IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym.
Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne
Pole elektryczne i magnetyczne
Pole elektryczne
charakteryzujemy wektorem natężenia pola E=E(r,t).
[E]=N/C=kg .m/s3.A=V/m Siła działająca na cząstkę obdarzoną elektrycznym ładunkiem Q wynosi:
Razem oba człony wyrażają siłę Lorentza:
Pole magnetyczne
charakteryzujemy wektorem indukcji magnetycznej B=B(r, t).
[B]=Ns/Cm=kg/s2.A; 1Tesla Siła działająca na cząstkę o
ładunku elektrycznym Q wynosi:
el
( )
F G = QE r, t G G
magn
( )
F G = Q v B r, t G × G G
( )
elektr magn
F F G = G + F G = Q E v B G + × G G
Ruch w jednorodnym polu elektrycznym
Rozwiązując r. ruchu dostajemy następujące rozwiązanie w obszarze jednorodnego pola E:
Ruch z tymi warunkami początkowymi jest płaski w płaszczyźnie XOY
Działa stała siła:
Warunki początkowe:
y x
v
0E
F G
E= QE G
2 2
m d y QE dt =
0
2
x v t y QE t
m 2 z 0
=
=
=
0 0 0
x0 0 y0 z0
x y z 0
v v ; v v 0
= = =
= = =
L
Ruch w jednorodnym polu elektrycznym cd. Selektory prędkości
Widać, że ustawiając kolimator poziomy na odpowiedniej
wysokości za obszarem pola elektrycznego możemy wybrać cząstki o określonym tg θ, a więc o określonej prędkości.
Można obliczyć kąt θ pod jakim wylatuje cząstka z obszaru pola elektrycznego:
2
x L 0
dy QEL
tg dx
=mv
θ = =
y x
v
0E
θ
Jeszcze lepszym selektorem prędkości jest konfiguracja
skrzyżowanych pól E i B prostopadłych do wektora prędkości.
Cząstki o prędkości v=E/B poruszają się w takim urządzeniu po linii prostej.
Ruch w jednorodnym polu magnetycznym B
prosta
prosta
Łuk okręgu
B G x
y
Równanie ruchu rozpisane na składowe:
Warunki początkowe:
2 2 2
2 2
2
d x dy
m QB
dt dt
d y dx
m QB
dt dt
m d z 0 dt
=
= −
=
0 0 0
x0 y0 z0
x y z 0
v 0; v 0; v 0
= = =
≠ ≠ ≠
W płaszczyźnie prostopadłej do pola B ruch w obszarze pola jest ruchem jednostajnym po okręgu.
Częstość kołowa tego ruchu wynosi:
QB
ω = m
Ruch w jednorodnym polu magnetycznym B cd.
R. ruchu możemy raz prosto scałkować po czasie bo:
daje
Z 1‐szego rozwiązania wyznaczamy
Po wstawieniu do drugiego rozwiązania:
Podstawiając do 1‐szego rozwiązania:
2 2
d dx y 0
dt dt d dy
x 0
dt dt
d z 0 dt
⎛ − ω ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ω ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
0x
0y
0z
dx y v dt
dy x v
dt
dz v dt
= ω +
= −ω +
=
v
0xy 1 dx
= dt −
ω ω
( ) ( )
2 2 0 y
2 0 y 2 0 y
2
2 2
0x 0
x 0x 0 y 0
0
x
y
v y
x t C cos t
1 d x dt x v
v v
d x x 0
dt
tg v ; C v v / v
v ⊥
= −ω + ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − ω − =
⎜ ω ⎟ ⎜ ω ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + ω +
φ = = − + ω =
φ
− ω
ω
( )
0x 0
v v
y = − +
⊥sin ω + φ t
ω ω
Ruch w jednorodnym polu magnetycznym B cd.
Jednorodne pole magnetyczne jak widać nie zmienia wartości prędkości cząstki.
Zachodzi ważny związek:
Pomiar promienia krzywizny toru w jednorodnym polu magnetycznym może więc posłużyć do pomiaru pędu w płaszczyźnie prostopadłej do pola.
Jest to podstawa działania wszelkich spektrometrów magnetycznych
cząstek naładowanych.
Wreszcie znajdujemy z(t):
Podnosząc rozwiązania na x i y do kwadratu eliminujemy zależność od czasu i dostajemy:
Ruch w płaszczyźnie XOY jest ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu cyklotronowym r.
Ruch w przestrzeni jest ruchem jednostajnym po spirali (helisie).
0z 0
z(t) v t = = v t
2 2 2 2
0 y 0 x
2
0 2 0
v v m
x v r
y QB
⊥ ⊥
⎛ − ⎞ +⎛⎜ + ⎞⎟ = = = ⎛ ⎞
⎜ ω ⎟ ⎝ ω ⎠ ω ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ ⎠
Br = mv / Q
0⊥v
Ruch w jednorodnych polach magnetycznym B i elektrycznym E
Wykorzystywany jest w
zastosowaniach praktycznych w fizyce jądrowej i fizyce cząstek
elementarnych do:
• separacji izotopów
•spektrometrii masowej
•pomiaru pędu cząstek naładowanych.
•Selekcji prędkości cząstek naładowanych
Różne konfiguracje przestrzenne pól E i B wykorzystywane są do różnych celów. Kilka przykładów podamy poniżej, inne są przeliczone w podręczniku Wróblewskiego i Zakrzewskiego t.I
Przykład: spektrometr masowy Bainbridge’a
Widmo mas izotopów ksenonu
Na górnym rysunku: widmo mas izotopów ksenonu ze skał
(pochodzą z rozpadu uranowców)
Na dolnym rysunku: widmo mas izotopów ksenonu w powietrzu
Separator WIGISOL przy warszawskim cyklotronie
Cyklotron i wyprowadzenia wiązki
Hala eksperymentalna
Spektrometr beta w Troitsku k/ Moskwy Pomiar pędów elektronów ~18000 eV/c
Pole E
Pole E
Pole B
B
W tym eksperymencie próbowano zmierzyć masę neutrina
elektronowego:
m < 2.5 eV/c
2.
Magnetyczny spektrometr Compact Muon Solenoid (CMS) przy Large Hadron Collider (LHC) w CERNie
Pomiar pędów cząstek od 1 GeV/c do 7000 GeV/c
Symulacja torów cząstek w polu magnetycznym CMS CEWKA
KALORYMETR Centralny
Detektor
śladowy
Konstrukcja największej na świecie cewki
nadprzewodzącej (dł. 13 m, średn. 6 m, pole B=4T)
Nawijanie cewki
nadprzewodzącej 4T w „Ansaldo”
w Genui.
Wkładanie wewnętrznej części kriostatu. Cewka jest już włożona
