SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 14, 2014-01-24
Całka z parametrem
Dosyć często zachodzi potrzeba obliczania całek z parametrem:
g2(x)
Z
g1(x)
f (x, t)dt
Należy zauważyć, że wynik całkowania jest funkcją zależną tylko od parametru x (nie ma zaleznopści od t) :
H(x) =
g2(x)
Z
g1(x)
f (x, t)dt
Czasami można wykonać pewne operacje na funkcji H(x) bez obliczania całki.
Przykład: Obliczyć pochodną H0(x) , gdzie H(x) =
x2
Z
x
e−t2dt
Funkcja f (t) = e−t2 jest ciągła na przedziale (−∞, ∞), ma więc funkcję pierwotną:
F0(t) = e−t2 , ∀x ∈ (−∞, ∞) Wtedy:
H(x) = F (x2) − F (x) więc:
H0(x) = F0(x2) · 2x − F0(x) = 2xe−x4 − e−x2
Całka niewłaściwa
Warunkiem koniecznym istnienia całki Riemanna jest ograniczoność funkcji. Często trzeba jednak obliczać całki kiedy funkcja jest nieograniczona i/lub przedział całkowania jest nie- ograniczony. Całka niewłaściwa jest uogólnieniem pojęcia całki Riemanna obejmującym takie przypadki.
Dla każdej funkcji f całkowalnej na przedziale < a , b > zachodzi własność:
b
Z
a
f (x)dx = lim
c→b− c
Z
a
f (x)dx Definicja całki niewłaściwej:
Przypadki szczególne:
Jeżeli f :< a , b) → R jest nieograniczona oraz ∀c ∈< a , b) f jest całkowalna na < a , c > (a więc musi być ograniczona na tym przedziale) to definiujemy całkę niewłaściwą:
b
Z
a
f (x)dx = lim
c→b− c
Z
a
f (x)dx
o ile istnieje skończona granica z lewej strony. W takim przypadku mówimy, że istnieje całka niewłaściwa (całka niewłaściwa jest zbieżna). Jeżeli nie istnieje skończona granica, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje (jest rozbieżna).
Podobnie definiujemy całkę niewłaściwą:
b
Z
a
f (x)dx = lim
c→a+ b
Z
c
f (x)dx
Oraz całki po przedziałach nieograniczonych:
1
∞
Z
a
f (x)dx = lim
c→∞
Zc
a
f (x)dx
Zb
−∞
f (x)dx = lim
c→−∞
Zb
c
f (x)dx
zakładając, że całki po prawej stronie istnieją.
W ogólnym przypadku, jeżeli w przedziale całkowania jest skończona liczba “punktów nie- właściwych“ : ±∞ oraz punktów w otoczeniu których funkcja jest nieograniczona, to:
1. Rozkładamy przedział całkowania całki niewłaściwej na sumę przedziałów z jednym tylko punktem niewłaściwym na jednym z końców przedziału.
2. Całka niewłaściwa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje każda z całek niewłaściwych składowych i jest równa sumie tych całek.
Przykład: Obliczyć
∞
Z
1
1 x2dx
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = ∞ na końcu przedziału.
∞
Z
1
1
x2dx = lim
c→∞
c
Z
1
1
x2dx = lim
c→∞
h−1 x
ic
1 = lim
c→∞
−1
c + 1= 0 + 1 = 1 Całka niewłaściwa jest zbieżna i
∞
Z
1
1
x2dx = 1
Przykład: Obliczyć
Z1
0
1 xdx
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = 0 na początku przedziału:
Z1
0
1
xdx = lim
c→0+
Z1
c
1
xdx = lim
c→0+[ln |x|i1
c = lim
c→0+ln |c| = −∞
a więc całka niewłaściwa
1
Z
0
1
xdx nie istnieje (jest rozbieżna).
Przykład: Obliczyć
∞
Z
−∞
1 x2+ 1dx
Jest to całka niewłaściwa z dwoma punktami niewłaściwymi x = ±∞. Stąd:
∞
Z
−∞
1
x2+ 1dx =
Z0
−∞
1
x2+ 1dx +
∞
Z
0
1 x2+ 1dx
0
Z
−∞
1
x2+ 1dx = lim
c→−∞
0
Z
c
1
x2 + 1dx = lim
c→−∞
harc tg xi0
c = lim
c→−∞
0 − arc tg c= π 2
∞
Z
0
1
x2+ 1dx = lim
c→∞
c
Z
0
1
x2+ 1dx = lim
c→∞
harc tg xic
0 = lim
c→∞
arc tg c − 0= π 2 Ponieważ obie całki niewłaściwe są zbieżne, więc
∞
Z
−∞
1
x2+ 1dx = π 2 + π
2 = π
Przykład: Obliczyć
5
Z
0
1
q|x − 1|dx
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = 1 wewnątrz przedziału
< 0, 5 > :
2
5
Z
0
1
q|x − 1|dx =
1
Z
0
1
q|x − 1|dx +
5
Z
1
1
q|x − 1|dx
1
Z
0
1
q|x − 1|dx = lim
c→1− c
Z
0
√ 1
1 − xdx = lim
c→1−[−2√
1 − xic
0 = lim
c→1−
−2√
1 − c + 2= 2
5
Z
1
1
q|x − 1|dx = lim
c→1+ 5
Z
c
√ 1
x − 1dx = lim
c→1+[2√
x − 1i5
c = lim
c→1+
4 − 2√
c − 1= 4
5
Z
0
1
q|x − 1|dx = 2 + 4 = 6
Zastosowania całki Riemanna
Uwaga Jeżeli w zastosowaniach całki funkcja podcałkowa lub przedział całkowania będą nieograniczone to należy traktować całkę jako całkę niewłaściwą.
Pole powierzchni obszaru
Niech f, g :< a, b >→ R będą funkcjami ciągłymi, takimi, że ∀x ∈< a, vb > f (x) > g(x) Wtedy pole obszaru : {(x, y) : x ∈< a, b >, g(x) ¬ y ¬ f (x)} istnieje i jest równe:
S =
b
Z
a
f (x) − g(x)dx
Przykład: Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 i y = 2 − x Szukamy punktów przecięcia krzywych rozwiązując układ równań:
y = x2 i y = 2 − x x2 = 2 − x
x2+ x − 2 = 0 δ = 9
x1 = −1 − 3
2 = −2
x2 = −1 + 3
2 = 1
Stąd: a = −2 , b = 1
W przedziale < −2, 1 > krzywa y = 2 − x leży powyżej krzywej y = x2 Szukane pole S jest równe:
S =
1
Z
−2
2 − x − x2)dx =h2x − x2 2 − x3
3
i1
−2 = 2 − 1 2− 1
3−−4 − 2 + 8 3
= 9 2 Długość krzywej
Niech y :< a, b >→ R będzie funkcją klasy C1 . Wtedy wykres tej funkcji jest krzywą.
Długość tej krzywej istnieje i jest równa:
l =
b
Z
a
q
1 + (y0(x))2dx
Przykład: Obliczyć długość krzywej y = (√
x)3 , x ∈< 0,4 3 >
y0 = 3 2
√x
l =
4
Z3
0
q
1 + (y0(x))2dx =
4
Z3
0
s
1 + 9
4x dx = h2 3 · 4
9·
1 + 9 4x
32 i43
0 = 8
27 · (8 − 1) = 56 27 3
Objętość bryły obrotowej
Niech y :< a, b >→ R będzie funkcją ciągłą nieujemną. Wtedy objętość bryły powstałej z obrotu obszaru: {(x, y) : x ∈< a, b >, 0 ¬ y ¬ y(x)} wokół osi Ox istnieje i jest równa:
V =
b
Z
a
π(y(x))2dx
Przykład: Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót obszaru: 0 ¬ y ¬√
x , x ∈< 0, 1 >
wokół osi Ox V =
Z1
0
π(y(x))2dx =
Z1
0
πxdx = πhx2 2
i1 0 = π
2 Pole powierzchni obrotowej
Niech y :< a, b >→ R będzie funkcją klasy C1 nieujemną. Wtedy pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi Ox istnieje i jest równe:
S =
Zb
a
2πy(x)q1 + (y0(x))2dx
Przykład: Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej: y = 2√
x , x ∈< 3, 8 >
wokół osi Ox y0(x) = 1
√x
S =
8
Z
3
2πy(x) · q1 + (y0(x))2dx = 2π
8
Z
3
2√ x ·
s
1 + 1
xdx = 4π
8
Z
3
√x + 1dx = 4πh2 3(x + 1)32)i8
3 = 8π
3 (27 − 8) = 152π 3
4
