czyli N 1 M 1 Rys. 3.12b

δ

= u czyli

( ) ( )

∫

^{+ +}

∫

⁺

=

s s

T M T

M M ds N ds

u κ κ ₁ ε ε ₁

gdzie: κ_M jest zmianą krzywizny wywołaną przez stan naprężeń, ε_M ^jest wydłużeniem wywołanym przez pole naprężeń, natomiast κ_T jest zmianą krzywizny wywołaną przyrostem temperatury, zaś ε_T jest wydłużeniem wywołanym średnią wartością temperatury w przekroju które to wielkości w analizowanym przypadku są równe zero ze względu na brak oddziaływania termicznego.

Występujące w całce Mohra funkcje M1 i N1 są momentami zginającymi oraz siłami osiowymi w analizowanym układzie prętowym, wywołanymi działaniem siły jednostkowej przyłożonej w miejscu i kierunku zadanego przemieszczenia, czyli w punkcie 1.

Przedstawione zadanie jest równoważne odpowiedniemu zadaniu statycznie wyznaczalnemu, w którym siła hiperstatyczna X jest tak dobrana by jej działanie wywoływało przemieszczenie δ równe osiadaniu podpory w punkcie 1, czyli musi być spełniony warunek nierozdzielności u=δ .

W wyrażeniu tym δ przyjmuje różne wartości w zależności od rodzaju analizowanego materiału (liniowo-sprężystego, nieliniowo-sprężystego itd.).

Wspólną dla wszystkich rozważanych przypadków częścią obliczeń jest wyznaczenie funkcji M1 i N1 – momentów i sił osiowych wywołanych działaniem siły jednostkowej w układzie podstawowym, których wykresy mają postać

Rys. 3.12b u

X

M1

l 2

l 2 l

2 2

+

-

- N1

2 2

2 2

2

a) Materiał liniowo-sprężysty

Dla materiału liniowo-sprężystego równanie fizyczne postaci σ =E⋅ε prowadzi do następujących wyrażeń na krzywiznę κ_M i wydłużenie ε_M

EF N EJ

M

M

M = ε =

κ ^,

gdzie M jest funkcją momentów zginających wywołanych działaniem wszystkich sił w układzie, natomiast N jest funkcją sił osiowych od wszystkich sił w układzie.

W wyniku podstawień równanie przyjmie postać

∫

^{⋅ +}

∫

^⋅

=

s s

EF ds N ds N

EJ M

u M ^{1 1}

Funkcje momentów zginających M i sił osiowych N można przedstawić w postaci

1 1, N X N M

X

M = ⋅ = ⋅

i wówczas równanie statyki sprowadzi się do











 ⋅ + ⋅

=

∫ ∫

s s

EF ds N ds N

EJ M X M

u ^{1 1 1 1}

(

^δ11+δ11'

)

= X u gdzie

∫

^{⋅ =}

∫

^⋅

=

s s

EF ds N ds N

EJ M

M ' _{1 1}

11 1

1

11 , δ

δ

' 11 11 ,δ

δ są wzorami określającymi współczynniki występujące w klasycznym równaniu metody sił.

Wartości tych współczynników wyznaczamy korzystając z uproszczonego sposobu Mohra-Wereszczagina, który wynika wprost z obliczenia wartości całki oznaczonej iloczynu dwóch funkcji, z których jedna musi być ciągła, a druga liniowa.

Wyznaczenie wielkości δ₁₁iδ₁₁^' wymaga „przemnożenia” wykresów funkcji wg schematów

Rys. 3.12c W wyniku obliczeń otrzymujemy

EJ l l l EJ l

3 11

2 2 3 2 2 2 3 1

1 =



 



 ⋅ ⋅ ⋅

δ =

(

^l

)

_EF^l

EF

2 6 2 1 3

'

11= ⋅ ⋅ ⋅ =

δ

M1

l 2

l 2 l

2

M1

l 2

l 2 l

2

× = δ

11

2

+

-

- N1

2 2

2

2

2

+

-

- N1

2 2

2

2

= δ′

11

×

Obliczone współczynniki wstawiamy do równania







 +

= EF

l EJ X l

u 2 ³ 6

3 1

6

2 ⁻







 +

= EF

l EJ u l X

Po obliczeniu siły X możemy przystąpić do sporządzenia wykresów sił przekrojowych.

Rys. 3.12d b) Materiał nieliniowo-sprężysty

W zadaniu nieliniowo-sprężystym wykresy momentów M1 i sił osiowych N1

od siły jednostkowej X = 1 będą takie same jak w zadaniu liniowo-sprężystym.

Zmianie ulegną wydłużenie i zmiany krzywizny wywołane przez siłę hiperstatyczną X.

Wyrażenia te będą miały postać

( )

n n

N AJ

M AF

N 



 





= +



 



=

, κ 1 ε

W zadaniu tym słuszny jest warunek nierozdzielności u =δ +

-

- N

X 2

X 2

X 2

+

-

+ T

X 2

X 2 M

lX 2

lX 2

Wartość δ wyznaczymy z całki Mohra

( )

[ ] ( )

∫

⁺

∫

= +

s s

n n n

n

ds AF

N ds N

N AJ

M

M _{1 1}

δ 1 czyli

( )

[ ] ( )

∫

₊ ⁺

∫

=

s s

n n n

n

AF ds N ds N

N AJ

M

u M ^{1 1}

1

( )

( )

[ ] ⁽ ( ) ⁾

∫

₊ ⁺

∫

=

s s

n n n

n

ds AF

N ds XN

N AJ

M

u XM^{1 1 1 1}

1

( )

[ ] ( )

^







 +

=

∫

+

∫

s s

n n n

n

n ds

AF N ds N

N AJ

M X M

u ^{1 1 1 1}

1

Występujące w wyrażeniu całki mają postać

( )

[ ] ( )

( )

[ ] ( )

( )

[ ] ( )

∫ ∫

+

= +

= + +

+ + + +

s

l

n n n n

n n

n

n N

AJ ds l N

AJ ds s

N AJ

M

0

2 2 1

/ 1 1 1

2 1

3 2 1

3 2 1

( ) ( )

( ) ( )

∫

⁼

∫

⁼

( )

^⋅

+ + +

s

l

n n n

n n

n

AF ds l

ds AF AF N

0

2 1 1

1 2 3 2

3

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

1 1 1 2

2 3 2 1

2 3

+ − + +











 +

+ +

= ⋅ _n

n n

n n n

AF n

N AJ u l X

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

N

n n n

n n N

AF n

N AJ u l X

+ − + +











 +

+ +

= ⋅

2 1

1 3 2

2 1

2

3

Z porównania rozwiązań w zadaniu liniowym i nieliniowym istnieje możliwość dobrania takiej wartości „modułu siecznego” E w zadaniu nieliniowym, aby rozwiązanie w obu zadaniach było identyczne.

Porównując siły X z rozwiązania liniowego i nieliniowego otrzymujemy

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

N

n n n

n n N

AF l n

N AJ u l EF

l EJ u l

+ − + +

−











 + ⋅

+ +

= ⋅







 +

2 1 1 1

3 3 2

2 1

2 3 6

2

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( )

^





 +

 ⋅











 + ⋅

+ +

= ⋅

+ − + +

−

F l J

l AF

l n

N AJ u l

E

N

n n n

n n

N 3 2 2 6

2 1

2

3 ^{1 2 1 3}

1

Zastępczy moduł sieczny zależeć będzie tylko od konfiguracji układu.

c) Materiał liniowo-lepkosprężysty Równanie fizyczne ma postać

( ) ( )

τ ετ τ φ ε φ

σ =

∫

+ & = ∗&

t

d t

0

gdzie: φ - funkcja relaksacji, ε& - prędkość odkształceń.

Wydłużenie i krzywizna wyrażają się wzorami

J M F

N ^{1 1}

,

−

− = ∗

= ∗ϕ κ ϕ

ε& &

J R M F

R

N∗ = ∗

= & &

κ ε ^,

dla równania fizycznego

( ) ( )

∫

⁻

= ^tR t d

0

τ τ σ τ ε

Warunek nierozdzielności w tym zadaniu pozostaje bez zmian u=δ czyli

∫

^{∗ +}

∫

^∗

=

s s

ds F N

N ds R

J M M

u R & ₁ & ₁

gdzie

1

1 N XN

M X

M& = & & = &

Otrzymujemy











 ⋅ + ⋅

∗

=

∫ ∫

s s

F ds N ds N

J M X M

R

u & ^{1 1 1 1}







 +

∗

= EF

l EJ X l R

u & 2 ³ 6

3 1

6

2 ⁻







 +

=

∗ EF

l EJ u l X R &

stosujemy transformację Laplace’a

( ) ( )

^{1 2 3 6} _⁻¹







 +

=

⋅ EF

l EJ u l p p X p p R

Przyjmując ^r

( )

^{p = R}

( )

^1p otrzymamy

( ) ( )



















 +

⋅

∗

=

3 −1

6 2

EF l EJ u l t r t t X

( )

⁼

∫

^⋅ ₊

{ [

⁻

(

⁺

)

^{− (+ )( )− +}

t

t C E b

b b

e b

C E E E

t X

0

1

0 ⁰

1 1 1

1 γ _{γ τ}

τ µ

( ) ( )

⁺





− 

+



−  + +









− +

+ δ t τ µE δ t τ

C E C

E_{b 0} 1 _{b 0} ²

1 1

1 1

( )



















 +

 −



















− + + +

−1 3

0

6 2 1

1 1 1

1

EF l EJ u l d C t

E E

b

b δ τ τ

µ

W podanym wzorze Eb, C0, γ są stałymi określającymi reologiczne właściwości betonu, µ - udziałem zbrojenia, E2 – modułem sprężystości stalowych wkładek.

Po wykonaniu całkowania otrzymujemy zmienny w czasie rozkład sił wewnętrznych wywołany osiadaniem podpory w punkcie 1. Wykresy wielkości wewnętrznych są analogiczne jak w zadaniu liniowo-sprężystym.

Rys. 3.12e M

s t X )( 2

+

-

- N

) 0 ( 2 X

+

-

+ T

s X(0) 2

) ( 2X t

) 0 ( 2 X

) ( 2X t

ZADANIE 3.13

W podanym układzie prętowym (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym) należy wyznaczyć rozkłady funkcji momentów zginających, sił poprzecznych i sił osiowych, wywołanych działaniem stacjonarnego pola termicznego. Schemat zadania oraz pole temperatur przedstawiono na rys. 3.13a.

Rys. 3.13a

Obliczenia należy wykonać dla materiału a) liniowo-sprężystego σ =^Eε b) nieliniowo-sprężystego σ = Aε^N c) liniowo-lepkosprężystego σ =^R∗^dε

Wyniki obliczeń należy ze sobą porównać.

Dane: l - długość, T2 - temperatura niższa, T1 - temperatura wyższa, α^{T -} współczynnik rozszerzalności cieplnej, E, N, R(t), A - współczynniki i funkcje charakteryzujące właściwości mechaniczne w podanym układzie różnych materiałów.

Rozwiązanie:

W zadaniu siłę hiperstatyczną i siły przekrojowe wyznaczamy korzystając z całki Mohra

∫

^{+ +}

∫

⁺

=

S S

T M T

M )M₁ds ( )N₁ds

(κ κ ε ε

δ

1

T1

T1

T2

T2

T1>T2

l l

l l

gdzie δ jest przemieszczeniem w układzie wywołanym przyrostem temperatury.

Korzystając z warunku nierozdzielności stwierdzimy, że przemieszczenie w układzie w punkcie 1 wynosi zero, czyli

( ) ∫ ( )

∫

^{+ + +}

=

s

T M s

T

M M₁ds N₁ds

0 κ κ ε ε

gdzie

(

κM^,κT

)

są zmianami krzywizn wywołanymi odpowiednio przez stan naprężeń i przyrost temperatury, a

(

εM,εT

)

są wydłużeniami wywołanymi przez pole naprężeń i średnią wartość temperatury w przekroju.

Występujące w całce Mohra funkcje M1 i N1 są momentami zginającymi i siłami osiowymi wywołanymi w analizowanym układzie prętowym działaniem siły jednostkowej przyłożonej w miejscu i kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

Przedstawione zadanie jest równoważne następującemu zadaniu statycznie wyznaczalnemu.

Rys. 3.13b

Należy jednak narzucić warunek nierozdzielności δ =0^.

W wyrażeniu tymδ przyjmuje różne wartości w zależności od rodzaju analizowanego materiału (liniowo-sprężysty, nieliniowo-sprężysty, itd.).

Wspólną częścią obliczeń zadania niezależnie od opisu materiału są funkcje M1 i N1, których wykresy mają postać

T1

T1

T2

T2

T1>T2

X1

Rys. 3.13c

Wspólną częścią obliczeń są również wydłużenie oraz zmiany krzywizn wywołane działaniem pola termicznego.

Rys. 3.13d a) Ciało liniowo-sprężyste

Opisane jest ono równaniem fizycznym σ =Eε, co prowadzi do następujących wyrażeń na krzywiznę κ_M i wydłużenie ε_M

EF N EJ

M

M

M = ε =

κ ^,

gdzie M - funkcja momentów zginających wywołanych działaniem wszystkich sił w układzie, N - funkcja sił osiowych od wszystkich sił w układzie.

W wyniku podstawień równanie (1) ma postać 1

M1

1

1

1

N1

- -

- l - 1

l 1

H T

T T

T

) ( ₁− ₂

=α κ

2 ) (T₁ T₂

T T

=α + ε

∫

∫

∫

⁺

∫

^{+ +}

=

s T s

s s

T ds N ds

EF ds NN M EJ ds

MM

1 1

1

0 1 κ ε

Funkcje M i N można przedstawić w sposób następujący

1 1, N X N M

X

M = ⋅ = ⋅

Równanie statyki przyjmuje więc postać

∫ ∫

∫

∫

^{+ +}









 +

=

s s

T T

s s

ds N ds

M EF ds

N ds N

EJ M

X M^{1 1 1 1} _{1 1}

0 κ ε

(

^{11 11'}

) (

^'

)

0= X δ +δ + δ_T +δ_T gdzie

,

₁₁^{' 1 1}

1 1

11 ds

EF N ds N

EJ M M

s s

∫

∫

⁼

= δ

δ

∫

∫

⁼

=

s T T s

T

T κ M₁ds , δ^' ε N₁ds δ

Wartości współczynników δ₁₁,δ₁₁^' ,δ_T,δ_T^' wyznaczamy korzystając z uproszczonego sposobu Mohra-Wereszczagina.

W wyniku przeliczeń otrzymujemy

EJ l l

EJ 3

4 3 2 2 1 1 1 4

11 =



 



 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

δ =

EFl l l

l EF

4 1 4 1

' 1

11 =



 



 ⋅ ⋅ ⋅

δ =

( ) ( )

h T T l h

T

l ^T T ^T

T

2 1 2

1

2 1 1

2 =− ⋅ −



 



 ⋅ ⋅ ⋅ −

−

= α α

δ

( ) (

2 1

)

1 ' 2

2

2 1 T T T T

l l ^T

T

T = +



 



 ⋅ ⋅ +

−

= α α

δ

Uzyskane wyniki wstawiamy do równania

( ) ( )

_



 



− + − −

+



 



 +

= h

T T T l

EFl T EJ

X l 4 _{T 2 1} ^{T 1 2}

3

0 4 α α

( ) (

2 1

)

¹

2

1 4

3

4 ⁻



 



 +







 ⋅ − + +

= EJ EFl

T l h T

T T

X α^T l α_T

Wyznaczona siła hiperstatyczna X pozwala sporządzić wykresy sił przekrojowych w zadanym układzie.

Rys. 3.13e

b) Ciało nieliniowo-sprężyste

Wykresy sił osiowych N1 i momentów M1 od siły jednostkowej X = 1 oraz wykresy termicznych wydłużeń i zmian krzywizn są identyczne jak w zadaniu liniowo-sprężystym.

Wydłużenia i zmiany krzywizn wywołane siłą hiperstatyczną obliczymy korzystając z zależności

( )

n n

N AJ

M AF

N 



 





= +



 



=

, κ 1 ε

które wynikają z równania fizycznego postaci σ =Aε^N.

W układzie zadanym, który rozpatrujemy jako wykonany z ciała nieliniowo- sprężystego słuszny jest warunek nierozdzielności δ =0^.

Wartość δ wyznaczamy z całki Mohra

( )

[

¹

]

¹

( )

^{1 T'}

s s

n T n n

ds AF N ds N

N M AJ

M δ δ

δ ⁼

∫

₊ ⁺

∫

^{+ +}

X M

X

X

X

N

- -

- l - X

l

X T

-

- l X

l X

+

+

gdzie M = X⋅M₁, N = X⋅N₁. Wartość δ wstawiamy do równania

( )

[

^{⋅ +11}

]

^{⋅ 1 +}

∫ ( )

^{⋅ 1 1 + + ' =0}

∫

^{T T}

s

n n n

s n n

ds N AF

N ds X

N M AJ

M

X δ δ

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

⁰

1 ^{2 1}

2 1 1

1 1

1

1 =



 



− − − +

+











 +

+

⋅

∫

∫

^{ds lT}_h ^{T T T}

AF N ds N

N M AJ

M

X M ^T _T

s n n

s n

n α α

Obliczamy całki

( )

[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]

( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( )

ⁿ

l n n

s n n

n

l

n n

s

l

n n

n n

AF ds l AF

l ds l

AF N N

n N

AJ l

N ds AJ

l s N ds

AJ l s l s

N ds AJ

M M

n

0 1 1

0

1

0 1

1

4 1 1 4

2 4 1

4 1 1

1 1

1 4

−

+

= ⋅

⋅



 





=

+

= +

+ =



 



 + =



 



 ⋅

⋅



 



 ⋅ + =

∫

∫

∫

∫ ∫

Obliczone całki wstawiamy do

( )

[ ] ( ) ( ) ( ) (

1 2

)

2 1

4 n

2 1

4 T T

h T T l AF

l n

N AJ

Xⁿ l _{n n}= ^T − + _T +









 +

+ +

− α α

( ) ( )

( )

[ ] ( ) ( )

N

n T n

T

AF l n

N AJ T l

h T T T X l























 +

+

 +

 

 ⋅ − + +

=

−n −1 2

1 2

1 4

2 1

α 4 α

Porównując rozwiązania zadania dla ciała nieliniowo-sprężystego i liniowo- sprężystego możemy otrzymać tzw. „moduł sieczny”.

( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( )

_^{ =}



















 +

+

 +



 



 ⋅ − + + ^{− − N}

n T n

T

AF l n

N AJ T l

h T T T

l ^{n 1}

2 1 2

1 4

2 1

α 4 α

( ) (

1 2

)

¹

2

1 4

3

4 ⁻



 



 +



 



 − + +

= EJ EFl

T l h T

T T l

T

T α

α

( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( )



 



 +

⋅

 ⋅











 +

+

 +



 



 ⋅ − + +

=

− −

Fl J

l

AF l n

N AJ T l

H T T T E l

N

n T n

T

4 3 4

4 2 1

4 ⁿ

1 - N 2 1 2

1 α

α

Otrzymany „moduł sieczny” zależy nie tylko od rozkładu temperatur, lecz także od konfiguracji układu.

c) Liniowy materiał lepko-sprężysty Równanie fizyczne ma postać

( ) ( )

∫

^{− = ∗}

=

t

d t

0

ε φ τ τ ε τ φ

σ & &

gdzie φ

( )

^t - funkcja relaksacji, ε&

( )

τ - prędkość odkształceń,∗ - symbol splotu.

Wydłużenia i krzywizny wyrażają się wzorami

J M F

N ^{1 1}

,

−

− = ∗

= ∗ϕ κ ϕ

ε& &

J R M F

R

N∗ = ∗

= & &

κ ε ^,

Warunek nierozdzielności pozostaje bez zmian jak w zadaniu liniowo i nieliniowo-sprężystym δ =0 ^czyli

∫

∫

^{∗ +}

∫

⁺

∫

^{∗ +}

=

s T

s s s

T ds N ds

F N N ds R

M J ds

M M R

1 1

1

0 ^& 1 κ ^& ε

gdzie

1 1 i N X N M

X

M& = & ⋅ & = &⋅

∫

∫

^{∗ +}

∫

⁺

∫

^{∗ +}

=

s T

s s s

T N ds N ds

F N X ds R

M ds

J M M X R

1 1

1 1

1

0 ^& 1 κ ^& ε

1 ' 1 1

0 1 _{T T}

s s

F ds N ds N

J M X M

R +δ +δ









 +

∗

= ^&

∫ ∫

( ) (

1 2

)

^{1 1 1 1 1}

2 1

−











 +



 



 ⋅ − + +

=

∗^{X lT}_h ^{T T T}

∫

^M_J^{M ds}

∫

^N_F^{N ds}

R

s s

T

T α

& α

( ) (

1 2

)

¹

2

1 4

3

4 ⁻



 



 +







 ⋅ − + +

=

∗ J Fl

T l h T

T T X l

R _& α^T α_T

Stosując na równaniu transformację Laplace’a otrzymamy

( ) (

1 2

)

¹

2

1 4

3 4 ) 1

( ) (

−



 



 +



 



 ⋅ − + +

=

⋅ J Fl

T l h T

T T l p p

X p p

R α^T α_T

( ) (

1 2

)

¹

2 1 2

4 3

4 )

( 1 ) 1

(

−



 



 +



 



 ⋅ − + +

= J Fl

T l h T

T T l p

R p p

X α^T α_T

Przyjmujemy w zadaniu stacjonarny przepływ ciepła określony równaniem

( )

^{t T}

( )

^t

(

^{T T}

)

^H

( )

^t

T₁ − ₂ = &₁− &₂

gdzie ^H

( )

^t - funkcja Heaviside’a.

Wprowadzając funkcję modyfikującą ^r

( )

^{t = R1}

( )

^t otrzymamy

(

^{1 2}

) ( )

^{1 2 4 1}

3 ) 4

( ) (

−



 



 +



 



 ⋅ − + +

∗

= J Fl

T l h T

T T t l

r t t

X ^T & & _T & &

α α

Funkcja ^X

( )

^t dla ramy żelbetowej poddanej działaniu temperatury przyjmuje postać:

( ) ( )

^{( )( )}

( ) ( )

( ) (

^{1 2}

) ( )

^{1 2 1 0}

2 0

0 1

0 b

0

4 3 4

1 1 1 1

E 1 1

1

1 1 1 1

1 E 1

1 ₀

−

− +

−



 



 +



 



 ⋅ − + +

⋅

−

⋅

⋅



















− + + +





− 

+



−  + +

 +



















− + + +

+ −

∗

=

∫

Fl J T l h T

T T d l

t

C E E

t C t

E

C e E

C E E

t X

T T

b b

b

b t

C E b

t

b

b

&

&

&

&

α α τ τ δ

τ µ δ µ τ δ

µ γ

τ ^{γ τ}

W podanym wzorze E_b^,C0^,γ są stałymi określającymi reologiczne właściwości betonu, µ - udziałem zbrojenia, E - moduł sprężystości ₂ stalowych wkładek.

Po wykonaniu całkowania otrzymujemy zmienny w czasie rozkład sił wewnętrznych wywołanych stacjonarnym przepływem ciepła w ramie żelbetowej.

Przyjęto przy tym, że beton opisany może być równaniem liniowej lepkosprężystości, natomiast stal posiada właściwości sprężyste.

Rys. 3.13f Wykresy sił przekrojowych M, N, T dla ciała liniowo-lepkosprężystego.

ZADANIE 3.14.

W podanym układzie prętowym (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym) należy wyznaczyć rozkłady funkcji momentów zginających, sił poprzecznych i sił osiowych wywołanych działaniem stacjonarnego pola termicznego oraz osiadaniem podpory. Schemat zadania oraz pole temperatur i kierunek osiadania podpory przedstawiono na rys. 3.14a

N

- -

- -

l X(0) l

t X )(

T

-

-

+

+

l t X )(

l X(0) M

X(0) X(t) s