Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 4 Semestr letni 2020/2021
Kraków 19 marca 2021
Posety i Zbiory
Twierdzenie (dualne do Dilwortha). Dowolny skończony poset o wysokości h można podzielić na h antyłańcuchów.
Twierdzenie (Dilworth; 1950). Dowolny skończony poset o szerowkości w można po- dzielić na w łańcuchów.
Lemat (Erd˝ os, Szekeres; 1935). Dowolny ciąg m·n+1 liczb rzeczywistych zawiera podciąg niemalejący długości m + 1 lub podciąg nierosnący długości n + 1.
Twierdzenie (Sperner; 1928). Niech F będzie rodziną podzbiorów zbioru [n] taką, że dla dowolnych A 6= B ∈ F , mamy A 6⊂ B. Wtedy
|F | ¬ n bn/2c
!
.
Twierdzenie (Erd˝ os–Ko–Rado; 1961). Niech n 2k i niech F będzie rodziną k-elementowych podzbiorów zbioru [n] taką, że dla dowolnych A, B ∈ F mamy A ∩ B 6= ∅. Wtedy
|F | ¬ n − 1 k − 1
!
.
Zadania
Zadanie 1 (1p.). Wykaż, że spośród dowolnych trzech permutacji zbioru [n] istnieją dwie zawierające wspólny podciąg długości co najmniej n 1/3 .
Zadanie 2 (1p.). Niech I będzie rodziną n przedziałów na osi rzeczywistej. Wykaż, że I zawiera co najmniej √
n przedziałów parami rozłącznych lub I zawiera co najmniej √ n przedziałów takich, że wszystkie posiadają wspólny punkt.
Zadanie 3 (1p.). Zbiór J przedziałów na R jest zagnieżdżony, jeśli dla dowolnych A, B ∈ J mamy A ⊆ B. lub A ⊇ B.
Niech n, k 1. Niech I będzie rodziną n przedziałów na R. Wykaż, że (i) istnieje J ⊆ I taki, że |J | = k i J zagnieżdzony, lub
(ii) istnieje J 0 ⊆ I taki, że |J 0 | n/k i dla dowolnych A 6= B ∈ J 0 mamy A 6⊆ B.
Zadanie 4 (1p.). Udowodnij, że rodziny bn/2c [n] i dn/2e [n] to jedyne antyłańcuchy w B n = (P(n), ⊆) świadczące szerokość B n .
Zadanie 5 (2p.). Niech a 1 , . . . , a n będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że |a i | 1 dla każdego i ∈ [n]. Niech
P (a 1 , . . . , a n ) = {(ε 1 , . . . , ε n ) ∈ {−1, 1} n | −1 <
n
X
i=1
ε i · a i < 1}.
Wykaż, że |P (a 1 , . . . , a n )| ¬ bn/2c n .
Strona 1/2
Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 4 Semestr letni 2020/2021
Kraków 19 marca 2021
Zadanie 6 (1p.). Niech F będzie rodziną podzbiorów zbioru [n] taką, że nie istnieją A, B, C ∈ F dla których A ( B ( C. Wykaż, że
|F | ¬ 2 · n bn/2c
!
.
Rodzina podzbiorów F jest przecinająca się, jeśli dla dowolnych A, B ∈ F mamy A ∩ B 6=
∅.
Zadanie 7 (2p.). Niech F będzie maksymalną przecinającą się rodziną podzbiorów [n].
Wykaż, że
|F | = 2 n−1 .
Zadanie 8 (1p.). Niech F będzie maksymalną rodziną podzbiorów zbioru [n] taką, że dla dowolnych A, B ∈ F mamy A ∪ B 6= [n]. Wyznacz |F |.
Zadanie 9 (2p.). Rodzina podzbiorów F zbioru [n] jest rozróżniająca jeśli dla dowolnych x 6= y ∈ [n] istnieje F ∈ F taki, że |F ∩ {x, y}| = 1. Rodzina podzbiorów F zbioru [n]
jest silnie rozróżniająca jeśli dla dowolnych x 6= y ∈ [n] istnieje F 1 , F 2 ∈ F takie, że x ∈ F 1 − F 2 i y ∈ F 2 − F 1 .
(i) Jaki jest rozmiar najmniejszej rodziny rozróżniającej [n]?
(ii) Jaki jest rozmiar najmniejszej rodziny silnie rozróżniającej [n]?
Zadanie 10 (2p.). Niech 1 ¬ s < r < n i niech F będzie rodziną podzbiorów r- elementowych zbioru [n] taką, że dla dowolnych A 6= B ∈ F mamy |A ∩ B| ¬ s. Wykaż, że
|F | ¬
n
s+1
r
s+1
.
Zadanie 11 (2p.). Niech F = {A 1 , . . . , A m } będzie rodziną zbiorów r-elementowych i G = {B 1 , . . . , B m } będzie rodziną zbiorów s-elementowych oraz niech
(i) A i ∩ B i = ∅ dla każdego i ∈ [m],
(ii) A i ∩ B j 6= ∅ dla każdych i 6= j, i, j ∈ [m].
Wykaż, że
m ¬ r + s s
!
. Wskazówka. Spróbuj wykazać, że
m
X
i=1
1
|A
i
