[Krz]J. Krzy˙z, Zbi´ or zada´ n z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa, 1975.

Literatura:

[Ch] J. Cha

‘ dzy´ nski, Wste

‘ p do analizy zespolonej,, wyd VII Wyd. U L, L´ od´ z, 1993.

[Krz]J. Krzy˙z, Zbi´ or zada´ n z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa, 1975.

[Ku] K, Kuratowski, Wste

‘ p do teorii mnogo´ sci i topologii, PWN, Warszawa, 1991.

[L] F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa, 1971.

[R] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, 1998.

[SZ] S. Saks, A. Zygmund, Funkcje Analityczne, PWN, Warszawa, 1959.

I. Liczby zespolone Cwiczenie 1. Udowodni´ ´ c, ˙ze C

∼ wraz z dzia laniami ”+”, ” ·” (wprowadzonymi w [Ch], str. 8) jest cia lem.

Cwiczenie 2. Udowodni´ ´ c, ˙ze

z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , z 1 z 2 = z 1 z 2 , |z| = |z|

z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im z, |z| ² = z z ( _z

1

z

2

) = ^z _z

¹

2

, z 2 ̸= 0 ¹ _z = _|z| ^z

2

, z ̸= 0,

| Re z| ≤ |z|, | Im z| ≤ |z|, |z| ≤ | Re z| + | Im z|.

Cwiczenie 3. Wykaza´ ´ c, ˙ze je˙zeli z ̸= 0 i |z| = r, to

Re z = 1 2

( z + r ²

z )

, Im z = 1 2i

( z − r ²

z )

.

Cwiczenie 4. Wykaza´ ´ c, ˙ze:

a) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | b) |z 1 − z 2 | ≥ ||z 1 | − |z 2 ||.

Kiedy zachodzi r´ owno´ s´ c?

Cwiczenie 5. Wykaza´ ´ c, ˙ze gdy a ̸= b, to ¹ ₂ |a + b| < max(|a|, |b|).

Cwiczenie 6. Przedstawi´ ´ c w postaci trygonometrycznej naste

‘ puja

‘ ce liczby zespo- lone:

1 − i, 1 + i √

3, √ 6 + √

2 + i( √ 6 − √

2).

Cwiczenie 7. Przedstawi´ ´ c w postaci kanonicznej (tzn. z = x + iy, gdzie x, y ∈ R) naste

‘ puja

‘ ce liczby zespolone:

2 1 −3i ,

( 1+i 1 −i

) 5

, (1 + i √ 3) ⁶ ,

( 1−i √ 3 1 −i

) 4

Cwiczenie 8. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli z 1 , z 2 ∈ C oraz α ∈ arg z 1 , β ∈ arg z 2 , to α + β ∈ arg(z 1 z 2 ).

1

Cwiczenie 9. Rozwia ´

‘ za´ c r´ ownanie: z = z ² . Cwiczenie 10. Zbada´ ´ c, kiedy liczba w = ^1+z _{1 −z} jest

a) rzeczywista, b) urojona.

Cwiczenie 11*. Zbada´ ´ c, kiedy kwadrat liczby z = α + iβ jest liczba a) rzeczywista ‘

‘ , b) rzeczywista

‘ ujemna

‘ , c) urojona

‘ .

Cwiczenie 12*. Niech a, b ´ ∈ C a, b ̸= 0. Jakie musza

‘ by´ c argumenty liczb a i b, aby iloczyn ab (iloraz a/b) by l liczba

‘ rzeczywista

‘ ?

Cwiczenie 13*. Zapisa´ ´ c w postaci trygonometrycznej liczbe

‘ zespolona

‘ z = 1 − cos α − i sin α, α ∈ R

Cwiczenie 14. Wykaza´ ´ c to˙zsamo´ sci:

a) |z 1 + z 2 | ² + |z 1 − z 2 | ² = 2( |z 1 | ² + |z 2 | ² ) (Poda´ c interpretacje

‘ geometryczna

‘ ),

b) |1 + z 1 z ₂ | ² + |z 1 − z 2 | ² = (1 + |z 1 | ² )(1 + |z 2 | ² ), c) |1 − z 1 z 2 | ² − |z 1 − z 2 | ² = (1 − |z 1 | ² )(1 − |z 2 | ² ).

Cwiczenie 15. Poda´ ´ c geometryczna

‘ interpretacje

‘ naste

‘ puja

‘ cych zbior´ ow liczb ze- spolonych:

1) {z ∈ C : Re z ≥ 2}, {z ∈ C : 1 ≤ Im z ≤ 2}, {z ∈ C : ^π ₄ < arg z < ^3π ₂ }, 2) {z ∈ C : Re(z ² ) = r }, r ∈ R,

3) {z ∈ C : Im(z ² ) = r }, r ∈ R,

4) {z ∈ C : |z + 1| + |z − 1| = r}, r > 0.

5) {z ∈ C : |z − a| = |z − b|}, a ̸= b,

6) {z ∈ C : |z + c| + |z − c| ≤ 2a}, a > 0, |c| < a, 7)

{

z ∈ C : 0 < Arg ^z+i _{z −i} < ^π ₄ }

, 8) {z ∈ C : 0 ≤ Re(iz) < 1}, 9) {z ∈ C : Re(z ² ) > α }, α > 0, 10)

{

z ∈ C :   ^z+1 _{z −1}   < 1 } , 11) {z ∈ C : |z| + Re z ≤ 1},

12) {z ∈ C : Re[z(z + i)(z − i) ⁻¹ ] > 0 }.

13) {z ∈ C : |z| ² = 2a Re z }, a ∈ R,

14) {z ∈ C : |z| ² = 2a Re z + 2b Im z + c }, a, b, c ∈ R.

Cwiczenie 16*. Udowodni´ ´ c wz´ or na wsp´ o lrze

‘ dne obrazu sferycznego punktu z ∈ C oraz wz´ or na wsp´ o lrze

‘ dne rzutu stereograficznego.

Cwiczenie 17*. Udowodni´ ´ c w lasno´ s´ c 4.1 w [Ch].

II. Cia

‘ gi i szeregi liczbowe Cwiczenie 5. Niech ´ {a n } be ‘ dzie cia

‘ giem liczb zespolonych.

(i) Udowodni´ c, ˙ze lim n →∞ a n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim n →∞ |a n | = 0.

(ii) Udowodni´ c, ˙ze lim n →∞ a n = ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim n →∞ |a n | = ∞.

Cwiczenie 6. Obliczy´ ´ c granice cia

‘ g´ ow (je´ sli istnieja

‘ )

1) a n = ⁽ⁱ⁺²⁾ _(i+2)

ⁿn

⁻¹ +1 , 2) a n = 1 + ni, 3) a n = √ ⁿ

2 ⁿ + 4 ⁿ + n + in sin _n ¹ , 4) a n = ( ^√ ₂

2 + i

√ 2 2

) n

, 5) a n = 1 + i( −1) ⁿ , 6) a n = ²ⁿ⁺¹ _n−1 + i( √

n + 1 − √ n), 7) a n = √

n + _n ⁱ , 8) a n = √ ⁿ

n! + i _n ¹ , 9) a n = n sin _n ¹ + i _n ¹ sin n, 10) a n = ( _1+i

2

) n

, 11) a n = ⁽²⁺ⁱ⁾ _(2+i)

ⁿn

⁺⁽³⁺ⁱ⁾ −(3+i)

ⁿⁿ

, 12) a n = √ ⁿ

n ⁿ /n! + in log(1 + 1/n), 13) a n = ² _n!

ⁿ

+ i, 14) a n = _i ¹

n

, 15) a n = ⁱ⁺ⁱ ₍₁

²

^+...+i _−i)

n ⁿ

.

Cwiczenie 7. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c cia

‘ g´ ow a _n = ⁽¹⁺ⁱ⁾

²ⁿ

₂ ⁻⁽¹⁻ⁱ⁾

n ²ⁿ

,

b n = 2 + (1 + ( −1) ⁿ )ni.

Cwiczenie 8. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c cia

‘ gu a n = z ⁿ w zale˙zno´ sci od z ∈ C.

Cwiczenie 9*. Wykaza´ ´ c, ˙ze lim

n→∞

( 1 + ^x+iy _n ) n

= e ^x (cos y + i sin y).

Cwiczenie 10*. Wyznaczy´ ´ c promie´ n i ´ srodek okre

‘ gu Apoloniusza

|z − a| |z − b| ⁻¹ = k gdzie a ̸= b, k ̸= 1, k > 0.

Cwiczenie 11. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c szereg´ ow:

1) ∑ ^∞

n=1

( 1

n(n+1) + ₂ ¹

n

i )

, 2) ∑ ^∞

n=0

√ 1

n+i , 3) ∑ ^∞

n=0

( n(2 −i)+1 n(3 −2i)−3i

) n

, 4)

∑ ∞ n=1

( _n ¹ sin _n ¹ + i ⁽⁻¹⁾ _{ln n}

ⁿ

), 5)

∑ ∞ n=0

(2+i)

ⁿ

2

ⁿ

, 6)

∑ ∞ n=0

n(2i−1)

ⁿ

3

ⁿ

, 7) ∑ ^∞

n=1

( √

n + 1 − √

n) ⁿ (1 + i ⁿ ), 8) ∑ ^∞

n=1 (1+i)

ⁿ

n! , 9) ∑ ^∞

n=2

( ₁

n

²

ln n + i ^e _n

ⁿn

^n!

) ,

10)

∑ ∞ n=1

(cos ^nπ ₃ + i sin ^nπ ₃ ), 11)

∑ ∞ n=1

( ^√ _3+i

2+3i

) n

, 12)

∑ ∞ n=1

n

ⁿ

n!(e−i)

ⁿ

, 13) ∑ ^∞

n=1

( sin _n ¹ cos _n ¹ + i log(1 + _n ¹ ) )

, 14) ∑ ^∞

n=1 1 (n+i) √

n , 15) ∑ ^∞

n=

( ₂

ⁿ

_n!

n

ⁿ

+ i ³ _n

ⁿn

^n!

) .

Cwiczenie 12. Wykaza´ ´ c, ˙ze w ka˙zdym punkcie okre

‘ gu |z| = 1 r´o˙znym od 1 cia ‘ g sum cze

‘ ´ sciowych szeregu

∑ ∞ n=0

z ⁿ jest ograniczony.

Cwiczenie 13*. Niech ´ {a n } be ‘ dzie cia

‘ giem liczb rzeczywistych dodatnich, {b n } cia ‘ giem liczb zespolonych. Je˙zeli {a n } jest cia ‘ giem maleja

‘ cym takim, ˙ze lim

n →∞ a n = 0 oraz cia

‘ g sum cze

‘ ´ sciowych szeregu ∑ ^∞

n=1

b _n jest ograniczony, to szereg ∑ ^∞

n=1

a _n b _n jest zbie˙zny (Kryterium Dirichleta zbie˙zno´ sci szereg´ ow).

Cwiczenie 14. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c szeregu

∑ ∞ n=1

z

ⁿ

n , z ∈ C.

Cwiczenie 15. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c szereg´ ow

∑ ∞ n=1

z ⁿ 1 − z ⁿ ,

∑ ∞ n=0

1

1 + z ⁿ , |z| ̸= 1.

Cwiczenie 16. Wykaza´ ´ c, ˙ze gdy cia

‘ g {ζ n } i szereg ∑

|b n | sa

‘ zbie˙zne, to r´ ownie˙z i szereg ∑

b n ζ n jest zbie˙zny.

Cwiczenie 17. Wykaza´ ´ c, ˙ze je˙zeli Re z _n ≥ 0 (n = 1, 2, . . . ) i je˙zeli szeregi ∑ z _n ,

∑ z _n ² sa

‘ zbie˙zne, to r´ ownie˙z szereg ∑

|z n | ² jest zbie˙zny.

Cwiczenie 18*. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli szereg ∑ _∞

n=1 z _n ² jest bezwzgle

‘ dnie zbie˙zny, to szereg ∑ _∞

n −1 z

n

n jest r´ ownie˙z bezwzgle

‘ dnie zbie˙zny.

Cwiczenie 19*. Zbada´ ´ c cia

‘ g z _n = (1 + i) ( 1 + ₂ ⁱ )

. . . (

1 + _n ⁱ ) .

III. Cia

‘ g lo´ s´ c i r´ o ˙zniczkowalno´ s´ c

Cwiczenie 1. Na podstawie definicji wykaza´ ´ c, ˙ze funkcja okre´ slona wzorem f (z) = Re z, z ∈ C (f(z) = Im z, z ∈ C) jest cia

‘ g la.

Cwiczenie 2. Zbada´ ´ c cia

‘ g lo´ s´ c funkcji

f (z) =

 

 Re z

1 + |z| , z ̸= 0 0 , z = 0 ,

f (z) =

 

 Re z

z , z ̸= 0 0 , z = 0

, f (z) =

 



(Re z ² ) ²

z ² , z ̸= 0 0 , z = 0

.

Cwiczenie 3. Na podstawie definicji zbada´ ´ c istnienie pochodnej funkcji a) f (z) = z Re z,

b) f (z) = z

w punkcie z = 0.

Cwiczenie 4. Wyznaczy´ ´ c punkty, w kt´ orych naste

‘ puja

‘ ce funkcje posiadaja

‘ pocho- dne

f (z) = |z|, f (z) = |z| ² , f (z) = Im z, f (z) = √

Re z Im z, f (z) = z |z|, f (z) = (z + 1) |z|,

f (z) = z |z + 1|, f (z) = z ² Re(z + 1), f (z) = |z| ² + 2 Re z Im z,

f (z) =

{ (1+i) Im (z

²

)

|z|

²

, dla z ̸= 0

0, dla z = 0

, f (z) = { |z| ² sin _|z| ¹

2

, dla z ̸= 0 0, dla z = 0 () ^∗ . Cwiczenie 5. Sprawdzi´ ´ c, ˙ze funkcja F (z) = √

|xy| (z = x + iy) posiada w punkcie z = 0 pochodne cza

‘ stkowe wzgle

‘ dem x oraz y r´ owne zeru; spe lnia wie

‘ c warunki Cauchy’ego-Riemanna, nie posiada jednak w tym punkcie pochodnej.

Wskaz´ owka. Podstawiaja

‘ c z = x(1 + iα), gdzie α jest dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ , zauwa˙zy´ c, ˙ze iloraz [F (z) − F (0)]/z = F (z)/z posiada dla ka˙zdej ustalonej warto´sci α granice

‘ sko´ nczona

‘ , gdy x → 0; granica ta zmienia sie

‘ jednak w zale˙zno´ sci od α.

Cwiczenie 6*. Dla funkcji cia ´

‘ g lej G, okre´ slonej wzorami G(0) = 0 oraz G(z) = x ³ y/(x ⁴ + y ² ) dla z = x + iy ̸= 0, spe lnione sa ‘ w punkcie 0 warunki Cauchy’ego- Riemanna oraz istnieje granica ilorazu [G(z) − G(0)]/z = G(z)/z, gdy z da ‘ ˙zy do 0 wzd lu˙z dowolnej prostej przechodza

‘ cej przez punkt 0; ponadto granica ta ma te sama ‘

‘ warto´ s´ c 0 dla ka˙zdej takiej prostej. Mimo to funkcja G nie posiada pochodnej w punkcie 0.

Wskaz´ owka. Granica ilorazu G(z)/z, gdy z da

‘ ˙zy do 0 wzd lu˙z paraboli y = x ² , jest r´ owna 1/2.

Cwiczenie 7. Niech f be ´

‘ dzie funkcja

‘ okre´ slona

‘ w otoczeniu Ω punktu z 0 i r´ o˙znicz- kowalna

‘ w punkcie z 0 . Wykaza´ c, ˙ze f posiada pochodna

‘ w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f ^′ (z 0 ) = 0. (f (z) = Re f (z) − i Im f(z) dla z ∈ Ω)

Cwiczenie 8. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli f : Ω → C jest funkcja ‘ r´ o˙zniczkowalna

‘ w ob- szarze Ω i f ^′ (z) = 0 dla z ∈ Ω, to f jest funkcja ‘ sta la

‘ .

Cwiczenie 9*. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli f : Ω → C jest funkcja

‘ r´ o˙zniczkowalna

‘ w obszarze Ω i |f| jest funkcja ‘ sta la

‘ , to f jest funkcja

‘ sta la

‘ .

Cwiczenie 10. Pokaza´ ´ c, ˙ze je´ sli f : Ω → C jest funkcja ‘ r´ o˙zniczkowalna

‘ w obszarze Ω i Im f (z) = 0 dla z ∈ Ω, to f jest funkcja ‘ sta la

‘ .

Cwiczenie 11. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, gdzie u = Re f , v = Im f , jest r´ o˙zniczkowalna w obszarze Ω oraz u ² ≡ v w tym obszarze, to f jest funkcja

‘ sta la

‘ .

Cwiczenie 12*. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, gdzie u = Re f , v = Im f , jest r´ o˙zniczkowalna w obszarze Ω oraz u ² ≡ v ³ , to f jest funkcja

‘ sta la

‘ .

Cwiczenie 13*. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f : C → C ma pochodna

‘ w ka˙zdym punkcie p laszczyzny C oraz f(z) = f(z) dla z ∈ C. to f jest funkcja

‘ sta la

‘ . Cwiczenie 14*. Niech f be ´

‘ dzie funkcja

‘ okre´ slona

‘ w otoczeniu punktu z 0 = x 0 + iy ₀ , x ₀ , y ₀ ∈ R. Niech u Re f, v = Im f. Udowodni´c, ˙ze f ma pochodna ‘ w punkcie z ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje u i v posiadaja

‘ r´ o˙zniczki zupe lne w punkcie z ₀ oraz spe lniaja

‘ warunki Cauchyego-Riemanna.

IV. Funkcje elementarne, logarytm i pote

‘ ga

Cwiczenie 1. Udowodni´ ´ c, ˙ze e ^z

¹

= e ^z

²

wtedy i tylko wtedy, gdy z ₁ − z 2 = 2kπi, k ∈ Z.

Cwiczenie 2. Obliczy´ ´ c

|e ^z |, Re(e ^z ), Im(e ^z ), e ^z .

Cwiczenie 3. Dla jakich warto´ ´ sci z ∈ C, w = e ^z jest liczba

‘ rzeczywista

‘ , rzeczywi- sta ‘ ujemna

‘ , urojona

‘ ?

Cwiczenie 4. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli W jest wielomianem o wsp´ o lczynnikach rzeczy- wistych, to W (z) = W (z), dla z ∈ C. W szczeg´olno´sci je´sli W (z 0 ) = 0, to W (z 0 ) = 0.

Cwiczenie 5. Pokaza´ ´ c, ˙ze exp z = exp z, sin z = sin z oraz cos z = cos z dla z ∈ C.

Cwiczenie 6. Pokaza´ ´ c, ˙ze w dziedzinie zespolonej funkcja f (z) = sin z nie jest ograniczona.

Cwiczenie 7*. Je˙zeli W jest wielomianem n-tego stopnia i z ´ ₁ , z ₂ , . . . , z _n oznaczaja pierwiastki tego wielomianu (w przypadku istnienia pierwiastk´ ow wielokrotnych ka˙zdy ‘ pierwiastek wyste

‘ puje w cia

‘ gu z ₁ , z ₂ , . . . , z _n tyle razy, ile wynosi jego krotno´ s´ c), w´ owczas

(1) W ^′ (z)

W (z) = ∑

k

1 z − z k

w ka˙zdym punkcie z, w kt´ orym W (z) ̸= 0.

Cwiczenie 8. Obliczy´ ´ c:

log 1, log i, log( −i), log(1 − i) oraz logarytmy g l´ owne tych liczb.

Cwiczenie 9. Wykaza´ ´ c, ˙ze je˙zeli b ∈ Z, to definicja pote

‘ gi a ^b pokrywa sie

‘ ze zwyk la arytmetyczna ‘

‘ definicja

‘ pote

‘ gi.

Cwiczenie 10. Wykaza´ ´ c, ˙ze wszystkie warto´ sci pote

‘ gi a ^1/n sa

‘ pierwiastkami r´ ow- nania z ⁿ = a oraz ka˙zdy pierwiastek tego r´ ownania jest warto´ scia

‘ pote

‘ gi a ^1/n . Pokaza´ c, ˙ze je´ sli a = r(cos φ + i sin φ), r ̸= 0, to

w k = r ^1/n (cos( φ + 2kπ

n ) + i sin( φ + 2kπ

n ), k = 0, ..., n − 1, sa ‘ wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z a.

Cwiczenie 11. Niech z ´ ₁ , z ₂ , z ₃ ∈ C be ‘ da

‘ takie, |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1. Pokaza´c,

˙ze z ₁ + z ₂ + z ₃ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z ₁ , z ₂ , z ₃ sa

‘ pierwiastkami trzeciego stopnia z pewnej liczby z 0 ∈ C.

Cwiczenie 12. Wykaza´ ´ c, ˙ze dla ka˙zdej liczby z ∈ C \ (−∞, 0⟩ istnieje dok ladnie jedna liczba zespolona ζ = α + iβ, α > 0, taka, ˙ze ζ ² = z.

Cwiczenie 13. Niech dany be ´

‘ dzie wielomian

P (z) = z ⁿ + a ₁ z ⁿ⁻¹ + · · · + a n , n > 0.

a) Pokaza´ c, ˙ze je´ sli z ₀ jest pierwiastkiem wielomianu P , to

|z 0 | ≤ 2 max

j=1,...,n |a j |

^1j

.

b*) Pokaza´ c, ˙ze istnieje pierwiastek z 0 wielomianu P taki, ˙ze

|z 0 | ≥ 1 n max

j=1,...,n |a j |

^1j

. Wsk. W cze

‘ ´ sci b) zastosowa´ c zasadnicze twierdzenie algebry.

Cwiczenie 14*. Niech P (z) = a ´ 0 + a 1 z + . . . + a n z ⁿ , gdzie a 0 , . . . , a n ∈ R, przy czym a 0 > . . . > a n > 0. Pokaza´ c, ˙ze P nie ma pierwiastk´ ow w kole K = {z ∈ C :

|z| ≤ 1}.

Cwiczenie 15*. Pokaza´ ´ c, ˙ze dla dowolnego wielomianu

P (z) = a ₀ z ⁿ + . . . + a _n , a ₀ ̸= 0, n > 0 cze ‘ ´ s´ c rzeczywista Re P i cze

‘ ´ s´ c urojona Im P sa

‘ wielomianami, kt´ ore nie maja wsp´ olnych czynnik´ ow dodatniego stopnia. ‘

Cwiczenie 16*. Je˙zeli W jest wielomianem stopnia n ´ ≥ 1, w´owczas wszystkie pierwiastki r´ ownania W ^′ (z) = 0 le˙za

‘ w zbiorze wypuk lym wyznaczonym przez pier- wiastki r´ ownania W (z) = 0 (Gauss).

Wskaz´ owka. Skorzysta´ c ze wzoru (1) ´ cwiczenia 7; zauwa˙zy´ c, ˙ze

1/(z − z k ) = (z − z k )/ |z − z k | ² .

Cwiczenie 17*. R´ ´ ownanie 1 + z + az ⁿ = 0, gdzie n jest liczba

‘ ca lkowita

‘ , n ≥ 2 oraz a dowolna

‘ liczba

‘ zespolona

‘ , posiada zawsze pierwiastek o module nie przekra- czaja

‘ cym 2 (Landau).

Wskaz´ owka. Podstawi´ c z = 1/w i skorzysta´ c z zadania poprzedniego.

Cwiczenie 18* (Kronecker). Niech dany be ´

‘ dzie wielomian o wsp´ o lczynnikach ca l- kowitych postaci

Q(z) = z ⁿ + a ₁ z ^{n −1} + . . . + a _n . Je´ sli wszystkie pierwiastki wielomianu Q nale˙za

‘ do okre

‘ gu {z ∈ C : |z| = 1}, to ka˙zdy taki pierwiastek jest pewnym pierwiastkiem z jedno´ sci.

Cwiczenie 19*. Niech dany be ´

‘ dzie wielomian o wsp´ o lczynnikach ca lkowitych po- staci

Q(z) = z ⁿ + a 1 z ^{n −1} + . . . + a n .

Je´ sli a _n ̸= 0 oraz wszystkie pierwiastki wielomianu Q nale˙za ‘ do ko la {z ∈ C : |z| ≤ 1 }, to ka˙zdy taki pierwiastek jest pewnym pierwiastkiem z jedno´sci.

Cwiczenie 20. Pokaza´ ´ c, ˙ze z 1 jest pierwiastkiem r´ ownania az ² + bz + c = 0, a, b, c ∈ C, a ̸= 0, wtedy i tylko wtedy, gdy 2az 1 + b jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby ∆ = b ² − 4ac.

Cwiczenie 21. Pokaza´ ´ c, ˙ze wszystkimi pierwiastkami r´ ownania az ² + bz + c = 0, a, b, c ∈ C, a ̸= 0, sa

‘ liczby

z ₁ = −b − w

2a , z ₂ = −b + w 2a , gdzie w jest pierwiastkiem drugiego stopnia z ∆ = b ² − 4ac.

Cwiczenie 22. Rozwia ´

‘ za´ c r´ ownania:

a) z ² + 2z + i = 0, b) z ² − 4z + 13 = 0, c) z ² + 2iz + 3 = 0, d) z ² − 2(1 + i)z − 1 + 2i = 0, e) z ² − 4iz − 13 = 0, f ) z ² + iz + i = 0.

V. Logarytm i pote

‘ ga cd. Homografia

Cwiczenie 1. Pokaza´ ´ c, ˙ze r´ ownanie cos z = a posiada dla ka˙zdej warto´ sci a ∈ C niesk´ nczenie wiele pierwiastk´ ow. (*) Dla jakich warto´ sci a ka˙zde dwa pierwiastki tego r´ ownania r´ o˙znia

‘ sie

‘ o wielokrotno´ s´ c 2π? (o wielokrotno´ s´ c π?) )*) Napisa´ c (przy pomocy znaku log) wz´ or na rozwia

‘ zanie r´ ownania cos z = a. Analogiczne zadanie dla r´ ownania sin z = a.

Cwiczenie 2. Pokaza´ ´ c, ˙ze r´ ownania tg z = a oraz ctg z = a posiadaja

‘ dla ka˙zdej warto´ sci a ∈ C, a ̸= ±i, niesko´nczenie wiele pierwiastk´ow. (*) Dla a = ±i r´ ownania powy˙zsze rozwia

‘ za´ n nie posiadaja

‘ . Napisa´ c (przy pomocy znaku log) wz´ or na rozwia

‘ zanie tych r´ owna´ n.

Cwiczenie 3. Pokaza´ ´ c, ˙ze pierwiastki r´ ownania:

( n 1

) x +

( n 3

)

x ³ + . . . = 0

(w kt´ orym wyrazem ostatnim jest nx ^{n −1} lub x ⁿ w zale˙zno´ sci od parzysto´ sci lub nieparzysto´ sci liczby n) dane sa

‘ przez wz´ or x = ±i tg(kπ/n), gdzie k = 0, 1, . . . , (n−

2)/2 dla n parzystego i k = 0, 1, . . . , (n − 1)/2 dla n nieparzystego.

Wskaz´ owka. R´ ownanie dane napisa´ c w postaci (1 + x) ⁿ = (1 − x) ⁿ . Cwiczenie 4. Obliczy´ ´ c wszystkie pierwiastki r´ owna´ n:

a) sin z = 1, b) cos z = i, c) ( _n

1

) x − ( _n

3

) x ³ + ( _n

5

) x ⁵ − . . . = 0, d) 1 − ( _n

2

) x ² + ( _n

4

) x ⁴ − . . . = 0, e) 1 + ( _n

1

) x − ( _n

2

) x ² − ( _n

3

) x ³ + . . . + ( −1)

^n(n2−1)

x ⁿ = 0.

Wskaz´ owka. Dla r´ owna´ n (c) i (d) rozr´ o˙zni´ c przypadki n parzystego i nieparzystego.

Zauwa˙zy´ c, ˙ze r´ ownanie c) jest r´ ownowa˙zne (i+x) ⁿ = (i −x) ⁿ , r´ ownanie d) (i+x) ⁿ =

−(i − x) ⁿ , za´ s r´ ownanie e) (i + 1)(1 − ix) ⁿ = (i − 1)(1 + ix) ⁿ .

Cwiczenie 5. Je˙zeli z ´ 0 , z 1 , . . . , z n −1 jest uk ladem n r´ o˙znych pierwiastk´ ow n-tego stopnia z jedno´ sci, to dla ka˙zdej liczby ca lkowitej k suma z ₀ ^k + z ₁ ^k + . . . + z _n ^k ₋₁ jest r´ owna n, gdy k jest wielokrotno´ scia

‘ liczby n, a r´ owna 0 w przypadku przeciwnym.

Cwiczenie 6. Znale´ ´ z´ c wszystkie warto´ sci pote

‘ g 1 ⁱ , i ⁱ , i ^{√ 2} (zauwa˙zy´ c, ˙ze dwie pier- wsze posiadaja

‘ tylko warto´ sci rzeczywiste, a trzecia tylko warto´ sci urojone).

Cwiczenie 7. Czy prawdziwa jest r´ ´ owno´ s´ c a ^b a ^c = a ^b+c , gdzie a ∈ C\{0}, b, c ∈ C?

Cwiczenie 8*. Pokaza´ ´ c, ˙ze pote

‘ ga a ^u+iv (gdzie u oraz v sa

‘ liczbami rzeczywistymi i a ̸= 0) posiada tylko warto´sci rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy 2u jest liczba ‘ ca lkowita

‘ , a liczba vLog |a| + uArg a jest wielokrotno´scia ‘ π.

Cwiczenie 9*. Pokaza´ ´ c, ˙ze wszystkie warto´ sci pote

‘ gi a ^c maja

‘ ten sam modu l wtedy i tylko wtedy, gdy Im c = 0. Je˙zeli Im c ̸= 0, w´owczas pote ‘ ga a ^c posiada niesko´ nczenie wiele r´ o˙znych modu l´ ow, kt´ orych kresem dolnym jest 0, a g´ ornym + ∞.

Wszystkie warto´ sci pote

‘ gi a ^c le˙za

‘ na jednej p´ o lprostej wychodza

‘ cej z punktu 0 wt- edy i tylko wtedy, gdy Re c ∈ Z; mieszcza ‘ sie

‘ na sko´ nczonej ilo´ sci takich p´ o lprostych wtedy i tylko wtedy, gdy Re c ∈ Q.

Cwiczenie 10. Udowodni´ ´ c, ˙ze

a) je˙zeli z ∈ R to dla dowolnej liczby zespolonej a takiej, ˙ze a ̸= z zachodzi   ^z z ^−a −a   = 1,

b) dla dowolnej liczby zespolonej z takiej, ˙ze |z| = 1 i dowolnej liczby zespolonej

a ̸= z zachodzi   az ^{z −a} −1   = 1.

Cwiczenie 11. Znale´ ´ z´ c obraz zbioru w podanej homografii:

a) {z : |z − a| = |a|, a ∈ R}, h(z) = ¹ _z , b) {z : |z − ib| = √

1 + b ² , b ∈ R}, h(z) = ¹ _z , c) {z : Re z > 0, Im z > 0}, h(z) = ^z _z+i ⁻ⁱ , d) {z : 0 < Re z < 1}, h(z) = ^z _z ⁻¹ ₋₂ , e) {z : 0 < Arg z < ^π ₄ }, h(z) = _{z −1} ^z .

Cwiczenie 12*. Udowodni´ ´ c, ˙ze ka˙zda homografia jest bijekcja

‘ C na C.

Cwiczenie 13. Niech ´

f (z) = z ₂ − z 3

z 2 − z 1

z − z 1

z − z 3

,

gdzie z ₁ , z ₂ , z ₃ ∈ C sa ‘ parami r´ o˙znymi liczbami zespolonymi oraz niech

g(z) = w 2 − w 3

w 2 − w 1

z − w 1

z − w 3

,

gdzie w ₁ , w ₂ , w ₃ ∈ C sa ‘ parami r´ o˙znymi liczbami zespolonymi. Udowodni´ c, ˙ze

h = g ⁻¹ ◦ f

jest homografia

‘ oraz h(z 1 ) = w 1 , h(z 2 ) = w 2 , h(z 3 ) = w 3 . Wywnioskowa´ c sta

‘ d,

˙ze dla dowolnych dw´ och okre

‘ g´ ow uog´ olnionych istnieje homografia przekszta lcaja

‘ ca jeden z nich na drugi.

Cwiczenie 14. Udowodni´ ´ c, ˙ze ka˙zda homografia postaci

(*) h(z) = e ^iφ z − a

1 − az , |a| < 1, φ ∈ R

praekszta lca ko lo K = {z ∈ C : |z| < 1} na siebie oraz ka˙zda ‘ homografie

‘ przekszta lcaja

‘ ca ko lo K na siebie mo˙zna zapisa´ c w postaci (*). ‘

Cwiczenie 15*. Udowodni´ ´ c, ˙ze ka˙zda homografia jest homeomorfizmem C na C.

Cwiczenie 16*. Udowodni´ ´ c, ˙ze dla dowolnych parami r´ o˙znych punkt´ ow z ₁ , z ₂ , z ₃ ∈ C oraz w 1 , w ₂ , w ₃ ∈ C istnieje dok ladnie jedna homografia przekszta lcaja ‘ ca z _j na w j , j = 1, 2, 3.

Cwiczenie 17*. Zbada´ ´ c rozmieszczenie punkt´ ow z ̸= 0, w kt´orych pote ‘ ga z ^z przyj- muje wy la

‘ cznie warto´ sci rzeczywiste (punkty te po lo˙zone sa

‘ na przeliczalnej mno-

go´ sci prostych r´ ownoleg lych do osi urojonej i na ka˙zdej z tych prostych znajduje sie

niesko´ nczenie wiele punkt´ ow o podanej w lasno´ sci). ‘

VI. Ca lki. Szeregi Pote

‘ gowe i szeregi Laurenta Cwiczenie 1. Obliczy´ ´ c ca lke

a) ∫ ‘

Γ

Re z dz, gdzie Γ = [0, 1 + i], b) ∫

Γ

Re z dz, gdzie Γ jest krzywa

‘ o opisie parametrycznym φ(t) = r exp(i2πt), t ∈ ⟨0, 1⟩, gdzie r > 0,

c) ∫

Γ

(z + z) dz, gdzie Γ jest krzywa

‘ o opisie parametrycznym φ(t) = exp(it), t ∈ ⟨0, π⟩,

d) ∫

Γ

exp(sin z) cos ² z dz, gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym brzegiem pewnego prostoka

‘ ta normalnego.

Cwiczenie 2. Obliczy´ ´ c ca lke

‘ ∫

Γ

1

(z − z 0 ) ⁿ dz, gdzie n jest liczba

‘ ca lkowita

‘ , za´ s Γ jest dodatnio zorientowanym okre

‘ giem o ´ srodku w punkcie z 0 i promieniu r > 0.

Cwiczenie 3. Obliczy´ ´ c ca lke

‘ ∫

∂Q

1 z − z 0

dz,

gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu normalnego o ´ srodku z 0 . Cwiczenie 4. Udowodni´ ´ c, ˙ze d lugo´ s´ c sumy dw´ och krzywych regularnych jest suma d lugo´ sci tych krzywych. ‘

Cwiczenie 5. Obliczy´ ´ c d lugo´ s´ c krzywej Γ, gdzie a) Γ = [1 + i, 2 − i],

b) Γ = [1, i, 0, i]

c) Γ jest dodatnio zorientowanym okre

‘ giem o ´ srodku z ₀ i promieniu r, Cwiczenie 6*. Obliczy´ ´ c ca lke

‘ ∫

Γ

Re z dz,

gdzie Γ jest krzywa

‘ o opisie parametrycznym φ(t) = exp(exp it) + sin(π exp(it)), t ∈ ⟨0, 2π⟩.

Cwiczenie 7. Obliczy´ ´ c ca lke

‘ ∫

∂Q

exp z sin z

z dz,

gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu o wierzcho lkach −1 − i,

1 − i, 1 + i, −1 + i.

Cwiczenie 8. Obliczy´ ´ c ca lke

‘ ∫

∂Q

1 1 + z ² dz,

gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu o wierzcho lkach −1 − 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, −1 + 2i.

Cwiczenie 9. Obliczy´ ´ c ca lke

‘ ∫

∂Q

exp(z ² ) (z ² − 1) ² dz,

gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu o wierzcho lkach −i, 2−i, 2 + i, i.

Cwiczenie 10. Okre´ ´ sli´ c rodzaj osobliwo´ sci w punktach osobliwych naste

‘ puja

‘ cych funkcji

1) f (z) = _{z −z} ¹

3

, 2) f (z) = _{(1 −z)} ^z

⁵ 2

, 3) f (z) = ^{1−exp z} _z , 4) f (z) = _sin ¹

1

z

, 5) f (z) = _{1 −exp} ¹

1 z

, 6) f (z) = _z

2

(z ^{sin z}

²

+4) , 7) f (z) = sin ¹ _z , 8) f (z) = ^cos

π 2

z

sin

²

(z −1) , 9) f (z) = _sin(πz) ^z Cwiczenie 11. Wyznaczy´ ´ c ko lo zbie˙zno´ sci szeregu pote

‘ gowego 1)

∑ ∞ n=0

3

ⁿ

n+1 (z − 3) ⁿ , 2)

∑ ∞ n=0

5

ⁿ

n! z ⁿ , 3)

∑ ∞ n=0

(sin n)z ⁿ , 4)

∑ ∞ n=0

(2n)!

(n!)

²

z ⁿ , 5)

∑ ∞ n=0

2 ⁻ⁿ z ²ⁿ , 6)

∑ ∞ n=1

n!

n

ⁿ

z ⁿ , 7) ∑ ^∞

n=0

n!(z + i) ⁿ , 8) ∑ ^∞

n=1

(sin _n ¹ )(z + i) ²ⁿ , 9) ∑ ^∞

n=0 2

ⁿ

+n

²

3

ⁿ

+n

³

(z + 1 + i) ⁿ , 10)

∑ ∞ n=0

(1 + i) ⁿ z ⁴ⁿ , 11)

∑ ∞ n=2

ln n

n z ⁿ , 12)

∑ ∞ n=0

(n!)

³

(3n)! z ⁿ Cwiczenie 12. Na podstawie definicji pokaza´ ´ c, ˙ze szereg ∑ ^∞

n=0

z ⁿ jest niemal jednos- tajnie zbie˙zny w kole D = {z ∈ C : |z| < 1}.

Cwiczenie 13. Rozwina ´

‘ ´ c w szereg pote

‘ gowy funkcje

‘ f w otoczeniu punktu z ₀ , poda´ c jego ko lo zbie˙zno´ sci, gdzie

1) f (z) = ^{cos z} _1+z , z ₀ = 0, 2) f (z) = sin z + z cos z, z ₀ = π, 3) f (z) = _1+z+z ¹

2

, z ₀ = 0 4) f (z) = _{(1 −z)} ¹

2

, z ₀ = 0,

5) f (z) = exp z + exp( −z), z 0 = 1, 6) f (z) = ¹ _z , z ₀ = 1,

7) f (z) = Log z, z ₀ = 1, 8) f (z) = exp ² z, z ₀ = 1,

9) f (z) = _{exp z} ¹ , z 0 = 0, 10) f (z) = cos ² z, z 0 = 0,

11) f (z) = ¹ _1+z+z ^−z+z

²2

, z 0 = 0, 12) f (z) = _z

2

−6z+11 ^2z+2 , z 0 = 0.

Cwiczenie 14. Rozwina ´

‘ ´ c w szereg Laurenta funkcje

‘ f w sa

‘ siedztwie punktu z 0 , poda´ c jego pier´ scie´ n zbie˙zno´ sci, gdzie

1) f (z) = ¹ _z , z 0 = 0, 2) f (z) = _z(1 ¹ _−z) , z 0 = 1, 3) f (z) = _(z+2)(z+3) ^z

²

⁻¹ , z 0 = 0, 4) f (z) = exp ¹ _z , z 0 = 0,

5) f (z) = sin(π + _{z −1} ¹ ), z 0 = 1, 6 ∗) f(z) = exp(z + ¹ _z ), z 0 = 0.

Cwiczenie 15. Wyznaczy´ ´ c zbi´ or punkt´ ow z ∈ C w kt´orych zbie˙zny jest szereg Laurenta

∑ ∞ n=−∞

1 n ² z ⁿ . Cwiczenie 16*. Rozwina ´

‘ ´ c funkcje

‘

1

(z −a)(z−b) , gdzie a, b ∈ C sa

‘ takie, ˙ze 0 < |a| <

|b|, w szereg Laurenta o ´srodku z 0 = 0 w zbiorze a) G = {z ∈ C : |a| < |z| < |b|},

b) G = {z ∈ C : |z| > |b|}.

Cwiczenie 17*. Rozwina ´

‘ ´ c funkcje

‘

1

(z

²

+1)(z

²

+2) w szereg Laurenta o ´ srodku z ₀ = 0 w zbiorze

a) G = {z ∈ C : 1 < |z| < √ 2 }, b) G = {z ∈ C : |z| > √

2 }.

Cwiczenie 18*. Udowodni´ ´ c, ˙ze szereg

∑ ∞ n=0

z ⁿ

(1 − z ⁿ )(1 − z ⁿ⁺¹ )

jest niemal jednostajnie zbie˙zny w kole D = {z ∈ C : |z| < 1} do funkcji _{(1 −z)} ^z

²

oraz niemal jednostajnie zbie˙zny w G = {z ∈ C : |z| > 1} do funkcji _(1−z) ¹

²

.

Wsk. Oznaczaja

‘ c a n (z) = _{(1 −z}

n

)(1 ^z

ⁿ

−z

ⁿ⁺¹

) zauwa˙zy´ c, ˙ze a _n (z) = 1

1 − z ⁿ − 1

1 − z ⁿ⁺¹ + za _n (z), |z| ̸= 1

Cwiczenie 19*. Wykaza´ ´ c, ˙ze funkcja f (z) = Log _z ^z+1 ₋₁ jest holomorficzna w ob- szarze G = {z ∈ C : |z| > 1}. Rozwina ‘ ´ c funkcje

‘ f w G w szereg Laurenta o ´ srodku w zerze.

VII. Kolokwium (13 stycznia 2019 r)

VIII. Regu la de L’Hospitala, Residuum Cwiczenie 1. Wykaza´ ´ c regu le

‘ de L’Hospitala dla wyra˙ze´ n nieoznaczonych zawie- raja ‘ cych funkcje holomorficzne:

Je´ sli f i g sa

‘ funkcjami holomorficznymi w pier´ scieniu P = {z ∈ C : 0 <

|z − a| < r}, gdzie a ∈ C, r > 0, f(z) ̸= 0, g(z) ̸= 0 dla z ∈ P , takimi, ˙ze

z lim →a f (z) = lim

z →a g(z) = 0 (lub lim

z →a f (z) = lim

z →a g(z) = ∞) oraz istnieje sko´nczona lub niesko´ nczona granica lim

z →a f

^′

(z)

g

^′

(z) , to istnieje r´ ownie˙z granica lim

z →a f (z)

g(z) i obie te granice sa ‘ sobie r´ owne.

Cwiczenie 2. Obliczy´ ´ c granice (o ile istnieja

‘ ):

1) lim

z →0 sin

²

3z

z

²

, 2) lim

z →0

exp sin z

z

²

, 3) lim

z →0

sin(2z

²

+z

⁵

) z

²

, 4) lim

z →0

exp( −

_|z|¹

)

z , 5) lim

z →0

exp( −

¹_z

)

z , 6) lim

z →∞ zsin ¹ _z , 7) lim

z →0 ( ¹ _z − _{sin z} ¹ ), 8) lim

z →0 ( _z ¹

2

− _sin ¹

²

_z ), 9) lim

z →0 sin

¹_z

z , 10) lim

z →1

1 −cos(

^π₂

z)

1 −z , 11) lim

z →0

1 −cos z

sin z , 12) lim

z →1

1+cos(πz) 1 −z

Cwiczenie 3. Pokaza´ ´ c, ˙ze je´ sli f (z) = g(z)h(z), gdzie g jest funkcja

‘ holomorficzna a h meromorficzna ‘

‘ z biegunem jednokrotnym w punkcie z 0 ∈ C, to res z

0

f = g(z 0 ) res z

0

h.

Cwiczenie 4. Pokaza´ ´ c, ˙ze je´ sli f (z) = ^g(z) _h(z) , gdzie g h sa

‘ funkcjami holomor- ficznymi w punkcie z ₀ ∈ C, przy czym g(z 0 ) ̸= 0 oraz z 0 jest zerem jednokrotnym funkcji h, to

res z

0

f = g(z ₀ ) h ^′ (z 0 ) .

Cwiczenie 5. Obliczy´ ´ c residua funkcji w ich biegunach 1

sin πz , 1

cos πz , tg πz, ctg πz.

Cwiczenie 6. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f posiada w punkcie z 0 ∈ C biegun co najwy˙zej k-krotny, to wsp´ o lczynniki rozwinie

‘ cia f (z) = ∑ _∞

n= −k a n (z −z 0 ) ⁿ w szereg Laurenta w sa

‘ siedztwie punktu z 0 dane sa

‘ przez wz´ or a n −k = lim

z →z

0

f ₁ ⁽ⁿ⁾ (z)

n! ,

gdzie f 1 (z) = f (z)(z − z 0 ) ^k .

Cwiczenie 7. Niech f be ´

‘ dzie funkcja

‘ meromorficzna

‘ w punkcie z 0 . Udowodni´ c, ˙ze z 0 jest pierwiastkiem k-krotnym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy z 0 jest biegunem k-krotnym funkcji _f ¹ .

Cwiczenie 8. Niech f : G ´ → C be ‘ dzie funkcja

‘ meromorficzna

‘ nie znikaja

‘ ca

‘ to-

˙zsamo´ sciowo w obszerze G. Pokaza´ c, ˙ze na to aby punkt z 0 ∈ G by l k-krotnym biegunem funkcji f potrzeba i wystarcza, aby

z lim →z

0

( 1 f

) (k)

(z) ̸= 0 oraz lim

z →z

0

( 1 f

) (l)

(z) = 0, dla 0 ≤ l < k.

Cwiczenie 9. Pokaza´ ´ c, ˙ze je´ sli z ₀ jest co najwy˙zej k-krotnym biegunem funkcji f , k ≥ 1, to

res _z

₀

f = 1

(k − 1)! lim

z →z

0

((z − z 0 ) ^k f (z)) ^(k−1) .

Cwiczenie 10. Obliczy´ ´ c residua funkcji f w podanych punktach z ₀ : 1)f (z) = _(z ^{exp z} ₋₁₎

4

, z ₀ = 1,

2)f (z) = _z

3

^{sin αz} sin βz , z 0 = 0, gdzie α, β ∈ C, β ̸= 0, 3)f (z) = z ²ⁿ (1 + z) ⁻ⁿ , z 0 = −1, gdzie n ∈ N,

4)f (z) = (1 + z ² ) ⁻ⁿ , z 0 = i, gdzie n ∈ N, 5)f (z) = _z

2

(z ^{sin z}

²

+4) , z 0 = 0.

Cwiczenie 11. Obliczy´ ´ c residua funkcji f we wszystkich punktach osobliwych (tzn.

w biegunach i punktach istotnie osobliwych)

a)f (z) = (z ³ − z ⁵ ) ⁻¹ , b) f (z) = _z

2

^{exp z} (z

²

+4) , c) f (z) = ctg ² z, d) f (z) = sin ¹ _z , e)f (z) = z ⁿ sin ¹ _z , f ∗)f(z) = exp(z + ¹ _z ), g)f (z) = _1+z ¹

4

, h) f (z) = _(z

2

+z+i) ¹ .

Cwiczenie 12. Obliczy´ ´ c ca lki

∫

∂P

1 sin πz ,

∫

∂P

1 cos πz ,

∫

∂P

tg πz,

∫

∂P

ctg πz,

∫

∂P

exp z z ² (z ² + 4) dz, gdzie ∂P jest dodatnio zorientowanym brzegiem prostoka

‘ ta o wierzcho lkach −1 − i,

1 − i, 1 + i, −1 + i.