R OZSZERZONY P RZEWODNIK P O L OGICE M ATEMATYCZNEJ

R ^OZSZERZONY P ^RZEWODNIK P O L OGICE M ATEMATYCZNEJ

D ^LA P ^{OCZ ˛ ATKUJ ˛ ACYCH}

R

S

Tłumaczenie: Jerzy Pogonowski

Podstawa tłumaczenia: Raymond Smullyan A Beginners Further Guide to Ma- thematical Logic. World Scientific, New Jersey - London - Singapore - Beijing - Shanghai - Hong Kong - Taipei - Chiennai - Tokyo, 2016.

1

Spis tre´sci

Przedmowa . . . .

Cz˛e´s´c I: Wi˛ecej o logice zdaniowej i logice pierwszego rz˛edu . . . 1

Rozdział 1. Wi˛ecej o logice zdaniowej . . . 3

1.1. Logika zdaniowa i algebra Boole’a zbiorów . . . 3

1.2. Podej´scie algebraiczne . . . 4

1.3. Inny dowód pełno´sci . . . 6

1.4. Wierno´s´c wzgl˛edem modus ponens . . . 12

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 1 . . . 15

Rozdział 2. Wi˛ecej o logice pierwszego rz˛edu . . . 22

2.1. Zbiory magiczne . . . 22

2.2. Systemy Gentzena i ich warianty . . . 28

2.3. Lemat Craiga i jego zastosowanie . . . 42

2.4. Unifikacja . . . 47

2.5 Dowód pełno´sci w stylu Henkina . . . 52

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 2 . . . 55

Cz˛e´s´c II: Teoria rekursji i metamatematyka . . . 67

Rozdział 3. Niektóre wybrane zagadnienia . . . 69

3.1. Maszyna decyzyjna . . . 69

3.2. Wariacje na temat Gödla . . . 73

3.3. R-systemy . . . 76

3.4. Synteza . . . 78

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 3 . . . 84

Rozdział 4. Elementarne systemy formalne i rekurencyjna przeliczalno´s´c . . . 89

4.1. Wi˛ecej o elementarnych systemach formalnych . . . 89

4.2. Rekurencyjna przeliczalno´s´c . . . 93

4.3. System uniwersalny . . . 98

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 4 . . . 102

Rozdział 5. Nieco teorii rekursji . . . 112

5.1. Twierdzenia o enumeracji oraz iteracji . . . 112

5.2. Twierdzenia o rekursji . . . 116

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 5 . . . 126

Rozdział 6. Podwojenie . . . 132

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 6 . . . 140

Rozdział 7. Zastosowania metamatematyczne . . . 148

7.1. Systemy proste . . . 148

7.2. Standardowe systemy proste . . . 154

Rozwi ˛azania zada´n rozdziału 7 . . . 160

2

Cz˛e´s´c III: Elementy logiki kombinatorycznej . . . . Rozdział 8. Rozpoczynaj ˛ac logik˛e kombinatoryczn ˛a . . . . Rozdział 9. Galeria kombinatorów . . . . 9.1. B-kombinatory . . . . 9.2. Kombinatory permutuj ˛ace . . . . 9.3. Q-rodzina oraz Goldfinch, G . . . . 9.4. Kombinatory wyprowadzalne z B, T , M oraz I (λ − I kombinatory) . . . . Rozdział 10. M˛edrcy, wyrocznie i dublety . . . . Rozdział 11. Systemy zupełne i cz˛e´sciowe . . . . 11.1. System zupełny . . . . 11.2. Systemy cz˛e´sciowe logiki kombinatorycznej . . . . Rozdział 12. Kombinatory, rekursja i nierozstrzygalne . . . . 12.1. Przygotowanie do finału . . . . 12.2. Wielki problem . . . . Posłowie. Dok ˛ad i´s´c st ˛ad dalej . . . . Bibliografia . . . . Indeks . . . .

3