Metody dowodzenia twierdze«

(1)

Metody dowodzenia twierdze«

(2)

Twierdzenia i dowody

Twierdzenie to prawdziwe zdanie logiczne dotycz¡ce obiektów danej teorii.

Przykªad: √

2 jest liczb¡ niewymiern¡.

(3)

Twierdzenia na ogóª maj¡ posta¢ implikacji p ⇒ q,

a dokªadniej:

∀_x∈X(p(x) ⇒ q(x)),

gdzie p(x) i q(x) to formy zdaniowe okre±lone w pewnym zbiorze X. Zdanie p nazywamy zaªo»eniem, a zdanie q tez¡ twierdzenia.

Mówimy, »e p jest warunkiem wystarczaj¡cym (dostatecznym) dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.

(4)

Przykªad. Warunkiem wystarczaj¡cym na podzielno±¢ liczby naturalnej przez 9 jest to, by suma cyfr jej zapis dziesi¦tnego byªa równa 9. Czy jest to warunek konieczny?

Przykªad. Warunkiem koniecznym na to, by czworok¡t byª kwa- dratem jest posiadanie wszystkich k¡tów prostych. Czy jest to warunek wystarczaj¡cy?

(5)

Twierdzenie q ⇒ p nazywamy odwrotnym do twierdzenia p ⇒ q.

Twierdzenie: Dla dowolnego trójk¡ta ABC, je±li |^{BAC| = 90}^◦, to |AB|² + |AC|² = |BC|².

Twierdzenie odwrotne: Dla dowolnego trójk¡ta ABC, je±li |AB|²+

|AC|² = |BC|², to |^{BAC| = 90}^◦.

(6)

Niektóre twierdzenia maj¡ posta¢ zamkni¦tego ukªadu implikacji











p₁ ⇒ q₁ p₂ ⇒ q₂

...

p_n ⇒ q_n,

gdzie dla ka»dego x dokªadnie jedno ze zda« p1(x), p2(x), . . ., p_n(x) jest prawdziwe.

(7)

Przykªad. Dla dowolnego trójk¡ta ABC:







|BAC| < 90^◦ ⇒ |AB|² + |AC|² > |BC|²,

|^{BAC| = 90}^◦ ^{⇒ |AB|}² ⁺ ^|AC|² ⁼ ^|BC|²^,

|BAC| > 90^◦ ⇒ |AB|² + |AC|² < |BC|².

(8)

Dowody dedukcyjne i redukcyjne

Podstawow¡ metod¡ dowodzenia twierdze« postaci p ⇒ q

jest dowód dedukcyjny b¦d¡cy w najprostszym przypadku ci¡- giem implikacji wychodz¡cych od zaªo»enia

p ⇒ p₁ ⇒ . . . ⇒ p_k ⇒ q.

Przykªad. Je±li a, b, c (a 6= 0) s¡ takimi liczbami caªkowitymi,

»e a | b i a | c, to a | b + c.

(9)

Ci¡g implikacji

p ⇒ p₁ ⇒ . . . ⇒ p_k ⇒ q

czasami konstruujemy od ko«ca, nazywamy to metod¡ redukcyj- n¡.

Przykªad. Je±li liczby rzeczywiste a, b s¡ dodatnie, to a + b

2 >

√ ab.

W praktyce cz¦sto stosujemy metod¦ mieszan¡, ª¡cz¡c¡ elemen- ty obu metod.

(10)

Metoda nie wprost

Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).

Zadanie. Dane s¡ liczby caªkowite a i b. Wyka», »e je±li a · b jest liczb¡ parzyst¡, to a jest parzyste lub b jest parzyste.

Zadanie. Dane s¡ liczby naturalne k1, k2, . . . , kⁿ > 0. Wyka», »e je±li

1

k₁ + . . . + 1

k_n > n 2, to ki = 1 dla pewnego i.

(11)

Kwadrat logiczny

tw. proste tw. odwrotne

p ⇒ q q ⇒ p

(∼ p) ⇒ (∼ q) (∼ q) ⇒ (∼ p) tw. przeciwne tw. przeciwstawne

(12)

Metoda przez sprzeczno±¢

Metoda dowodu zdania p przez sprzeczno±¢ polega na przyj¦ciu zaªo»enia ∼ p i wywnioskowaniu z niego sprzeczno±ci: zdania faªszywego lub dwóch zda« wzajemnie sprzecznych.

Zadanie. Udowodnij, »e liczba √

2 jest niewymierna.

Zadanie. Wyka», »e w ka»dym trójk¡cie co najmniej jeden z k¡tów ma miar¦ nie mniejsz¡ od 60^◦.

(13)

Metoda dowodu implikacji

p ⇒ q

przez sprzeczno±¢ jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).

Zadanie. Dane s¡ liczby rzeczywiste x, y. Wyka», »e je»eli x² + y² < 1, to x + y < √

2.

(14)

Przegl¡d metod dowodzenia twierdze«.

Tabela zawiera zestawienie podstawowych technik dowodowych.

Zaªo»enie twierdzenia jest oznaczone przez A, teza przez B. Ta- bela zostaªa zaczerpni¦ta z rozprawy Clausa Zinna pt. Under- standing informal mathematical discourse, Erlangen 2004, str.

40, oryginalnie pochodzi z ksi¡»ki Daniela Solowa How to read and do proofs, Wiley 1982.

(15)

Technika

dowodu Kiedy u»ywamy? Co zakªa- damy?

Co mamy uzyska¢?

Jak to wykonujemy?

dedukcyjno

redukcyj- na

Jako pierwsza próba oraz gdy B nie ma rozpoznawalnej postaci.

A B Wyci¡gamy kolejne

wnioski z A, budujemy przesªanki, z których wynika B.

nie wprost Gdy w B jest sªowo

nie. nie B nie A Wyci¡gamy kolejne

wnioski z nie B, budujemy przesªanki, z których wynika nie A.

przez

sprzeczno±¢ Gdy w B jest sªo- wo nie oraz gdy pierwsze dwie metody zawodz¡.

A i nie

B Jak¡±

sprzeczno±¢

Wyci¡gamy wnioski z A i nie B, a» uzyskamy sprzeczno±¢.

konstrukcja Gdy w B jest zwrot

istnieje, jest,

dla pewnego lub podobny.

A Istnieje szukany obiekt.

Odgadujemy lub konstruujemy szukany obiekt. Nast¦pnie pokazujemy, »e ten obiekt ma wymagan¡

(16)

Technika

dowodu Kiedy u»ywamy? Co zakªa-

damy? Co mamy

uzyska¢? Jak to wykonujemy?

wybór Gdy w B jest zwrot dla dowolnego, dla ka»dego lub podobny.

A, i wybieramy obiekt ma- j¡cy dan¡

wªasno±¢.

Zachodzi pewien warunek.

Wyci¡gamy wnioski z A i z tego, »e ten obiekt ma dan¡ wªa- sno±¢. Równie» budujemy przesªanki, z któ- rych wynika, »e zachodzi rozwa»any warunek.

indukcja Gdy B ma zachodzi¢ dla ka»- dej liczby naturalnej, pocz¡w- szy od pewnej liczby, np. n⁰.

Twierdzenie zachodzi dla n.

Twierdzenie zachodzi dla n + 1.

Trzeba te»

sprawdzi¢,

»e twierdzenie zachodzi dla n⁰.

Najpierw podstawiamy n₀ za n i pokazujemy, »e twierdzenie jest prawdziwe. Nast¦p- nie przyjmujemy zaªo-

»enie, »e twierdzenie zachodzi dla n i dowo- dzimy go dla n + 1.

(17)

Technika

damy? Co

mamyuzy- ska¢?

Jak to wykonujemy?

przypadek

szczególny Gdy w B jest zwrot istnieje,

dla wszystkich,

dla ka»dego lub podobny.

A B Wyci¡gamy wnioski

przez zastosowanie A do jednego konkretne- go obiektu maj¡cego dan¡ wªasno±¢.

bezpo±rednia jedno-

znaczno±¢

Gdy w B jest zwrot dokªad- nie jeden lub

jednoznacznie okre±lony.

S¡ dwa (nieko-

niecznie ró»ne) takie obiekty i zachodzi A.

Te dwa obiekty s¡równe.

Wyci¡gamy wnioski wykorzystuj¡c A oraz wªa- sno±ci danych obiek- tów. Równie» budujemy przesªanki, z których wynika, »e te obiekty s¡

równe.

po±rednia jedno- znaczno±¢

Gdy w B jest zwrot dokªad- nie jeden lub

jednoznacznie okre±lony.

S¡ dwa ró»ne takie obiekty i zachodzi A.

Jak¡±

sprzeczno±¢.

Wyci¡gamy wnioski z A wykorzystuj¡c wªa- sno±ci danych obiektów oraz fakt, »e s¡ ró»ne.

przez elimi- Gdy B ma posta¢ A i nie C D Wyci¡gamy wnioski z A

(18)

(19)

Technika

damy? Co mamy

uzyska¢? Jak to wykonujemy?

przez przy-

padki Gdy A ma po-

sta¢ C lub D Przypadek

1: C B Najpierw dowodzi-

my, »e z C wynika Przypadek B,

2: D B nast¦pnie dowodzi-

my, »e z D wynika B.

max/min 1 Gdy B ma posta¢ max S 6 x

lub min S > x

Wybieramy element s w zbiorze S i zakªa- damy A.

s 6 x lub s >

x

Wyci¡gamy wnioski z A oraz z faktu, »e s nale»y do S. Rów- nie» budujemy prze- sªanki, z których wynika B.

max/min 2 Gdy B ma posta¢ max S > x

lub min S 6 x

A Konstrukcj¦

elementu s zbioru S, takiego »e s > x lub s 6 x

Wykorzystujemy A oraz sposób kon- strukcji do stworze- nia szukanego elementu s zbioru S.

(20)

Uwagi dotycz¡ce pisania rozumowa« matematycznych.

Richard Hammack, Book of proof, Virginia Commonwealth Uni- versity, str. 107109.

http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/BookOfProof.pdf

(21)

Indukcja matematyczna

(22)

Przykªad. Obliczy¢ 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1), gdzie n jest liczb¡

naturaln¡.

Dyskusja. Wprowad¹my oznaczenie:

S_n = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).

Mamy: S1 = 1, S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9, S4 = 16, S₅ = 25, S6 = 36.

Widzimy, »e powinno by¢ Sⁿ = n². Czy mo»na to jako± uza- sadni¢? Trzeba si¦ przyjrze¢, w jaki sposób otrzymujemy kolejne S_n.

(23)

Na przykªad, je±li mamy ju» obliczone

S₆ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, to

S₇ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

nie b¦dziemy liczyli od pocz¡tku, tylko wykorzystamy zale»no±¢

S₇ = S₆ + 13 = 36 + 13 = 49.

Podobnie

S₈ = S₇ + 15 = 49 + 15 = 64

i tak dalej. Zwró¢my uwag¦ na to, co nale»y doda¢ do Sⁿ, »eby otrzyma¢ Sn+1. Je±li Sⁿ = n², to

(24)

Ogólny schemat metody indukcji

Je±li T (n) jest form¡ zdaniow¡ okre±lon¡ w zbiorze liczb natural- nych, to prawdziwe jest zdanie

(T (0) ∧ ∀_n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀_n∈N T (n).

W przypadku formy zdaniowej okre±lonej w zbiorze N1 = {1, 2, 3, . . . }, rozwa»amy zdanie

(T (1) ∧ ∀_n∈N₁ (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀_n∈N₁ T (n).

(25)

Przykªady dowodów indukcyjnych

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2)

3 .

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnego n ≥ 0 liczba 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7 jest podzielna przez 9.

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnego rzeczywistego x > −1 zachodzi nierówno±¢

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

(26)

Inne warianty metody indukcji

Dowód indukcyjny w nast¦pnym zadaniu b¦dzie przebiegaª we- dªug schematu:

I. Baza indukcji: T (0) ∧ T (1) ∧ T (2).

II. Krok indukcyjny: T (k) ∧ T (k + 1) ∧ T (k + 2) ⇒ T (k + 3) dla dowolnego k ≥ 0.

Zadanie. Ci¡g (aⁿ) okre±laj¡ nast¦puj¡ce warunki:

a₀ = 2 , a₁ = 3 , a₂ = 6 ,

a_n = (n + 4)a_n−1 − 4na_n−2 + 4(n − 2)a_n−3 , dla n ≥ 3.

Udowodnij, »e dla ka»dego n

a_n = n! + 2ⁿ.

(27)

Twierdzenie. Dowie±¢, »e dowoln¡ liczb¦ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 1 mo»na przedstawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to iloczyn ten skªada si¦ tylko z jednego czynnika.)

Schemat dowodu:

I) Baza: T(2).

II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n) dla ka»dego n > 2.