25. Strategie poruszania się dwunożnych maszyn kroczących - metoda ZMP
Michał Majewski
Październik 2018
0.1 Wprowadzenie
Badania nad dwunożnymi robotami trwają od dziesięcioleci. Podczas sterowania robotem dwunożnym trzeba uwzględnić kilka charakterystycznych właściwości:
1) możliwość obrotu robota względem krawędzi stopy, 2) powtarzalność chodu (symetryczność),
3) rozdzielenie faz podparcia na dwóch stopach, kiedy tworzy się zamknięty łańcuch kinematyczny oraz fazę podparcia na jednej stopie, kiedy łańcuch kinematyczny jest otwarty.
Istnieje wiele możliwości podejścia do zagadnienia sterowania robota dwunoż- nego. Jako przykłady niech posłużą dwie podstawowe: metoda ZMP (Zero- Moment Point) oraz GCoM (Ground projection of the Center of Mass). Metoda ZMP zostanie opisane w dalszej części.
GCoM jest rzutem środka ciężkości robota na podłoże. Jest czynnikiem determi- nującym stabilność postawy wszystkich robotów kroczących. Jeżeli punkt znaj- duje się w obrębie wieloboku wsparcia, statyczne ułożenie robota jest stabilne, w przeciwnym wypadku robot się przewróci.
0.2 Biped - Dwunożna maszyna krocząca
0.2.1 Model ogólny
Rozpatrywany robot składa się tułowia do którego zamocowane są dwie iden- tyczne nogi. Każda z nóg składa cię z 3 członów (ostatni zwany stopą). Człony połączone są przegubami obrotowymi o jednym stopniu swobody. Wszystkie przeguby robota są kontrolowane, oprócz styku stopy i podłoża, które mogą być rozpatrywane jako pasywny stopień swobody.
Model podczas fazy podparcia na jednej stopie ma postać:
τ = M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) + G(Q) (1) gdzie:
Q ∈ R6 – wektor położeń kątowych w poszczególnych przegubach, τ ∈ R6 – wektor momentów napędowych w przegubach,
M(Q) ∈ R6×6 – macierz bezwładności robota,
V (Q, ˙Q) – wektor wyrazów zawierających składowe momentu zależne od sił odśrodkowych i Coriolisa.
G(Q) ∈ R6 – wektor wyrazów zawierających składowe momentu zależne od sił grawitacji
Robot posiada wektorową zmienną uogólnioną: Q = [q1, q2, q3, q4, q5, q6]T. Okre- śla ona kąty pomiędzy poszczególnymi członami robota podczas fazy podparcia na jednej stopie. Momenty napędowe działające w przegubach są zebrane w
Rysunek 1: Model robota dwunożnego ze zmiennymi uogólnionymi [3]
0.2.2 Asimo
Asimo został przytoczony jako przykład robota dwunożnego, który wykorzy- stuje metodę ZMP do utrzymania równowagi dynamicznej.
Rysunek 2: Robot humanoidalny Asimo [2]
Opis
Jest dziełem japońskich inżynierów z Honda Motor Company. Został stworzony w celu badań nad robotyką i mobilnością człowieka. Honda planuje stworzyć ro- bota, który będzie pomagał ludziom w codziennym życiu. Nazwa Asimo pocho- dzi od angielskiego zdania: Advanced Step in Innovative MObility. Najnowszy model jest już 5 generacją i została zaprezentowana w 2011 roku. Asimo jest zdolny do biegania, chodzenia po nierównych powierzchniach, wchodzenia po schodach, skakanie na jednej/dwóch nogach.
Specyfikacja
Tabela 1. Specyfikacja robota Asimo
Wysokość 130 cm
Waga 48 kg
Prędkość biegu 9 kmh Prędkość chodu 2,7 kmh
Tabela 2. Stopnie swobody robota Asimo
Głowa przegub szyjny 3
Ramiona przegub barkowy 3 × 2 ramiona przegub łokciowy 1 × 2 ramiona przegub nadgarstka 3 × 2 ramiona
Dłonie 4 palce 13 × 2 ręce
Biodra 2
Nogi krocze 3 × 2 nogi
przegub kolana 1 × 2 nogi przegub kostki 2 × 2 nogi
Łącznie 57
0.3 Metoda ”Zero moment point”
0.3.1 Wprowadzenie
Zakładamy że cała stopa robota ma kontakt z podłożem, nie występuje poślizg między stopą a podłożem. Chód robota jest w głównej mierze powtarzalną fazą podparcia jedną stopą. Pod koniec tej fazy występuje zderzenie, podczas którego druga stopa styka się z podłożem. Następnie nogi zamieniają się rolami, aby wykonać następny krok.
ZMP jest punktem w którym siła reakcji podłoża na stopę robota jest w stanie skompensować horyzontalne momenty sił działające na robota oraz te wynika- jące z jego dynamiki. Pozwala to na utrzymanie równowagi dynamicznej.
0.3.2 Uproszczona zasada wyznaczania ZMP
Upraszczamy cały mechanizm ponad kostką i zastępujemy go siłą FA i mo- mentem siły MA działającymi w punkcie A, reprezentującym przegub kostki.
Ciężar stopy jest siłą działającą w jej środku masy, punkt G. Reakcja podłoża na stopę występuje w punkcie P , a jest nią siła R oraz moment siły prostopadły do podłoża MZ.
Rysunek 3: Siły działające na stopę robota [5]
Horyzontalne składowe siły R (RX i RY) wynikają z tarcia stopy o podłoże.
Będą one kompensować horyzontalne składowe siły FAX i FAY. Składowa RZ
odpowiadająca reakcji podłoża na nacisk stopy będzie kompensować składową FAZ oraz ciężar stopy. Ponieważ stopa jest oparta o podłoże oraz się nie prze- suwa (brak poślizgu), równanie sił ma postać:
R + FA+ msg = 0 (2)
Składową momentu siły MAZ i składową działającą w osi Z momentu wynika- jącego z działania siły FAbędzie kompensować moment siły MZ, który wynika z tarcia. Składowe MAX i MAY oraz składowe działającą w osi X i Y momentu wynikającego z działania siły FAbędzie kompensować moment siły wynikający z siły R. Ponieważ robot ma się nie przewracać wypadkowa wszystkich mo- mentów sił działających musi się równać 0, a więc równanie momentów sił jest przedstawione wzorem:
−−→OP × R +−−→
OG × msg + MA+ MZ+−−→
OA × FA= 0 (3)
Rysunek 4: Położenie punktu P w płaszczyźnie Y -Z[5]
Wiedząc że punkt P znajduje się na powierzchni, z którą związany jest układ współrzędnych otrzymujemy:
OPYRZ
−OPXRZ OPXRY − OPYRX
+
OGYmsg
−OGXmsg 0
+
MAX MAY MAZ
+
+
0 0 MZ
+
OAYFAZ− OAZFAY
OAZFAX− OAXFAZ
OAXFAY − OAYFAX
= 0 (4)
W płaszczyźnie horyzontalnej otrzymujemy równania:
OPYRZ+ OGYmsg + MAX+ OAYFAZ− OAZFAY = 0 (5)
−OPXRZ+ OGXmsg + MAY + OAZFAX− OAXFAZ = 0 (6) Dzięki tym dwóm równaniom jesteśmy w stanie wyznaczyć współrzędne punku ZMP, który zapewni stabilność dla dynamiki mechanizmu wieloczłonowego. Nie- stety nie daje ono odpowiedzi czy mechanizm jest stabilny. Aby znaleźć odpo- wiedź na to pytanie trzeba ustalić czy dany punkt ZMP znajduje się wewnątrz wieloboku wsparcia, który w naszym przypadku jest spodem stopy. Jeżeli ZMP znajduje się wewnątrz wieloboku stopy to mechanizm jest w równowadze dy- namicznej. Jeżeli natomiast wyznaczony punkt jest poza nim, oznacza to że w tym punkcie nie będzie istniała siła reakcji R, a zatem ZMP nie istnieje. W tym wypadku punkt P w którym występuje siła reakcji podłoża znajduje się na krawędzi stopy, jednak nie jest to ZMP, a moment wywołany tą siłą nie jest wy- starczający, aby skompensować momenty wynikające z dynamiki mechanizmu wieloczłonowego i następuje obrót względem tej krawędzi stopy.
0.3.3 Wyznaczanie ZMP dla bipeda o 6 członach
Rozważamy model robota przedstawiony na Rys. 1 w planie X − Z, robot po-
m
¨ xg
¨ zg
+ mg
0 1
= R1 (7)
gdzie:
m – całkowita masa robota,
xg, zg – współrzędne środka ciężkości robota, g – przyspieszenie ziemskie,
R1– siła reakcji podłoża na stopę.
Równanie (7) można zapisać również jako:
m∂xg(Q)
∂Q
Q + m ˙¨ QT∂2xg(Q)
∂Q2
Q = R˙ x1
m∂zg(Q)
∂Q
Q + m ˙¨ QT∂2zg(Q)
∂Q2
Q + mg = R˙ z1 (8)
Równanie globalne dla rotacji (3) ma postać:
˙
σA= mgxg− lRz1− hpRx1 (9) gdzie:
σA– jest momentem pędu bipeda względem punktu A.
Moment pędu jest liniowy w odniesieniu do prędkości przegubu i można go zapisać w postaci:
σA= N (Q) ˙Q (10)
Z równań (8) i (9) otrzymujemy:
˙
σA+ (ml∂zg(Q)
∂Q + mhp
∂xg(Q)
∂Q ) ¨Q + +(ml ˙QT∂2zg(Q)
∂Q2 + mhpQ˙T∂2xg(Q)
∂Q2 ) ˙Q − mg(xg− l) = 0 (11)
Lokalizację ZMP jesteśmy w stanie wyznaczyć z dynamiki robota za pomocą równania (11).
0.3.4 Wyznaczanie ZMP, podejście odwróconego wahadła
Jeżeli zastosujemy ograniczenie do odwróconego wahadła tak, aby mogło po- ruszać się wzdłuż zdefiniowanej płaszczyzny, otrzymujemy dynamikę liniową.
Weźmy współrzędne kartezjańskie pokazane na Rys. 5a i ustalmy że oś OX jest kierunkiem poruszania się. Płaszczyzna ograniczająca jest opisana równaniem:
z = kxx + kyy + zc (12) Jeżeli płaszczyzna ograniczająca jest pozioma to dynamika ma postać:
¨ y = g
zc
y − 1 mzc
τx
g 1
gdzie:
m – masa wahadła g – przyspieszenie ziemski
τx, τy – momenty wzdłuż osi OX i OY
Dla takiego wahadła odwróconego można w prosty sposób wyznaczyć ZMP:
px= −τy
mg py= τx
mg (14)
gdzie: (px, py) – współrzędne ZMP na powierzchni Podstawiając (14) do równania (13) otrzymujemy:
¨ y = g
zc(y − py)
¨ x = g
zc(x − px) (15)
(a) (b)
Rysunek 5: a) Odwrócone wahadło z ograniczeniami, b) model wózek-stolik. [8]
Model wózek-stolik
Przekształćmy równanie (15), aby móc z niego wyliczyć ZMP:
py= y −zc
g y¨ (16)
px= x −zc
gx¨ (17)
może stać. W tym momencie ZMP istnieje wewnątrz stopy stolika. Ponieważ moment wokół ZMP musi być równy zero, otrzymujemy:
τZM P = mg(x − px) − m¨xzc= 0 (18) Daje nam ono to samo równanie co równanie (17)
Bibliografia
[1] http://asimo.honda.com/default.aspx.
[2] https://world.honda.com/asimo.
[3] J.W. Grizzle C. Chevallereau, D. Djoudi. Stable bipedal walking with foot rotation through direct regulation of the zero moment point. IEEE Trans- actions on Robotics, 24(2):390–401, 2008.
[4] A. Goswami. Postural stability of biped robots and the foot-rotation indica- tor (fri) point. The International Journal of Robotics Research, 18(6):523–
533, 1999.
[5] B. Borovac M. Vukobratović. Zero-moment point - thirty five years of its life. International Journal of Humanoid Robotics, 1(1):157–173, 2004.
[6] G. Bessonnet P. Sardain. Forces acting on a biped robot. center of pres- sure—zero moment point. IEEE Transactions on Systems, 34(5):630–637, 2004.
[7] M. Inob R. Moritaa K. Matsushitaa M. Sasaki S. Ito, S. Nishiob. Design and adaptive balance control of a biped robot with fewer actuators for slope walking. Mechatronics, 49:56–66, 2018.
[8] K. Kaneko K. Fujiwara K. Harada K. Yokoi H. Hirukawa S. Kajita, F. Ka- nehiro. Biped walking pattern generation by using preview control of zero- moment point. ICRA, 3:1620–1626, 2003.
[9] M. Czubenko Z. Kowalczuk. Przegląd robotów humanoidalnych. Pomiary Automatyka Robotyka, 19(4):33–42, 2015.
