Metody i algorytmy optymalizacji kolejności operacji z kryterium minimalizacji kosztów

ZESZYTY NAUKO’,7B POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Serial AUTOMATYKA z. 55

1980 l i r k o l . 651

Czesław Smutnicki, Józef Grabowski Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej

METODY I ALGORYTMY OPTYMALIZACJI KOLEJNOŚCI OPERACJI Z KRYTERIUM MINIMALIZACJI KOSZTÓW

Streszczenie. 7? pracy przedstawiono ocenę metod i algorytmów szeregowania niepodzielnych zadań na realizatorach z uwzględnie­

niem kosztów. Zaproponowano nowe algorytmy i podano przykłady • zastosowań.

1. Ws tęp

W artykule jest rozpatrywany dyskretny system produkcyjny realizujący niepodzielne zadania w ustalonym porządku technologicznym. Zadania te należy wykonać dysponując pewnymi niezużywalnymi środkami (maszyny, bry­

gady ludzi itp.). Należy dokonać takiego rozdziału środków pomiędzy czynności (zadania) oraz określić taką kolejność ich wykonywania, aby całkowity koszt, związany z użyciem środków i terminowością realizacji zadań, był minimalny.

Problemy szeregowania uwzględniające koszty stanowią dość ważną grupę zagadnień z praktycznego (i ekonomicznego) punktu widzenia. Fakt, że sto­

sunkowo niedawno uzyskano istotne wyniki w tej dziedzinie)można usprawie­

dliwić dużymi trudnościami przy konstrukcji "efektywnych" algorytmów.

VI pracy przedstawiono w skrócie aktualny stan metod i algorytmów słu­

żących do ich rozwiązania. Ponadto zaproponowano nowe algorytmy zaga<Ł- nień.

2. Podstawowe definicje, klasyfikacja problemów

Niech J = { J1 ,J2 ,...,Jn } będzie zbiorem zadań, które mają być wykona­

ne przy użyciu zbioru maszyn różnych typów M = { , Mg, • . • , } •

i

Każde zadanie J^ £ J składa się z ciągu operacji Ji = <'0i1,0i2,“ *,0ini'> ’

Operacje mają być wykonywane w zadanym porządku technologicznym, tzn.

każda operacja 0 ^ ma być wykonywana po wykonaniu operacji Oin_1 , a rzed wykonaniem operacji • Każda maszyna może wykonywać co najwy­

żej jedno zadanie w danej chwili czasowej. Dla każdego zadania są okreś—

90 Cz .Smutnicki, J . Gra bov/3 kl

lone następujące pojęcia: - liczba operacji, p ^ - czas wykonywania operacji 0in, r^ - najwcześniejszy możliwy czas rozpoczęcia wykonywania zadania, d^ - żądany czas zakończenia zadania, - czas rozpoczęcia wy­

konywania zadania, E. = m s o c ^ r ^ - S j - przyspieszenia wykonania zadania,

= max[0,C^-d^] - spóźnienia wykonania zadania, f ^ - niemalejąca funkcja reprezentująca koszt związany z wykonaniem zadania w czasie C^,

zbiór liczb rzeczywistych, w ^ - współczynnik wagowy zadania.

Zagadnienia sklasyfikowano [ 8] oznaczając symbolami n|m|V,r |$

gdzie: n - liczba zadań, m - liczba maszyn, 6{P,F,G,l] - oznacza typ zagadnienia: F-zagadnienie taśmowe, F-permutacyjne zagadnienie taśmowe, G-zagadnienie gniazdowe, I-zagadnienie z równoległymi maszynami, P c { przerywać, r^^-0, P^-f PK > Pj_ = 1| drzewo, *< } - oznacza istnienie dodatkowych założeń ograniczających, S - pos­

tać funkcji celu (C^) = £ i^c±^ albo tm s x =a?x

Ti tablicy 1 zebrano problemy, dla których znane są algorytmy. Podano tak­

że źródło literaturowe i złożoność obliczeniową. Ze względu na istotne trudności napotykane przy konstrukcji algorytmów w literaturze rozważa się głównie problemy jednomaszynowe.

Tablica 1

problem autorzy algorytmu złożoność

obliczeniowa źródło n| 1| -< |f

J K

« ,

Lawler [1973] o(n2 ) [12]

Conway »Maxwell,Miller r*]

L-1967J

n h H E w ^ Smith [1956] o(nlogn) [21]

n[ 1| drzewo|Ew.C. Horn , [19 7 2] o(nlogn) [10]

a l l K ^ f c w i C , Sidney [1975] o(n2) [18]

n|l| r 0 , p i=l|EwiGi Hinnooy [1976] o(nlogn) [16]

n | 'I | > 0,pi= 1 g > lTi

“ M I C 1 !

Lawler [i964-] o(n2 ) [11]

(i)Elmaghraby [1963]

(ii) Emmons [1969]

(iii')Srir.ivasan [1971]

(iv)Baker,Martin [1974]

NP-zupełny [5]

r e ]

N [ 3

nh|lCwi Ti

(v)PŁsher [1976]

[ 7 ]

Pićard,Queyranne ["1978] NP-zupełny _M

nhllDfiCCi)

(ii)Binnooy 'Kan,Lageweg,

■Leustra [i975]

(iii) Shwimer [1972]

NP-zupełny [17]

[15]

[

]

Metody i algorytmy optymalizacji... 91

Tablica 1 - cd.

problem autorzy algorytmu złożoność

obliczeniowa źródło

n h l l E f i C C j . ) ^

n M p l * w n lm l? lfmax

Baker,Schrage [1978]

Lawler,Sivazlian [1978]

Sidney [1977]

Achuthan,Grabowski, Sidney [1978]

Townsend [1977]

NP-zupełny o(nlogn) o(n2 ) NP-zupełny NP-zupełny

[3]

[13]

[19]

[1] [23]

(1) relacja poprzedzania przedstawia graf szeregowo-;r&moległy dla ar­

bitralnie przyjętej relacji poprzedzania problem jest NP-zupełny (2) wszystkie funkcje f ^ C ^ ) są postaci f^Cj) = ^ k^ujdu, gdzie|ki (u) =

= a^lf(u) + ' Ci-pi

(3) przy założeniu rŁ r^ =£■ d^ < d... W ogólnym przypadku zagadnienie jest NP-zupełne.

3. Metody rozwiązywania zagadnienia nlillJ~'. fi CciI

Problem ten w ogólnym przypadku, bez dodatkowych założeń o rodzaju o- graniczeń i postaci funkcji celu, jest problemem NP-zupełnym. Vi przypadku, gdy funkcje f ^ ^ i ^ są P°stacl-

' Ci

W = ^ k ^ G O d u (3*1)

Ci“pi

gdzie k^(u) = a ^ ( u ) + b^ są niemałejącymi (nierosnącymi)j to rozwiąza­

niem optymalnym jest wykonywanie zadań w porządku nierosńących (niemale- jących) a ^ Funkcje celu = C^, ft CCŁ > = są szczególnymi przy­

padkami (3«"O [1 5] •

Dodanie ograniczeń w postaci arbitralnie przyjętej relacji poprzedzeń pomiędzy zadaniami powoduje, że problem staje się NP-zupełny nawet(gdy wszystkie f Ł (Ct ) = Clt dlatego też udało się skonstruować efektywne al­

gorytmy jedynie 'dla przypadków, gdy relacja poprzedzeń jest drzewem [10]

lub grafem szeregowo-równoległym [ń], [18] . .

Szczególnie ważn* z praktycznego punktu widzenia 3ą problemy, któ­

rych funkcja celu przedstawia karę (lub straty) związany, ze spóźnieniem zadań T^. W tym przypadku f ^ C ^ ) są niemałejącymi funkcjami spóźniania

fi(Cl) = hj_ (mar [0, ) = ^ ( C j ) (3*2) Ponieważ tak sformułowany problem jest HP-zupełny [8j|do jego rozwiąza­

nia stosowane są najczęściej następujące podejścia«

1) programowanie dynamiczne [ 23 » C S »

92 Cz .Smutnicki. J . Grabowski

2) algorytmy oparte na metodzie podziału i ograniczeń [”5] »[”6] ,[7] > ' B4J , m , [2§] ,

3) metody subgradientowej optymalizacji'[7J ,[$] . 4-J metody heurystyczne [24] .

3.1. Programowanie dynamiczne. Niech J oznacza zbiór wszystkich zadań i niech I oznacza pewien podzbiór I c J. Niech l'.= J - I oznacza uzu­

pełnienie I oraz <łj = 5T> , jPjj. oznacza całkowity czas potrzebny do wy­

konania zadań z ł ' . Niech F(I) oznacza minimalną wartość funkcji celu, dla I F(I) = min Tl f]£(cicV przy warunku» że wszystkie zadania zaczy­

nają się nie wcześniej niż q^. Należy znaleźć F(J) przy pomocy wzoru re- kurencyjnego t

Zręczna implementacja programowa [3] może skompensować pewne wady me­

tody, jednakże w przypadku zagadnień o dużym wymiarze metoda 3 taje się mało skuteczna. Do wad DP można zaliczyć:

a) znaczny obszar pamięci potrzebny do przechowywania informacji, b) dużą liczbą kroków podstawowych potrzetmycbjdo przeglądnięcia zbio-

Do zalet tej metody można zaliczyć:

a) niewielką złożoność kroku podstawowego,

b) możliwość redukcji wymiaru pamięci w przypadku przyjęcia relacji poprzedzeń [3] ,

c) możliwość zastosowania dowolnej nleaddytywnej, niemałejącej funk­

cji celu typu min,max,iloczyn

d) łatwość implementacji programowej.

3.2. Metoda podziału i ograniczeń. O skuteczności metody decydują głów*.

nie:

a) kryteria eliminacji pozwalające odrzucać a priori pewne zbiory rozwiązań,

b) moc testu określającego dolne ograniczenie funkcji celu LB pozwa­

lające odrzucać rozwiązania, gdy L B ^ U B , gdzie UB jest górnym Ograniczy niem funkcji celu,

c) szybkie znalezienie dobrego rozwiązania w celu lepszego określej, wartości UB.

Najczęściej do konstrukcji testów używa się:

F(I) = min , { f k (qT ) + F(I-{k})j k ? I £ .

F(J3) = O.

(3.3)

rów I.

Metody i algorytmy optyaalizac.1l.. 93

2) zagadnienia n| 1 1przerywać IJjf^CC^)5 zagadnienie to jest 3prowadzał- ne dó problemu n|1|p^ =pK |£] gdzie n' =

^

3) zagadnienia przydziału pracy (AP) z odpowiednio określonymi współ­

czynnikami kosztu []5] »

4-) zagadnienia czasowo-zależnego komiwojażera (TDT3P) z odpowiednio określoną macierzą kosztu p4] . Ponieważ problem TDTSP jest NP-zupełny^

korzysta się z dolnego ograniczenia problemu znalezionego np. metodą subgradientową p41 ,C9] >

5) problemu Lagrange'a [7], gdzie zagadnienie dualne jest rozwiązywane metodą subgradientową [9]•

Kryteria eliminacji dla problemów kosztowych bazują zwykle na szczegól­

nych postaciach funkcji CS] ■ M > D S , 153 > [22] • Biorąc pod uwagę znane rezultaty, metoda B-and-rB jest aktualnie najbardziej skuteczną me­

todą rozwiązywania zagadnień, tego typu.

3.3. Metoda subgradientową. Ze względu na swe własności metoda rzadko jest używana samodzielnie, częściej natomiast jest wykorzystywana przy konstrukcji testów [9].

4. Nowy algorytm zagadnienia n M

11

W niniejszym rozdziale przedstawimy algorytm oparty na metodzie po­

działu i ograniczeń posiadający następujące zalety:

a) w każdym kroku jest dane pewne dopuszczalne rozwiązanie, b) rozwiązanie optymalne jest znajdowane stosunkowo szybko.

Algorytm ustala porządek zadań począwszy od końca do początku. Niech będzie permutacją, - najlepszą wartością funkcji celu, 1 - zbiorem zadań, których porządek został ustalony, J - zbiorem wszystkich zadań.

Niech będzie dana pewna permutacja początkowa JV°.

Przyjąć F 1 = o o , ST = j f , 1 = 0, k = n , 1 = 1,

krok 1 - obliczyć dolne ograniczenia LB wartości funkcji celu(np.

stosując metodę opisaną w [7] lub [94] . Jeśli LB^-i^S to przejść do kro­

ku [4]jinaczej przejść do kroku[2].

krok 2 - obliczyć wartość funkcji celu dla permutacji

d=i

Jeśli F(5T) < 5 ^ , to t= FOfi). Określić I # = J - I. Jeśli i' = 0, to A l g o r y t m

n

?(Ji) = f?V(i)(CJT(i))

i (4.1)

94 Cz.Smutni cki,J .Grabowski

przejść do kroku 4-, inaczej obliczyć lokalną ocenę zmiany kosztów przy przeniesieniu pracy JT(i) e 1^ z pozycji i-tej na pozycję k-tą według wzoru

A lkls % ( l ) CCii(i)). " fffT(i)(CJr(k)) + k

+ C [^ircj) CcjKj> j> Cc-iiXd>“%rCi) ^ iT(l) € xi j=i+i

i

cjtU) =

E

- j=i i przejść do kroku J.

krok 5 - Jeśli 1^ = 0, to przejść do kroku 4, inaczej znaleźć

= min , A tk (4-.3)

1 * 5T(i)€l' Łłc

i sprawdzić kryterium eliminacji dla prac JT(iK ) i 3T(k) i* 4 k w prze­

dziale [<:5r(k_i)“Pjr(i)'<Vr(k)]* Je6li eliminacja zachodzi,'to przyjąć l£ =

= 1^ - {JT (i)jr i przejść do kroku 3* Inaczej wykonać zamianę w permuta- cji przenosząc pracę JT(iK ) z miejsca ix-tego na k-te w permutacji oraz przyjąć k = k-1, 1 = 1+1, I '= Iu{5T(i*)}, I ' = - {3T(i*)} i przejść do kroku 1.

krok 4- - Jeśli 1=1, to stop 5* oraz ST51 są odpowiednio wartością funk­

cji celu oraz permutacją rozwiązania optymalnego. Inaczej wykonać 1=1-1, k=k+1, 1=1- JT (i51), gdzie JT (iH ) - jest ostatnio przenoszoną pracą z miejsca ix-tego na k-te. Wykonać zamianę odwrotną przenosząc pracę JT(i*) z miejsca k-tego na iK-te. Przejść do kroku 3.

Powyższy algorytm można implementować w prosty sposób na problem n|l jrj>0| C ^ C C ^ ) .

3. Algorytm zagadnienia n|1 ||S(pm (Ej )+h-i (Ti ))

Jednym z zagadnień posiadających duże znaczenie praktyczne jest prob­

lem, w którym funkcje strat (kary) są związane z przyspieszeniem wykony­

wania zadań oraz z ich spóźnieniem T^. W ogólnym przypadku w rozwiąza­

niu optymalnym mogą istnieć przerwy (czas przestoju maszyn) pomiędzy wy­

konywanymi zadaniami. Ze względu na NP-zupełność problemu p'roponuje się metodę podziału i ograniczeń do jego rozwiązania. Stosowana jest miesza­

na strategia przeglądania drzewa rozwiązań, przy czym w każdym węźle Istnieje pewne rozwiązanie dopuszczalne.

Niech jr będzie pewną ustaloną permutacją, wówczas wartość funkcji ce­

lu można znaleźć przez rozwiązanie problemu

Metody 1 algorytmy optymalizac.11... 95

min + h i^Ti2)

A » 5! 1=1

\ + A u i = 1,...,n (5'1)

^ D + ^ j J ^ ^ j i,j=1,...,n K i

^ O gdzie: = P Ł - (A^-r^)

d

A ij = C % < k ) ** <%r(j) - Ą t d ) 5 * (5*2) k=i

Korzystając ze specyficznej postaci ograniczeń można pokazać, że gdy funkcje są liniowe, to algorytm wyznaczający wartość funkcji celu wymaga o(n2logn) iteracji.

Algorytm

Przyjąć 5^ = 00, JT= ¡n3 , 1 = 0 , k = n, 1 = 1 ,

krok 1 - obliczyć dolne ograniczenie LB wartości funkcji celu stosi jąc podejście [.£] , [14! , [13 . Jeśli IB ^ I*4, to przejść do kroku 4, ina­

czej przejść do kroku 2.

krok 2 - obliczyć wartość funkcji celu dla permutacji Jt wg (5.1)- -(5.2). Jeśli P(3T) < i*, to / := PCrr). Określić l{ = J-I. Jeśli = 0,

to przejść do kroku 4,inaczej obliczyć lokalną ocenę zmiany kosztów A ^ przy przeniesieniu pracy JT (i) ^ z pozycji i-tej na pozycją k-tą i przejść do kroku 3»

krok 3 - jeśli l£ = 0,to przejść do kroku 4,inaczej znaleźć A i*k = . Aij.

1 K JT(i) ei' ^ - K

i sprawdzić kryterium eliminacji dla prac 3T(iH ) i ffT(k). Jeśli elimina­

cja zachodzi, to przyjąć 1^ = 1^ ~{jr(i)} i przejść do kroku 3. Inaczej wykonać zamianę w permutacji przenosząc'pracę 3T(iK ) z miejsca iŁ-tego na k-te oraz przyjąć k=k-1, 1=1+1, 1=1 U (yrii“ )}, l{=l£-{si(iK )} i przejść do kroku 1.

krok 4 - jeśli 1=1, to stop i*4 oraz 3TK są odpowiednio wartością fuńk- cji celu oraz permutacją rozwiązania optymalnego, w przeciwnym przypadku wykonać 1=1-1 ,k=k+1,1=1-{jT(iH )}, gdzie Jl(iH ) jest ostatnio przenoszoną pracą z miejsca iK-tego na k-te. Wykonać zamianę odwrotną przenosząc pra­

cę JTii31) z miejsca k-tego na lH-te i przejść do kroku 3*

Hależy się spodziewać, że podejścia [7j da najlepsze wyniki w kons­

trukcji testu.

96 ¡Cz .Smu tnicki, J . Grabowski

LITERATURA

f 1] Achuthan N.R., Grabowski J., Sidney J.B.t Optimal FIow-Shop Scheduling with Earliness and Tardiness Penalties, Opsearach, to appear.

[2] Baker K.R., Martin J.B. s An Experimental Comparison of Solutions Algo­

rithms for the Single-Machine Tardiness Problem, Naval Res. Log.

Quart. 21, 187-199 (1974). ' ’

r 3] Baker | K.R., Schräge L.E.: Finding an Optimal Sequence by Dynamic.

Programming: An Extension to Precedence-Related Tasks, OR 26, 111-120 (1978).

f 4] Conway R.W., Maxwell W.L., Miller L.W.: Theory of Scheduling, Addison- u -Wesley, 1967-

f 5l Elmaghraby S.E.s The One Machine Sequencing Problem with Delay Co3ts, u - J.Indust.Eng. 19, 105-108 (1968).

[6llłnmons H.: One Machine Sequencing to Minimize Certain Functions of Job.Tardiness, OR 17, 701-715 (1969).

f i] Fisher M.L. s A Dual Algorithm for the One-Machine Scheduling Problem, Math.Progr.11, 229-251 (1976).

[¿I Grabowski J., Smutnicki C.: Zagadnienia kolejnościowe. Klasyfikacja

~ i złożoność obliczeniowa algorytmów. Przegląd statystyczny. W druku.

[9lHeld M., Wolfe P., Crowder H.: Validation of Subgradient Optimization, Math.Progr. 6, 62-88 (1974).

fiolHorn W.A.: Single Machine Job. Sequencing with Treelike Precedence Ordering and Linear Delay Penalties, SIAM J. Appl. Math.. 25, 189-202 _ (1972).

Fill Lawler E.L. s On Scheduling Problems with Deferral Cost, Mgmt Sei 11, 280-288 (1964).

fl2| Lawler E.L. s Optimal Sequencing of a Single Machine Subject to Prece­

dence Constraints, Mgmt Sei 19 , 544-546 (,1973).

fl3”l Lawler E.L. 5 Sivazlian B.D.: Minimization of Time-Varying Costs in Single Machine Scheduling, OR 26, 563-569 (1978).

04] Picard J.C., Queyranne M.s The TDTSP and its Application to the Tar­

diness Problem in One-Machine Scheduling, OR 26, 86-110 (1978).

Fl5]Rinnoy Kan A.H.G., Lenfetra J.K., Lagaweg B.J.s Minimizing Total Costs in One-Machine Scheduling, OR 23, 908-927 (1975).

jl6)Rinnoy Kan A.H.G.s Machine Scheduling Problems: Classification, Complexity and Computations, Nijhoff, The Hague,(1976).

[17J Schild A., Fredman F.J.: Scheduling tasks with deadlines and non-li­

near, loss functions, Mgmt Sei 9, 73-81 (1962).

Bs]Sidney J.B.: Decomposition Algorithms for Single-Machine Sequencing with Precedence Relations and Deferral Costs, OR 23, 283-298 (1975).

F19] Sidney J.B.: Optimal Single-Machine Scheduling with Earlines3 and Tardiness Penalties, OR 25, 62-69 (1977).

^ojshwimer-J.s On the N-Job, One-Machine, Sequence Independent Scheduling Problem with Tardiness Penalties: A Branch-and-Bound Solution, Mgmt Sei 18, 3 0 1-3 13. (197 ).

[21] Smith W.E.: Various Optimizers for Single-Stage Production, Nav. Res.

Log. Quart. 3, 59-66 (1956).

[22] Srinivasan V.: A Hybrid Algorithm for the One-Machine Sequencing Problem to Minimize Total Tardiness, Nav. Res. Log. Quart. 18, 317- -327 (1971).

Metody 1 algorytmy optymalizacji. 97

(23) Townsend W.: Minimizing the Maximum! Penalty in the m-Machine Sequen­

cing Problem, OH Quant. 28, 727-734 (1977).

[24j Wilkerson L.J., Irwin J.D.: An Improved Method for Scheduling Indepen­

dent Tasks, AIIE Trans. 3, 239-245, (1971).

KETONU H AJÎTOPHTMH OnTHMAJfflSAKHH nOCEEflOBATEJIBHOCTH O riEPA U K ii C MHHHKAJIbHO-

-CTOEMOCTHHM KPHTEPHEM

P e 3 b u e

B p a d o r e n p e ^ o T a B m e H o o n e i n t y M e i o f l O B a j ir o p H T M O B y n o p a j ; o v H e H H H H e p a s f l e m b m i x s a a a s n a p e a j i H 3 a i o p a x c y v ë i o M M H H H M ajiŁ H o łł c t o h m o c t h. I I p e f l c i a B J i e H O n o s u e

amropHTMH h HX'upHMeHeHHH.

METHODS AND ALGORITHMS OP OPERATIONS SEQUENCE OPTIMIZATION WITH MINI: JM COST CRITERION

S u m m a r y

The review of methods and algorithms of scheduling nonpreemptive jobs with the minimum-cost criterion is presented. A new algorithms for one-machine case are proposed.