Re 074 ,

J. Szantyr – Wykład nr 20 – Warstwy przyścienne i ślady 2 W turbulentnej warstwie

przyściennej można wydzielić kilka stref różniących się dominującymi mechanizmami kształtującymi

przepływ.

Ogólnie warstwę można podzielić na obszar wewnętrzny o grubości Ogólnie warstwę można podzielić na obszar wewnętrzny o grubości około 0,2δ oraz obszar zewnętrzny. W obszarze zewnętrznym

dominują siły bezwładności. Obszar wewnętrzny dzieli się na podwarstwę lepką o grubości około 0,02δ, gdzie siły lepkości i

bezwładności są podobnego rzędu i funkcjonuje przede wszystkim lepkościowy mechanizm wymiany pędu i energii, oraz obszar

przejściowy i „logarytmiczny”, gdzie dominują naprężenia

turbulentne i turbulentny mechanizm wymiany masy, pędu i energii.

Na skutek łącznego działania lepkościowego i turbulentnego mechanizmu wymiany pędu profil prędkości w warstwie turbulentnej jest

„pełniejszy” niż w warstwie laminarnej.

W turbulentnej warstwie W turbulentnej warstwie przyściennej występują silne trójwymiarowe fluktuacje prędkości,

które osiągają maksimum w pobliżu ściany, czyli w obszarze maksymalnego gradientu prędkości

średniej.

Na drodze teoretyczno-empirycznej wyprowadzono

szereg praktycznie użytecznych wzorów: ⁵ Re 37 ,

0 L

turb

= ⋅ δ

5

Re 074 ,

= 0

fturb

C

(

)

455 ,

0

58 , 2

C_fturb = − A ^{dla 3⋅105 < Re <109}

gdzie stałą A określa się na podstawie gdzie stałą A określa się na podstawie (górnej) wartości krytycznej liczby Reynoldsa według tabeli:

A 1050 1700 3300 5700

Rekryt

105

3⋅ 105

5⋅

106

106

5⋅

Podane wyżej wzory na współczynnik tarcia obowiązują dla ściany gładkiej. W

przepływie turbulentnym współczynnik ten zależy również od chropowatości ściany

Miarą chropowatości powierzchni jest średnia wysokość chropowatości

k

Z punktu widzenia oporu tarcia istotna jest relacja średniej wysokości chropowatości do grubości podwarstwy lepkiej w turbulentnej warstwie przyściennej. Jeżeli chropowatość mieści się w tej podwarstwie, to

chropowatość nie wywołuje zmiany profilu prędkości w warstwie i nie wpływa na opór tarcia - powierzchnię nazywamy hydrodynamicznie gładką. Natomiast jeżeli wysokość chropowatości wykracza poza tę podwarstwę, to jej obecność zmienia profil prędkości w warstwie i podwarstwę, to jej obecność zmienia profil prędkości w warstwie i wpływa na wzrost oporu tarcia.

Wykres pokazuje zależność współczynnika oporu tarcia od odwrotności

chropowatości względnej (czyli odniesionej do

charakterystycznego wymiaru liniowego L).

Naniesiono również liczby Reynoldsa oparte na

Reynoldsa oparte na

wysokości chropowatości.

Istnieją zależności empiryczne pozwalające wyznaczyć współczynnik oporu tarcia na powierzchni chropowatej w turbulentnej warstwie

przyściennej, np.:

5 , 2

log 62 , 1 89 , 1

−







 +

=

s fchrop

k

C l 10² < <10⁶

ks

przy l

Przykład 1

Cienką płytę o wymiarach 1,0*1,0 [m] umieszczono pod zerowym kątem natarcia w przepływie wody o prędkości 10 [m/s]. Wyznaczyć wielkość oporu tarcia w dwóch przypadkach: a) dla płyty gładkiej, b) dla płyty o chropowatości względnej 0,0001.

Dane: współczynnik lepkości kinematycznej ν=0,000001 gęstość wody ρ=1000,0



 



 s m²



 m3

kg 

m³ Przypadek a

10000000 000001

, 0

0 , 1 0 ,

Re 10 ⋅ =

=

=

υ

uL Wysoka wartość liczby Reynoldsa

wymaga wykorzystania bardziej złożonego wzoru

( ) ( )

1050 10

log

455 ,

0 Re Re

log

455 ,

0

58 7 , 7 2 58

,

2 − = − =

= A

C_fturb

] [ 264 0

, 2 0

, 10 0

, 1000 5

, 0 00264 ,

2 0

1 _{2 2}

N S

u C

R_fturb = _fturb

ρ

Przypadek b

( ^{1 , 89 + 1 , 62 log 10000} )

^{= 0 , 00494}

=

fchrop

C

] [ 494 0

, 2 0

, 10 0 , 1000 5

, 0 00494 ,

1 ₂ 0 ₂

N S

u C

R = ρ = 0,00494⋅0,5⋅1000,0⋅10,0 ⋅2,0 = 494[ ] 2

2

2S N

u C

R_fchrop = _fchrop ρ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Wniosek: chropowatość powierzchni ma poważny wpływ na wielkość oporu tarcia w turbulentnej warstwie przyściennej i może doprowadzić nawet do podwojenia oporu w stosunku do powierzchni gładkiej.

Przykład 2

Na płycie o długości L=1 [m] w przepływie przy Re=100000 występuje alternatywnie laminarna i turbulentna warstwa

przyścienna. Jakie są grubości obu typów warstwy na końcu płyty?

Warstwa laminarna: ^{0,0158[ ]}

100000 1 5 Re

5L m

lam ⋅ =

= δ =

Warstwa turbulentna: ^{0,037[ ]}

10 1 37 , 0 Re

37 , 0

5 5

5 L m

turb ⋅ =

= δ =

Wniosek: przy porównywalnych warunkach przepływu

turbulentna warstwa przyścienna jest ponad dwukrotnie grubsza od warstwy laminarnej. Jest to konsekwencją bardziej intensywnej

wymiany pędu i energii płynu w warstwie turbulentnej.

Temperaturowa warstwa przyścienna

W niektórych problemach (np. w wymiennikach ciepła) istotne jest wyznaczenie rozkładu temperatury w warstwie przyściennej. Przy założeniu, że przepływ jest stacjonarny i liczba Reynoldsa jest

większa od 1000, można wyprowadzić zależność:

( ) ( )

∞

∞

− =

= −

u y u T

T

y T T

w

θ w przy Pr = =1,0

λ µ

c (liczba Prandtla) gdzie: θ – bezwymiarowa temperatura

gdzie: θ – bezwymiarowa temperatura - temperatura na ścianie

- temperatura daleko od ściany Tw

T∞

Jeżeli w przepływie stacjonarnym liczba Prandtla jest równa 1, to profil bezwymiarowej temperatury θ w warstwie przyściennej jest identyczny z profilem bezwymiarowej prędkości. Przy Pr>1 gradient temperatury w wewnętrznym obszarze warstwy jest

większy od gradientu prędkości, a przy Pr<1 – mniejszy.