w algebrze A dla ka˙zdego s ∈ S mamy zwrotnaa, przechodniaaι aa i antysymetrycznaι aa relacjeι e ≤eι sA ⊆ |A|s× |A|s (jak zwykle, s mo˙zemy pomijac´cc, gdy nie zachodzi obawa nieporozumienia)

Egzamin z wyk ladu monograficznego

Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2016/17

Pojeeecia, terminologia i notacja:ι

Przyjmujemy zwyk laaa definicjeeι e sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorfizmu; wykorzystujemyι

standardowaaa notacjeeι e z wyk ladu.ι

Rozwa˙zmy dowolnaaa sygnatureι ee Σ = hS, Ωi.ι

Uporzaaadkowana Σ-algebra to dowolna Σ-algebra A, w ktoι ´oorej dodatkowo dla ka˙zdego rodzaju s ∈ S, no´snik rodzaju s jest czeee´ιsciowo uporzaaadkowany przez relacjeι ee ≤ι ^s_A — tzn. w algebrze A dla ka˙zdego s ∈ S mamy zwrotnaa, przechodniaaι aa i antysymetrycznaι aa relacjeι e ≤eι ^s_A ⊆ |A|_s× |A|_s (jak zwykle, s mo˙zemy pomijac´cc, gdy nie zachodzi obawa nieporozumienia).

Kresowa Σ-algebra to taka uporzaaadkowana Σ-algebra, ˙ze dla ka˙zdego rodzaju s ∈ S, dla wszystkichι

a, b ∈ |A|_s, w zbiorze czeee´ιsciowo uporzaaadkowanym h|A|ι _s, ≤^s_Ai istnieje kres go´oorny a t^s_Ab i kres dolny a u^s_Ab zbioru {a, b} (jak zwykle, dekoracje s i A mo˙zemy pomijac´cc, gdy nie zachodzi obawa nieporozumienia).

Dla dowolnych uporzaaadkowanych Σ-algebr A, B, uporzaι aadkowany Σ-homomorfizm h: A → B to takiι

homomorfizm Σ-algebr h: A → B, ˙ze dla ka˙zdego s ∈ S, funkcja h_s: |A|_s → |B|_s zachowuje porzaaadek: dlaι

a, b ∈ |A|s, je´sli a ≤^s_Ab to hs(a) ≤^s_Bhs(b).

Dla dowolnych kresowych Σ-algebr A, B, kresowy Σ-homomorfizm h: A → B to taki uporzaaadkowanyι

Σ-homomorfizm h: A → B, ˙ze dla ka˙zdego s ∈ S, funkcja h_s: |A|_s → |B|_s zachowuje kresy go´oorne i dolne ka˙zdej pary elemento´oow: dla ka˙zdych a, b ∈ |A|shs(a t^s_Ab) = hs(a) t^s_Bhs(b) oraz hs(a u^s_Ab) = hs(a) u^s_Bhs(b).

Rozwa˙zamy Σ-niero´oowno´sci postaci ∀X · t ≤ t⁰, gdzie X jest S-rodzajowym zbiorem zmiennych, a t, t⁰ ∈

|T_Σ(X)|_s saaa dowolnymi Σ-termami o wspoι olnym rodzaju. Uporzao´ aadkowana Σ-algebra A spe lnia Σ-nieroι ´oowno´sc´cc

∀X · t ≤ t⁰, A |= ∀X · t ≤ t⁰, gdy dla ka˙zdego warto´sciowania v: X → |A| zachodzi (t)A[v] ≤A(t⁰)A[v], gdzie jak zwykle tA[v] to warto´sc´cc termu t w algebrze A przy warto´sciowaniu zmiennych v, i podobnie dla t⁰_A[v] .

Dla dowolnej sygnatury Σ = hS, Ωi i zbioru Σ-niero´oowno´sci Φ, w oczywisty sposo´oob saaa zdefiniowaneι

nasteeepuja_ι aace kategorie i funktory:_ι

• Set^S — kategoria S-rodzajowych zbioro´oow i funkcji mieeedzy nimi;ι

• POSet^S — kategoria S-rodzajowych zbioro´oow uporzaaadkowanych, z funkcjami monotonicznymi mieeι edzyι

nimi;

• KUPAlg(Σ, Φ) — kategoria tych kresowych Σ-algebr, kto´oore spe lniajaaa wszystkie nieroι ´oowno´sci w zbiorze Φ, i uporzaaadkowanych Σ-homomorfizmoι ´oow mieeedzy nimi;ι

• KKUPAlg(Σ, Φ) — kategoria tych kresowych Σ-algebr, kto´oore spe lniajaaa wszystkie nieroι ´oowno´sci w zbiorze Φ, i kresowych Σ-homomorfizmo´oow mieeedzy nimi;ι

• P^KUP_Σ,Φ : KUPAlg(Σ, Φ) → Set^S — funktor zapominajaaacy o strukturze algebry i uporzaι aadkowaniuι

no´sniko´oow, P^KUP_Σ,Φ (A) = |A|, i w podobnie oczywisty sposo´oob dla homomorfizmo´oow;

• P^KK_Σ,Φ: KKUPAlg(Σ, Φ) → Set^S — funktor zapominajaaacy o strukturze algebry i uporzaι aadkowaniuι

no´sniko´oow, P^KK_Σ,Φ(A) = |A|, i w podobnie oczywisty sposo´oob dla homomorfizmo´oow;

• G^KUP_Σ,Φ : KUPAlg(Σ, Φ) → POSet^S — funktor zapominajaaacy o strukturze algebry, Gι ^KUP_Σ,Φ (A) = h|A|_s, ≤^s_Ai_s∈S, i w podobnie oczywisty sposo´oob dla homomorfizmo´oow;

• G^KK_Σ,Φ: KKUPAlg(Σ, Φ) → POSet^S— funktor zapominajaaacy o strukturze algebry, Gι ^KK_Σ,Φ(A) = h|A|s, ≤^s_Ai_s∈S, i w podobnie oczywisty sposo´oob dla homomorfizmo´oow.

We wprowadzonych wy˙zej oznaczeniach mo˙zna pominaaacι´cc Φ, gdy Φ = ∅.

Zadanie:

Kto´oore z poni˙zszych stwierdze´n saaa prawdziwe dla ka˙zdej sygnatury Σ i, gdzie stosowne, zbioru Σ-nieroι ´oowno´sci Φ? Udowodnij lub uzasadnij odpowied´z negatywnaaa.ι

Zadanie KUP:

1. Kategoria KUPAlg(Σ) jest (a) zupe lna;

(b) kozupe lna.

2. Kategoria KUPAlg(Σ, Φ) jest (a) zupe lna;

(b) kozupe lna.

3. Funktor P^KUP_Σ : KUPAlg(Σ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

4. Funktor P^KUP_Σ,Φ : KUPAlg(Σ, Φ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

5. Funktor G^KUP_Σ : KUPAlg(Σ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

6. Funktor G^KUP_Σ,Φ : KUPAlg(Σ, Φ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

Zadanie KKUP:

1. Kategoria KKUPAlg(Σ) jest (a) zupe lna;

(b) kozupe lna.

2. Kategoria KKUPAlg(Σ, Φ) jest (a) zupe lna;

(b) kozupe lna.

3. Funktor P^KK_Σ : KKUPAlg(Σ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

4. Funktor P^KK_Σ,Φ: KKUPAlg(Σ, Φ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

5. Funktor G^KK_Σ : KKUPAlg(Σ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

6. Funktor G^KK_Σ,Φ: KKUPAlg(Σ, Φ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

UWAGA:

Odpowiedzi na poszczego´oolne czeee´ιsci zada´n nie saaa niezale˙zne (np. dowoι ´ood dla KUP.2.a implikowa lby pozy- tywnaaa odpowied´ι z na KUP.1.a, a kontrprzyk lad dla KUP.1.b by lby te˙z kontrprzyk ladem dla KUP.2.b; saaaι

te˙z mniej oczywiste zale˙zno´sci). Mo˙zna to wykorzystac´cc dla skro´oocenia rozwiaaza´aι n. Zadnia saaa wieeι ec kroι ´ootsze ni˙z to sieee na pozoι ´oor wydaje. Mo˙zna te˙z bez dowodoow odwo lywaco´ ´cc sieee do dowolnych faktoι ´oow podawanych na wyk ladzie.

. . . . Poni˙zej pytania z odpowiedziami i szkicem dowodo´oow. Pomijam indeksowanie nazwami rodzajo´oow (sk la- dowych) no´sniko´oow, funkcji, relacji, itp.

Zadanie KUP:

1. Kategoria KUPAlg(Σ) jest (a) zupe lna;

NIE. Na przy lad, nie zawsze istniejaaa ekwalizatory. Rozwa˙zmy sygnatureι ee z jednym rodzajem,ι

bez operacji. Niech A beeedzie kresowaι aa algebraι aa z elementami a, b, c, d, gdzie c = a tι A b i d = a u_Ab, B kresowaaa algebraι a z elementami a, b, c, d, caι ⁰, d⁰, gdzie c = a t_B b, d = a u_Bb, c⁰ = c⁰ t_B c, d⁰ = d⁰ u_B d. Niech dalej h: A → B beeedzie inkluzjaι aa, a hι ⁰: A → B beeedzieι

h⁰(a) = a, h⁰(b) = b, h⁰(c) = c⁰, h⁰(d) = d⁰. LLatwo sprawdzic´cc, ˙ze w KUPAlg(Σ) nie istnieje ekwalizator dla h i h⁰.

(b) kozupe lna.

NIE. Na przyk lad, przyjmujaaac sygnatureι ee z jednym rodzajem, bez operacji, latwo sprawdzicι ´cc,

˙ze w KUPAlg(Σ) nie istnieje koprodukt dwo´ooch algebr jednoelementowych.

2. Kategoria KUPAlg(Σ, Φ) jest (a) zupe lna;

NIE: z KUP.1.a.

(b) kozupe lna.

NIE: z KUP.1.b.

3. Funktor P^KUP_Σ : KUPAlg(Σ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

NIE. Na przyk lad, przyjmujaaac sygnatureι ee z jednym rodzajem, bez operacji, latwo sprawdzicι ´cc, ˙ze w KUPAlg(Σ) nie istnieje obiekt wolny wzgleeedem Pι ^KUP_Σ nad zbiorem dwuelementowym.

4. Funktor P^KUP_Σ,Φ : KUPAlg(Σ, Φ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

NIE: z KUP.3.

5. Funktor G^KUP_Σ : KUPAlg(Σ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

NIE: podobnie jak w KUP.3.

6. Funktor G^KUP_Σ,Φ : KUPAlg(Σ, Φ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

NIE: z KUP.5.

Zadanie KKUP:

1. Kategoria KKUPAlg(Σ) jest (a) zupe lna;

(b) kozupe lna.

2. Kategoria KKUPAlg(Σ, Φ) jest (a) zupe lna;

(b) kozupe lna.

3. Funktor P^KK_Σ : KKUPAlg(Σ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

4. Funktor P^KK_Σ,Φ: KKUPAlg(Σ, Φ) → Set^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

5. Funktor G^KK_Σ : KKUPAlg(Σ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

6. Funktor G^KK_Σ,Φ: KKUPAlg(Σ, Φ) → POSet^S ma lewy sprzeee˙zony.ι

TAK, na wszystkie powy˙zsze pytania.

Najpierw zauwa˙zmy, ˙ze kategoria KKUPAlg(Σ, Φ) jest ro´oownowa˙zna kategorii Alg(Σ^K, Ψ^K ∪ Φ^K), gdzie:

• Σ^K rozszerza Σ o operacje sup_s, inf_s: s × s → s, dla ka˙zdego rodzaju s w Σ;

• Ψ^K dla ka˙zdego rodzaju s w Σ zawiera ro´oowno´sci (pomijam oczywistaaa kwatyfikacjeι ee zmiennych):ι

sup_s(x, y) = sup_s(y, x) sup_s(sup_s(x, y), z) = sup_s(x, sup_s(y, z)) sup_s(inf_s(x, y), y) = y inf_s(x, y) = inf_s(y, x) inf_s(inf_s(x, y), z) = inf_s(x, inf_s(y, z)) inf_s(x, sup_s(x, y)) = x

• dla ka˙zdej nierooownosci ∀X · t ≤ t´ ⁰, (∀X · t ≤ t⁰)^K to roowno´´o sc´cc ∀X · sup(t, t⁰) = t⁰. (patrz np. H. Rasiowa, “Wsteeep do matematyki wspoι ´oo lczesnej”, chap XIV, par. 7, (IV))

Reszta rozwiaaazania to proste technikalia, by sprowadzicι ´cc pytania z tre´sci zadania to znanych wyniko´oow dla klas algebr definiowalnych ro´oowno´sciowo.