Xnbędzie próbką z rozkładu wykładniczego z parametrem λ

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria VII

1. Niech X1, . . . Xnbędzie próbką z rozkładu wykładniczego z parametrem λ. Pokaż, że ˆθn= nX1:n

jest nieobciążonym i nie jest zgodnym estymatorem θ = ¹_λ. Mówimy, że estymator jest zgodny jeśli ˆθn

n→∞−→ θ, według prawdopodobieństwa.

2. Rezultatem pewnego doświadczenia mogą być wyniki A, B, C, przy czym w pewnych szczególnych przypadkach odróżnienie wyniku A od wyniku B może być niemożliwe. Prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników oznaczmy przez pA, pB, pC, odpowiednio. Po wykonaniu n niezależnych takich doświadczeń otrzymaliśmy następujące wyniki: nA razy zaszło A, nB razy B, nC razy C. W pozostałych przypadkach nie udało się odróżnić A od B, czyli nA+ nB + nC < n. Na podstawie powyższych wyników oblicz estymatory największej wiarygodności parametrów pA, pB i pC.

3. Rozważmy model regresji logistycznej wiążacy prawdopodobieństwo bycia blondynem z kolorem oczu. W losowej populacji składającej się z n osób niech Y_i = 1, jeśli i-ta osoba jest blondynem oraz Y_i = 0 w przeciwnym przypadku. Zakładamy, że Y₁, . . . , Y_n są niezależnymi zmiennymi losowymi z P(Yi= 1) = p_i, gdzie

log

 pi

1 − p_i



= βPPi+ βZZi+ βNNi,

oraz Pi, Zi, Ni są cechami o wartościach ze zbioru {0, 1} przy czym przyjmują 1, jeśli kolor oczu i-tej osoby jest odpowiednio piwny, zielony, niebieski. Oblicz estymatory największej wiarygod- ności parametrów βP, βZ, βN.

4. Rozważmy model liniowy

Y = Xβ + ε ,

gdzie X jest macierzą n × p, n > p ,rank(X) = p, ε ∼ N (0, σ²Id). Oblicz rozkłady ˆβ oraz n^σ_σ^ˆ22, gdzie ˆβ i ˆσ²są estymatorami największej wiarygodności β i σ².

5. Przy modelu i założeniach z poprzedniego zadania pokaż, że ˆβ oraz ˆσ² są niezależne.

Fakty, które raczej nie zaszkodzą przy rozwiązywaniu zadań

• Każda macierz X wymiaru n × p rzędu p ma rozkład QR, to znaczy istnieje macierz ortogonalna Q = [Q1, Q2] oraz odwracalna górnotrójkątna macierz R wymiaru p × p takie, że

X = Q1R .

• Korzystając z rozkładu QR, można pokazać, że ˆβ = R⁻¹Q^T₁Y oraz kY − Xβk²= kQ^TY − Q^TXβk²= kQ^T₂Y k².

• Jaki rozkład ma Q^TY ? Możliwe, że z tego wynika niezależność Q^T₁Y i Q^T₂Y .

1