ń p a l i s a d , również dla potrzeb ba d a ń jednostkowych opłacalnym m o  że się okazaó po mi er ze ni e palisady n a modelu an al og ow ym aniżeli tworze

nie op ro gr am ow an ia od podstaw.

P r o p on ow an a m e t o d a analityczna posiada na st ęp uj ąc e zalety: oprogramowa

nie jej jest n a tyle uniwersalne, że po zw al a w y zn ac zy ć opływ profilu po

jedynczego palisady prostoliniowej i kołowej. Nadaje się zwłaszcza dla k a  n a ł ó w we ntylatorowych, gdzie podziałka jest rzadka. Czas ob liczeń jest.-sto- sunkowo krótki. Obliczenia ws tę pn e - 25* (analiza geometrii) natomiast zmiany w a r i a n t u opływu w y m a ga ją czasu rzędu 1 0'.

Przedstawione m e to dy b a d a ń bę dą wykorz ys ty wa ne do projektowania i ooe- n y palisad ł o p a tk ow yc h istniejących i no wo projektowanych wentylatorów.

LITERATURA.

[1] Ch mi el ni ak T . , Szafraniee A.: Badania we nt yl a t o r ó w metodami analogii.

Opracowanie końcowe. Praoa n i e publikowana. Gliwice 1976.

[2] Samojłowioz T . L . : Roszozet gidrodinam ic ze sk iph rieszotok. PMM, t. 14, 1950'.

f3l Hackeschmidt M.: Die Elektroanalogie ein Mittel zur Lösung komplizien- ter F e l d p r o b l e m e . Habilitationschrift TU, Dr es de n 1964/65-

[4] Szafraniee A.: Ba da ni a p ł as ki oh palisad ło pa tk ow yc h went yl at or ów pro

m i en io wy ch m e to dą analogii elektrycznej. ZN Pol.SI. Energetyka z. 60, 1977.

(12)

PE3yjIbTA TH AHAJIHIHMECKHX PAC ME TOB H AHAJIOrOBHX HCCJIEiOBAHH8 UEHTP0EE3HHX PEIEETOK

P e 3 m m e

I I p e f l c i a B B e H O h o b hSi M e i o X p a o ' i e i a n o i e H i ę K a j i b H o r o T e ^ e H H s b p e m e T K a x a e H - i p o S e f f l U X B e H T H J I B T O p O B C npOtJ)HJIHMH n p O H 3 B O J I B H O a $ O p t i H . I I pHBefleHO TOate MSTOfl 3 j i e K T p H ^ e c K o r o MOflejiitpoBaHHH i b k h x p e m e i o K . IIpeflCTaBjieHO H e K O T o p n e p e 3 y j i b -

i a m p a c R e i o B n H 3 M e p e H H i ł ,

THE RESULTS OF ANALYTICAL CALCULATION AND ANALOGY MEASUREMENTS CENTRIFUGAL GRID OF BLADES

S u m m a r y

The paper presents analytical method for calculating two dimensional flow in oentrifugal grid and electrical analogy method in electrolytical medium. The results has been compared and assessmented.

«