Obrona odcinka

Rozprawa doktorska Instytut Matematyki

Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach Katowice, luty 2013

Beata Kraska

Obrona odcinka

Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem Prof. dr hab. Witolda Rzymowskiego

Spis treści

Wstęp 2

1. Płaskie zbiory wypukłe 4

1.1. Działania Minkowskiego. Szerokość zbioru . . . . 4

1.2. Rzut na zbiór wypukły. Stożki prostopadłe . . . . 6

1.3. Parametryzacja brzegu płaskiego zbioru wypukłego . . . . 8

1.4. Pogoń stożka za kierunkiem . . . 15

2. Funkcje wklęsłe i wypukłe 19 2.1. Operacje na funkcjach . . . 19

2.2. Wariacja i długość krzywej . . . 39

3. Układy obronne 44 3.1. Pary wypukłe przystosowane do obrony odcinków . . . 44

3.2. Układy obronne . . . 50

4. Problem obrony odcinka 62 4.1. Trajektorie dopuszczalne. Sterowania . . . 62

4.2. Funkcje nieantycypujące. Strategie . . . 63

4.3. Problem obrony odcinka . . . 64

5. Obrona 66 5.1. Pomocnicza strategia pościgu . . . 66

5.2. Strategia czuwania . . . 68

6. Atak 72 6.1. Jazda wzdłuż ruchomego odcinka . . . 72

6.2. Maksymalne rozciągnięcie . . . 76

6.3. Strategia nękania . . . 82

7. Obrona odcinka. Zakończenie 93 7.1. Zbiory przydatne do obrony odcinków . . . 93

7.2. Obrona odcinka . . . 98

Literatura 103

Wstęp

Pod koniec dwudziestego wieku wzrosło zainteresowanie matematycznymi prob- lemami związanymi z ochroną, lub wręcz z militarną obroną, wyróżnionych rejonów.

Rozważane są problemy statyczne, które w języku potocznym można sprowadzić do pytania o minimalną liczbę kamer potrzebnych do obserwacji całego danego obszaru o skomplikowanym kształcie i problemy dynamiczne, w których chodzi (na przykład) o nieustanną obserwację intruza przy pomocy przemieszczającej się o własnych siłach, ruchomej kamery. Wymienionym wyżej zagadnieniom poświę- cone są, między innymi, prace [16], [1], [8], [13]. Podobne problemy, będące często fragmentem bardziej złożonego problemu obrony obszaru, były już rozważane w pierwszej monografii z teorii gier różniczkowych, patrz [7], przykład 1.9.2, s 19, przykłady 9.6.3 i 9.6.4, s 266 i w pracy [14].

Obrona odcinka pojawia się zwykle w zagadnieniach obrony obszaru jako prob- lem częściowy lub pomocniczy, patrz cytowany wyżej przykład 9.6.4. Poza tym od- cinek jest broniony przed atakiem z pewnego kierunku. W tej pracy zajmujemy się wyłącznie zagadnieniem obrony odcinka położonego na płaszczyźnie R². Zakładamy przy tym przewagę prędkości po stronie napastnika. Dając napastnikowi możliwość krążenia wokół bronionego odcinka zmieniamy istotnie charakter rozważanej gry, a w konsekwencji również sposób jej rozwiązania. W przypadku rozważanej w pracy gry obrony odcinka, w której gracze poruszają się tak zwanym ruchem prostym, rozwiązanie gry otrzymujemy konstruując stosowną parę zbiorów wypukłych. Nie- jako przy okazji otrzymujemy też jawny wzór wyznaczający maksymalną długość możliwego do obrony odcinka. Ponieważ w pracach [10] i [18] użyto z powodzeniem podobnych metod, to można zaryzykować przypuszczenie, że rozwiązanie każdego (analogicznego) problemu obrony obszaru o pewnych ekstremalnych własnościach będzie wyznaczone przez odpowiednią parę zbiorów wypukłych.

Pracę można podzielić na trzy części. Część pierwszą stanowią rozdziały pier- wszy, drugi i trzeci. W części pierwszej podajemy potrzebne dalej własności zbiorów i funkcji wypukłych (wklęsłych) oraz wybrane elementy teorii miary i całki. Niek- tórych własności dowodzimy, chociaż wydają się znane lub oczywiste. Powodem takiego postępowania są trudności ze wskazaniem stosownej bibliografii. Wprowadza- my również kilka podstawowych konstrukcji używanych w następnych rozdziałach.

Głównym celem konstrukcji jest przybliżenie wspomnianej wyżej pary zbiorów wy- pukłych odpowiednią parą wielokątów wypukłych. W końcowej części rozdziału trze- ciego zajmujemy się kluczowym dla tej pracy pojęciem układu obronnego.

Główną część pracy stanowią rozdziały czwarty, piąty i szósty. W rozdziale czwartym opisujemy rozważaną w pracy grę obrony odcinka. Definiujemy tam zbiory trajektorii i strategii dopuszczalnych oraz cenę gry. Celem rozdziałów piątego i szóstego jest wyznaczenie ceny gry. W rozdziale piątym, korzystając z odpowied- nich własności układów obronnych, otrzymujemy dolne oszacowanie ceny gry. Na początku rozdziału szóstego dowodzimy lematu umożliwiającego w dalszej części rozdziału ustalenie wzajemnych relacji pomiędzy prędkościami kątowymi wektorów y (t) oraz y (t) − x (t) , gdzie y (t) , x (t) są położeniami napastnika i obrońcy w chwili t ­ 0. W wyniku otrzymujemy górne oszacowanie ceny gry, pokrywające się z oszacowaniem dolnym.

Uzyskany w rozdziałach piątym i szóstym wynik dotyczy obrony odcinka położone-

go na osi odciętych, symetrycznie względem osi rzędnych. W ostatnim, siódmym rozdziale, korzystając z faktu, że przesunięcie i obrót są izometriami, przenosimy ten wynik standardowym sposobem na przypadek dowolnie położonego odcinka.

1. Płaskie zbiory wypukłe

1.1. Działania Minkowskiego. Szerokość zbioru

Oznaczenia

Jeżeli f : X → Y jest dowolną funkcją i A ⊂ X, to symbolem f|A oznaczymy obcięcie funkcji f do zbioru A, czyli

f_|A (x) = f (x) , x ∈ A.

Dla dowolnych x = (x1, x₂) , y = (y1, y₂) ∈ R² i każdego α ∈ R definiujemy hx, yi = x₁y₁+ x2y₂, kxk =^qhx, xi =^qx²₁+ x²₂,

Lx = (−x2, x1) , Rx = (x2, −x1) , ω (α) = (cos α, sin α) , Oαx =

"

cos α − sin α sin α cos α

# "

x₁ x₂

#

=

"

x₁cos α − x₂sin α x₂cos α + x₁sin α

#

, x ∧ y = det

"

x₁ y₁ x₂ y₂

#

= x₁y₂− x₂y₁. Oczywiście

Lx = O^π₂x = −O^−π₂x = −Rx,

ω⁰(α) = (− sin α, cos α) = Lω (α) , α ∈ R, hw (α) , w (β)i = cos (α − β) ,

w (α) ∧ w (β) = sin (β − α) . oraz

x ∧ y = hLx, yi = hx, Ryi .

Dla dowolnych a, b ∈ R² i każdego r ­ 0 definiujemy dalej

[a, b] =







c ∈ R² : ^_

λ∈[0,1]

c = a + λ (b − a)







= {a + λ (b − a) : λ ∈ [0, 1]} , (a, b) = [a, b]  {a, b} , [a, b) = [a, b]  {b} , (a, b] = [a, b]  {a} ,

B [a, r] = ⁿx ∈ R² : kx − ak ¬ r^o, B (a, r) =ⁿx ∈ R² : kx − ak < r^o, S¹[a, r] = ⁿx ∈ R² : kx − ak = r^o, S¹ =ⁿx ∈ R² : kxk = 1^o.

Oczywiście

[a, a] = B [a, 0] = {a} ,

(a, a) = [a, a) = (a, a] = B (a, 0) = ∅.

Jeżeli zbiór Z ⊂ R^m zawiera co najmniej dwa elementy, to dla każdej funkcji F : Z → Rⁿ przyjmiemy (patrz [4], definicja 3.1.1, s 79-80) oznaczenie:

Lip F = sup

x,y∈Z, x6=y

kF (x) − F (y)k kx − yk ,

gdzie symbol kk oznacza normę euklidesową. Powiemy, że F jest funkcją lipschit- zowską (w zbiorze Z), gdy

Lip F < ∞.

Dla każdego Z ⊂ R^m symbole Z, int Z, bd Z będą oznaczać odpowiednio:

domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru Z.

Otoczką wypukłą niepustego zbioru Z ⊂ R² nazwiemy najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający zbiór Z. Otoczkę wypukłą niepustego zbioru Z oznaczymy przez

conv Z.

Działania Minkowskiego

Dla dowolnych niepustych zbiorów A, B ⊂ R^m i dowolnego λ ∈ R definiujemy A ± B = {a ± b : a ∈ A, b ∈ B} , λA = {λa : a ∈ A} .

Jeżeli jeden ze zbiorów A lub B zawiera tylko jeden element, powiedzmy A = {a} , to piszemy

a ± B zamiast

{a} ± B.

Niepusty i wypukły zbiór Z ⊂ R² nazwiemy stożkiem wypukłym, gdy spełnia warunek

λ ­ 0 ⇒ λZ ⊂ Z.

Szerokość zbioru

Definicja 1.1. Dla niepustego i zwartego zbioru Z ⊂ R² i dla każdego q ∈ S¹ definiujemy

χ_Z(q) = max

z∈Z hq, zi , Z (q) = {ζ ∈ Z : hq, ζi = χ_Z(q)} . Zbiór Z (q) nazwiemy strefą podparcia wektorem q, a liczbę

kZ(±q) = χ_Z(q) + χ_Z(−q) nazwiemy szerokością zbioru Z w kierunku ±q.

Oczywiście, jeżeli a ∈ R² i r ­ 0, to dla każdego q ∈ S¹ mamy χ_B[a,r](q) = ha, qi + r, (B [a, r]) (q) = {a + rq} , k^B[a,r](±q) = 2r.

Natomiast, jeżeli a ∈ R² i a 6= b, to dla

q = b − a kb − ak mamy

k[a,b](±q) = kb − ak oraz k[a,b](±Lq) = 0.

1.2. Rzut na zbiór wypukły. Stożki prostopadłe

Rzut punktu na zbiór

Definicja 1.2. Niech Z ⊂ R²będzie zbiorem niepustym i niech x ∈ R². Powiemy, że x ∈ Z jest rzutem punktu x na zbiór Z, jeżelib

kx −xk = min_b

z∈Z kx − zk , a dla każdego z ∈ Z {x} ma miejsce nierówność^b

kx − zk > kx −xk ._b

Rzut punktu x na zbiór Z będziemy oznaczać symbolem PZ(x) . Własności rzutu na domknięty zbiór wypukły

Niech Z ⊂ R² będzie zbiorem niepustym, domkniętym i wypukłym.

Wtedy (patrz [20], twierdzenie 1, s 189 i twierdzenie 2, s 190):

1. dla każdego x ∈ R² istnieje P_Z(x) ;

2. jeżeli x ∈ Z, tob x = P_{b Z}(x) wtedy i tylko wtedy, gdy hx −x, z −_b xi ¬ 0, z ∈ Z;_b 3. dla dowolnych x, y ∈ R²

kP_Z(x) − P_Z(y)k ¬ kx − yk .

Przykład 1.1. Jeżeli a ∈ R² i r > 0, to (patrz [20], przykład 1, s 190) dla każdego x /∈ B (a, r) mamy

P_B[a,r](x) = a + r

kx − ak(x − a) .

Lemat 1.1. Załóżmy, że r > 0 i dla każdego x ∈ R² spełniającego warunek kxk ­ 2r

zdefiniujmy

Pr(x) = P_B[0,r](x) = r kxkx.

Przy tych założeniach ma miejsce nierówność Lip P_r ¬ 1

2. Dowód. Dla dowolnych x, y ∈ R²B (0, r) mamy

kP_r(y) − P_r(x)k² =

r

kyky − r kxkx

2

= r²

kyk²kxk² kkxk y − kyk xk²

= r²

kyk²kxk²

2 kyk²kxk²− 2 kyk kxk hy, xi^

oraz

2 hy, xi = kyk²+ kxk²− ky − xk², więc

kP_r(y) − Pr(x)k² = r² kyk²kxk²

2 kyk²kxk²− kyk kxk^kyk²+ kxk²− ky − xk^2

= r²

kyk kxk

2 kyk kxk −^kyk²+ kxk²− ky − xk^2

= r²

kyk kxk

ky − xk²− (kyk − kxk)^2

¬ r²

kyk kxkky − xk² ¬ r²

4r² ky − xk² = 1

4ky − xk². Stożki prostopadłe

Symbolem 2^X oznaczymy rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X. Niech Z ⊂ R^m będzie zbiorem niepustym i domkniętym. Multifunkcję F : Z → 2^Rn nazwiemy górnie półciągłą, jeżeli

{(x, y) ∈ Z × Rⁿ: y ∈ F (x)}

jest zbiorem domkniętym.

Definicja 1.3. Niech Z ⊂ R² będzie zbiorem niepustym, domkniętym i wy- pukłym. Dla każdego z ∈ Z zbiór

N_Z(z) =







q ∈ R² : ^{^}

ζ∈Z

hζ − z, qi ¬ 0







nazwiemy stożkiem prostopadłym do zbioru Z w punkcie z.

Łatwo sprawdzić, że dla każdego z ∈ Z zbiór N_Z(z) jest domkniętym stożkiem wypukłym, a multifunkcja

Z 3 z 7→ N_Z(z) jest górnie półciągła.

Przykład 1.2. Niech r ≈ 1, 798 682 będzie rozwiązaniem równania 2r arc sin π

2r =

Z ^π

2

−^π

2

q

1 + sin²xdx.

Zdefiniujmy

f (x) = cos x, g (x) =

s

r²− π² 4 −√

r²− x², x ∈



−π 2,π

2



,

Z =



(x, y) ∈



−π 2,π

2



: g (x) ¬ y ¬ f (x)



, z₀ =

π 2, 0



.

Mamy

z0 ∈ bd Z, g⁰

π 2



=

π 2

qr²− ^π₄² ≈ 1, 792 586, f⁰

π 2



= −1.

Przyjmując

q^{− def}= R

"

1 g^0π₂^

#

=

"

g^0π₂^

−1

#

≈

"

1, 792 586

−1

#

,

q^{+ def}= L

"

1 f^0π₂^

#

= L

"

1

−1

#

=

"

1 1

#

, otrzymamy

N_Z(z0) = ⁿµq⁻+ νq⁺ : µ, ν ­ 0^o

≈

(

(q₁, q₂) ∈ [0, ∞) × R : − q₁

1, 792 586 ¬ q₂ ¬ q₁

)

.

Rys. 1.1. Zbiór Z i suma z₀ + N_Z(z₀) .

1.3. Parametryzacja brzegu płaskiego zbioru wypukłego

W tej części rozdziału wykorzystamy §3 rodziału II książki [9].

Funkcjonał Minkowskiego

Zakładamy, że D ⊂ R² jest zbiorem zwartym, wypukłym i spełnia warunek 0 ∈ int D.

Dla każdego x ∈ R² definiujemy

M_D(x) = {µ ­ 0 : x ∈ µD} oraz m_D(x) = min M_D(x) .

Własności

1. Dla każdego x ∈ R² zbiór M_D(x) jest niepusty i domknięty.

2. Funkcjonał mD jest dodatnio jednorodny i subaddytywny. To znaczy dla dowolnych x, y ∈ R² i każdego λ ­ 0 mamy

m_D(λx) = λm_D(x) oraz m_D(x + y) ¬ m_D(x) + m_D(y) . 3. Funkcjonał m_D jest wypukły i lipschitzowski.

4. Jeżeli C ⊂ R² jest zbiorem zwartym, wypukłym i spełnia warunki:

0 ∈ int C, C ⊂ D, to m_D ¬ m_C.

5. Dla każdego x ∈ R² {0} mamy 1

m_D(x)x ∈ bd D, a poza tym

bd D =ⁿx ∈ R² : m_D(x) = 1^o. 6. Dla każdego r > 0 i każdego x ∈ R² mamy

m_B[0,r](x) = kxk r .

Dowód własności 1. Obierzmy dowolnie x ∈ R². Ponieważ 0 ∈ int D, to istnieje takie r > 0, że

B [0, r] ⊂ D.

Istnieje też takie λ > 0, że λ kxk ¬ r. Mamy kxk ¬ r

λ, więc

x ∈ B



0, r λ



= 1

λB [0, r] ⊂ 1 λD, co dowodzi relacji

1

λ ∈ M_D(x) . Dla każdego x ∈ R² mamy zatem

M_D(x) 6= ∅.

Obierzmy ponownie dowolne x ∈ R². Niech {µ_k}^∞_k=1 będzie ciągiem elementów zbioru M_D(x) zbieżnym do pewnej liczby µ. Oczywiście µ ­ 0 i dla każdego k ∈ N istnieje takie dk ∈ D, że

x = µ_kd_k. Zbiór D jest zwarty, więc istnieje podciągⁿd_kj^o∞

j=1ciągu {d_k}^∞_k=1zbieżny do pewnego d ∈ D. Skoro

µ ­ 0, x = lim

j→∞µ_kjd_kj = µd ∈ µD,

to

µ ∈ M_D(x) .

Dowód własności 2. (Patrz [9], rozdział II, §3, s 79-82). Dla każdego x ∈ R² (patrz własność 1)

MD(x) ⊂ [0, ∞) jest zbiorem niepustym i domkniętym, więc

inf MD(x) = min MD(x) , co dowodzi poprawności definicji funkcjonału m_D.

Obierzmy dowolnie λ ­ 0 oraz x, y ∈ R². Jeżeli λ = 0, to λx = 0 ∈ λD,

więc

0 = m_D(λx) = λm_D(x) . Jeżeli λ > 0, to

M_D(λx) = {ν ­ 0 : λx ∈ νD} =



ν ­ 0 : x ∈ ν λD



= λ {µ ­ 0 : x ∈ µD} = λMD(x) , więc

m_D(λx) = min λMD(x) = λ min MD(x) = λmD(x) . Dowodzi to dodatniej jednorodności funkcjonału m_D. Jeżeli

m_D(x) = 0 lub mD(y) = 0, to

x ∈ m_D(x) D = {0} lub y ∈ m_D(y) D = {0} , więc

m_D(x + y) = m_D(y) = m_D(x) + m_D(y) lub

m_D(x + y) = m_D(x) = m_D(x) + m_D(y) . Niech zatem będzie

mD(x) > 0 oraz mD(y) > 0.

Ponieważ

1

m_D(x)x ∈ D oraz 1

m_D(y)y ∈ D, a D jest zbiorem wypukłym, to

1

m_D(x) + m_D(y)(x + y)

= m_D(x)

m_D(x) + mD(y) 1 m_D(x)x

!

+ m_D(y)

m_D(x) + mD(y) 1 m_D(y)y

!

∈ D.

Stąd, wobec dodatniej jednorodności funkcjonału m_D, otrzymujemy 1

m_D(x) + m_D(y)m_D(x + y) = mD

1

m_D(x) + m_D(y)(x + y)

!

¬ 1.

Zatem

mD(x + y) ¬ mD(x) + mD(y) .

Dowód własności 3. Dla dowolnych x, y ∈ R² i każdego λ ∈ [0, 1] mamy (patrz własność 2)

m_D((1 − λ) x + λy) ¬ m_D((1 − λ) x) + m_D(λy) = (1 − λ) m_D(x) + λm_D(y) , więc mD jest funkcjonałem wypukłym. Wobec tego (patrz [20], twierdzenie 6, s 212) istnieje taka stała K ­ 0, że

|m_D(x) − mD(y)| ¬ K kx − yk , x, y ∈ B [0, 1] . Jeżeli

λ^def= max {kxk , kyk} > 1,

to 1

λx,1

λy ∈ B [0, 1] , więc

|m_D(x) − m_D(y)| = λ

   m_D

1 λx



− m_D

1 λy

   ¬ λK

1 λx − 1

λy

= K kx − yk i w rezultacie

Lip mD = Lip (mD)_|B[0,1] ¬ K < ∞.

Uwaga 1.1. W wypowiedzi cytowanego wyżej twierdzenia 6 brakuje założenia zwartości zbioru G (zawartego w wypukłej i otwartej dziedzinie W ⊂ Rⁿrozważanego tam funkcjonału wypukłego J ). Natomiast w dowodzie nierówności

Lip J|^{conv G} < ∞ zwartość zbioru G została wykorzystana.

Dowód własności 4. Niech C ⊂ R² będzie zbiorem zwartym, wypukłym, speł- niającym warunki:

0 ∈ int C, C ⊂ D.

Dla każdego x ∈ R² mamy

M_C(x) = {µ ­ 0 : x ∈ µC} ⊂ {µ ­ 0 : x ∈ µD} = MD(x) , więc

mD(x) = min MD(x) ¬ min MC(x) = mC(x) , x ∈ R². Dowód własności 5. Ustalmy dowolne x ∈ R² {0} . Ponieważ

1

mD(x)x ∈ D,

0 < ν < mD(x) ⇒ 1 νx /∈ D oraz

lim

ν↑mD(x)

1

ν = 1

m_D(x),

to 1

mD(x)x ∈ bd D.

Wynika stąd natychmiast inkluzja

nx ∈ R² : m_D(x) = 1^o⊂ bd D.

Jeżeli x ∈ bd D, to x ∈ D = 1D, więc m_D(x) ¬ 1. Wiemy już, że 1

m_D(x)x ∈ bd D.

Nie może być zatem m_D(x) < 1, bo byłoby wówczas (patrz [20], twierdzenie 3, s 155)

x = (1 − m_D(x)) 0 + m_D(x) 1 m_D(x)x

!

∈ bd D./ Dowód własności 6. Dla każdego r > 0 i każdego x ∈ R² mamy

M_B[0,r](x) = {µ ­ 0 : x ∈ µB [0, r]} = {µ ­ 0 : x ∈ B [0, µr]}

= {µ ­ 0 : kxk ¬ µr} =

"

kxk r , ∞

!

, więc

m_B[0,r](x) = kxk

r , x ∈ R².

Parametryzacja brzegu płaskiego zbioru wypukłego

Definicja 1.4. Niech D ⊂ R² będzie zbiorem zwartym, wypukłym i spełniającym warunek

0 ∈ int D.

Dla każdego α ∈ R definiujemy

ζ_D(α) = 1

m_D(ω (α))ω (α) .

Funkcję ζ_D : R → bd D nazwiemy parametryzacją brzegu zbioru D.

Lemat 1.2. Niech D ⊂ R² będzie zbiorem zwartym, wypukłym i spełniającym warunek

0 ∈ int D.

(a) Dla każdego α∗ ∈ R funkcja ζD : [α∗, α∗+ 2π) → bd D jest różnowartościowa, a poza tym

ζ_D([α∗, α_∗+ 2π)) = bd D.

(b) Istnieje takie κ ­ 1, że

Lip ζ_D ¬ κ²(κ + Lip mD) ,

a dla każdego υ ­ 1 i dowolnych α, β ∈ R prawdziwa jest implikacja

|α − β| ¬ 2π

υ ⇒ kζ_D(α) − ζ_D(β)k ­

 υ κπ

sinπ υ



|α − β| . Dowód punktu (a). Dla każdego α ∈ R mamy

m_D(ζD(α)) = 1

m_D(ω (α))m_D(ω (α)) = 1, więc z własności 5 wynika, że

ζ_D(R) ⊂ bd D.

Ustalmy dowolnie α∗ ∈ R. Różnowartościowość funkcji ζ_D : [α∗, α∗+ 2π) → bd D

jest oczywista. Obierzmy dowolnie z ∈ bd D. Skoro z 6= 0, to istnieje dokładnie jedno takie α ∈ [α∗, α∗+ 2π) , że

z

kzk = ω (α) . Korzystając ponownie z własności 5, otrzymujemy

ζ_D(α) = 1 m_D^_kzk^{z }

z

kzk = 1

m_D(z)z = z, więc

bd D ⊂ ζ_D([α∗, α∗+ 2π)) . Kończy to dowód punktu (a).

Dowód punktu (b). Ponieważ 0 ∈ int D, a D jest zbiorem ograniczonym, to istnieje takie κ ­ 1, że

B



0, 1 κ



⊂ D ⊂ B [0, κ] .

Korzystając z własności 4 i 6, dla każdego x ∈ R² otrzymujemy kxk

κ

¬ m_D(x) ¬ κ kxk . Dla każdego α ∈ R będzie zatem

1

κ ¬ m_D(ω (α)) ¬ κ oraz 1

κ ¬ 1

m_D(ω (α)) ¬ κ.

W takim razie, dla dowolnych α, β ∈ R, kζ_D(α) − ζ_D(β)k =

1

m_D(ω (α))ω (α) − 1

m_D(ω (β))ω (β)

= km_D(ω (β)) ω (α) − m_D(ω (α)) ω (β)k kmD(ω (α))k kmD(ω (β))k

¬ κ²km_D(ω (β)) ω (α) − m_D(ω (α)) ω (β)k .

Natomiast

km_D(ω (β)) ω (α) − m_D(ω (α)) ω (β)k

= kmD(ω (β)) (ω (α) − ω (β)) − (mD(ω (α)) − mD(ω (β))) ω (β)k

¬ m_D(ω (β)) k(ω (α) − ω (β))k + |m_D(ω (α)) − m_D(ω (β))| kω (β)k

¬ m_D(ω (β)) |α − β| + |m_D(ω (α)) − m_D(ω (β))|

¬ κ |α − β| + (Lip mD) |α − β| . W rezultacie, dla dowolnych α, β ∈ R,

kζ_D(α) − ζ_D(β)k ¬ κ²(κ + Lip mD) |α − β| , czyli

Lip ζD ¬ κ²(κ + Lip m^D) .

Weźmy teraz dowolne υ ­ 1, dowolne α, β ∈ R spełniające warunek

|α − β| ¬ 2π υ i przyjmijmy

1

m_D(ω (α)) = µ, 1

m_D(ω (β)) = ν.

Ponieważ

µ = 1

mD(ω (α)) ­ 1 κ

oraz ν = 1

mD(ω (β)) ­ 1 κ , to

kζ_D(α) − ζ_D(β)k² = kµω (α) − νω (β)k² = µ²+ ν²− 2µν cos (α − β)

= (µ − ν)²+ 2µν (1 − cos (α − β)) ­ 2

κ² (1 − cos (α − β))

= 4

κ² sin² α − β 2 i w rezultacie

kζ_D(α) − ζ_D(β)k ­ 2

κ sin|α − β|

2 . Przyjmijmy

γ = |α − β|

2 i zauważmy, że

γ =



1 −υ πγ



0 +

υ πγ

π

υ oraz 0 ¬ υ

πγ ¬ 1.

W przedziale ^h0,^π_υⁱ funkcja śinus"jest wklęsła, więc

sin|α − β|

2 = sin γ ­



1 − υ πγ



sin 0 +

υ πγ



sinπ υ

= υ

πγ sinπ υ =

 υ 2πsinπ

υ



|α − β| .

Zatem

kζ_D(α) − ζ_D(β)k ­ 2

κsin|α − β|

2 ­

 υ κπsinπ

υ



|α − β| .

1.4. Pogoń stożka za kierunkiem

W rozdziale szóstym będziemy potrzebować pewnej własności multifunkcji bd D 3 z 7→ N_D(z) ,

będącej odpowiednikiem własności Darboux funkcji ciągłej. Korzystając z wprowadzo- nej parametryzacji brzegu płaskiego i zwartego zbioru wypukłego opiszemy najpierw stożki prostopadłe w każdym punkcie tego brzegu.

Parametryzacja stożka prostopadłego

Załóżmy, że D ⊂ R² jest zwartym zbiorem wypukłym spełniającym warunek 0 ∈ int D.

Dla każdego α ∈ R definiujemy

Γ_D(α) = [α − π, α + π] ∩ ω⁻¹(N_D(ζ_D(α))) , γ_D⁻(α) = min Γ_D(α) , γ_D⁺(α) = max Γ_D(α) . Własności

1. Γ_D → 2^R jest funkcją górnie półciągłą.

2. α − ^π₂ + δ < γ_D⁻(α) ¬ γ_D⁺(α) < α + ^π₂ − δ, gdzie δ = min

β∈Rarc tg r

kζ_D(β)k, r = max {ρ ­ 0 : B [0, ρ] ⊂ D} . 3. ΓD(α) =^hγ_D⁻(α) , γ_D⁺(α)ⁱ.

4. Jeżeli k ∈ Z i β ∈ 2kπ + ΓD(α) , to ω (β) ∈ N_D(ζ_D(α)) . Dowód własności 1. Załóżmy, że γ_k ∈ Γ_D(α_k) , k ∈ N,

α = lim

k→∞α_k oraz γ = lim

k→∞γ_k. Dla każdego k ∈ N mamy

α_k− π ¬ γ_k ¬ α_k+ π oraz ω (γk) ∈ ND(ζD(αk)) . Zatem

α − π ¬ γ ¬ α + π, a z uwagi na górną półciągłość multifunkcji

ND : bd D → 2^R2 i ciągłość funkcji ω, również

ω (γ) ∈ N_D(ζ_D(α)) .

W rezultacie γ ∈ Γ_D(α) , co kończy dowód własności 1.

Dowód własności 2. Obierzmy dowolne γ ∈ Γ_D(α) i przyjmijmy q = ω (γ) . Ponieważ q ∈ N_D(ζ_D(α)) i mamy

rRω (α) ∈ B [0, r] ⊂ D oraz rLω (α) ∈ B [0, r] ⊂ D, to

hq, rRω (α) − ζ_D(α)i ¬ 0 oraz hq, rLω (α) − ζ_D(α)i ¬ 0.

Stąd otrzymujemy

hq, ζ_D(α)i ­ r hq, Rω (α)i oraz hq, ζ_D(α)i ­ r hq, Lω (α)i . Musi być zatem

hq, ζ_D(α)i ­ 0, bo

2 hq, ζ_D(α)i ­ r hq, Rω (α)i + r hq, Lω (α)i = r hq, Rω (α) + Lω (α)i = r hq, 0i = 0.

Wobec powyższego, skoro γ ∈ [α − π, α + π] i

0 ¬ hq, ζD(α)i = kζD(α)k hω (γ) , ω (α)i = kζD(α)k cos (γ − α) , to

−π

2 ¬ γ − α ¬ π 2. Przyjmijmy teraz

ϕ = arc tg r kζ_D(α)k i zauważmy, że

0 < δ ¬ ϕ ¬ arc tg 1 = π

4 oraz r

kζ_D(α)k = sin ϕ cos ϕ. W takim razie, skoro

0 ¬ hq, ζ_D(α) − rRω (α)i = kζ_D(α)k

*

q, ζ_D(α) kζD(α)k

+

− r

kζD(α)khq, Rω (α)i

!

= kζ_D(α)k cos (γ − α) − sin ϕ cos ϕcos



γ − α + π 2

!

= kζ_D(α)k

cos ϕ (cos ϕ cos (γ − α) + sin ϕ sin (γ − α)) = kζ_D(α)k

cos ϕ cos (γ − α − ϕ) , to

−π

2 ¬ γ − α − ϕ ¬ π 2. Podobnym sposobem, korzystając z nierówności

0 ¬ hq, ζD(α) − rLω (α)i , otrzymamy warunek

−π

2 ¬ γ − α + ϕ ¬ π 2.

W rezultacie otrzymujemy α − π

2 + δ ¬ α − π

2 + ϕ ¬ γ ¬ α +π

2 − ϕ ¬ α + π 2 − δ, co kończy dowód własności 2.

Dowód własności 3. Dowodu wymaga tylko przypadek, w którym γ_D⁻(α) < γ_D⁺(α) . Obierzmy dowolnie γ ∈^hγ_D⁻(α) , γ_D⁺(α)ⁱ i przyjmijmy

γ⁻= γ_D⁻(α) oraz γ⁺ = γ⁺_D(α) . Ponieważ (patrz własność 2)

ω^γ^−∧ ω (γ) = sin^γ − γ^−­ 0, ω (γ) ∧ ω^γ^+= sin^γ⁺− γ^­ 0, ω^γ^−∧ ω^γ^+ = sin^γ⁺− γ^−> 0,

to

ω (γ) = ω (γ) ∧ ω (γ⁺)

ω (γ⁻) ∧ ω (γ⁺)ω^γ^−+ ω (γ⁻) ∧ ω (γ)

ω (γ⁻) ∧ ω (γ⁺)ω^γ^+∈ N_D(α) . Zatem γ ∈ Γ_D(α) , a wobec dowolności γ ∈^hγ_D⁻(α) , γ_D⁺(α)ⁱ,

ΓD(α) =^hγ_D⁻(α) , γ_D⁺(α)ⁱ.

Dowód własności 4. Jeżeli k ∈ Z i β ∈ 2kπ + Γ^D(α) , to istnieje takie γ ∈ Γ_D(α) , że

β = 2kπ + γ.

Zatem

ω (β) = ω (γ) ∈ ω (Γ_D(α)) ⊂ N_D(ζ_D(α)) . Pogoń

Lemat, którego teraz dowiedziemy, będzie użyty w rozdziale szóstym w dowodzie stosownej własności strategii ataku.

Lemat 1.3. Jeżeli α, β : [t∗, ∞) → R są funkcjami ciągłymi i spełniają warunek sup

t­t∗

{α (t) − β (t)} = ∞, to istnieje takie t^∗ ­ t∗, że

ω (β (t^∗)) ∈ ND(ζD(α (t^∗))) . Dowód. Ustalmy takie k ∈ Z, że

β (t∗) > γ_D⁺(α (t∗)) + 2kπ i zdefiniujmy

t^∗ = sup







t ­ t∗ : ^{^}

s∈[t∗,t]

β (s) > γ_D⁺(α (s)) + 2kπ







.