De vectoranalysemethode

Voor U ligt het rapport van de vierdejaars-opciracht voor de studie Werktuigbouwkunde bij de vakgroep Werktuigkundige Installades van de Technische Universiteit Delft. De opdracht houdt een onderzoek in naar de toepasbaarheid van de vectoranalysemethode voor storingsdiagnose aan technische systemen, met name voor een dieselmotor, binnen het ICMOS-project (Intelligent Control and Monitoring System) Uitvoering van de opdracht heeft plaatsgevonden bij Nevesbu-Logos in Den Haag.

Een aantal geprekken met wiskundigen van de TU Delft heeft veel inzichten opgeleverd die onontbeerlijk zijn bij onderzoek naar de vectoranalysemethode. Daarvoor ben ik de heren A.Segal, K.Vuik en J.A.M.van der Weide zeer erkentelijk.Voorts wil ik hierbij mijn dank betuigen aan prof.ir.J.Klein Woud van de TU Delft en ir.B.W.Jaspers en Edward van den Berg van Nevesbu-Logos voor hun begeleiding en hun nuttige aanwijzingen bij dit onderzoek en de verslaggeving.

Jaap Jan van Nielen, Den Haag, 28 juni.

INHOUDSOPGAVE

INHOUDSOPGAVE

Voorwoord

,

,

. Inhoudsopgave 1

Inleiding..

Samenvatting - _.

r4rCdSt".1.7".

3

Diagnose met de vectoranalyse-methode,...,,....,...--...__

4 Het oplossen van de diagnose-vergelijldng_

4.1 De normaalvergelij1cingen met Choleslci-decompositie 10

4.2

Het orthogonalisatieproces kw oh 4. 13

4.2.1

De stelling van Gram-Schmidt

13

4.2.2

Toepassfng van het orthogonalisatieproces op de normaalvergelijkingen

14

4.3

De QR-methode 15

4.4 De singuliere waardenontbinding

_

. . 17

4.5

Keuze van de oplossingsmethode 19

5 Afhankelijke storingsvormen

5.1 De relatie tussen afhankelijke storingsvormen. , - - 21

5.2

Behandeling van afhankelijke storingsvormen 23

6 Schalen *ma 27'

6.1 Uitvoering van het schalingsproces 27

6.2

Invloed van schalen op de oplossing -. I AD og, 29

6.3

Wegen van de symptoomvergelijkingen

29

6.4

Verbeteren van de conditie van de matrix 30

7 Een betere diagnose I1/2 h wft. 32

7.1

Verbeteren van de oplossfng door naverfilning

32

7.2

Splitsen van de storingen-symptomenmatrix

73

Iteratieve diagnostiseting "mg,. 44j., ;1,4,

34-8 Onnauwkeurigheid van de diagnose 444/24.4404,411.7.).24`,..1261W. .244 38,

8.1 Voorbeeld van onnauwkeurigheidsberekening

...

8:2 Variantie in de diagnose 40

8.3

Storingsdetectie

'9

Toepassing van de vectoranalyse

'9.1 Berekening van de diagnose met de singuliere waardenontbinding 48 9.2 De Storingen-Symptomenmatrix

_

49 9.2.1

Het conditiegetal

49 9.2.2 Singulariteiten ₅₀ 9-3 De diagnose% ^7, .+0,

52

1 2 7 10 .21 33 38 43 48

INHOUDSOPGAVE

9.3.1 Berekening en simulatie van de spreiding 52

9.3.2

Diagnosespreiding 53

9.3.3 Schalingsmethoden 55

9.3.4

Toevoeging extra sensor

56 9.4 Naverfijning 56 10

Conclusie

57 11

Aanbevelingen/opmerkingen

59 12

Literatuurlijst

60

Bijlagen

61

A Het aantal mogelijke oplossingen 61

Bewijs van de normaalvergelijkingen als kleinste kwadratenoplosser 64

C Chole slci-decompo side 66

D

Sa.menstelling van de Gram-Schmidt-matrix

68

Principe van de Householder-transformatie

69

F QR-ontbinding met behulp van Householder 71

G Algoritme voor de singuliere waardenontbinding 75

Bewijs van de singuliere waardenontbinding 80

I Kansrekening 81

J Overleg met wiskundigen 85

J.1 Gesprek met dhr. Segal en dhr.Vuik 85

J.2

Tweede gesprek met dhr.Vuik

87

J.3 Gespreklcen met dhr.van der Weide 88

Enkele eigenschappen uit de lineaire algebra

90

Resultaten van de experimenten met PC-Matlab

91

L.1 Uitgangsgegevens voor experimenten 91

L.2 Het conditiegetal van een aantal aangepaste matrices 93

L.3 Singulariteiten van de verstoorde matrix 94

L.4

vergelijking simulatie en berekening standaardafwijking 95

L.5 Berekening van de diagnosespreiding bij verschillende

invoerspreidingen 96

L.6

systematische en willekeurige spreiding

99

L.7 Verbetering door schalen 100

L.8 Toevoeging van een sensor 102

.

E

I INLEIDING

Patina 1

INLEIDING

Bewalcing van technische systemen is gebaseerd op het onderkennen van afwijkingen van de gewenste systeemtoestand, beter bekend Ms storingen. Veal storingen zijn niet eenvoudig automatisch registreerbaar, storingsdetectie is nog vaak gebaseerd op menselijke waameming. De wens om dat bewalcingsproces te automatiseren, met Ms doeleri het verminderen van de kostenfactor arbeid en het verbeteren van de

systeembewaking, leidt tot de vraag naar itechnieken die automatische signalering vah stofingen mogelijk maken.

Een mogelijke bewaldngsmethode is het bewaken van de prestaties van het systeem, die worden vergeleken met de prestaties van het systeem in de gezonde toestand. Deze vorm van bewalcing vereist inzicht in de fysische eigenschappen van het het systeem, omdat parameters voor de conditie van het systeem moeten worden gevonden die onafhankelijk van de belastingstoestand zifn. Deze vorm van bewaldng maakt het mogelijk het

disfunctionerende onderdeel, rnits toereikend bewaalct, aan te wijzen. Een andere vorm van bewaking is gebaseerd op het herkennen van bekende

gedragspatronen van 'het systeem behorende bij een vastgelegde verzameling Storingen. Deze techniek vergt kennis van alle mogelijke storingsvormen van het systeem en het bijbehorende systeemgedrag. Anders dan bij de eerstgenoemde vorm van bewalcing is geen kennis van de fysische eigenschappen van het systeem nodig, waar tegenover staal dat van iedere mogelijke storingsvorm bekend moet zijn hoe deze zich uit in waar te nemen symptomen en daar een symptoom een afwijking ten opzichte van een gezonde situatie voorstelt moet 'de gezonde situatie bekend zijn, wat vereist dat er een

referentiemodel van het systeem moet zijn.

De tweede vorm van bewaking is de basis voor een techniek die binnen het ICMOS-project (Intelligent Control and Monitoring System) wordt onderzocht ten behoeve van stofingsdiagnose voor een dieselmotor. Deze techniek berust op het stellen van een kwantitatieve diagnose op basis van gekwantificeerde symptomen.

Deze kwantitatieve symptomen worden afgeleid uit meetwaarden van sensoren van de te bewaken systeem. Vergelijidng van deze meetwaarden met een referentiewaarde.

behorende bij de betreffende becirijatoestand, levert een symptoom op. De dieselmotor is een systeem dat meerdere storingsvormen en meerdere symptomen kent, het is mogelijk een &root aantal sensoren aan te brengen en zodoende symptomen te `creeren% Met dem symptomen moetde mogelijkheid bestaan om de optre-dende storingsvorm(en) af te leiden, Ms van iedere storingsvorm de invloed op alle syrnptomen bekend is..

1

Het afleiden van storingen uit symptomen met worth binnen het ICMOS-project

uitgevoerd met de vectoranalysemethode. Dit is een methode die uitgaat van een lineair verband tussen de storingen en de symptomen.

Ervan uitgaande dat de genoemde gegevens bekend zijn is een gegevensstructuur voor de diagnostisering aan de dieselmotor op te stellen. Deze gegevensstroom is weergegeven in figuur 1.1 sensoren (metingen referentie model symptomen vector analyse storingen -symptomen relatie diagnose

Figuur 1.1 Gegevensstroom voor de vectoranalysemethode

Uit figuur 1.1 blijkt dat clrie soonen gegevens invloed hebben op de diagnose, te weten: -de metingen

-de referentiewaarden

-de storingen-symptomenmatrix.

De storingen-symptomenmatrix is een matrix wawa' de invloed van iedere storing op ieder symptoom is gevat. Als de kwantitatieve symptomen in een vector bijeen worden gezet is een matrixvergelijking op te stellen waarin een vector voorkomt die de grootte van de storingen als onbekenden bevat. Deze matrixvergelijking wordt in hoofdstuk 3 beschreven.

Voor het oplossen van de matrixvergelijking bestaat een aantal mogelijkheden, waaruit een keuze wordt gemaakt op basis van eigenschappen als nauwkeurigheid en

mogelijkheden voor beoordeling van de kwaliteit van de vergelijking. In hoofdstuk 4 worden de beschikbare methoden beschreven en wordt een keuze gemaakt.

De kans bestaat dat een storing bestaat die hetzelfde symptomenpatroon opleven als (een combinatie van) andere storingen. Dit betekent dat niet eenduidig is vast te stellen we1ke storing zich voordoet. Hoofdstuk 5 behandelt de mogelijkheden om een diagnose te stellen met een dergelijk afhankelijk stelsel storingen.

1 INLEIDING Pagina 3

De gestelde diagnose is niet altijthexact een afspiegeling van de werkelijke storing,als gevolg van onnauwkeurigheden veroorzaakt door de gebruikte oplossingsprocedure of door afwijlcingen van de lineaire diagnose ten opzichte van het niet-lineaire systeem. Mogelijke aanpassingen van de rnanier van diagnostiseren zouden kunnen leiden tot een

betere diagnose. In hoofdstuk 6 worth beschreven hoe de matrixvergelijking door de symptomen en de storingen een weegfactor mee te geven, tot een betere oplossing kan

dit beet schalen. Hoofdstulc 7 geeft aan hoe buiten de matrixvergelijking bestaan om een betere diagnose kan worden gesteld.

Onnauwkeurigheden van de symptomen door meetonzekerheden, onzeketheden in het referentiemodel en onnauwkeurigheden in de storingen-symptomenmatrix leiden tot een onzekerheid in de diagnose. Hoe deze onzekerheid is te berekenen en welke gevolgen.dit heeft voor de te treklcen conclusie wordt in hoofdstuk 8 behandeld.

De mogelijkheden die de vectoranalyse biedt voor diagnostisering kunnen worden worden gevisualiseerd door de behandelde technieken op beschikbare gegevens van een idieselmotor los laten. Het computerprogranima PC-Matlab biedt goede mogelijkheden om deze toepassing uit te voeren. In hoofdstuk 8 worth een diagnose berekend en wordc

de onzekerheid van de diagnose bepaald.

Bij het onderzoek naar de vectoranalysemethode is een aantal vragen opgekomen op wiskundig valcgebied, vooral met betrekldng tot matixbewerkingen en Icansrekening.. Hierop is een antwoord gevonden bijlieen drietal medewerkers van de faculteit de 'Toegepaste wiskunde en informatica. Een verslag van deze besprekingen vindt U in.

bijlage J.

De vectoranalysemethode stelt eisen aan de nauwkeurigheid van de benodigde gegevens

on een bepaalde betrouwbaarheid van de diagnose te kunnen garanderen. In de

conclusie wordt aangegeven welke voorwaarden aan het toepassingsgebied moeten

word& gesteld.

2 SAMENVATTING Pagina 4

2

SAMEN VATTING

De diagnose met behulp van de vectoranalysemethode vindt pints op basis van Icwantitatieve symptomen. Symptomen zijn afwijkingen ten opzichte van de gezonde toestand, die wordt bepaald met een simulatiemodel voor het betreffende systeem (een referentiemodel). De symptomen zijn op de volgende wijze afgeleid van een waarnerning

(sensorwaarde) en een referentiewaarde een procesgrootheid: symptoom = (sensorwaarde - referentiewaarde) / referentiewaarde

Dit betekent dat de symptoomwaarde voor een gezond systeem gelijk is aan nul, doordat de actuele sensorwaarde gelijk is aan de referentiewaarde.

Binnen het te bewaken systeem kan een aantal storingen optreden. Voor elke mogelijke storingsvorm worth een standaardstoring gedefinieerd, zodat een norm ontstaat waaraan een actuele storing kan worden gerelateerd. Het stellen van de diagnose worth daardoor beperkt tot het vaststellen van de relatieve verhouding tussen de acniele storing en de standandstoring, zodat de diagnose bestaat uit een verzameling dimensieloze waarden. Als het gedrag van het systeem bij elke van deze storingsvormen bekend is in de vorm van de veroorzaakte symptomen bestaat de mogelijkheid de combinatie van storingen af te leiden die de waargenomen symptomen veroorzaakt. Doordat de symptomen en de storingen beide numerieke waarden zijn is het stellen van de diagnose een wiskundige berekening.

Iedere symptomenverzameling behorende bij een stanciaardstoring is weer te geven als een kolomvector. Ms alle kolomvectoren bijeen worden gezet ontstaat een matrix met verticaal de verschillende symptomen en horizontaal de storingen, tilt is de

storingen-symptomenmatrix. Door dew matrix te vermenigvuldigen met een vector met actuele storingsgroottten ontstaat een vector die de bijbehorende symptomen bevat, uitgaande van de aanname dat er een lineair verband bestaat tussen de grootte van alle storingen en symptomen, en dat de patronen van de storingen sommeerbaar zijn.

2 SAMENVATTING Pagina 5

Er wordt een matrixvergelijking verkregen van de volgende vorm: M11 MI j Mlq mu Mij Miq Mp1 _MPI MIx1 I di dj dq Si Hierin is:

= invloed van storing j op symptoomi

Si = symptoom i

= storing j

p = aantal symptomen q = aantal storingen

Om een goede diagnose te stellen wordt ervoor gezorgd dat het aantal storingen groter is dan het aantal symptomen, woe tot gevolg heeft dat de gegeven matrixvergelijking niet altijd eenduidig is op te lossen. Voor de keuze van de oplossing die het beste voldoet wordt het kleinste kwadratencriterium gebruilct, wat betekent dat de som van de kwaciraten van de verschillen tussen de waargenomen en de benaderde sensorwaarden worth geminimaliseerd.

Voor het oplossen van dit minimaIe Icwadratenprobleem is een aantal methoden

beschilcbaar, waaruit de singuliere waardenontbinding is gekozen. Dat is een techniek die de matrix M ontleeidt in een product van drie matrices. Het voordeel van de singuliere waardenontbinding ten opzichte van andere technieken is dat alleen met deze techniek een stelsel met afhankelijkheid tussen storingen is te behandelen. Afhankelijkheid wil zeggen dat er storingen zijn die hetzelfde symptomenpatroon vertonen als een andere combinatie van storingen, met als gevolg dat deze storingen niet zijn te onderscheiden. De singuliere waardenontbinding biedt de mogelijkheid de relatie tussen afhankelijke storingen af te leiden. Het stellen van een diagnose met een afhankelijk stelsel betekent dat niet een diagnose worth gevonden maar dat iedere diagnosevector die aan de berekende

afhankelijkheidsrelatie voldoet juist kan zijn. Deze mogelijke diagnosevectoren vormen tesamen een diagnoseruimte. Binnen de cliagnoseruimte bestaat nog de mogelijkheid een diagnose te Idezen onder de aanname dat zich slechts den storing voordoet en geen combinatie van storingen.

Si

2 SAMENVATTING Pagina

De kans is aanwezig dat buiten de verzameling standaardstoringen storingen bestaan die afhankelijk zijn met storingen uit die verzameling. Het gevolg daarvan is dat het

voorkomen van deze storingen tot een onjuiste diagnose leiden. Daarom moeten alle mogelijke storingen worden meegenomen bij het opzetten van de

storingen-symptomenmatrix.

De diagnose kan worden verstoord door onnauwkeurigheden in de symptoomvector en in de storingen-symptomenmatrix. Als de nauwkeurigheid van deze gegevens bekend is kan de nauwkeurigheid van de diagnose worden bepaald. Met dit gegeven wordt

duidelijk welke waarde aan de gestelde diagnose kan worden gehecht.

Verbetering van de nauwkeurigheid is nog mogelijk door de het stelsel vergelijIdngen te schalen, dat wil zeggen door rijen of kolommen uit de matrix met een factor te

vermenigvuldigen. Dat maalct het mogelijk symptomen met een grote nauwkeurigheid zwaarder te laten wegen in de diagnose of om de conditie ofwel de mate van

ongevoeligheid voor verstoringen van de matrix te verbeteren.

Niet alle storingen hebben op alle symptomen invloed, vaak zijn er groepen storingen die invloed hebben op groepen symptomen. In sommige gevallen is het dan mogelijk de matrix op te delen in deelmatrices, waardoor de diagnose overzichtelijker wordt. Het is dan ook mogelijk om voor een aantal storingen andere diagnosetechnieken toe te passen.

De vectoranalysemethode kan ook in samenwerking met een simulatiemodel warden gebruikt dat symptomenpatronen kan berekenen bij een verzameling storingen. De vectoranalysemethode wordt dan gebruikt om een schatting van de storingen op basis van de waarnemingen te doen, waarna met het simulatiemodel een bij de diagnose behorend symptomenpau-oon wordt berekend, dat kan worden vergeleken met het waargenomen patroon. Zo kan op iteratieve wijze een betere diagnose worden gesteld. Toepassing van de vectoranalysemethode op een matrix uit een eerder project laat nen dat de nauwkeurigheid van de diagnose niet erg groot is. Bij nauwkeurigheden voor de sensorwaarde, de referentiewaarde en de matrixwaarden die redelijk worden geacht is het

spreidingsgebied van de cliagnosevector aanzienlijk, dat wit zeggen dat de afwijking van de gevonden waarde in een aantal gevallen meer dan 30% van de standaardstoringkan

bedragen. Ook de symptoomwaarde heeft een lage nauwkeurigheid, doorciat sprake is van het verschil van twee variabelen (de sensorwaarde en de referentiewaarde) die beide een onnauwkeurigheid hebben.

3 DIAGNOSE MET DE VECTORANALYSEMETHODE Pagina 7

3

DIAGNOSE MET DE

VECTORANALYSE-METHODE

Bij bewalcing van een systeem met behuIp van de vectoranalysemethode wordt een combinatie van storingen gezocht die het optredende patroon van syrriptomen,

veroorzaakt door de aanwezige storingen, zo geed mogelijk benadert. Symptomen en storingen zijn hierbij numerieke waarden. Storingen worden weergegeven in verhouding tot een gedefinieerde standaardstoring en symptomen zijn meetwaarden (sensorwaarden) die gecorrigeerd en genormeerd zijn voor de verwachte verwachte (referentie-) waarde,

dus:

symptoom = (sensorwaarde - referentiewaarde) / referentiewaarde

Deze vorrn van diagnostisering is gebaseerd op het bekend zijn van alle symptomen bij optreden van de afzonderlijke te detecteren storingen. Dit zijn de tevoren gedefinieerde

standaard storin gen.

In veel gevallen is het Met mogelijk om aan de hand van de symptomenpatronen van standaarcistoringen een patroon samen te stellen dat exact hetzelfde is als het

waargenomen symptomenpatroon. Er diem dan een benadering van het optredende patroon te worden gevonden. Voor het selecteren van de beste benadering is een criterium nodig. Z,eer geschikt voor dat doel en rekenkundig goed hanteerbaar is het kleinste lcwadratencriterium, dat bepaalt welke oplossing de beste benadering van het optredende patroon van symptomen is.

De relatie tussen de storingsmoch en de bijbehorende meetpatronen wordt vastgelegd in de storingen-symptomenmatrix M. We verkrijgen de volgende vergelijking:

M.12I = (3 a)

Er moet worden opgemerkt dat de vergelijking niet klopt als de symptoomvector niet in de eerder beschreven deelruimte valt. In dit rapport worth het `=`teken in dew

vergelijking gebruikt, hoewel dit niet geheel correct is. Het geeft echter aan dat een exacte oplossing voor de vergelijking veelal niet kan worden gevonden maar dat een benadering wordt gezocht.

Uitgeschreven is vergelijking 3 a::

,Hierin is:

ay= invloed van storing j op symptoom Si = symptoom

storing j

p = aantal symptomen q = aantal storingen

p Is altijd groter dan of gelijk aan

In de pralctijk S het aantal syrriptomen groter moeten zijn dan hevaantal ,storingen om een diagnose te kunnen istellem

De vectoranalysemethode is te visualiseren in een meerdimensionale ruimte, waafin de assen de symptomen sx voorstellen , zie figuur 1.1 De kolommen van de matrix M zijn dan vectoren die behoren bij, de gedefinieerde standaardstoringen, aangegevenals fx.

Figuur 3. Driedimensionale voorstelling van de vectoranalysemethode.Bedenk dat het aantal dimensies van deze ruimte even groot is Ms het aantalisymptomen.

mu

Mi I Mp 1

tnij

Mil lilpj Mlq 'Miq -Mpg

i'dl

I = Sp b) '91

DIAGNOSE MET DE VECTORANALYSEMETHODE Pagina 8

3 i i = q. Si (3

3 DIAGNOSE MET DE VECTORANALYSEMETHODE Pagina 9

= waargenomen symptomenvector

= symptomenvector van gedefinieerde standard-storingenvector M. = benadering van waargenomen symptomenvector

sx = assen van de symptomenruimte

verschil tussen gemeten symptomenvector en benadering door diagnose In deze ruimte zijn alle mogelijke meetresultaten af te beelden, dus ook het

symptomenpatroon dat optreedt bij een standaard storing, in fig.3 weergegeven door de vectoren fx. Een standaardstoring is een bekende storingsvorm die kan optreden in het te bewaken systeem. Omdat er minder storingen dan symptomen zijn, of in het uiterste geval evenveel, is het aantal vectoren behorende bij een standaardstoring Ideiner dan of

even root als de dimensie van de ruimte.

Met deze standaardstoringsvectoren is een deelruimte op te spannen binnen de

symptomenruimte, in deze deelruimte zouden idealiter alle optredende symptoomvectoren vallen. In fig.3 is deze deelruimte het vlak opgespannen door de vectoren ft en f2. De praktijksituatie is echter dat een goede benadering van de symptoomvector moet worden gevonden die binnen deze deelruimte ligt.

Het verschil tussen de symptoomvector s en de benadering ervan (de diagnose) binnen de storingsruimte M. (M is een verderop beschreven matrix) worth geminimaliseerd met behulp van het kleinste Icwadratencriterium, dat wil zeggen dat de som van de kwadraten van de componenten van de verschilvector gerninimaliseerd worth. De lengte van deze verschilvector r is een maat voor de nauwkeurigheid van de benadering.

Het resulterende stelsel vergelijkingen met een niet-vierkante matrix M is niet zonder meer op te lossen, het is een overbepaald stelsel van vergelijkingen. Dat wil zeggen dater meer vergelijkingen dan onbekenden zijn. Het gevolg is dan dat het stelsel niet eenduklig oplosbaar hoeft te zijn. In de volgende hoofdstukken worden methoden aangedragen om dit stelsel op te lossen.

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 10

4

HET OPLOSSEN VAN DE

DIAGNOSE-VERGELIJKING

DE NORMAALVERGELIJKINGEN MET

CHOLESKI-DECOMPOSITIE

In hoofdstuk 3 hebben we reeds gezien dat het stelsel vergelijkingen M. = , waarin de

dimensie van de a-vector (het aantal symptomen) groter is dan die van de a-vector (het aantal storingen), niet direct in deze vorm oplosbaar is. Door

voorvermenigvuldiging met MT, de getransponeerde van M, verkrijgen we het stelsel MTNI.a = MT, wat wel oplosbaar is. Er staat namelijk:

MT

M d. = qxp pxq qx1

[vi

T

[si 1

qxq qx1 qx1 T - 1

[M;1] [AT]

qx1 qxq qx1

De matrix MTM is vierkant en als deze matrix regulier is is ze te inverteren, zodat de vergelijking wordt:

d (mTm)-1mT.5

In het vorige hoofdstuk werd al gesteld dat het niet altijd mogelijk is het

symptomenpatroon exact te benaderen, meestal moeten we het met een benadering doen. Dit betekent dat er een restvector overblijft tussen de waarneming en de benadering. De door voorvermenigvuldiging verlcregen vergelijldngen worden wel de

normaalvergelijkingen genoemd, omdat de gevonden restvector volgens het kleinste kwadratencriterium (LS =Least Square) pis = M. - loodrecht (ofwel normaal) op de

vector M. swat. Zie figuur 4.1.1 en lit.7.

Figuur 4.1A De benadering van de symptoomvector s. De assen corresponderen met de symptomen.

Sin = 1142L,s11 / lig2 is een maat voor de kwaliteit van de benadering.

M.J.Ls is de kleinste Icwadratenbenadering.

Om een oplossing te verkrijgen van het stelsel normaalvergelijlcingen client de inverse van het matrixproduct MTM te worden berekend want d = (MTM)-1MT5. In het nu volgende wordt voor deze invertering de Choleslci-decompositie aangedragen. Dat is een

decompositie waarbij niet eerst de geinverteerde matrix wordt berekend, maar waarbij direct de oplossing van de vergelijlcing wordt berekend.

Het stelsel MTMd= WI is voor de eenvoud te schrijven als A. = bmet A = MTM, een

vierkante matrix, x = d en b = MT. Oplossing van het stelsel A. =bmet behulp van de Choleski-decompositie berust op de splitsing van de matrix A in het product G.GT (zie bijlage C voor uitvoering van de splitsing). De matrix G heeft de onderdriehoeksvorm, dat wil zeggen:

}berm zijn de x-en willekeurige getallen.

Choleski-decompositie is alleen mogelijk als de matrix A positief definiet is, hetgeen betekent dat A symmetrisch is en dat voor iedere x geldt dat [Lc,A.3.] > 0 voor x # 0.

0 0 0 0.

x

x 000

G = x

x x 0 0

x x x x 0

x x x x x

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 12

Dat MTM aan deze twee eisen voldoet is als volgt te bewijzen (zie bijlage 1 voor de gebruikte rekenregels):

1 (MTM)T = MTM

2 [x , MTM.2c] = [(MT)T.x , M.x] = [M., M.1.] = II M., > 0 voor elke x ongelijk aan 0

Na Choleski-decompositie lcrijgen we het volgende stelsel: G.GTx = h, waarin a=d, 12=MT1 en G.GT = MTM

Oplossing van dit stelsel vindt plaats in twee stappen, eerst wordt ç opgelost uit de vergelijking G.c = b, waama x worth opgelost uit de vergelijking GTE, = Q. Oplossing van deze twee stelsels is eenvoudig omdat we te maken hebben met respectievelijk een onder- en een bovendriehoeksmatrix. Dit maalct terugsubstitutie mogelijk, hoe dit werkt wordt duidelijk als we het stelsel van vergelijlcingen bekijken:

De bovenste vergelijking van dit stelsel is direct op te lossen waama substitutie van de gevonden waarde naar beneden de volgende vergelijking oplosbaar maakt, wat wordt herhaald voor de opeenvolgende vergelijkingen. Het zelfde principe wordt ook toegepast op de bovendriehoeksmatrix, maar dan natuurlijk van onder naar boven.

Van der Vorst (lit.7 blz.61) stelt voor de onnauwkeurigheid van de oplossing:

II Sx II

< E - +

2 ic(A) _tan(8)K2(A) + R2(e) i ₆₀ (4.1.1) ixII cos waarin: E = max

[

II A II II b II < Xl aA ab _xi,

Xi en X.,r, zijn respectievelijk de grootste en de kleinste eigenwaarden van ATA. K(A) = II All 11A+11 is het conditiegetal van A waarin A+ de pseudoinverse van A is, te berekenen met A+ = (AN-1AT.

x 0 x 0 0 0 0 0-0 X x x

x 00 Xi

bi x x x x 0

x xx x

x Xn bin II II

4 'HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING IPagina

e, Is een maat voor de verstoring van de varfabelen. De maximumgrens 4(X,41) worth

voor e gesteld om de invloed van ic op de oplossing te beperken.

.122(e)lis een restterm die tweede en hogere machten van e bevat. Daar e klein is !canideze,

restterm worden verwaarloosd.

Uit bovenstaande ongelijlcheid blijkt dat de fout in de oplossing afhankelijk is van het kwadraat van het conditiegetal x tenzij 6 erg klein is, wat zou betekenen dat de

benadering erg goed is. (zie fig.4.1.1 M.4 en zijn dan vrijwel gelijk)

.Deze kwadratische afhankelijkheid vanKrnaalct de methode van de

normaalvergelijlcingen erg onnauwkeurig, want in het ,algemeen is het conditiegetal van een grote matrix al groot, zodat door het kwadratisch verband een onacceptabel rote foutversterking plaatsvindt. In volgende hoofdstukken volgen stabielere

oplossingsmethoden waarbij eveneens wordt iuitgegaan van het kleinste Icwadratencriterium voor bet benaderen van de metingenvector.

4.2,

HET ORTHOGONALISATIEPROCES

4.2.1 'DE STELLING VAN GRAM-SCHMIDT

In hoofdstuk 3 zagen we dat de storingenruimte een deelruimte van de ,symptomenruimfe is. Een basis van een ruimte is een verzameling van vectoren waarrnee die ruimte kan worden opgespannen, dat wil zeggen dat ieder punt in die ruimte kan worden beschreven als een lineaire,combinatie van de basisvectoren. Volgens de stelling van Gram-Schmidt kan voor iedere deelruimte een basis bestaande uit een stelsel orthonormale vectoren worden gevonden,,dus ook voor de standaardstoringenruimte als deelruimte van de symptomenruimte. In de symptomenruimte is elke van deze orthonormale vectoren een combinatie van standaard-storingsvectoren. Constructie van deze orthonorrnale basis vindt ads volgt plaats. We gaan uit van 1 storingsvector, dit worth onze eerste

orthonormale vector. De tweede orthonomiale vector worth verkregen door de tweede storingsvector te venninderen met zijn projectie op de eerste orthononnale vector. Iedere volgende storingsvector wordt verminderd met zijn projectie op alle voorgaande

orthonormale vectoren. In figuur 4.2.1 worth dit in het tweedimensionale vlalc gedemonstreerd..

Figuur 4.2.1 Constructie van een orthonorrnale basis.

Om als basis voor de gehele symptomenruimte te dienen moeten aan het stelsel van orthonormale vectoren nog (p-q) vectoren worden toegevoegd, die wederom

orthonorrnaal kunnen worden gekozen. De componenten van een symptoom langs deze aangevulde basisvectoren vormen tesamen de al eerder ter sprake gekomen restvector De restvector is dus na orthogonalisatie eenvoudig te vinden door dew componenten te

berekenen.

4.2.2 TOEPASSING VAN HET ORTHOGONALISATIEPROCES OP

DE NORMAALVERGELIJKINGEN

Het orthogonalisatieproces is praktisch te vatten in een vermenigvuldigingsmatrix V. een vierkante matrix met de dimensie gelijk aan het aantal storingen. Het produkt M.V, een math met dezelfde dimensies als M, is dan een verzameling orthonormale

kolomvectoren. De navermenigvuldigingsmatrix V he,eft verder de eigenschappen dat de bovendriehoeksvorm heeft en dat de diagonaalwaarden gelijk aan 1 zijn, wat duidelijk wordt bij het samenstellen van de matrix V (zie bijlage D). Het product (MV)T(MV) = VTMTMV levert een diagonaalmatrix op, doordat buiten de diagonaal van dew

productmatrix alleen producten staan van vectoren die loodrecht op elkaar staan, wat nulwaarden oplevert. Deze diagonaalmatrix noemen we verder H.

De normaalvergelijkingen kunnen nu worden omgewerIct: MTN1.d = MT, voorvermenig,vuldigd met VT geeft:

VTMTMd = VTIVITs

en met invoegen vanV.V-1 = I:

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 15'

avITM.(V.V-nd = VTMTs

dus met VrMTMV = VTMT.s,

met d* = Vald, en

e.

VTIvirs wordt dir

H.d* = f, wat ten ontkoppeld 'stelser vergelijkingen is, ofwel:

hiidi* = si*

S,chrijven we stelsel (4.2.2.1) als:

d V.H4VTMTs

Dan zien we dat hier hetzelfde staat als = (MTM)-1MTI

Deze orthogonalisatie vertoont tnige gelijkenis met de in paragraaf 4.4 uitgevoerde singuliere waarden ontbinding, die door voor- en navermenigvuldiging van M met handige matrices tevens een diagonaalmatrix oplevert. De singuliere waardenontbinding heeft echter een aantal voordelen. De daarbij gebruikte transformatiematrices hebben in

tegenstelling tot de bovengenoemde matrix de eigenschap dat ze orthonormaal (zie bijlage K) zijn en er worth geen voorverrnenigvuldiging met MT toegepast voor oplossing van de diagnosevergelijIcing waardoor de oplossing minder gevoelig voor verstoringen is. De singuliere waardenontbinding biedt ook meet mogelijkheden om de kwaliteit van de oplossing te beoordelen, daarom zal aan de orthogonalisatiemethode verder. geen aandacht worden geschonken.

4.3

DE QR-METHODE

QR-ontbinding van een matrix houdt in dat er een orthonormale matrix Q en een matrix R worden gezocht fbij een bestaande matrix A zodanig dat A = Q.R, waarin de matrices de volgende vorm hebben:

Het vinden van dew ontbinding gebeurt met behulp van de Householder-transfonnatie (lie bijlage E en F, waarin de Householder-rransformatie en het samenstellen van de Q-matrix worden behandeld).

A(pxq) Q(pxp) .R(pxq) X X X X X X

X X

X X ,X X X

X XX Ox

x X X it

A xx00):x

'X X x x x x 0

0

i0 H: = (4.2.2.1) =

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGEL1JKING Pagina 16

Als de matrix Q orthonormaal is, wat blijkt in bijlage F, geldt dat QTQ = I, waarin I de zenheidsmatrix is.. A = Q.R is daardoor ook te schrijven als QTA = QTQ.R, this QTA = R QT is dus een matrix die A transformeert naar een bovendriehoeksmatrix R, dat betekenr

dat QT alle waarden onder de diagonaal van A naar 0 moet transformeren waarbij als te verwachten is ook de waarden in de bovendriehoek veranderen,

Vermenigvuldiging van het stelser vergelijkingen M. = s met deze QT geeft het volgende resultaat,

QT QT_QT&

'Uitgeschreven en uitgewerkt is dit stelsel te schrijven alt.; d1

Lb

1 ,0

0

0

0

10'

0 0 0 Waarin: R = QTM = bovendriehoeksmatrix (vierkant) = diagnosevector p= aantal symptomen q= aantal storingen

/2 = vector met dimensie q = vector met dimensie p-q Bedenk dat p>q

He bovenstaande stelsel is direct oplosbaar door oplosSing en terugsubstitutie van onderi naar boven.Volgens Van der Vorst (lit.7 blz.62) is R.xi s = k de oplossing van het stelsell volgens het kleinste kwadratencriterium (LS. = least square) en 11c11 de norm van het verschil Als he stelsel van vergelijkingen exact is op it lossen is de g-vector

een nulvector, zoniet, clan kloppen de onderste (p-q) vergelijidngen niet, het linkerlid is dan gelijk aan nul en het rechterlid niet,,wat komt doordat de oplossing dan een

benadering is.

Deze oplossingsmethode vereist w1 dat de rang:Van matrix M gelijk is aan q, ofwel er mag geen singulariteit in voorkomen daar in dat geval he stelsel

Ras = b onoplosbaar

is. Een singulariteit wordt zichtbaar in de vorm van een nulelement op de diagonaal van

R, omdat de determinant van een driehoeksmanix het product, van alle diagonaalwaarden

dc cv-q. = M.d -bq 0 b1

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 17

is en een determinantwaarde 0 duidt op singulariteit. Oplossing van een singuliere bovendriehoeksvergelijlcing is !net mogelijk, zodat het stelsel moet worden gereduceerd tot een regulier stelsel door storingen te verwijderen, zie hoofdstuk 5.

Van der Vorst doet geen uitspraak over de grootte van de onnauwkeurigheid van de oplossing maar vermeldt dat deze kleiner is clan bij gebruilc van de normaalvergelijldngen uit paragraaf 4.1.

Voor toepassing van de QR-methode zijn standaardalgoritmen in diverse talen beschikbaar, ook het programma PC-Matlab kent een standaardprocedure voor het berekenen van de QR-ontbinding van de matrix.

4.4

DE SINGULIERE WAARDENONTBINDING

Een matrix X die voldoet aan de vergelijking XTX = I, met I de eenheidsmatrix, worth een orthonormale matrix genoemd (zie ook bijlage K). Van der Vorst (lit.7 blz.62) bewijst dat er voor iedere matrix A met willekeurige dimensies orthonormale matrices U en V zijn te vinden zodanig dat het product UTA.V = een diagonaalrnatrix geeft die als diagonaalwaarden de singuliere waarden van A bevat, als A een vierka.nte matrix is. Buiten deze cliagonaal bevinden zich dus slechts nullen. Indien A niet vierkant is, zoals bijvoorbeeld de storingen- symptomenmatrix M, waarvan de rijlengte kleiner is dan de

kolomhoogte, dan is / aangevuld met rijen of kolommen nullen, waardoor de

afmetingen van A en I gelijk zijn. De singuliere waarden staan dan dus op de bovenste

diagonaal. Omdat geldt dat U.UT = I en V.VT = I kan de vergelijking UTM.V = ook

warden geschreven als M = U.(UTM.V).VT = U.E.VT, this M wordt ontbonden.

Daarorn worth deze techniek de singuliere waardenontbinding (SVD = Singular Value Decomposition) genoemd.

Voor de niet-vierkante matrix M met afmetingen mxn heeft de singuliere waardenontbinding de volgende vorm:

1

UT 1

rnxmF

mxn

[V

nxn

De diagonaalwaarden van L de singuliere warden o-, van de matrix M zijn de wortels

van de eigenwaarden Xi van de matrix MTM, dit wordt in bijlage H aangetoond. Voor het

gemak worden de singuliere waarden zodanig gesorteerd dat al (Ti aq ?!. 0, 1<i<q, dit sorteren !can ongestraft worden gedaan door de rijen van UT en de kolommen van V mee te wisselen.

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 18

De kolommen van then V worden respectievelijkide linker- en de rechter-singuliere vectoren van A genoemd. De linker singuliere vectoren II; hebben dus een lengte gelijk aan de kolomlengte van M, de rechter singuliere vectoren yj hebben eenaantal

componentengelijk aan de rijlengte-vanM. De v,olledige vergelijking worth daarmeër

Singulanteit manifeSteert iich in het gelijk aan hul zijn van een of meerdere singuliere waarden en is dus eenvoudig waar te nemen. Het wordt anders als de elementen van de matrix M niet exact kloppen, daardoor zou een matrix niet precies ma& well bijna Singulier kunnen zijn, wat in de praktijk vaak zal voorkomen. De kleinste singuliere waarde is dan niet exact gelijk aan nul maar ligt dicht bjji nuL Er kan worden aangenomen dat aBe singuliere waarden die kleiner zijn dan ten bepaalde (Ideine) waarde 8 betrelddng hebben op een singulariteit, in welk geval ze exact 0 zouden zijn. Veelal wordt voor 8 de waarde eilAll genomen, waarin c een schatting van de fout is, een tweede mogelijkheid is het uiteenvallen in kleine en in grote waarden van de diagonaal van 1, wat ook een aanwijzing kan zijn voor een drempelwaarde 8. Bij berekening van de idiagnosevector kunnen deze singulariteiten worden verwijderd uit het stelsel vergelijkingen.

De singuliere waarden zijn nu als volgute sorteren;,

al

or > 8 ar+i 0

De numerieke rang van het stelsel, dat is de rang van het Stelsel waarin bijna-singulariteiten als exacte bijna-singulariteiten worden beschouwd, is dan gelijk aan r. De oploskng volgens het kleinste Icwackatencriterium wordt gevonden door minirnaliseren van:

III - II = U UrM.d -Uh1 II* =Ali UTM.V.y -131111 = ill I.y -

UTJIfl

Met d =

* De 2-norm is invariant onder een orthonormale projectie Kñe bijlage 1). Waarniet nader aangeduid worth de 2-norm bedoeld.,

** is een matrix, igeen somteken.

Uit de laatste term kan y worden berekend; II E.y - 1.P1 II inordt geminimaliseerd,met 11 E.y - II = 0 volgt:

Lx =1311

112 Min 1101(52 II Mml Mmn

[

/ ,0 I b yn M. V.y UTs

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 19

y, = (UT5.), / Gi voor i r en yi = 0 voor I > r

En d kan worden berekend volgens d =

Nu kan een pseudo-inverse M+ behorende.bij de matrix M worden opgesteld, dat is een

matrix die ha volgende verband legt::

d = M+1, volgend uit M. = en het kleinste kwadratencriteriuma

Samenstelling van M+:

Lx = UTs.

= X+UTs. , waarin E+ ten qxp-diagonaalmatrix met als diagonaalwaarden ifa-1 is, dus

de pseudo-inverse van E

V.y = V.E+UTs, waaruit blijkt dat M+=V.E+.UT

Nu geldt dat MM = I (qxq), als de matrix M niet singulier is. Ha is niet zo dat M.M+

(pxp).

In diverse computertalen en -omgevingen bestaan algoritmen voordesinguliere

waardenontbinding. Ook voor de personal computer is ha algoritme beschilcbaar, in her rekenprograrnma PC-Matlab, waarmee in dit rapport een aantal experimenten wordt gedaan. Dit algorime retourneert de matrices U, E en V bij een gegeven matrix M. Het oplossen dient de gebruiker zelf rte programmeren, maar dat is zeer eenvoudig uit te

voeren.

Het .SVD-algoritme worth gegeven in bijlage G. Het is een algotitme waarbij met behulp van Householder-transformaties en: Jacobi-rotaties in eendeels iteratief proces de

ontbinding worth benaderd.

4.5

KEUZE VAN DE OPLOSSINGSMETHODE

In voorgaande paragrafen zijn vier methoden gegeven voor oplossing van een iovertepaald stelsel vergelijkingen. Uit deze vier methoden wordt de beste methode

geselecteerd ter oplossing van de diagnosevergelijking. De voor-- en nadelen van de verschillende methoden zijn:

Normaalvergelijkingen met Choleski-clecompositie: voordeek

eenvoudige procedure nadelem

grote gevoeligheid.voor onnauwkeurigheden niet toepasbaar bij singulariteiten

=

= I

4 HET OPLOSSEN VAN DE DIAGNOSEVERGELIJKING Pagina 201

Orthogonalisatie; voordeek

-ontkoppeling van vergelijIdngen

nadelen:

-grote gevoeligheid voor onnauwkeurigheden

-niet toepasbaar biji singulariteiten

De OR-methode:

voordelen:,

-minder gevoelig voor verstoringen

-singulariteit zichtbaar op diagonaal van R-man-ix

nadeel:

.4niet toepasbaar bij1 singulariteiteit

De sin gutiere waardenonthindinz

voordelen:,

-signalering en behandeling van (Nina-) singulariteiten mogelijk -conditiegetal direct berekenbaar

-relatie tussen afhankelijke storingen iichtbaar -minder gevoelig voor verstoringen

nadeel:

-ditgebreid algoritme

Uit deze opsoinming blijkt dat de methode van de normaalvergelijlcingen en de

orthogonalisatie afvallen wegens een te rote gevoeligheid voor onnauwkeurigheden en dat de keuze tussen de QR-methode en de singuliere waardenontbincling in het voordeel van de laatste uitvalt omdat daamiee ook singuliere matrices zijh te behandelen. De keuze is daarom clan ook op de singuliere waardenontbinding gevallen, hoewel deze methode. een uitgebreid oplossingsalgoritme vereist. Dit algoritrne is well beschikbaar voor diverse computeromgevingem,

S AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN Pagina 21

5

AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN

5.1

DE RELATIE TUSSEN AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN

Ms de storingen-symptomenmatrix afhankelijk is, wat zich uit in den of meer singuliere waarden gelijk aan nul (dit aantal is gelijk aan het aantal singulariteiten), bestaat er een relatie tussen verschillende storingsvormen, wat er op neerkomt dat een combinatie van kolommen uit M afhankelijk is. De kolommen van M worden aangeduid met mj, zodat, als afhankelijkheid bestaat tussen bijvoorbeeld kolommen 1, 4 en 7 de volgende

vergelijldng kan worden opgesteld:

aimi + a4m4 + a7m7 = 0 (ai zijn hierin coefficienten) (5.1)

Zo zijn er evenveel combinaties te vinden als er singulariteiten zijn. In het geval van bijna-singulariteiten, wanneer singuliere waarden voorkomen die dicht bij 0 liggen, komt uit bovengenoemde som een wanrde die dicht bij 0 ligt.

Welke combinaties van vectoren (bijna) afhankelijk zijn is volgens dhr.Vuik (bijlage J.2) te bepalen door de relatie tussen de matrices U,V,M en I te beschouwen (zie paragraaf 4.4 voor de betekenis van deze matrices):

UT.M.V = E,

dus na voorvermenigvuldiging met U: U.UT.M.V = U. , en metU.UT = I:

M.V U.E, water uitgeschreven uitziet als: (bedenk dat p q)

1V11

Vlj

V 1 Vjj

Vql Vqj

Omdat = 0 in het geval van een singulariteit staat op de plaats van de laatste kolom van het product aan rechterzijde van de vergelijking (U.E) een kolom nullen. Dit betekent dat ook de laatste kolom van het product M.V aan linkerzijde van het `=`teken gelijk aan 0 moet zijn. De laatste kolom van V is gegeven door:

Vlq Vjq Vqq

,

Ull Uil Upl Uli Uii Upi Ulp Uip Upp.

al

0

00

000

000

0 aj 0 0 CYci

mil

Inn Mlq Mil M ij Mi q Mpl MRi

S AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN Pagina 22 MI I

_mu

Mlg mu Mij Miq Mpl 1 V lq Vjq Vqq

Direct valt in te zien dat viq de coefficienten a1 uit vergelijking (5.1) zijn, wat ook

betekent dat als de i-de storingsvector los staat van de betreffende afhankelijkheid, dus onafhankelijk is, dus de storingsvectoren met een coefficient ongelijk aan nul zijn onderling afhankelijk.

Ms er meerdere sing,ulariteiten bestaan, kunnen er evenzoveel relaties tussen storingen worden gevonden, analoog aan de hiervoor gegeven redenering. Daar iedere combinatie van storingen die nul oplevert voor den singulariteit staat vermindert het schrappen van een der betrokken storingen de matrix met een singulariteit, er dienen dus evenveel

storingen te worden geschrapt als er singulariteiten zijn. Het reduceren van singulariteiten wordt behandeld in paragraaaf 5.2.

In het geval van bijna-singulariteit is de singuliere waarde in de laatste kolom van matrixvergelijldng (5.1) ter rechterzijde bijna gelijk aan 0. Voor de linkerzijde van de vergelijking betekent dit twee dingen, namelijk dat de som der bijna afhankelijke vectoren bijna gelijk aan nul is en dat de coefficient van de onafhankelijke vectoren van nul kan verschillen, doch wel klein is, terwijI die bij volledige singulariteit exact gelijk aan nul zouden zijn.

De laatste kolom van V vale clan uiteen in grote en kleine waarden, zodat de kolommen van M corresponderend met een grote waarde in de laatste kolom(men) van V als behorend bij een singulariteit moeten worden beschouwd.

= V I g I1111 mu mpi M I j mu! rnPi +..+Vpg Mug Mig Mpg = Q ;) +..+vj mpq

5 AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN Pagina 23

5.2

BEHANDELING VAN AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN

In de vorige paragraaf is getoond hoe afhankelijkheden zijn te detecteren en welk verband tussen de gerelateerde storingsvormen bestaat. Voor het stellen van een diagnose met een singuliere storingen-symptomenmatrix bestaan drie mogelijkheden, die worden in deze paragraaf genoemd. Om inzicht daarin te lcrijgen worth eerst getoond wat singulariteit voor de oplossing betekent.

Als verband tussen de afhankelijke storingsvormen wordt genomen:

aimi + a4m4 = 0

Dit verband worth. beknopt weergegeven door het product van een matrix en een vector:

Mafh..a =

Math = [1_111 In4] (een matrix met 2 kolommen)

a = [al a411. (een kolomvector)

Er is een diagnosed* te stellen die de waargenomen symptomen zo goed mogelijk benadert. Dit betekent dat:

MA*

-42

s =

Bij deze vergelijlcing mogen we een willekeurig aantal malen een nulvector optellen, dus er kan gesteld worden dat

M.d* =Pa

Voor iedere X worth dus dezelfde verschilvector g gevonden, zodat de oplossing voor iedere aan het kleinste kwadratencriterium voldoet. Ads we een n-dimensionale ruimte beschouwen waarin de coordinaatassen de elementen van de diagnosevector voorstellen, dan vonnen alle gi*'s die aan het kleinste lcwadratencriterium voldoen daarin een

subruimte. Het aantal dimensies van die subruimte is even groot als het aantal afhankelijke storingen, in het geval van dit voorbeeld is dat dus een plat vlak.

Binnen het aldus aan te geven vlalc zal een keuze moeten worden gemaakt wat de meest waarschijnlijke diagnose is. Het vlak is met de vectoranalysemethode volledig te berekenen, zodat crop basis van additionele informatie moet worden gekozen.

Er zijn drie manieren om een diagnose te stellen met een afhankelijke storingen-symptomenmatrix.

5 AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN Pagina 24

Handhaven van de matrix

Niets doen met de matrix leidt tot een oplossing, bij gebruikmaking van de singuliere waardenontbinding, die het storingenpatroon zo goal mogelijk benadert. Bij singulariteit bestaat er echter een oneindig aantal combinaties dat het storingenpatroon even goed benadert. De gevonden oplossing is dus volledig willekeurig voor de afhankelijke

storingsvormen. Bij de aldus gevonden oplossing moet dus worden aangegeven in welke ruimte de storing kan liggen, volgens vergelijlcing 5.1

Schrappen van een storing

Een tweede mogelijkheid is het schrappen van den der afhankelijke storingen. Daartoe kan het beste de storingsvorm worden geschrapt die de grootste coefficient heeft in het verband 5.1, of de storingsvorm die het rninst voorkomt en een grote coefficient heeft, dam- het bij volledige singulariteit niet uitrnaakt welke worth verwijderd en bij bijna-singulariteit dan zeker een bij de bijna-singulariteit behorende storingsvorm worth geschrapt. Het schrappen van een storingsvorm betekent niet dat nu eenduidig een diagnose kin worden gesteld, er kan alleen een ruimte waarin de diagnose rich bevindt worden aangegeven, waarvoor het lineaire verband uit vergelijking 5.1 geldt, doordat alle afhankelijke storingsvorrnen nog steeds niet zijn te onderscheiden. Er kan dus geen diagnose worden gesteld voor aide in het volledige systeem afhankelijke storingen. Wel

betekent het niet gelijk aan nut zijn van een of meer van de afhankelijke storingen na het stellen van een `gereduceerde' diagnose dat een of meerdere storingen uit desbetreffende afhankelijke serie voorkomen.

Dit kan gedemonstreerd worden aan de hand van het eenvoudige voorbeeld van een systeem dat 2 storingen en 1 symptooin kent. Als de beide storingen het zelfde

symptoom vertonen zal dus 1 storing dienen te worden geschrapt, bijvoorbeeld storing 1. Het voorkomen van het symptoom hoeft niet te betekenen dat storing 2 optreedt, ma.ar een niet te bepalen combinatie van storing 1 en storing 2 volgens de relatie gegeven door vergelijlcing 5.1. Sterker nog, als geen symptoom optreedt kan toch een combinatie van storing 1 en 2 voorkomen.

Ook bij het schrappen van een storingsvorm zal bij de uiteindelijke diagnose de ruimte moeten worden aangegeven waarin de storing ligt.

Samenvoegen van storingsvormen

De derde mogelijkheid om singulariteit te behandelen is het samenvoegen van storingsvormen. Als er twee storingsvormen zijn die een (vrijwel) volledig

overeenkomend symptomenpatroon hebben is het mogelijk deze storingsvormen samen te voegen. In het bovengenoemde voorbeeld houdt dat in dat bij optreden van het

5 AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN Pagina 25

symptoom wordt geconcludeerd dat storing 1 of storing 2 voorkomt. Er kan dan geen onderscheid worden gemaakt tussen beide storingsvormen, maar in de meeste situaties Ian het optreden van een van de twee storingsvormen worden gesignaleerd. De kans bestaat wel dat bij het optreden van beide storingen in tegengestelde mate geen storing wordt gesignaleerd. Dan doyen de symptomen van beide storingen ellcaar uit. Dus ook bij deze behandelingsmethode voor singulariteiten moet de ruimte waarin de diagnose zich bevindt worden aangegeven.

Uit het voorgaande blijkt dat de drie gegeven methoden tot dezelfde oplossing leiden tints de ruimte waarin de oplossing ligt wordt aangegeven, er is dus geen voorkeur voor een van de methoden. Er blijkt al dat het oplossen van een singuliere matrix met geen der trues tot een volledig bevredigende oplossing leidt, een beter resultaat is haalbaar door het toevoegen van een sensor die onderscheidend vermogen heeft voor de te

onderscheiden storingsvormen.

Er is gelukkig nog den altematief om toch een diagnose in een singulier systeem te stellen, wat wel vereist dat minimal drie storingsvormen afhankelijk zijn. We

beschouwen de symptomenruimte van figuur 4.2. Afhankelijkheid van storingsvormen betekent in deze symptomenruimte dat de vectoren behorende bij de afhankelijke storingsvormen een lineaire combinatie vormen. De afhankelijke vectoren spannen een deelruimte op, als er x vectoren afhankelijk zijn is de dimensie van dew deelrunnte gelijk aan x-1. Bij afhankelijkheid van drie storingen is dew deelruimte dus een vlalc. In figuur 4.2 is de symptoorriruimte afgebeeld met cirie afhankelijke storingsvormen. Door de storingsvectoren is een plat vlak te leggen.

k van storingsvectoren

Figuur 4.2 De deelruimte van afhankelijke vectoren binnen de symptomenruimte. Alle vectoren liggen in het getekende vlak.

5 AFHANKELIJKE STORINGSVORMEN Pagina 26

Beschouwen we het symptoom s dan lijkt het waarschijnlijk dat s duidt op storing 3, hoewel het ook mogelijk is dat het wijst op een combinatie van storing 1 en 2. Onder de aanname dat s wijst op een enkelvoudige storing luidt de diagnose dan ook: storing 3. De meest logische weg om deze storingsvorrn te vinden is het zoeken naar de

storingsvector die de kleinste hock maakt met de symptoomvector. Als twee

storingsvectoren dezelfde richting hebben biedt clit geen soelaas, vandaar dat er rninimaal 3 vectoren nodig zijn waartussen het lineaire verband bestaat, zoals al eerder verrneld. Hierbij kan er nog rekening mee worden gehouden of een storingsvector al dan niet in

twee richtingen kan voorkomen, veel storingen kunnen namelijk niet negatief optreden. Natuurlijk moet voor het stellen van de diagnose op basis van de hock binnen de afhankelijke deelruimte niet de volleklige symptoomvector worden genomen, maar het deel van de symptomen dat wordt veroorzaakt door de afhankelijke storingen. Dat deel worth gevonden door een volledige diagnose te stellen, resulterende in een

cliagnosevector d* Hieruit worden alle afhankelijke elementen verrnenigvuldigd met de bijbehorende kolom uit de storingen-symptomenmatrix. Dus:

= /Midi* (voor alle afhankelijke storingsvormen)

De vector fan waarvoor de hock met lash minimaal is behoort nu bij de meest voor de hand liggende enkelvoudige storingsvorrn. Er moet echter voor warden opgepast dat meervoudige storingsvormen op deze wijze over het hoofd worden gezien.

De gevolgde redenatie waaruit blijkt dat de in het volledige systeem afhankelijke storingen niet altijd kunnen worden onderscheiden, of zelfs niet kunnen worden

gedetecteerd, werkt ook andersom. Er bestaat namelijk een mogelijkheid dat bij een niet-singulier systeem een storingsvorm buiten de gebruikte verzameling storingen bestaat die indien toegevoegd een singulariteit zou veroorzalcen. In praktische bewoordingen: er kan

een onbekende storing bestaan die hetzelfde symptomenpatroon ver000rzaalct als een combinatie van bekende storingen. Er is dan geen correcte diagnose it stellen voor alle met deze niet erkende storing samenhangende storingsvorrnen. Dergelijke singulariteiten zijn nooit te detecteren in een deelverzameling van storingsvormen, zodat het

noodzalcelijk wordt eerst een storingen-symptomenmatrix op te stellen waarin alle mogelijke storingsvormen worden betroklcen en deze matrix te controleren op afhankelijkheden. Dit is van groot belang bij het opzetten van een diagnosesysteem gebaseerd op de vectoranalysemethode.

6 SCHALEN Pagina 27

6

SCHALEN

Een methode om de oplossing te verbeteren is het schalen van het stelsel vergelijkingen. Er kunnen twee verschillende doelen beoogd worden:

-het verminderen van de gevoeligheid van de vergelijking voor verstoring van de storingen-symptomenmatrix en de symptoomvector (dit }muck in het verkleinen van het conditiegetal)

-het naar betrouwbaarheid inschalen van de individuele symptoomvergelijkingen.

6.1

UITVOERING VAN HET SCHALINGSPROCES

Schalen is het vermenigvuldigen van individuele vergelijkingen binnen een stelsel (een matrixvergelijking) met een bepaalde factor, of het vermenigvuldigen van onbekenden met een factor. De toepassing van schalen wordt in deze paragraaf gedemonstreerd aan de hand van een voorbeeld.

Stel we willen het volgende stelsel oplossen:

I 2

3a

1

-1 2 b -4

met als oplossing a = 2 en b = -1

Uitgeschreven zijn dit de twee vergelijkingen

2.a + 3.b = 1

-1.a + 2.b = -4

Nu gaan we een rij van de matrix schalen, dat wil zeggen dat de eerste vergelijking worth met een factor r1 verinenigvulthgd:

ri*(2.a + 3.b = 1), dit is gelijk aan 2.r1.a + 3.r1.b = ri.l.

Het stelsel vergelijkingen met deze geschaalde rij wordt nu:

I2r1

3r1 a 1.r1

-1 2 b -4

Dit stelsel heeft eveneens als oplossing a = 2 en b = -1 voor iedere ri # 0 Het schalen van een rij van de matrix leidt dus tot een nieuw rechterlid van de vergelijking.

6 SCHALEN Pagina 28

Op soortgelijke wijze zijn ook kolommen te schalen, door in plaats van a de nieuwe variabele a* = a/ki te nemen worden de twee vergelijkingen:

2.ki.a* + 3.b = 1

-1.ki.a* + 2.b = -4

Waardoor het stelsel worth: 1

[ 2.k1

3 a*. _1

-1.k1

Ook dit stelsel heeft de oplossing a = 2 en b = -1 voor k1 0, met als tussenoplossing

a*=2/ki en b=-1.

Hieruit blijkt dat met de kolommen van de matrix de vector van onbekenden worth beinvloed.

Het schalen van rijen en kolornmen is als volgt in matrices te vatten. Stel dat de rijen van de vergelijking met factoren r1 en r2, worden geschaald, dan is een schalingsmatrix voor de rijen op te stellen:

Fr1 0 I

R=

0 r2

Idem voor de kolommen:

lk1

0

K=

0 k2.1

wat direct inverteerbaar is tot:

1

k1 -1

0 1

K-1 =

0 k2-1

Het schalen is nu als de volgende matrixoperatie te beschouwen:

23

a 1 1 i

.K(KJ 1)

= R. -1 2 b -4 R.

I

2

I SCHALEN Pagina 29

Uitgeschreven staat hier:

Iri.ki.2

r1.k2.31

ki-l.a

ri.1

r2. k . - 1 r2.k2.2 k2- 1 .b _r2.-4

Schalen is eenvoudig tat te breiden naar meer dimensies, de R- en K-matrices blijven de diagonaalvorm behouden, waardoor invertering van K geen problemen oplevert.

In het algemeen kan worden gesteld dat rijschalen het rechterlid van de vergelijking beinvloedt en kolomschalen de vector van onbekenden.

De algemene vorm voor schalen van een stelsel vergelijlcingen A.x =12 is:

R.A.K.y = R. waarin = K-lx dus x = K.

6.2

INVLOED VAN SCHALEN OP DE OPLOSSING

Het oplossen van het stelsel M.d = s volgens het kleinste kwadratencriterium wil zeggen dat we zoeken naar de oplossing waarvoor geldt:

II M. - His minirnaal.

Oplossen van het geschaalde stelsel R.M.K.(K-1L1) = R. betekent dat II R.M.K.(K-1d) - Rd In minimaal worth.

Met K.K-1 = I wordt de te minimaliseren norm:

If R.M.c1- R. II

Dat hieruit een andere oplossing kan komen is in te zien door te bedenken dat iedere (symptoom)vergelijking met een factor ri me,eweegt in de uiteindelijke rninimalisatie van de norm. Hieruit volgt dat de verhouding van de factoren ri meespeelt in de uiteindelijke oplossing, het belang hiervan wordt in de volgende paragraaf behandeld. Tevens valt op te merken dat het schalen van de kolommen geen invloed heeft op de oplossing.

Let echter wel op, hier wordt nog niets gezegd over eventuele invloed van rij- dan wel kolomschaling op het conditiegetal.

6.3

WEGEN VAN DE SYMPTOOMVERGELIJKINGEN

In de vorige paragraaf bleek al dat het schalen van de rijen invloed heeft op de oplossing van het minimaliseringsprobleem. In plaats van II M. - 5 II wordt II R.M. - R. II

geminimaliseerd.

6 SCHALEN Pagina 30

R.M.d en R. zijn twee vectoren (waarvan de lengte gelijk is aan het aantal symptomen), het minimaliseren van de verschilnorm betekent dus dat een worth gezocht zodanig dat de de beide vectoren elkaar zo dicht mogelijk naderen.

Het i-de element pi van de verschilvector 2 is:

Pi = - s, dit is tevens de vergelijking behorende bij het i-de symptoom.

En van de geschaalde verschilvector: Pi,gesch ri(Mild1++Mindn - Si)

De 2-norm van de geschaalde verschilvector is: II agehil = "\/(I Pi.gesch2) = "V(/ (ri-Pi)2)

Hieruit blijkt dat de vergelijking behorende bij het i-de symptoom gewogen met een factor ri meetelt in de oplossing, daardoor biedt rijschalen de mogelijkheid een weegfactor aan iedere sensorwaarde mee te geven.

Bij iedere symptoomwaarde behoort een bepaald spreidingsgebied, veelal

gekaralcteriseerd door de standaardafwijking a. De beste oplossing voor d worth bereikt als ieder symptoom een gelijke spreiding heeft, zodat het voor de hand ligt de

weegfactoren r zodanig te kiezen dat ieder gewogen symptoom een spreiding a=1 heef:,

waaruit volgt dat ri = liar, waardoor de rijschalingsmatrix R vastligt.

Het rninimaliseren van de spreiding in de diagnose op bovenstaande wijze werd door dhr.Vuik onderschreven (zie bijlage J.2).

6.4

VERBETEREN VAN DE CONDITIE VAN DE MATRIX

Het conclitiegetal is een maat voor de versterking van een verstoring in de

symptoomvector en in de storingen-symptomenmatrix naar de diagnosevector. In paragraaf 4.1 werd voor de verstoring van de diagnose bij oplossing met behulp van de norrnaalvergelijkingen de volgende ongelijkheid gegeven:

II 8x II 2 x(A) < E ilxii cos ie waarin:

[

1 II 8A II II 8b II C = MaX II A H ' II b II

Zie paragraaf 4.1 voor de betekenis van de symbolen. + tan(0) K2(A)

_i+

_R2(e)

6 SCHALEN Pagina 31

Bij andere oplossingsmethoden is de verstoring kleiner, maar de afhankelijkheid van de verstoring van het conditiegetal is altijd aanwezig.

Daarom moet voor een minimale verstoring van de onbekenden het conditiegetal K zo klein mogelijk zijn, het is dus interessant de mogelijkheid van beilivloeding van het conditiegetal door schalen te beschouwen.

In paragraaf 6.2 bleek dat het schalen van de kolommen geen en het schalen van de rijen wel invloed had op de uitkomst van het minirnaliseringsprobleem. Het is clan ook

duidelijk dat eventuele verbetering van de matrixconditie door kolornschaling en niet door rijschaling zal moeten geschieden. We zoeken namelijk geen andere oplossing maar een robuustere manier om tot dezelfde oplossing te komen.

Uit de literatuur en een gesprek met de heren Segal en Vuik (bijlage J.1) blijkt dat er geen methoden zijn om het minimale conditiegetal te bereiken, wel kan een verbetering worden bereikt door zoveel mogelijk de componenten van een matrix op gelijke grootte te

brengen. Dit is geen garantie voor een verbetering van de conditie, er bestaan gevallen waarin zelfs verslechtering optreedt door schaling.

Met behulp van kolomschalen is het mogelijk om de grootste component van iedere kolom op 1 te zetten. De invloed hiervan op het conditiegetal van matrix uit bijlage L.1 is hieronder gegeven:

Conditiegetal voor kolomschalen: 13,52

Conditiegetal na kolomschalen: 13,12

De mogelijke verbetering van de conditie zal groter zijn naarmate de waarden van de ongeschaalde matrix verder uiteen liggen qua ordegrootte. Het is altijd zinvol om kolomschaling toe te passen, daar het veel kan baten en slechts marginaal kan schaden. Dit werd door de heer Vuik beaamd (zie bijlage J.2).

1

7 .EEN BETERE DIAGNOSE Pagitia 32

7

LEN BETERE DIAGNOSE,

'7.1

VERBETEREN VAN DE OPLOSSING DOOR NAVERFIJNING

Berekening van een oplossing van ten vergelijlcing met een computer geschiedt altijd in

ten eindig aantal cijfers, daardoor wordtnooit de exacte oplossing berekend. Het eerder ter sprake gekomen conditiegetal, dat een verband geeft tussen de lout in de in- en uitvoerwaarden van het probleem, geeft ook ten verband tussen de lout door afronding van invoerwaarden, dus de symptomenvector en de matrix M, en de lout in het resultaat.

Ms het product van de maximale lout door afronding in de computer u en het

tonditiegetal x groot is ten opzichte van I (bijvoorbeeld groteridan 0,I) is de mogelijke verstoring van deoplossing door afronding aanzienlijk. Een techniek orndezeverstoring

te verkleinen is naverfijning, wat als volgt plaatsvindt.

Stel, we lossen het stel Ax = k op met ten willekeurig algoritme. Dat levert een benadering van x, namelijk x* op. Het verschil r = b - A.x* geeft de lout door

afronding. De gezochte variabele is echter x = x* + Si., we zoeken dus naarox. As = A (Lc* + 5x) = J2, dus A5x = - Ax* = r , waaruit 8A kan worden opgelost De

laatste berekening dient w nauwkeurig mogelijk te geschieden, bijvoorbeeld metde dubbele precisiemogelijkheid die door veel computersystemen geboden worth. Deze

naverfijningsprocedure kan natuurlijk worden herhaald tot het gewenste resultant worth.

bereikt, te beoordelen aan de relatieve grootte van II 5x IL ten opzichte van

till.

Naverfijrfing is zinvol als het product van het conditiegetal en de afrondfout x x u groter is dan bijvoorbeeld de eerder genoemde acceptatiegrens voor de onnauwkeurigheid(11

(dit product is de maximale relatieve beinvloeding van de oplossing). Het is dus afhankelijk van de conditie van de systeemmatrix en de afrondingsfout of we

naverfijning dienen toe te passen. Daar is gebleken dat het conditiegetal van M bij de methode van de nonnaalvergelijkingen kwadratisch de fouten beinvloedt in tegenstelling tot de andere twee methoden, waarbij het conditiegetalllineair met de fout in de diagnose isamenhangt,lijkt vooral deze methode voor naverfijning im aanmerking, te komen.,

Pet toepassing zal op basis van het product xxutcle noodzaak van naverfijnen beoordeeld dienen te worden. Natuurlijk moeten we ons oak bedenken dat delout door

onnauwkeurigheden in de invoerwaarden meestal veel grater is dan de lout door afronding waardoor naverfijning niet meer zinvol is.

EEN BETERE DIAGNOSE Pagina 33

7 /

SPLITSEN VAN DE STORINGEN-SYMPTOMENMATRIX

Systemen met een groot aantal storingen die in groepen zijn in te delen die onderling weinig verbanden hebben zouden in aanmerking kunnen komen voor het splitsen van de matrix in kleinere matrices. De mogelijkheid daartoe wordt in deze paragraaf beschouwd.

Voor scheiding van de matrix kunnen twee eisen als uitgangspunt worden genomen: 1 De diagnose mag niet verslechteren

2 Het aantal singulariteiten van de twee matrices mag samen niet groter zijn dan dat van de oorspronkelijke matrix.

Voordelen van het splitsen van de matrix in deelmatrices zijn dat de diagnose overzichtelijker wordt en dat als de optredende symptomen niet tot een individuele

storing zijn te herleiden wel een groep van storingen kan warden aangewezen. Daarnaast is het gevoelsmatig juist g-roepen van storingen die op totaal verschillende subsystemen invloed hebben en die onderling weinig interactie vertonen te scheiden. Het is ook mogelijk om op deze wijze goepen van storingen met andere technieken te detecteren. Om scheiding te kunnen toepassen moet er een set storingen zijn waarbij een verzameling symptomen bestaat die goot genoeg is om een diagnose te kunnen stellen en die niet wordt beinvloed door storingen buiten de geselecteerde deelverzameling, tenzij de grootte van de beinvloedende storingen bekend is. Bij het zoeken naar de eerste deelverzameling

is echter nog van geen enkele storing de grootte bekend. De tweede eis is dat de som van het aantal singulariteiten van de deelmatrices niet voter is dan het aantal singulariteiten van de hoofdmatrix, dat betekent dat de som van de rangen van de matrices gelijk moet

blijven, dat wil zeggen dat het gezamenlijke aantal singulariteiten niet mag toenemen. Om deze eisen te demonstreren wordt de matrix opgedeeld in 4 deelmatrices:

storing

12 b4

[11 IM

1[1

[a

rvi 1M 2

211 22

In de storingen-symptomenmatrix betekenen deze eisen het volgende:

De matrix M12 is een nulmatrix, dat betekent dat storingen c_12 geen invloed hebben op

symptomen Dan kan de submatrix Mil worden afgesplitst als het totale aantal sin gulariteiten niet toeneemt, wat niet hoeft te betekenen dat de matrix Mil regulier moet zijn. Als de diagnose voor storingen di is berekend kan de invloed van die storingen op symptomen worden bepaald, waarna de diagnose voor storingen c12 kan worden

a 7

7 EEN BETERE DIAGNOSE Pagina

vastgesteld. Als in blok M11 een storing onbepaald blijft door singulariteit kan die in blol M22 nogmaals worden berekend. Het niet laten toenemen van het aantal singulariteiten door splitsing zal in het algemeen betekenen dat submatrix M11 vierkant of een bijna vierkante staande rechthoek is.

Het oplossen kan worden samengevat:

Als M12 = 0:

M1 =

M22g1.2 = 5.2 M21.C11

Een controlemogelijkheid voor het verbeteren van de diagnose is de verbetering van het conclitiegetal voor beide submatrices ten opzichte van het conditiegetal van de

hoofdmatrix. Er moet bedacht worden dat bij oplossing van de tweede submatrix een grotere fout wordt gemaakt doordat de fout bij oplossing van de eerste submatrix zich hier nogmaals manifesteen.

Het is door deze splitsing look mogelijk een deel van de storingen met andere technieken te detecteren, die voor sommige storingsvormen een grotere nauwkeurigheid hebben.

7.3

ITERATIEVE DIAGNOSTISERING

De vectoranalysemethode geeft een schatting voor de storing van het systeem door het rnaken van een lineaire benadering, wat kan resulteren in een van de storing afwijkende diagnose. Veelal zijn van het te bewaken systeem simulatiemodellen beschikbaar die symptomen behorende bij ingestelde storingen kunnen berekenen. Als op die manier storingen kunnen worden gesimuleerd in een model is de diagnose worden te verifieren door vergelijlcing van het gemeten syniptomenpatroon met het bij de berekende diagnose behorende gesimuleerde symptomenpatroon, aannemende dat het betreffende

simulatiemodel een betere representatie geeft van het systeem dan de lineaire

vectoranalysemethode. Practische toepassing hiervan vereist we!' een simulatiemodel dat een acceptabele simulatiesnelheid heeft.

Controle van de diagnose op een dergelijke wijze biedt de mogelijkheid iteratief tot een kwalitatief betere diagnose te komen wat als volgt kan worden uitgevoerd.

Uitgaande van een gemeten set symptomen wordt een diagnose gesteld, the worth gecontroleerd met de simulator, waama met de vectoranalyse een diagnose voor her

verschil van de gemeten en de gesimuleerde storing wordt gesteld.

Dit verschil wordt bij de eerder berekende diagnose opgeteld waarna het volledige proces Lan worden herhaald tot aan een criterium voor de gewenste nauwkeurigheid is voldaan.

In schematische vorm net clit proces er als volgt uit:

7 EEN BETERE DIAGNOSE, Vagina 35

= symptoomvector d = diagnosevector

= schatting van de symptoomvector schatting van de diagnosevector A = verandering van een variabele

VA(a) = resultaat van diagnose met vectoranalysemethode SM(d ) = simulatieresultnat van model met storing

u = criterium voor beeindiging van de iteratie

( 0 <u « 1)

Invoergegevens:

= V A()

herhaal tot II Ad II <u II d II

= SM(d) = s = VA(A,i)

d=d+ Ad,

einde diagnose 100% d2 _{gesimuleerd verband} lineair verband evenwijdig symptoom

Figuur 7.3.1. Iteratieve diagnose voor een systeem met 1 storing en 1 symptoom. Hoe deze iteratie plaatsvindt is in figuur 7.3.1 weergegeven voor een systeem met den

storing en een symptoom. Het gesimuleerde verband, dat willekeurig lain zijn, worth door de vectoranalysemethode benaderd door een rechte lijn. Het punt dat de twee lijnen gemeen hebben is het punt behorende bij 100% storing, waarbij de matrix is opgesteld. Ads nu een waarneming siwordt gedaan is de daarbij door de vectoranalyse gestelde diagnose di. Het simulatieprogramma berekent bij een diagnose d1 een

symptoomwaarde s2, zodat een verschil Ss worth gevonden. De vectoranalyse berekent

S2 SI

-bij deze 5s een 8d, die -bij de eerder berelcende diagnose di 'client te worden opgeteld: Zoals in de figuur blijkt is deze tweede benadering d2 veel beter dan de eerste, di. Het hien geschetste geval gaat op voor het niarlineair zijn van het verband tussen een enkele storing en ten enkel symptoom..

Als de symptomen van meerdere storingen niet sommeerbaar zijn resulteert dat in het niet imeer aansluiten van de beide lijnen in het punt waar de storing 100% is. De iteratie blijft clan ,opgaan, zoals uitfiguur 7.3.2 blijkt.

gesimuleerd verband _asigireetesevenwijclig diagnose

-al-wr

IA

51 symptoom

Figuur 7.3.2 Iteratieve diagnose bij een systeem met niet-sommeerbare storingspatronen,,voor 1 storing en 1 symptoom.,

Voor meerdere dimensies gaat deze iteratie niet exact op, omdat niet altijd eent,Ed 'can

worden gevonden die Ss oplevert (wel een benadering volgens de kleinste

lcwadratenmethode) maar doordat Ss wordt benaderd convergeert de iteratie in de meeste. gevallen wel naar de systeemtoestand volgens het simulatiemodel. Alle fouten in de diagnose ten gevolge van het niet lineair zijn van de storingspatronen kunnen op deze ,wijze door iteratie verldeind worden. Dit geldt voor het niet-lineair zijn van de relatie

russet' een enkele storing en een enkeli symptoom en het niet-sonuneerbaar zijn van symptomenspatronen.

De toepasbaarheid van de geschetste iteratiemethode hangt af van de beschikbaarheid van snelle simulatiemodellen en het aantal stappen dat nodig is om eendiagnose met een bepaalde nauwkeurigheid te stellen. Hierbij dient te worden aangemerkt dat ook slechts een iteratiestap de diagnose al zal verbeteren ten opzichte van de vectoranalyse, en waarschijnlijk zelfs in aanzienlijke mate.

1

7 EEN BETERE DIAGNOSE Pagina 36'

100%

di

lineair verband

7 EEN BETERE DIAGNOSE Pagina 37

Met duidelijk is of een dergelijke iteratie convergeert naar de gezochte diagnose, de mogelijkheid dat de `rest'diagnose met de vectoranalyse niet correct is is Met denkbeeldig.