Dziaªania na zbiorach

Dziaªania na zbiorach

Sposoby okre±lania zbiorów

1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T :

{f (t); t ∈ T }.

2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj¡cych warunek ϕ(x):

{x ∈ X : ϕ(x)}.

3) Zbiór sko«czony mo»emy okre±li¢ przez wypisanie jego ele- mentów, np.

{n ∈ N : n | 6} = {1, 2, 3, 6}.

• Zbiór liczb parzystych mo»emy okre±li¢ na dwa sposoby:

{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.

• Prost¡ o równaniu y = ax + b mo»emy okre±li¢ jako zbiór punktów o wspóªrz¦dnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:

{(x, ax + b); x ∈ R}

lub jako zbiór tych punktów o wspóªrz¦dnych (x, y), które speªniaj¡ warunek y = ax + b:

{(x, y) ∈ R² : y = ax + b}.

Wa»ny przykªad zbiorów stanowi¡ przedziaªy osi liczbowej.

(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b}, [a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b}, (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.

Rozwa»my dowolne dwa zbiory A i B.

Suma A ∪ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ do zbioru A lub do zbioru B:

(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).

Cz¦±¢ wspólna (przekrój) A ∩ B skªada si¦ z wszystkich elemen- tów, które nale»¡ jednocze±nie do zbioru A i do zbioru B:

(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).

Ró»nica A \ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡

do zbioru A, ale nie nale»¡ do zbioru B:

(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).

Oczywi±cie (x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).

Ró»nica symetryczna A ÷ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ do zbioru A, a nie nale»¡ do B, oraz tych, które nale»¡ do B, a nie nale»¡ do A:

(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).

Zauwa»my, »e A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Przykªady:

[0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3), [0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2), [0, 2) \ [1, 3) = [0, 1), [0, 2) ∪ {2} = [0, 2], (−1, +∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),

[−1, 1] \ {−1, 1} = (−1, 1),

[−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1].

Inny przykªad:

{n ∈ N1 : n | 12} ∩ {n ∈ N1 : n | 18} = {n ∈ N1 : n | 6}.

Wªasno±ci dziaªa« na zbiorach

Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci:

1) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), 2) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), 3) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C), 4) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),

5) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,

6) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C), 7) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),

8) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Takich równo±ci mo»na dowodzi¢ dwiema metodami  rachunku zda« (bardziej formalna) i diagramów Venne'a (bardziej obrazo- wa).

Przykªad zastosowania diagramów Venne'a.

Zadanie. Zaªó»my, »e prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia:

(1) w±ród ludzi posiadaj¡cych telewizory s¡ tacy, którzy nie s¡

malarzami,

(2) ludzie, którzy codziennie pªywaj¡ w basenie, a nie s¡ mala- rzami, nie maj¡ telewizorów.

Czy wynika st¡d, »e prawdziwe jest nast¦puj¡ce stwierdzenie:

(3) nie wszyscy posiadacze telewizorów pªywaj¡ codziennie w basenie?

Inkluzja zbiorów

Mówimy, »e zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A ⊂ B, je±li wszystkie elementy zbioru A nale»¡ do zbioru B, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie

(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).

Przykªady:

{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1], N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Wªasno±ci:

1) Je»eli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.

2) Je»eli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.

3) Je»eli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C.

4) Je»eli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.

Zadanie. Wyka», »e dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz¡

nast¦puj¡ce równowa»no±ci:

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.

Zbiór pusty to zbiór posiadaj¡cy 0 elementów, oznaczamy go symbolem ∅.

Zbiór pusty jest zawarty w ka»dym zbiorze:

∅ ⊂ A.

Jest tylko jeden zbiór pusty:

(∅1 ⊂ ∅2) ∧ (∅2 ⊂ ∅1) ⇒ (∅1 = ∅2).

Algebra podzbiorów danego zbioru

Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X oznaczamy symbolem 2^X, na przykªad:

je±li X = {a, b}, to 2^X = {∅, {a}, {b}, {a, b}}, je±li X = {1, 2, 3}, to

2^X = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Twierdzenie. Je±li zbiór X ma n elementów, to zbiór 2^X ma 2ⁿ elementów.

Je±li mamy ustalony zbiór X i rozwa»amy tylko jego podzbiory,

Dopeªnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A⁰ = X \ A. Dla ka»dego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie

x ∈ A⁰ ⇔∼ (x ∈ A).

Zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci:

A ∩ A⁰ = ∅, A ∪ A⁰ = X, (A⁰)⁰ = A,

∅⁰ = X, X⁰ = ∅.

Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:

(A ∪ B)⁰ = A⁰ ∩ B⁰, (A ∩ B)⁰ = A⁰ ∪ B⁰.

Podobne zale»no±ci zachodz¡ dla wi¦kszej liczby zbiorów, na przykªad:

(A ∪ B ∪ C)⁰ = A⁰ ∩ B⁰ ∩ C⁰,

(A ∩ B ∩ C ∩ D)⁰ = A⁰ ∪ B⁰ ∪ C⁰ ∪ D⁰.

Iloczyn kartezja«ski zbiorów

Rozwa»my dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a ∈ A i b ∈ B mo»emy utworzy¢ par¦ (a, b). Zbiór wszystkich takich par oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezja«skim zbiorów A i B:

A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}, przy czym

(a, b) = (a⁰, b⁰) ⇔ (a = a⁰) ∧ (b = b⁰).

Uwaga. Je±li zbiory A i B s¡ sko«czone i zbiór A ma m ele- mentów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n elementów.

Kwadratem kartezja«skim zbioru A nazywamy zbiór A² = A × A.

Przykªad. R² = R×R  pªaszczyzna (z ukªadem wspóªrz¦dnych), [0, 3) × (1, 2] ⊂ R²,

[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}.

Analogicznie okre±lamy iloczyn kartezja«ski wi¦kszej liczby zbio- rów, na przykªad

A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}, przy czym

(a, b, c) = (a⁰, b⁰, c⁰) ⇔ (a = a⁰) ∧ (b = b⁰) ∧ (c = c⁰).

Zbiór

Aⁿ = A × A × . . . × A

| {z } n

=

= {(a₁, a₂, . . . , a_n); a₁, a₂, . . . , a_n ∈ A}

nazywamy n-t¡ pot¦g¡ kartezja«sk¡ zbioru A, na przykªad R³ to przestrze« trójwymiarowa (z ukªadem wspóªrz¦dnych) i ogólnie Rⁿ to przestrze« n-wymiarowa.

Dziaªania uogólnione na zbiorach

Je±li T jest zbiorem i dla ka»dego t ∈ T jest okre±lony pewien zbiór At, to mówimy, »e jest okre±lona rodzina zbiorów

{A_t, t ∈ T }.

Przykªady:

{[t, +∞), t ∈ R},

{(−t, t), t > 1}={(−t, t), t ∈ (1, +∞)}, {{0, 1, . . . , n}, n ∈ N},

{{0, n}, n = 1, 2, 3}={{0, n}, n ∈ {1, 2, 3}}.

Suma ^[

t∈T

A_t zbiorów tej rodziny skªada si¦ z wszystkich elemen- tów, które nale»¡ do co najmniej jednego z tych zbiorów:

x ∈ ^[

t∈T

A_t ⇔ ∃_t∈Tx ∈ A_t.

Przypadek szczególny:

n [

k=1

A_k = A₁ ∪ A₂ ∪ . . . ∪ A_n

x ∈

n [

k=1

A_k ⇔ x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ . . . ∨ x ∈ A_n.

Przykªad.

x ∈ ^[

t∈R

[t, +∞) ⇔ ∃_t∈Rx ∈ [t, +∞) ⇔ ∃_t∈Rx > t

Otrzymane zdanie jest prawdziwe dla ka»dego x ∈ R, wi¦c

[

t∈R

[t, +∞) = R.

Podobnie

[

t∈(1,+∞)

(−t, t) = R oraz

[

n∈N

{0, 1, . . . , n} = N.

Cz¦±¢ wspólna (przekrój) ^\

t∈T

A_t zbiorów tej rodziny skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ do ka»dego z tych zbiorów:

x ∈ ^\

t∈T

A_t ⇔ ∀_t∈Tx ∈ A_t.

Przypadek szczególny:

n

\

k=1

A_k = A₁ ∩ A₂ ∩ . . . ∩ A_n

x ∈

n

\

k=1

A_k ⇔ x ∈ A₁ ∧ x ∈ A₂ ∧ . . . ∧ x ∈ A_n.

Przykªady.

x ∈ ^\

t∈R

[t, +∞) ⇔ ∀_t∈Rx ∈ [t, +∞) ⇔ ∀_t∈Rx > t Otrzymane zdanie jest faªszywe dla ka»dego x ∈ R, wi¦c

\

t∈R

[t, +∞) = ∅.

x ∈ ^\

t∈(1,+∞)

(−t, t) ⇔ ∀_t∈(1,+∞)x ∈ (−t, t) ⇔ ∀_t>1 − t < x < t

Otrzymane zdanie jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy x ∈ [−1, 1], wi¦c

\

t∈(1,+∞)

(−t, t) = [−1, 1].

Zbiór sªów nad alfabetem

• Alfabet  dowolny zbiór A (zazwyczaj zakªadamy, »e jest sko«czony).

• Litery  elementy zbioru A.

• Sªowa nad alfabetem A  ci¡gi liter.

• Dªugo±¢ sªowa  liczba liter.

Je±li elementy zbioru A oznaczamy pojedynczymi symbolami, to litery sªowa piszemy (bez odst¦pów i przecinków) jedna za drug¡.

Przykªady:

• A = {a, b, c},

sªowa jednoliterowe (dªugo±ci 1): a, b, c,

sªowa dwuliterowe (dªugo±ci 2): aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc,

sªowa trzyliterowe (dªugo±ci 3): aaa, aab, . . .

• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sªowami s¡ na przykªad:

000  dªugo±ci 3, 1234  dªugo±ci 4, 5  dªugo±ci 1,

100 000 000  dªugo±ci 9, 007  dªugo±ci 3.

Je±li sªowo w ma dªugo±¢ m, a sªowo v ma dªugo±¢ n, to mo»emy utworzy¢ sªowo wv, które ma dªugo±¢ m + n.

Przyjmujemy, »e jest jedno sªowo puste ε zªo»one z 0 liter. Dla dowolnego sªowa w mamy εw = wε = w.

Bardziej formalnie, zbiorem sªów dªugo±ci n nad alfabetem A na- zywamy zbiór Aⁿ. Ponadto przyjmujemy A⁰ = {ε}. Zbiór wszyst- kich sªów oznaczamy symbolem A^∗.

A^∗ = A⁰ ∪ A¹ ∪ A² ∪ . . . =

∞ [

n=0

Aⁿ.