Literatura:
[Ch] J. Cha
‘ dzy´ nski, Wste
‘ p do analizy zespolonej,, wyd VII Wyd. U L, L´ od´ z, 1993.
[Krz]J. Krzy˙z, Zbi´ or zada´ n z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa, 1975.
[Ku] K, Kuratowski, Wste
‘ p do teorii mnogo´ sci i topologii, PWN, Warszawa, 1991.
[L] F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa, 1971.
[R] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, 1998.
[SZ] S. Saks, A. Zygmund, Funkcje Analityczne, PWN, Warszawa, 1959.
I. Liczby zespolone Cwiczenie 1. Udowodni´ ´ c, ˙ze C
∼ wraz z dzia laniami ”+”, ” ·” (wprowadzonymi w [Ch], str. 8) jest cia lem.
Cwiczenie 2. Udowodni´ ´ c, ˙ze
z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , z 1 z 2 = z 1 z 2 , |z| = |z|
z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im z, |z| 2 = z z ( z
1
z
2) = z z1
2
, z 2 ̸= 0 1 z = |z| z2, z ̸= 0,
| Re z| ≤ |z|, | Im z| ≤ |z|, |z| ≤ | Re z| + | Im z|.
Cwiczenie 3. Wykaza´ ´ c, ˙ze je˙zeli z ̸= 0 i |z| = r, to
Re z = 1 2
( z + r 2
z )
, Im z = 1 2i
( z − r 2
z )
.
Cwiczenie 4. Wykaza´ ´ c, ˙ze:
a) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | b) |z 1 − z 2 | ≥ ||z 1 | − |z 2 ||.
Kiedy zachodzi r´ owno´ s´ c?
Cwiczenie 5. Wykaza´ ´ c, ˙ze gdy a ̸= b, to 1 2 |a + b| < max(|a|, |b|).
Cwiczenie 6. Przedstawi´ ´ c w postaci trygonometrycznej naste
‘ puja
‘ ce liczby zespo- lone:
1 − i, 1 + i √
3, √ 6 + √
2 + i( √ 6 − √
2).
Cwiczenie 7. Przedstawi´ ´ c w postaci kanonicznej (tzn. z = x + iy, gdzie x, y ∈ R) naste
‘ puja
‘ ce liczby zespolone:
2 1 −3i ,
( 1+i 1 −i
) 5
, (1 + i √ 3) 6 ,
( 1−i √ 3 1 −i
) 4
Cwiczenie 8. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli z 1 , z 2 ∈ C oraz α ∈ arg z 1 , β ∈ arg z 2 , to α + β ∈ arg(z 1 z 2 ).
1
Cwiczenie 9. Rozwia ´
‘ za´ c r´ ownanie: z = z 2 . Cwiczenie 10. Zbada´ ´ c, kiedy liczba w = 1+z 1 −z jest
a) rzeczywista, b) urojona.
Cwiczenie 11. Zbada´ ´ c, kiedy kwadrat liczby z = α + iβ jest liczba a) rzeczywista ‘
‘ , b) rzeczywista
‘ ujemna
‘ , c) urojona
‘ .
Cwiczenie 12. Niech a, b ´ ∈ C a, b ̸= 0. Jakie musza
‘ by´ c argumenty liczb a i b, aby iloczyn ab (iloraz a/b) by l liczba
‘ rzeczywista
‘ ?
Cwiczenie 13*. Zapisa´ ´ c w postaci trygonometrycznej liczbe
‘ zespolona
‘ z = 1 − cos α − i sin α, α ∈ R
II. Liczby zespolone cd. Cia
‘ gi Cwiczenie 1. Wykaza´ ´ c to˙zsamo´ sci:
a) |z 1 + z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 = 2( |z 1 | 2 + |z 2 | 2 ) (Poda´ c interpretacje
‘ geometryczna
‘ ),
b) |1 + z 1 z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 = (1 + |z 1 | 2 )(1 + |z 2 | 2 ), c) |1 − z 1 z 2 | 2 − |z 1 − z 2 | 2 = (1 − |z 1 | 2 )(1 − |z 2 | 2 ).
Cwiczenie 2. Poda´ ´ c geometryczna
‘ interpretacje
‘ naste
‘ puja
‘ cych zbior´ ow liczb ze- spolonych:
1) {z ∈ C : Re z ≥ 2}, {z ∈ C : 1 ≤ Im z ≤ 2}, {z ∈ C : π 4 < arg z < 3π 2 }, 2) {z ∈ C : Re(z 2 ) = r }, r ∈ R,
3) {z ∈ C : Im(z 2 ) = r }, r ∈ R,
4) {z ∈ C : |z + 1| + |z − 1| = r}, r > 0.
5) {z ∈ C : |z − a| = |z − b|}, a ̸= b,
6) {z ∈ C : |z + c| + |z − c| ≤ 2a}, a > 0, |c| < a, 7)
{
z ∈ C : 0 < Arg z+i z −i < π 4 }
, 8) {z ∈ C : 0 ≤ Re(iz) < 1}, 9) {z ∈ C : Re(z 2 ) > α }, α > 0, 10)
{
z ∈ C : z+1 z −1 < 1 } , 11) {z ∈ C : |z| + Re z ≤ 1},
12) {z ∈ C : Re[z(z + i)(z − i) −1 ] > 0 }.
13) {z ∈ C : |z| 2 = 2a Re z }, a ∈ R,
14) {z ∈ C : |z| 2 = 2a Re z + 2b Im z + c }, a, b, c ∈ R.
Cwiczenie 3. Udowodni´ ´ c wz´ or na wsp´ o lrze
‘ dne obrazu sferycznego punktu z ∈ C oraz wz´ or na wsp´ o lrze
‘ dne rzutu stereograficznego.
Cwiczenie 4. Udowodni´ ´ c w lasno´ s´ c 4.1 w [Ch].
Cwiczenie 5. Niech ´ {a n } be ‘ dzie cia
‘ giem liczb zespolonych.
(i) Udowodni´ c, ˙ze lim n →∞ a n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim n →∞ |a n | = 0.
(ii) Udowodni´ c, ˙ze lim n →∞ a n = ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim n →∞ |a n | = ∞.
Cwiczenie 6. Obliczy´ ´ c granice cia
‘ g´ ow (je´ sli istnieja
‘ )
1) a n = (i+2) (i+2)nn−1 +1 , 2) a n = 1 + ni, 3) a n = √ n
2 n + 4 n + n + in sin n 1 , 4) a n = ( √ 2
2 + i
√ 2 2
) n
, 5) a n = 1 + i( −1) n , 6) a n = 2n+1 n −1 + i( √
n + 1 − √ n), 7) a n = √
n + n i , 8) a n = √ n
n! + i n 1 , 9) a n = n sin n 1 + i n 1 sin n, 10) a n = ( 1+i
2
) n
, 11) a n = (2+i) (2+i)nn+(3+i) −(3+i)
nn, 12) a n = √ n
n n /n! + in log(1 + 1/n), 13) a n = 2 n!n + i, 14) a n = i 1n, 15) a n = i+i (1−i)2+...+i
n n.
, 15) a n = i+i (1−i)2+...+i
n n.
Cwiczenie 7. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c cia
‘ g´ ow a n = (1+i)2n2 −(1−i)
n 2n,
b n = 2 + (1 + ( −1) n )ni.
Cwiczenie 8. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c cia
‘ gu a n = z n w zale˙zno´ sci od z.
Cwiczenie 9. Wykaza´ ´ c, ˙ze lim
n →∞
( 1 + x+iy n ) n
= e x (cos y + i sin y).
Cwiczenie 10*. Wyznaczy´ ´ c promie´ n i ´ srodek okre
‘ gu Apoloniusza
|z − a| |z − b| −1 = k gdzie a ̸= b, k ̸= 1, k > 0.
III. Szeregi Cwiczenie 1. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c szereg´ ow:
1) ∑ ∞
n=1
( 1
n(n+1) + 2 1
ni )
, 2) ∑ ∞
n=0
√ 1
n+i , 3) ∑ ∞
n=0
( n(2 −i)+1 n(3 −2i)−3i
) n
, 4)
∑ ∞ n=1
( n 1 sin n 1 + i ( −1) ln nn), 5)
∑ ∞ n=0
(2+i)
n2
n, 6)
∑ ∞ n=0
n(2i −1)
n3
n, 7) ∑ ∞
n=1
( √
n + 1 − √
n) n (1 + i n ), 8) ∑ ∞
n=1 (1+i)
nn! , 9) ∑ ∞
n=2
( 1
n
2ln n + i e n
nnn!
) ,
10)
∑ ∞ n=1
(cos nπ 3 + i sin nπ 3 ), 11)
∑ ∞ n=1
( √ 3+i
2+3i
) n
, 12)
∑ ∞ n=1
n
nn!(e −i)
n, 13) ∑ ∞
n=1
( sin n 1 cos n 1 + i log(1 + n 1 ) )
, 14) ∑ ∞
n=1 1 (n+i) √
n , 15) ∑ ∞
n=
( 2nn!
n
n+ i 3 nnnn!
) .
Cwiczenie 2. Wykaza´ ´ c, ˙ze w ka˙zdym punkcie okre
‘ gu |z| = 1 r´o˙znym od 1 cia
‘ g sum cze
‘ ´ sciowych szeregu ∑ ∞
n=0
z n jest ograniczony.
Cwiczenie 3. Niech ´ {a n } be ‘ dzie cia
‘ giem liczb rzeczywistych dodatnich, {b n } cia ‘ giem liczb zespolonych. Je˙zeli {a n } jest cia ‘ giem maleja
‘ cym takim, ˙ze lim
n →∞ a n = 0 oraz cia ‘ g sum cze
‘ ´ sciowych szeregu ∑ ∞
n=1
b n jest ograniczony, to szereg ∑ ∞
n=1
a n b n jest zbie˙zny (Kryterium Dirichleta zbie˙zno´ sci szereg´ ow).
Cwiczenie 4. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c szeregu
∑ ∞ n=1
z
nn , z ∈ C.
Cwiczenie 5. Zbada´ ´ c zbie˙zno´ s´ c szereg´ ow
∑ ∞ n=1
z n 1 − z n ,
∑ ∞ n=0
1
1 + z n , |z| ̸= 1.
Cwiczenie 6. Wykaza´ ´ c, ˙ze gdy cia
‘ g {ζ n } i szereg ∑
|b n | sa
‘ zbie˙zne, to r´ ownie˙z i szereg ∑
b n ζ n jest zbie˙zny.
Cwiczenie 7. Wykaza´ ´ c, ˙ze je˙zeli Re z n ≥ 0 (n = 1, 2, . . . ) i je˙zeli szeregi ∑ z n ,
∑ z n 2 sa
‘ zbie˙zne, to r´ ownie˙z szereg ∑
|z n | 2 jest zbie˙zny.
Cwiczenie 8. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli szereg ∑ ∞
n=1 z n 2 jest bezwzgle
‘ dnie zbie˙zny, to szereg
∑ ∞
n −1 z
nn jest r´ ownie˙z bezwzgle
‘ dnie zbie˙zny.
Cwiczenie 9*. Zbada´ ´ c cia
‘ g z n = (1 + i) ( 1 + 2 i )
. . . (
1 + n i ) .
IV. Cia
‘ g lo´ s´ c i r´ o ˙zniczkowalno´ s´ c
Cwiczenie 1. Na podstawie definicji wykaza´ ´ c, ˙ze funkcja okre´ slona wzorem f (z) = Re z, z ∈ C (f(z) = Im z, z ∈ C) jest cia
‘ g la.
Cwiczenie 2. Zbada´ ´ c cia
‘ g lo´ s´ c funkcji
f (z) =
Re z
1 + |z| , z ̸= 0 0 , z = 0 ,
f (z) =
Re z
z , z ̸= 0 0 , z = 0
, f (z) =
(Re z 2 ) 2
z 2 , z ̸= 0 0 , z = 0
.
Cwiczenie 3. Na podstawie definicji zbada´ ´ c istnienie pochodnej funkcji a) f (z) = z Re z,
b) f (z) = z
w punkcie z = 0.
Cwiczenie 4. Wyznaczy´ ´ c punkty, w kt´ orych naste
‘ puja
‘ ce funkcje posiadaja
‘ pocho- dne
f (z) = |z|, f (z) = |z| 2 , f (z) = Im z, f (z) = √
Re z Im z, f (z) = z |z|, f (z) = (z + 1) |z|,
f (z) = z |z + 1|, f (z) = z 2 Re(z + 1), f (z) = |z| 2 + 2 Re z Im z,
f (z) =
{ (1+i) Im (z2)
|z|
2, dla z ̸= 0
0, dla z = 0
, f (z) = { |z| 2 sin |z| 12, dla z ̸= 0 0, dla z = 0 () ∗ . Cwiczenie 5. Sprawdzi´ ´ c, ˙ze funkcja F (z) = √
|xy| (z = x + iy) posiada w punkcie z = 0 pochodne cza
‘ stkowe wzgle
‘ dem x oraz y r´ owne zeru; spe lnia wie
‘ c warunki Cauchy’ego-Riemanna, nie posiada jednak w tym punkcie pochodnej.
Wskaz´ owka. Podstawiaja
‘ c z = x(1 + iα), gdzie α jest dowolna
‘ liczba
‘ rzeczywista
‘ , zauwa˙zy´ c, ˙ze iloraz [F (z) − F (0)]/z = F (z)/z posiada dla ka˙zdej ustalonej warto´sci α granice
‘ sko´ nczona
‘ , gdy x → 0; granica ta zmienia sie
‘ jednak w zale˙zno´ sci od α.
Cwiczenie 6. Dla funkcji cia ´
‘ g lej G, okre´ slonej wzorami G(0) = 0 oraz G(z) = x 3 y/(x 4 + y 2 ) dla z = x + iy ̸= 0, spe lnione sa ‘ w punkcie 0 warunki Cauchy’ego- Riemanna oraz istnieje granica ilorazu [G(z) − G(0)]/z = G(z)/z, gdy z da ‘ ˙zy do 0 wzd lu˙z dowolnej prostej przechodza
‘ cej przez punkt 0; ponadto granica ta ma te sama ‘
‘ warto´ s´ c 0 dla ka˙zdej takiej prostej. Mimo to funkcja G nie posiada pochodnej w punkcie 0.
Wskaz´ owka. Granica ilorazu G(z)/z, gdy z da
‘ ˙zy do 0 wzd lu˙z paraboli y = x 2 , jest r´ owna 1/2.
Cwiczenie 7. Niech f be ´
‘ dzie funkcja
‘ okre´ slona
‘ w otoczeniu Ω punktu z 0 i r´ o˙znicz- kowalna
‘ w punkcie z 0 . Wykaza´ c, ˙ze f posiada pochodna
‘ w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f ′ (z 0 ) = 0. (f (z) = Re f (z) − i Im f(z) dla z ∈ Ω)
Cwiczenie 8. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli f : Ω → C jest funkcja ‘ r´ o˙zniczkowalna
‘ w ob- szarze Ω i f ′ (z) = 0 dla z ∈ Ω, to f jest funkcja ‘ sta la
‘ .
Cwiczenie 9. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli f : Ω → C jest funkcja
‘ r´ o˙zniczkowalna
‘ w ob- szarze Ω i |f| jest funkcja ‘ sta la
‘ , to f jest funkcja
‘ sta la
‘ .
Cwiczenie 10. Pokaza´ ´ c, ˙ze je´ sli f : Ω → C jest funkcja ‘ r´ o˙zniczkowalna
‘ w obszarze Ω i Im f (z) = 0 dla z ∈ Ω, to f jest funkcja ‘ sta la
‘ .
Cwiczenie 11. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, gdzie u = Re f , v = Im f , jest r´ o˙zniczkowalna w obszarze Ω oraz u 2 ≡ v w tym obszarze, to f jest funkcja
‘ sta la
‘ .
Cwiczenie 12*. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, gdzie u = Re f , v = Im f , jest r´ o˙zniczkowalna w obszarze Ω oraz u 2 ≡ v 3 , to f jest funkcja
‘ sta la
‘ .
Cwiczenie 13*. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´ sli funkcja f : C → C ma pochodna ‘ w ka˙zdym punkcie p laszczyzny C oraz
f (z) = f (z), dla z ∈ C.
to f jest funkcja
‘ sta la
‘ .
Cwiczenie 14*. Niech f be ´
‘ dzie funkcja
‘ okre´ slona
‘ w otoczeniu punktu z 0 = x 0 + iy 0 , x 0 , y 0 ∈ R. Niech u Re f, v = Im f. Udowodni´c, ˙ze f ma pochodna
‘ w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje u i v posiadaja
‘ r´ o˙zniczki zupe lne w punkcie z 0
oraz spe lniaja
‘ warunki Cauchyego-Riemanna.
V. Funkcje elementarne, logarytm i pote
‘ ga
Cwiczenie 1. Udowodni´ ´ c, ˙ze e z1 = e z2 wtedy i tylko wtedy, gdy z 1 − z 2 = 2kπi, k ∈ Z.
wtedy i tylko wtedy, gdy z 1 − z 2 = 2kπi, k ∈ Z.
Cwiczenie 2. Obliczy´ ´ c
|e z |, Re(e z ), Im(e z ), e z .
Cwiczenie 3. Dla jakich warto´ ´ sci z ∈ C, w = e z jest liczba
‘ rzeczywista
‘ , rzeczywi- sta ‘ ujemna
‘ , urojona
‘ ?
Cwiczenie 4. Udowodni´ ´ c, ˙ze je´ sli W jest wielomianem o wsp´ o lczynnikach rzeczy- wistych, to W (z) = W (z), dla z ∈ C. W szczeg´olno´sci je´sli W (z 0 ) = 0, to W (z 0 ) = 0.
Cwiczenie 5. Pokaza´ ´ c, ˙ze sin z = sin z.
Cwiczenie 6. Pokaza´ ´ c, ˙ze w dziedzinie zespolonej funkcja f (z) = sin z nie jest ograniczona.
Cwiczenie 7. Je˙zeli W jest wielomianem n-tego stopnia i z ´ 1 , z 2 , . . . , z n oznaczaja pierwiastki tego wielomianu (w przypadku istnienia pierwiastk´ ow wielokrotnych ka˙zdy ‘ pierwiastek wyste
‘ puje w cia
‘ gu z 1 , z 2 , . . . , z n tyle razy, ile wynosi jego krotno´ s´ c), w´ owczas
(1) W ′ (z)
W (z) = ∑
k
1 z − z k
w ka˙zdym punkcie z, w kt´ orym W (z) ̸= 0.
Cwiczenie 8. Obliczy´ ´ c:
log 1, log i, log( −i), log(1 − i)
oraz logarytmy g l´ owne tych liczb.
Cwiczenie 9. Wykaza´ ´ c, ˙ze je˙zeli b ∈ Z, to definicja pote ‘ gi a b pokrywa sie
‘ ze zwyk la arytmetyczna ‘
‘ definicja
‘ pote
‘ gi.
Cwiczenie 10. Wykaza´ ´ c, ˙ze wszystkie warto´ sci pote
‘ gi a 1/n sa
‘ pierwiastkami r´ ow- nania z n = a oraz ka˙zdy pierwiastek tego r´ ownania jest warto´ scia
‘ pote
‘ gi a 1/n . Pokaza´ c, ˙ze je´ sli a = r(cos φ + i sin φ), r ̸= 0, to
w k = r 1/n (cos( φ + 2kπ
n ) + i sin( φ + 2kπ
n ), k = 0, ..., n − 1, sa ‘ wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z a.
Cwiczenie 11. Niech z ´ 1 , z 2 , z 3 ∈ C be
‘ da
‘ takie, |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | = 1. Pokaza´c,
˙ze z 1 + z 2 + z 3 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z 1 , z 2 , z 3 sa
‘ pierwiastkami trzeciego stopnia z pewnej liczby z 0 ∈ C.
Cwiczenie 12. Wykaza´ ´ c, ˙ze dla ka˙zdej liczby z ∈ C \ (−∞, 0⟩ istnieje dok ladnie jedna liczba zespolona ζ = α + iβ, α > 0, taka, ˙ze ζ 2 = z.
Cwiczenie 13. Niech dany be ´
‘ dzie wielomian
P (z) = z n + a 1 z n−1 + · · · + a n , n > 0.
a) Pokaza´ c, ˙ze je´ sli z 0 jest pierwiastkiem wielomianu P , to
|z 0 | ≤ 2 max
j=1,...,n |a j |1j.
b*) Pokaza´ c, ˙ze istnieje pierwiastek z 0 wielomianu P taki, ˙ze
|z 0 | ≥ 1 n max
j=1,...,n |a j |1j. Wsk. W cze
‘ ´ sci b) zastosowa´ c zasadnicze twierdzenie algebry.
Cwiczenie 14*. Niech P (z) = a ´ 0 + a 1 z + . . . + a n z n , gdzie a 0 , . . . , a n ∈ R, przy czym a 0 > . . . > a n > 0. Pokaza´ c, ˙ze P nie ma pierwiastk´ ow w kole K = {z ∈ C :
|z| ≤ 1}.
Cwiczenie 15*. Pokaza´ ´ c, ˙ze dla dowolnego wielomianu
P (z) = a 0 z n + . . . + a n , a 0 ̸= 0, n > 0 cze ‘ ´ s´ c rzeczywista Re P i cze
‘ ´ s´ c urojona Im P sa
‘ wielomianami, kt´ ore nie maja wsp´ olnych czynnik´ ow dodatniego stopnia. ‘
Cwiczenie 16*. Je˙zeli W jest wielomianem stopnia n ´ ≥ 1, w´owczas wszystkie pierwiastki r´ ownania W ′ (z) = 0 le˙za
‘ w zbiorze wypuk lym wyznaczonym przez pier- wiastki r´ ownania W (z) = 0 (Gauss).
Wskaz´ owka. Skorzysta´ c ze wzoru (1) ´ cwiczenia 7; zauwa˙zy´ c, ˙ze 1/(z −z k ) = (z − z k )/ |z−
z k | 2 .
Cwiczenie 17*. R´ ´ ownanie 1 + z + az n = 0, gdzie n jest liczba
‘ ca lkowita
‘ , n ≥ 2 oraz a dowolna
‘ liczba
‘ zespolona
‘ , posiada zawsze pierwiastek o module nie przekra- czaja
‘ cym 2 (Landau).
Wskaz´ owka. Podstawi´ c z = 1/w i skorzysta´ c z zadania poprzedniego.
Cwiczenie 18* (Kronecker). Niech dany be ´
‘ dzie wielomian o wsp´ o lczynnikach ca l- kowitych postaci
Q(z) = z n + a 1 z n −1 + . . . + a n . Je´ sli wszystkie pierwiastki wielomianu Q nale˙za
‘ do okre
‘ gu {z ∈ C : |z| = 1}, to ka˙zdy taki pierwiastek jest pewnym pierwiastkiem z jedno´ sci.
Cwiczenie 19*. Niech dany be ´
‘ dzie wielomian o wsp´ o lczynnikach ca lkowitych po- staci
Q(z) = z n + a 1 z n −1 + . . . + a n .
Je´ sli a n ̸= 0 oraz wszystkie pierwiastki wielomianu Q nale˙za ‘ do ko la {z ∈ C : |z| ≤ 1 }, to ka˙zdy taki pierwiastek jest pewnym pierwiastkiem z jedno´sci.
VI. R´ ownania wielomianowe i trygonometryczne
Cwiczenie 1. Pokaza´ ´ c, ˙ze z 1 jest pierwiastkiem r´ ownania az 2 +bz +c = 0, a, b, c ∈ C, a ̸= 0, wtedy i tylko wtedy, gdy 2az 1 + b jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby
∆ = b 2 − 4ac.
Cwiczenie 2. Pokaza´ ´ c, ˙ze wszystkimi pierwiastkami r´ ownania az 2 + bz + c = 0, a, b, c ∈ C, a ̸= 0, sa ‘ liczby
z 1 = −b − w
2a , z 2 = −b + w 2a , gdzie w jest pierwiastkiem drugiego stopnia z ∆ = b 2 − 4ac.
Cwiczenie 3. Rozwia ´
‘ za´ c r´ ownania:
a) z 2 + 2z + i = 0, b) z 2 − 4z + 13 = 0, c) z 2 + 2iz + 3 = 0, d) z 2 − 2(1 + i)z − 1 + 2i = 0, e) z 2 − 4iz − 13 = 0, f ) z 2 + iz + i = 0.
Cwiczenie 4. Pokaza´ ´ c, ˙ze r´ ownanie cos z = a posiada dla ka˙zdej warto´ sci a ∈ C niesk´nczenie wiele pierwiastk´ow. Dla jakich warto´sci a ka˙zde dwa pierwiastki tego r´ ownania r´ o˙znia
‘ sie
‘ o wielokrotno´ s´ c 2π? (o wielokrotno´ s´ c π?) Napisa´ c (przy pomocy znaku log) wz´ or na rozwia
‘ zanie r´ ownania cos z = a. Analogiczne zadanie dla r´ ownania sin z = a.
Cwiczenie 5. Pokaza´ ´ c, ˙ze r´ ownania tg z = a oraz ctg z = a posiadaja
‘ dla ka˙zdej warto´ sci a ∈ C, a ̸= ±i, niesko´nczenie wiele pierwiastk´ow. Dla a = ±i r´ownania powy˙zsze rozwia
‘ za´ n nie posiadaja
‘ . Napisa´ c (przy pomocy znaku log) wz´ or na rozwia
‘ zanie
tych r´ owna´ n.
Cwiczenie 6. Pokaza´ ´ c, ˙ze pierwiastki r´ ownania:
( n 1
) x +
( n 3
)
x 3 + . . . = 0
(w kt´ orym wyrazem ostatnim jest nx n −1 lub x n w zale˙zno´ sci od parzysto´ sci lub nieparzysto´ sci liczby n) dane sa
‘ przez wz´ or x = ±i tg(kπ/n), gdzie k = 0, 1, . . . , (n−
2)/2 dla n parzystego i k = 0, 1, . . . , (n − 1)/2 dla n nieparzystego.
Wskaz´ owka. R´ ownanie dane napisa´ c w postaci (1 + x) n = (1 − x) n . Cwiczenie 7. Obliczy´ ´ c wszystkie pierwiastki r´ owna´ n:
a) sin z = 1, b) cos z = i, c) ( n
1
) x − ( n
3
) x 3 + ( n
5
) x 5 − . . . = 0, d) 1 − ( n
2
) x 2 + ( n
4
) x 4 − . . . = 0, e) 1 + ( n
1
) x − ( n
2
) x 2 − ( n
3
) x 3 + . . . + ( −1)
n(n2−1)x n = 0.
Wskaz´ owka. Dla r´ owna´ n (c) i (d) rozr´ o˙zni´ c przypadki n parzystego i nieparzystego.
Zauwa˙zy´ c, ˙ze r´ ownanie c) jest r´ ownowa˙zne (i+x) n = (i −x) n , r´ ownanie d) (i+x) n =
−(i − x) n , za´ s r´ ownanie e) (i + 1)(1 − ix) n = (i − 1)(1 + ix) n . VII. Pote
‘ ga cd. Homografia
Cwiczenie 1. Je˙zeli z ´ 0 , z 1 , . . . , z n −1 jest uk ladem n r´ o˙znych pierwiastk´ ow n-tego stopnia z jedno´ sci, to dla ka˙zdej liczby ca lkowitej k suma z 0 k + z 1 k + . . . + z n k −1 jest r´ owna n, gdy k jest wielokrotno´ scia
‘ liczby n, a r´ owna 0 w przypadku przeciwnym.
Cwiczenie 2. Znale´ ´ z´ c wszystkie warto´ sci pote
‘ g 1 i , i i , i √ 2 (zauwa˙zy´ c, ˙ze dwie pier- wsze posiadaja
‘ tylko warto´ sci rzeczywiste, a trzecia tylko warto´ sci urojone).
Cwiczenie 3. Czy prawdziwa jest r´ ´ owno´ s´ c a b a c = a b+c , gdzie a ∈ C\{0}, b, c ∈ C?
Cwiczenie 4. Pokaza´ ´ c, ˙ze pote
‘ ga a u+iv (gdzie u oraz v sa
‘ liczbami rzeczywistymi i a ̸= 0) posiada tylko warto´sci rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy 2u jest liczba ‘ ca lkowita
‘ , a liczba vLog |a| + uArg a jest wielokrotno´scia ‘ π.
Cwiczenie 5. Pokaza´ ´ c, ˙ze wszystkie warto´ sci pote
‘ gi a c maja
‘ ten sam modu l wtedy i tylko wtedy, gdy Im c = 0. Je˙zeli Im c ̸= 0, w´owczas pote
‘ ga a c posiada niesko´ nczenie wiele r´ o˙znych modu l´ ow, kt´ orych kresem dolnym jest 0, a g´ ornym + ∞.
Wszystkie warto´ sci pote
‘ gi a c le˙za
‘ na jednej p´ o lprostej wychodza
‘ cej z punktu 0 wt- edy i tylko wtedy, gdy Re c ∈ Z; mieszcza ‘ sie
‘ na sko´ nczonej ilo´ sci takich p´ o lprostych wtedy i tylko wtedy, gdy Re c ∈ Q.
Cwiczenie 6. Udowodni´ ´ c, ˙ze
a) je˙zeli z ∈ R to dla dowolnej liczby zespolonej a takiej, ˙ze a ̸= z zachodzi z z −a −a = 1,
b) dla dowolnej liczby zespolonej z takiej, ˙ze |z| = 1 i dowolnej liczby zespolonej
a ̸= z zachodzi az z −a −1 = 1.
Cwiczenie 7. Znale´ ´ z´ c obraz zbioru w podanej homografii:
a) {z : |z − a| = |a|, a ∈ R}, h(z) = 1 z , b) {z : |z − ib| = √
1 + b 2 , b ∈ R}, h(z) = 1 z , c) {z : Re z > 0, Im z > 0}, h(z) = z z+i −i , d) {z : 0 < Re z < 1}, h(z) = z z −1 −2 , e) {z : 0 < Arg z < π 4 }, h(z) = z −1 z .
Cwiczenie 8. Udowodni´ ´ c, ˙ze ka˙zda homografia jest bijekcja
‘ C na C.
Cwiczenie 9. Niech ´
f (z) = z 2 − z 3
z 2 − z 1
z − z 1
z − z 3
,
gdzie z 1 , z 2 , z 3 ∈ C sa ‘ parami r´ o˙znymi liczbami zespolonymi oraz niech
g(z) = w 2 − w 3
w 2 − w 1
z − w 1
z − w 3
,
gdzie w 1 , w 2 , w 3 ∈ C sa ‘ parami r´ o˙znymi liczbami zespolonymi. Udowodni´ c, ˙ze
h = g −1 ◦ f
jest homografia
‘ oraz h(z 1 ) = w 1 , h(z 2 ) = w 2 , h(z 3 ) = w 3 . Wywnioskowa´ c sta
‘ d,
˙ze dla dowolnych dw´ och okre
‘ g´ ow uog´ olnionych istnieje homografia przekszta lcaja
‘ ca jeden z nich na drugi.
Cwiczenie 10. Udowodni´ ´ c, ˙ze ka˙zda homografia postaci
(*) h(z) = e iφ z − a
1 − az , |a| < 1, φ ∈ R
praekszta lca ko lo K = {z ∈ C : |z| < 1} na siebie oraz ka˙zda ‘ homografie
‘ przekszta lcaja
‘ ca ko lo K na siebie mo˙zna zapisa´ c w postaci (*). ‘
Cwiczenie 11*. Udowodni´ ´ c, ˙ze ka˙zda homografia jest homeomorfizmem C na C.
Cwiczenie 12*. Udowodni´ ´ c, ˙ze dla dowolnych parami r´ o˙znych punkt´ ow z 1 , z 2 , z 3 ∈ C oraz w 1 , w 2 , w 3 ∈ C istnieje dok ladnie jedna homografia przekszta lcaja ‘ ca z j na w j , j = 1, 2, 3.
Cwiczenie 13*. Zbada´ ´ c rozmieszczenie punkt´ ow z ̸= 0, w kt´orych pote ‘ ga z z przyj- muje wy la
‘ cznie warto´ sci rzeczywiste (punkty te po lo˙zone sa
‘ na przeliczalnej mno-
go´ sci prostych r´ ownoleg lych do osi urojonej i na ka˙zdej z tych prostych znajduje sie
niesko´ nczenie wiele punkt´ ow o podanej w lasno´ sci). ‘
VIII. Ca lki Cwiczenie 1. Obliczy´ ´ c ca lke
a) ∫ ‘
Γ
Re z dz, gdzie Γ = [0, 1 + i], b) ∫
Γ
Re z dz, gdzie Γ jest krzywa
‘ o opisie parametrycznym φ(t) = r exp(i2πt), t ∈ ⟨0, 1⟩, gdzie r > 0,
c) ∫
Γ
(z + z) dz, gdzie Γ jest krzywa
‘ o opisie parametrycznym φ(t) = exp(it), t ∈ ⟨0, π⟩,
d) ∫
Γ
exp(sin z) cos 2 z dz, gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym brzegiem pewnego prostoka
‘ ta normalnego.
Cwiczenie 2. Obliczy´ ´ c ca lke
‘ ∫
Γ
1
(z − z 0 ) n dz, gdzie n jest liczba
‘ ca lkowita
‘ , za´ s Γ jest dodatnio zorientowanym okre
‘ giem o ´ srodku w punkcie z 0 i promieniu r > 0.
Cwiczenie 3. Na podstawie definicji obliczy´ ´ c ca lke
∫ ‘
∂Q
1 z − z 0
dz,
gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu normalnego o ´ srodku z 0 . Cwiczenie 4. Udowodni´ ´ c, ˙ze d lugo´ s´ c sumy dw´ och krzywych regularnych jest suma d lugo´ sci tych krzywych. ‘
Cwiczenie 5. Obliczy´ ´ c d lugo´ s´ c krzywej Γ, gdzie a) Γ = [1 + i, 2 − i],
b) Γ = [1, i, 0, i]
c) Γ jest dodatnio zorientowanym okre
‘ giem o ´ srodku z 0 i promieniu r, Cwiczenie 6. Obliczy´ ´ c ca lke
‘ ∫
Γ
Re z dz,
gdzie Γ jest krzywa
‘ o opisie parametrycznym φ(t) = exp(exp it) + sin(π exp(it)), t ∈ ⟨0, 2π⟩.
Cwiczenie 7. Obliczy´ ´ c ca lke
‘ ∫
∂Q
exp z sin z
z dz,
gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu o wierzcho lkach −1 − i,
1 − i, 1 + i, −1 + i.
Cwiczenie 8. Obliczy´ ´ c ca lke
‘ ∫
∂Q
1 1 + z 2 dz,
gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu o wierzcho lkach −1 − 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, −1 + 2i.
Cwiczenie 9. Obliczy´ ´ c ca lke
‘
∫
∂Q
exp(z 2 ) (z 2 − 1) 2 dz,
gdzie ∂Q jest dodatnio zorientowanym brzegiem kwadratu o wierzcho lkach −i, 2−i, 2 + i, i.
IX. Szeregi Pote
‘ gowe i szeregi Laurenta
Cwiczenie 1. Okre´ ´ sli´ c rodzaj osobliwo´ sci w punktach osobliwych naste
‘ puja
‘ cych funkcji
1) f (z) = z−z 1 3, 2) f (z) = (1−z) z5 2, 3) f (z) = 1 −exp z z , 4) f (z) = sin 11
, 3) f (z) = 1 −exp z z , 4) f (z) = sin 11
z
, 5) f (z) = 1−exp 1 1 z
, 6) f (z) = z2(z sin z
2+4) , 7) f (z) = sin 1 z , 8) f (z) = cos
π 2