Chcemy przeprowadzi´ c eksperyment, kt´ ory pozwoli nam wyci¸ agn¸ a´ c wnioski dotycz¸ ace istnienia b¸ ad´ z nieistnienia zale˙zno´ sci pomi¸ edzy pewnymi cechami.

Wyk lad 7 i 8: Wst¸ ep do planowania eksperyment´ ow

Chcemy przeprowadzi´ c eksperyment, kt´ ory pozwoli nam wyci¸ agn¸ a´ c wnioski dotycz¸ ace istnienia b¸ ad´ z nieistnienia zale˙zno´ sci pomi¸ edzy pewnymi cechami.

Np. czy

• dane trzy gatunki betonu r´ o˙zni¸ a si¸e pod wzgl¸ edem wytrzyma lo´ sci na ´ sciskanie (i je´ sli tak, to kt´ ory z tych trzech gatunk´ ow ma najwi¸ eksz¸ a wytrzyma lo´ s´ c):

zmienna obja´ sniana (zmienna odpowiedzi):

zmienna obja´ sniaj¸ aca (czynnik):

• nowy lek rzeczywi´scie obni˙za nadci´snienie t¸etniczne i czy dzia lanie tego leku zale˙zy od wieku pacjenta i jego p lci:

zmienna obja´ sniana (zmienna odpowiedzi):

zmienne obja´ sniaj¸ ace (czynniki):

Powstaje pytanie jak przeprowadzi´ c eksperyment by wyci¸ agn¸ a´ c mo˙zliwie najwiarygodniejsze wnioski a jednocze´ snie zminimalizowa´ c koszty eksperymentu i w lo˙zony we´ n wysi lek. Musimy zde- cydowa´ c:

• w jaki spos´ ob zebra´ c dane (lub czy ewentualnie mo˙zemy u˙zy´ c dost¸ epnych danych);

• jaki model zastosowa´ c podczas analizy zebranych danych.

Podj¸ ecie tych decyzji to zaplanowanie eksperymentu. Nieprzemy´ slane zaplanowanie eksperymentu, bez wnikni¸ecia w istot¸e badanego problemu, mo˙ze doprowadzi´ c nas do b l¸ ednych wniosk´ ow.

PRZYK LAD 7.1

Pewien czas temu prasa poda la informacj¸ e, ˙ze naukowcy wykazali, ˙ze studenci, kt´ orych podr¸ eczniki s¸ a popisane i pomazane kolorowymi markerami, ´ srednio zdobywaj¸ a wi¸ecej punkt´ ow z egzaminu ni˙z studenci, kt´ orych podr¸eczniki pozostaj¸ a jak nowe. Wyci¸ agni¸ eto st¸ ad wniosek (i prakryczn¸ a rad¸ e dla student´ ow), ˙ze nale˙zy pisa´ c i maza´ c w podr¸ eczniku, bo dzi¸eki temu uzyska si¸ e lepsz¸ a ocen¸ e z egzaminu.

W jaki spos´ ob wyci¸ agni¸eto powy˙zsz¸ a konkluzj¸ e? Student´ ow podzielono na dwie grupy - tych z czystymi i tych z popisanymi podr¸ ecznikami - i nast¸ epnie pokazano, ˙ze ´ srednia liczba punkt´ ow zdobytych na egzaminie przez student´ ow z pomazanymi podr¸ ecznikami jest istotnie wy˙zsza ni˙z

´ srednia liczba punkt´ ow uzyskanych przez student´ ow z czystymi podr¸ecznikami.

Gdzie tkwi b l¸ ad?

Na co trzeba uwa ˙za´ c podczas planowania eksperymentu?

1). Na badan¸ a cech¸e mog¸ a mie´ c wp lyw zmienne ukryte czyli zmienne, kt´ orych wp lywu nie kon- trolujemy (bo nie s¸ a w centrum naszego zainteresowania lub ich istnienia w og´ ole nie podej- rzewamy). Co gorsza, zmienne ukryte nie zawsze daje si¸ e podczas eksperymentu kontrolowa´ c lub ich kontrolowanie wi¸ a˙ze si¸e ze znacznym wysi lkiem i kosztami.

2). Na badan¸ a cech¸e mo˙ze mie´ c wp lyw bardzo wiele czynnik´ ow i nie jeste´ smy w stanie ich wszyst- kich kontrolowa´ c.

3). Bardzo cz¸esto czynniki s¸ a w interakcji. Interakcja to l¸ aczne oddzia lywanie czynnik´ ow na zmienn¸ a odpowiedzi: je´ sli ´ srednia warto´ s´ c zmiany odpowiedzi spowodowana zmian¸ a jednego czynnika zale˙zy od warto´ sci drugiego czynnika, to w´ owczas istnieje interakcja mi¸ edzy czynni- kami.

W powy˙zszej sytuacji nie ma interakcji mi¸ edzy czynnikami.

Model sytuacji, gdy mamy dwa czynniki A i B i brak interakcji mi¸edzy nimi:

Y

= µ + α

+ β

+ ε

, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2.

Sytuacja, gdy istnieje interakcja mi¸ edzy czynnikami:

Model sytuacji, gdy mamy dwa czynniki A i B i interakcje mi¸edzy nimi:

Y

= µ + α

+ β

+ γ

+ ε

, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2.

W powy˙zszym modelu mamy do czynienia z interakcjami drugiego rz¸edu (czyli interakcjami mi¸edzy dwoma czynnikami). Gdy mamy trzy czynniki, mog¸ a wyst¸ epowa´ c interakcje tak˙ze trzeciego rz¸edu, gdy mamy cztery czynniki mog¸ a doj´ s´ c interakcje czwartego rz¸ edu itd.

Interakcje drugiego rz¸ edu wyst¸ epuj¸ a do´ s´ c cz¸ esto, trzeciego rz¸ edu - rzadziej, czwar- tego (i wy ˙zszych rz¸ ed´ ow) - znacznie rzadziej.

4). Eksperyment nale˙zy zaplanowa´ c w jak najmniejszej mo˙zliwej skali, gwarantuj¸ acej otrzymanie

wiarygodnych wniosk´ ow (je´ sli si¸e da, to w warunkach laboratoryjnych wymagaj¸ acych po-

niesienia umiarkowanych koszt´ ow, a nie na skal¸ e przemys low¸ a, dezorganizuj¸ ac¸ a prac¸ e ca lego

przedsi¸ebiorstwa). Model, skonstruowany do opisu badanej zale˙zno´ sci, powinien by´ c mo˙zliwie

najprostszy.

Techniki wykorzystywane przy planowaniu eksperymentu.

1). Eksperyment czynnikowy.

Przeprowadzenie (kompletnego, ca lkowitego) eksperymentu czynnikowego ((full) factorial de- sign) - mierzymy warto´ s´ c zmiennej odpowiedzi dla wszystkich kombinacji poziom´ ow czyn- nik´ ow.

PRZYK LAD 7.2a

Gdy badamy spadek ci´ snienia t¸ etniczego w zale˙zno´ sci od podania lub nie badanego leku (2 poziomy czynnika B) i w zale˙zno´ sci od wieku (tu zdecydowali´ smy si¸ e na cztery przedzia ly wiekowe: poni˙zej 30 roku ˙zycia, wiek 30-50 lat, wiek 50-70 lat, powy˙zej 70 roku ˙zycia; mamy zatem 4 poziomy czynnika A), to przeprowadzaj¸ ac eksperyment czynnikowy musimy zebra´ c 2 × 4 = 8 pomiar´ ow spadku ci´ snienia t¸ etniczego:

1. poda´ c lek pacjentowi poni˙zej 30 roku ˙zycia, 2. poda´ c lek pacjentowi w wieku 30-50 lat, 3. poda´ c lek pacjentowi w wieku 50-70 lat, 4. poda´ c lek pacjentowi powy˙zej 70 roku ˙zycia, 5. poda´ c placebo pacjentowi poni˙zej 30 roku ˙zycia, 6. poda´ c placebo pacjentowi w wieku 30-50 lat, 7. poda´ c placebo pacjentowi w wieku 50-70 lat, 8. poda´ c placebo pacjentowi powy˙zej 70 roku ˙zycia.

2). Replikacje.

Maj¸ ac tylko po jednej obserwacji dla ka˙zdej kombinacji poziom´ ow czynnik´ ow, nie jeste´ smy w stanie sprawdzi´ c czy istanij¸ a interakcje pomi¸ edzy czynnikami. Zatem, je´ sli z g´ ory nie wykluczymy istanienia interakcji mi¸ edzy czynnikami, to replikujemy pomiary.

PRZYK LAD 7.2b

Decyduj¸ ac si¸ e na trzykrotn¸ a replikacj¸ e w eksperymencie opisanym w PRZYK LADZIE 7.2a, b¸edziemy musieli przeprowadzi´ c 3 × 2 × 4 = 24 pomiary spadku ci´ snienia t¸ etniczego:

1. poda´ c lek trzem pacjentomi poni˙zej 30 roku ˙zycia, 2. poda´ c lek trzem pacjentom w wieku 30-50 lat, 3. itd.

Replikacje pozwalaj¸ a nam oceni´ c zmienno´ s´ c (mierzon¸ a jako wariancj¸ e pr´ obkow¸ a) zmiennej odpowiedzi dla jednostek poddanych takim samym wp lywom czynnik´ ow. Im replikacji jest wi¸ecej, tym zmienno´ s´ c ta jest wyszacowana dok ladniej. Ponadto replikacje powoduj¸ a, ˙ze prze- prowadzane przez nas testy staj¸ a si¸ e bardziej czu le (tzn. mamy wi¸ eksze szanse na zauwa˙zenie wp lywu danego czynnika na zmienn¸ a odpowiedzi lub wykrycie interakcji mi¸ edzy czynnikami).

Je´ sli badamy zale˙zno´ s´ c zmiennej odpowiedzi od wielu czynnik´ ow, to najcz¸ e´ sciej okazuje si¸ e,

˙ze wiele spo´ sr´ od tych czynnik´ ow na zmienn¸ a odpowiedzi nie ma istotnego wp lywu. Zatem przy du˙zej liczbie czynnik´ ow, eksperyment mo˙zemy zacz¸ a´ c robi¸ ac pomiary bez replikacji.

Na podstawie tych pomiar´ ow wybra´ c czynniki istotne i dla nich przeprowadzi´ c eksperyment z replikacjami.

Je´ sli dla ka˙zdej kombinacji poziom´ ow czynnik´ ow robimy tyle samo replikacji (rozwi¸ azanie

zalecane), to m´ owimy wtedy, ˙ze plan do´ swiadczenia jest zr´ ownowa˙zony.

3). Randomizacja.

Na zmienn¸ a odpowiedzi mog¸ a wp lywa´ c (i bardzo cz¸ esto wp lywaj¸ a) zmienne ukryte. Zmienne te nie zawsze jeste´ smy w stanie podczas eksperymentu kontrolowa´ c, mo˙ze ich by´ c bardzo du˙zo, z niekt´ orych mo˙zemy nie zdawa´ c sobie sprawy. Aby zminimalizowa´ c wp lyw tych zmien- nych na wynik eksperymentu, stosujemy randomizacj¸e - ka˙zdej jednostce eksperymentalnej przypisujemy poziom czynnik´ ow w spos´ ob losowy i w spos´ ob losowy ustalamy kolejno´ s´ c prze- prowadzania do´ swiadcze´ n.

Np. do przeprowadzenia eksperymentu opisanego w PRZYK LADZIE 7.2b potrzebujemy 24 pomiary spadku ci´ snienia t¸ etniczego. W tym celu wybieramy losowo 6 pacjent´ ow poni˙zej 30 roku ˙zycia i w spos´ ob losowy dzielimy ich na dwie grupy po 3 osoby. Pierszej z tych grup zostanie podany lek, a drugiej z tych grup - placebo. Podobnie, wybieramy losowo 6 pacjent´ ow w wieku 30-50 lat i w sopos´ ob losowy dzielimy ich na dwie r´ owne grupy; pierszej z tych grup podamy lek, drugiej - placebo. Itd. Musimy tak˙ze pami¸ eta´ c by kolejno´ s´ c podawania leku ustali´ c w spos´ ob losowy, je´ sli nie da si¸ e leku poda´ c wszystkim jednocze´ snie.

Jak wykona´ c randomizacj¸ e w praktyce?

• Jak w spos´ ob losowy 6 os´ ob podzieli´ c na dwie r´ owne grupy?

Mo˙zemy to zrobi´ c w spos´ ob nast¸ epuj¸ acy:

– ponumerowa´ c te 6 os´ ob liczbami od 1 do 6;

– ze zbioru {1, 2, . . . , 6} wylosowa´ c 3 liczby i osoby o wybranych numerach przypisa´ c do grupy, kt´ orej zostanie podany lek, pozosta le osoby przypisa´ c do grupy, kt´ orej zostanie podane placebo:

UWAGA: “Randomizacja oparta na eksperymencie losowym ma ogromn¸ a przewag¸e nad pozornie losowym przypisaniem do grup na chybi l trafi l przez eksperymentatora.

Umo˙zliwia ona wyeliminowanie czynnika nieu´ swiadomionych preferencji wyst¸ epuj¸ acego np. w sytuacji, gdy eksperymentator badaj¸ acy skuteczno´ s´ c nowego leku mo˙ze pod´ swia- domie kwalifikowa´ c osoby w lepszym stanie fizycznym do grupy eksperymentalnej, na kt´ orej ten lek b¸ edzie testowany”. J. Koronacki, J. Mielniczuk Statystyka dla student´ ow kierunk´ ow technicznych i przyrodniczych.

• Jak w spos´ ob losowy wybra´ c kolejno´ s´ c, w kt´ orej b¸ edziemy podawali lek pacjentom?

– Numerujemy 24 pacjent´ ow liczbami od 1 do 24.

– Liczby od 1 do 24 ustawiamy w losowej kolejno´ sci i zgodnie z t¸ a kolejno´ sci¸ a prze-

prowadzamy do´ swiadczenie:

4). Eksperyment ´ slepy.

Badaj¸ ac skuteczno´ s´ c nowego leku lub innego specyfiku, jak np. napoju wspomagaj¸ acego koncentracj¸e, po lowie badanych osobnik´ ow podajemy ten lek b¸ ad´ z specyfik (po low¸ e t¸ e na- zywamy grup¸ a eksperymentaln¸ a), natomiast drugiej po lowie (tzw. grupie kontrolnej) po- dajemy ´ srodek oboj¸ etny. Pacjent, bior¸ acy udzia l w eksperymencie, nie wie czy dostaje prawdziwy lek, czy ´ srodek pozbawiony substancji aktywnych. Przeprowadzamy wtedy tzw.

eksperyment ´ slepy. Eksperyment mo˙ze by´ c podw´ ojnie ´ slepy - wtedy tak˙ze osoba zbieraj¸ aca i/lub opracowuj¸ aca dane nie wie, kt´ ora grupa pacjent´ ow jest grup¸ a eksperymentaln¸ a, a kt´ ora

´ slep¸ a. Takie post¸ epowanie pozwala nam zniwelowa´ c efekt placebo - efekt, gdy pacjent od- czuwa popraw¸ e stanu zdrowia, bo wierzy, ˙ze lek pomo˙ze. W eksperymencie podw´ ojnie ´ slepym unikamy sytuacji, w kt´ orej osoba zbieraj¸ aca i/lub opracowuj¸ aca dane pod´ swiadomie np. oce- nia stan zdrowia os´ ob przyjmuj¸ acych lek jako lepszy ni˙z jest w rzeczywisto´ sci.

5). Grupowanie.

Aby zniwelowa´ c wp lyw zmiennych ukrytych na wynik eksperymentu, mo˙zemy zastosowa´ c grupowanie, pod warunkiem, ˙ze wiemy jakie to zmienne.

PRZYK LAD 7.3

Chcemy sprawdzi´ c czy dane trzy gatunki betonu r´ o˙zni¸ a si¸ e pod wzgl¸ edem wytrzyma lo´ sci na ´ sciskanie. W tym celu bierzemy 4 pr´ obki ka˙zdego gatunku betonu i poddajemy je testom wytrzyma lo´ sci na ´ sciskanie. Testy ma przeprowadzi´ c 4 technik´ ow. Aby zniwelowa´ c efekt tego,

˙ze technicy mog¸ a przeprowadza´ c badanie w r´ o˙zny spos´ ob, wprowadzamy zmienn¸ a blokuj¸ ac¸ a - numer technika, kt´ ory przeprowadza badanie. Ka˙zdy technik bada 1 pr´ obk¸ e ka˙zdego gatunku betonu. Nie mamy zatem replikacji. Przeprowadzamy eksperyment czynnikowy z dwoma czynnikami:

• czynnik A:

• czynnik B:

Model ma wtedy posta´ c:

6). U lamkowy eksperyment czynnikowy (fractional factorial design).

Gdy liczba czynnik´ ow ro´ snie, to liczba pomiar´ ow potrzebnych do przeprowadzenia komplet- nego eksperymentu czynnikowego wzrasta w tempie wyk ladniczym. Np., gdy mamy s czyn- nik´ ow i przeprowadzamy kompletny eksperyment czynnikowy, w kt´ orym ka˙zdy czynnik ma dwa poziomy, i nie replikujemy pomiar´ ow, to musimy zrobi´ c 2

pomiar´ ow. W wielu przypad- kach daje si¸ e zredukowa´ c liczb¸ e tych pomiar´ ow dwukrotnie, czterokrotnie lub o´ smiokrotnie itd.

Eksperyment, z tak zredukowan¸ a liczb¸ a pomiar´ ow, nazywamy u lamkowym eksperymentem czynnikowym (po l´ owkowym, ´ cwiartkowym, ´ osemkowym). Trzeba jednak uwa˙znie wybra´ c pomiary z kompletnego eksperymentu czynnikowego, kt´ ore zostawimy, a kt´ orych robienia zaniechamy.

Jak przeprowadzi´ c eksperyment z PRZYK LADU 7.1 by jego wyniki by ly wiarygodne?

LITERATURA:

[1]W.J. DeCoursey, Statistics and Probability for Engineering Applications, Chapter 11, Elsevier, 2003

[2] J.L. Myers, A.D. Well Research Design and Statistical Analysis, wyd. III, Routledge, 2010 [3] D.C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, wyd. VIII, Wiley, 2012

[4] G.E.P. Box, W.E.G. Hunter, J.S. Hunter Statistics for Experimenters, New York, Wiley, 1978