MODELOWANIE KAWITACJI PRZY OPŁYWIE PROFILU Z ZASTOSOWANIEM ZMIENNEJ LICZBY KAWITACJI

(1)

MODELOWANIE KAWITACJI PRZY

OPŁYWIE PROFILU Z ZASTOSOWANIEM ZMIENNEJ LICZBY KAWITACJI

Dorota Homa

^1a

, Włodzimierz Wróblewski

^1b

1Instytut Maszyn i Urządzeń Energetycznych, Politechnika Śląska

adorota.homa@polsl.pl, ^bwlodzimierz.wroblewski@polsl.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono modelowanie przepływu z kawitacją w przypadku opływu wokół profilu hydraulicznego. Liczba kawitacja została dobrana w taki sposób, by zaobserwować różne typy struktur kawitacyjnych. Uży- to modelu wielofazowego typu one–fluid oraz założono izotermiczność przepływu. Do zamodelowania powstawania fazy gazowej użyto modelu Schnerr & Sauer. Ze względu na niestacjonarność zjawiska zastosowano symulacje typu transient. Porównano wyniki symulacji z danymi eksperymentalnymi dla różnych typów kawitacji. Przeanali- zowano rozkłady udziału objętościowego pary w punktach monitorujących wzdłuż profilu oraz okresy zmian struktur kawitacyjnych. Do symulacji użyto profilu ClarkY. Obliczenia przeprowadzono z użyciem kodu OpenFo- am z wykorzystaniem solvera interPhaseChangeFoam.

Słowa kluczowe: przepływ z kawitacją, model kawitacji, obliczeniowa mechanika płynów, opływ profilu hydrau- licznego, przepływ wielofazowy

MODELLING CAVITATION FOR DIFFERENT CAVITATION NUMBER IN CASE OF FLOW OVER THE FOIL

Summary

The paper concerns cavitation modelling in case of flow over a hydrofoil. Cavitation number was set to the val- ues that enable to observe different types of cavitation. Multiphase model of one-fluid type was used and isother- mal flow was assumed. To simulate vapor volume transport the Schnerr & Sauer model was used. As the investi- gated phenomenon is unsteady transient type of calculation was used. The calculation results for different cavitation types were compared with the available experimental data. The distribution of vapor volume fraction in mon- itor points over the foil as well as changes in the frequency of cavitation structures were analysed. The simulation was run on ClarkY foil. The calculations were performed using OpenFoam open source code with interPhaseChangeFoam solver.

Keywords: cavitating flow, cavitation model, computational fluid dynamics, flow over a hydrofoil, multiphase flow

1. WSTĘP

Zjawisko kawitacji jest jednym z najważniejszych zjawisk zagadnień procesu projektowania i eksploatowa- nia pomp i układów pompowych. Dobór parametrów pracy instalacji pompowej oraz projekt układu przepły- wowego powinien wykluczać pracę w warunkach kawitacyjnych, gdyż rezultatem takiej pracy może być poważne uszkodzenie łopatek wirnika i ścian kanałów międzyło- patkowych. By ograniczyć ryzyko pracy w warunkach

kawitacyjnych, warto przeprowadzić symulację przepły- wu z możliwością tworzenia się struktur kawitacyjnych.

Ważne jest, by wybrany model kawitacji prowadził do wyników jak najbliższych rzeczywistości. Celem opisa- nym badań numerycznych było przetestowanie przydat- ności modelu kawitacji Schnerr & Sauer do obliczeń przepływu z kawitacją dla przypadku opływu profilu hydraulicznego. Przeprowadzono symulacje dla warun-

(2)

ków pozwalających zaobserwować różne typy kawitacji.

Wielkością charakteryzującą przepływ kawitacyjny jest liczba kawitacji σ [11]. Definiowana jest jako:

5 2 . 0

∞

−

= u

s p p

ρ

σ (1)

p – ciśnienie absolutne, Pa

ps – ciśnienie nasycenia dla temperatury przepływu, Pa ρ_∞ – gęstość niezakłóconego przepływu (cieczy), kg/m³ u∞ – prędkość niezakłóconego przepływu, m/s

W zależności od liczby kawitacji można wyróżnić 4 typy przepływu z kawitacją [11]. Pierwszym z nich jest kawitacja zaczątkowa, którą można zaobserwować przy liczbie kawitacji 1.6 [11]. Cechą charakterystyczną jest krótki okres zmian oraz struktury kawitacyjne zaczepio- ne blisko krawędzi natarcia. Przy liczbie kawitacji 1.4 występuje kawitacja warstwowa [11]. Ten typ przepływu charakteryzuje się dłuższym okresem zmian niż w kawitacji zaczątkowej. Pojawia się większa ilość wirów kawitacyjnych oraz zwiększa się liczba pęcherzy pary w wirze. Kolejnym stadium jest tzw. kawitacja chmurowa, obserwowana przy liczbie kawitacji 0.8 [11]. Obszar w okolicy krawędzi spływu staje się mocno niestacjonarny, tworzenie się i zanikanie struktur odbywa się w znacznie dłuższym okresie niż w przypadku kawitacji warstwowej.

Ostatnim typem kawitacji jest superkawitacja. Gdy liczba kawitacji osiągnie wartość 0.4, struktura kawitacyjna zaczyna obejmować obszar daleko za profilem, jej grubość zmienia się nieznacznie w czasie [11]. Otrzymane wyniki dla każdego rodzaju kawitacji porównano z dostępnymi danymi eksperymentalnymi. Przeanalizowa- no wartości udziału objętościowego pary i ciśnienia w punktach monitorujących. Na osi odciętych umieszczono bezwymiarową odległość x/c, czyli iloraz współrzędnej odciętej i cięciwy profilu.

2. OPIS MODELU

MATEMATYCZNEGO

Badany model należy do grupy modeli typu one- fluid. Charakteryzują się one tym, że płyn jest trakto- wany jako mieszanina fazy dyspersyjnej (gazowej) i ciągłej. W modelach tego typu rozwiązywane są równa- nia zachowania dla mieszaniny (zachowania masy, pędu) oraz równanie zachowana masy dla fazy gazowej. W użytych modelach założono brak poślizgu między fazami, co oznacza, że prędkości fazy ciekłej i gazowej są równe.

Udział pary wodnej w płynie jest wyznaczany z zależno- ści [8]:

Rc Re vu t

v +∇ = −

∂

) (αρ

αρ (2)

gdzie:

α – udział objętościowy pary wodnej, ρv – gęstość pary wodnej, kg/m³

u – prędkość mieszaniny, m/s t – czas, s

Re, Rc – człony źródłowe równania zachowania masy, kg/m³s

W modelu Schnerr & Sauer człony źródłowe określa- ne są na podstawie równania Rayleigha-Plesseta (RP), które opisuje dynamikę wzrostu i zaniku pęcherzy pary wodnej [2]. Używa się uproszczonej formy równania RP z pominięciem napięcia powierzchniowego oraz członów drugiego rzędu. Równanie to w uproszczonej formie ma postać:

l B p p Dt

DrB

ρ

−

= 3 2

(3)

rB – promień pęcherza pary wodnej, m pB – ciśnienie w pęcherzu pary wodnej, Pa ρl – gęstość fazy ciekłej, kg/m³

Schnerr i Sauer założyli, że człon źródłowy można wyznaczyć z następującej zależności [10]:

Dt l D

R v α

ρ ρ ρ

= (4)

Natomiast zależność między udziałem objętościowym pary i promieniem pęcherza opisuje równanie [10]:

3 3 4 1

3 3 4

rB nB

π π α

+

= (5)

nB – liczba pęcherzy na jednostkę płynu, -

Na podstawie zależności (5) określany jest promień pęcherza:

3 1 1 4

3

1

 





 





−

=

nB rB

π α α

(6)

Ostatecznie człony źródłowe równania zachowania masy dla pary przybierają postać [10]:

s p p l s p p rB l v

Re − ≥

−

=

ρ α

α ρ

ρ

ρ ( )

3 2 ) 3 1

( (7)

s p p l

ps p rB l v

Rc − <

−

=

ρ α

α ρ

ρ

ρ ( )

3 2 ) 3 1

( (8)

3. PRZYGOTOWANIE SYMULACJI

Analizowane zagadnienie dotyczy opływu wody wokół profilu hydraulicznego ClarkY. Geometria przyjęta do obliczeń przedstawiona jest na rys.1.

(3)

Rys. 1. Geometria przyjęta do obliczeń

Długość kanału wynosi 10c, gdzie c jest długością cięciwy profilu. Początek profilu jest umiejscowiony na długości 4c od wlotu. Wysokość kanału wynosi 2.7c, profil znajduje się w połowie wysokości. Długość cięciwy przyjęta do obliczeń wynosi 70 mm. Podczas obliczeń utrzymywana jest stała prędkość na wlocie do kanału, natomiast ciśnienie statyczne na wylocie jest obniżane.

Do obliczeń został wybrany solver interPhaseChangeFo- am [3]. Ustawienia obliczeń odpowiadają ustawieniom zastosowanych w symulacjach opisanych w [9, 11].

Dzięki temu możliwe jest porównanie wyników z wynikami eksperymentu oraz z wynikami innych symulacji.

Zastosowano model turbulencji k-ω SST wybrany na podstawie literatury [4-7]. Podstawowe dane opisujące symulację zamieszczono w tabeli 1.

W modelu Schnerr & Sauer należy założyć dwa pa- rametry – liczbę zarodzi na jednostkę płynu oraz pro- mień początkowy zarodzi. W symulacji założono nB=1.6x10¹³ oraz rB=10^-6.[10]

Rozważany przypadek został zdefiniowany jako za- danie 2D - analizowany jest jedynie rozkład wielkości w płaszczyźnie prostopadłej do profilu hydraulicznego.

W rzeczywistości występują jednak także zmiany roz- kładu parametrów w kierunku prostopadłym do cięciwy profilu.

Tabela 1. Ustawienia symulacji

Długość cięciwy 70 mm

Kąt natarcia 8°

Przepływ ciepła Przepływ izotermiczny Temperatura płynu 20°C

Model turbulencji k-ω SST Warunek brzegowy ściany

boczne

Symetria

Warunek brzegowy ściana górna/dolna

Ściana

Warunek brzegowy wylot Ciśnienie statyczne, różne dla poszczególnych przy- padków

Warunek brzegowy wlot Prędkość 10 m/s Intensywność turbulencji

na wlocie

5%

Liczba Reynoldsa 700 000

W związku z tym zastosowano siatkę 2D wyciągniętą na 10 warstw komórek o grubości 1 mm. Wokół profilu zastosowano siatkę strukturalną typu C. Przed przystą- pieniem do obliczeń przeprowadzono studium niezależ- ności wyników od zastosowanej siatki numerycznej. W jego rezultacie wybrano do obliczeń siatkę z 387000 elementów. Rozkład elementów wzdłuż profilu dobrano następująco: na górnej krawędzi profilu 100 elementów, na dolnej – 75 elementów, przy krawędzi natarcia – 25 elementów. Na rys. 2. przedstawiono widok siatki oraz zagęszczenie elementów wokół profilu.

Rys. 2. Siatka numeryczna

4. KAWITACJA ZACZĄTKOWA

Gdy liczba kawitacji osiąga wartość ok. 1.6, pojawia się kawitacja zaczątkowa [1, 11]. Odpowiada to ciśnieniu na wylocie 81180 Pa. Przy krawędzi natarcia pojawiają się pęcherze pary, tworzące „grono” rozciągające się do 10% długości x/c. Następnie para tworzy strukturę o kształcie spinki, która rośnie do ok. połowy okresu, następnie zanika i cykl powtarza się. Okres zjawiska wynosi ok. 3.33 ms [11]. W przypadku obliczeń numerycznych okres wyniósł około 27.5 ms, czyli znacznie przekracza okres zaobserwowany w trakcie eksperymentu. Na rys.3. przedstawiono zmiany zachodzące w trakcie jednego okresu. Odstęp czasowy między kolejnymi obrazami wynosi 2.75 ms. Chmura kawitacyjna zaczyna rosnąć od krawędzi natarcia i po czasie 8.25 ms obejmuje całą górną część profilu. Następnie w obszarze krawę- dzi spływu zaczyna dochodzić do podziału struktury na mniejsze części, które odrywają się i zanikają w obszarze wyższego ciśnienia.

(4)

Rys. 3. Jeden okres zmian w kawitacji zaczątkowej W 27 ms przy krawędzi górnej profilu występuje jedynie ciecz, cały cykl zaczyna się od nowa. Na rys. 4.

przedstawiono rozkład uśrednionego w czasie udziału objętościowego pary wodnej oraz ciśnienia w punktach monitorujących zlokalizowanych na krawędzi górnej i dolnej profilu. Maksymalna wartość udziału objęto- ściowego pary wynosi 0.8 i występuje przy x/c ok. 0.1.

Po początkowym wzroście udziału pary przy krawędzi natarcia, przy x/c 0.2 występuje spadek tej wielkości.

Można to wytłumaczyć na podstawie obserwacji struktur na rys. 3. W okolicy wartości 0.2 występuje oderwanie chmury parowej. Następnie udział objętościowy pary rośnie do ok. 0.79 przy x/c 0.4. W kierunku krawędzi spływu udział objętościowy pary wodnej maleje. Ciśnie- nie na górnej krawędzi stopniowo zmniejsza się, natomiast na dolnej rośnie do ok. 45 kPa.

5. KAWITACJA WARSTWOWA

Obniżając ciśnienie na wylocie do wartości 72 000 Pa odpowiadającej liczbie kawitacji 1.4, można zaobserwo- wać kolejny typ kawitacji, zwany kawitacją warstwową.

Okres wyznaczony w trakcie badań eksperymentalnych wyniósł ok. 5 ms. W przypadku obliczeń numerycznych okres zmian wyniósł ok. 38 ms. Na rys. 3. przedstawiono jeden okres zmian w przypadku kawitacji warstwowej.

Powstawanie pęcherzy pary rozpoczyna się od krawędzi natarcia. Po upływie 24 ms chmura kawitacyjna obejmuje całą górną część profilu. Przez kolejne 11 ms następuje rozpad struktury w okolicy krawędzi spływu.

Owalna chmura staje się „poszarpana”, a następnie zanika.

Rys. 4. Uśrednione w czasie: udział objętościowy pary wodnej i ciśnienie w punktach monitorujących, kawitacja zaczątkowa Oderwane obłoki pary przesuwają się w obszar za krawędzią spływu, a następnie zanikają w obszarze wyższego ciśnienia. Na rys. 4. został zamieszczony wykres obrazujący wartości udziału objętościowego pary oraz ciśnienia w punktach monitorujących. Wzrost udziału objętościowego pary następuje bardzo gwałtow- nie od x/c równego 0 do wartości 0.18, gdzie osiąga maksimum wynoszące 0.8. Następnie aż do x/c wyno- szącego 0.9 następuje spadek wartości udziału objęto- ściowego pary. Minimalna wartość tej wielkości wynosi 0.25. W okolicy krawędzi spływu następuje nieznaczny wzrost udziału objętościowego pary.

(5)

Rys. 5. Jeden okres zmian kawitacji warstwowej

Rys. 6. Uśrednione w czasie: udział objętościowy pary wodnej i ciśnienie w punktach monitorujących, kawitacja warstwowa Jest to związane z zaczepieniem resztek chmury kawitacyjnej na krawędzi spływu, można to zaobserwować w czasie od 0 do 5.5 ms oraz w ok. 41 ms. Wartości ciśnień przebiegają podobnie jak w przypadku kawitacji warstwowej, jednak na górnej krawędzi nie przekraczają 30 kPa.

6. KAWITACJA CHMUROWA

Kolejnym typem kawitacji jest tzw. kawitacja chmurowa. Występuje ona przy liczbie kawitacji 0.8 [11], co oznacza, że przy zachowanych warunkach napływu należy przyjąć ciśnienie na wylocie wynoszące 42260 Pa.

Po obniżeniu ciśnienia na wylocie obszar w pobliżu krawędzi spływu staje się silnie niestacjonarny. Okres zmian wynosi ok. 50 ms [11]. Chmura kawitacyjna tworzy się na początku cyklu w pobliżu krawędzi natarcia profilu. Rośnie oraz przesuwa się w kierunku prze- pływu z pęcherzami pary poruszającymi się zgodnie z ruchami wskazówek zegara. Od około połowy cyklu następuje gwałtowne odrywanie się wirów. W związku z ich dynamiką pojawia się wyższe ciśnienie przy krawę- dzi górnej profilu, które powoduje oderwanie się struktury kawitacyjnej. Pojawia się przepływ powrotny, który wdziera się wzdłuż górnej krawędzi profilu w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu. Gdy przepływ powrotny osiągnie obszar krawędzi natarcia, cały pozo- stała struktura kawitacyjna zostaje oderwana od krawę- dzi profilu i zanika w obszarze wyższego ciśnienia. Cykl zaczyna się od nowa. Na rys. 7 przedstawiono jeden okres kawitacji chmurowej. Okres w przypadku obliczeń wyniósł 42 ms, co dobrze koresponduje z okresem poda- wanym na podstawie badań eksperymentalnych.

Po 5.5 ms chmura kawitacyjna obejmuje całą górną część profilu. Następnie można zaobserwować odrywanie się struktury kawitacyjnej od krawędzi profilu.

Od ok. 11 ms obszar w pobliżu krawędzi spływu staje się bardzo niestabilny. Po 27 ms następuje stopniowe zmniejszanie się chmury kawitacyjnej od strony krawę- dzi spływu. W 38.5 ms można zaobserwować, że struktura kawitacyjna cofa się, obejmuje już jedynie połowę krawędzi górnej profilu. Ostatecznie cała chmura kawitacyjna znika, cykl zaczyna się od początku.

(6)

Rys. 7. Jeden okres zmian kawitacji chmurowej

Rys. 8. Uśrednione w czasie: udział objętościowy pary wodnej i ciśnienie w punktach monitorujących, kawitacja chmurowa

Na rys. 8 przedstawiono uśrednione w czasie wartości udziału objętościowego pary oraz ciśnienia w punktach monitorujących. Podobnie jak w przypadku kawitacji warstwowej, udział objętościowy pary wodnej szybko rośnie do x/c ok. 0.2. Maksymalna wartość udziału pary wynosi 0.75, mniej niż w przypadku kawitacji warstwowej. Od x/c równego 0.2 aż do końca krawędzi udział pary systematycznie obniża się, osiągając minimum wynoszące 0.4 przy x/c 0.8. W obszarze krawędzi spły- wu występuje wzrost udziału objętościowego pary,

w podobny sposób jak w przypadku kawitacji warstwowej. Dla przepływu z kawitacja chmurową można stwierdzić, że udział objętościowy pary osiąga niższe wartości niż w kawitacji warstwowej, ale jest bardziej równomierny, wartość minimalna jest wyższa. Dzieje się tak dlatego, że w przypadku kawitacji chmurowej wy- stępuje przepływ powrotny fazy ciekłej, przylegającej do krawędzi górnej profilu. Za krawędzią spływu występują silnie niestacjonarne struktury pary wodnej, sięgające dalej niż w przypadku kawitacji warstwowej. Analizując wartości ciśnienia w punktach monitorujących, można zauważyć znacznie niższe wartości na krawędzi górnej profilu, nieprzekraczające 12 kPa.

7. SUPERKAWITACJA

Ostatnim etapem kawitacji jest superkawitacja. Ten typ charakteryzuje się liczbą kawitacji 0.4 [11], co odpowiada ciśnieniu na wylocie 22300 Pa. W związku z silnie obniżonym ciśnieniem struktura kawitacyjna obejmuje cały profil hydrauliczny. W trakcie eksperymentu zaobserwowano wyraźną granicę między strukturą kawita- cyjną a przepływem fazy ciekłej.Prędkość, z jaką poru- szają się pęcherze pary, jest taka sama jak dla niezakłó- conego przepływu fazy ciekłej, w przypadku superkawitacji nie zaobserwowano dużych struktur wirowych fazy dyspersyjnej. Zmiany grubości chmury kawitacyjnej są niewielkie, nie występuje cykliczny charakter zmian [11].

W przypadku obliczeń numerycznych zaobserwowano znaczny wzrost chmury kawitacyjnej, co pokazano na rys 9. Wzrost następuje przez 22 ms, następnie przez kolejne 22 ms struktura jest stała. Po tym czasie zaczyna się kurczyć, po kolejnych 33 ms struktura zaczyna się rozmywać. Następnie przez 11 ms występuje oderwanie struktury od krawędzi profilu, z jednoczesnym tworze- niem się nowej chmury, począwszy od krawędzi natarcia.

(7)

Rys. 9. Jeden okres zmian superkawitacji

Rys. 10. Uśredniony w czasie: udział objętościowy pary wodnej i ciśnienie w punktach monitorujących, superkawitacja

Na rys. 10. przedstawiono wartości uśrednione w czasie udziału objętościowego pary wodnej i ciśnienia w punktach monitorujących. Przebieg tych wielkości w punktach na górnej krawędzi profilu jest podobny jak w przypadku pozostałych typów kawitacji. Udział objętościowy pary rośnie do x/c ok. 0.2, następnie maleje aż do x/c 0.9, w okolicach krawędzi spływu nieznacznie rośnie. Zmiany jednak są widoczne w obszarze ponad krawędzią górną profilu. W widoczny sposób chmura kawitacyjna obejmuje znacznie większy obszar niż w przypadku pozostałych typów kawitacji. Rozkład ciśnienia na dolnej krawędzi jest podobny do kawitacji zaczątkowej.

8. PODSUMOWANIE

W wyniku przeprowadzonych obliczeń numerycznych można zauważyć, że w przypadku kawitacji zaczątkowej oraz warstwowej otrzymywany okres zmian struktur kawitacyjnych jest znacznie dłuższy niż ten zaobserwowany w eksperymencie. W przypadku kawitacji chmurowej okres jest bliski okresowi uzyskanemu w trakcie eksperymentu. Okres w przypadku superkawitacji był znacznie dłuższy niż w przypadku kawitacji chmurowej, ok. 90 ms, jednak w trakcie przeprowadzania eksperymentu nie zauważono okresowych zmian struktur.

Rozkłady uśrednione w jednym okresie udziału objęto- ściowego pary i ciśnienia mają podobny charakter, różnią się jednak uzyskiwanymi wartościami minimal- nymi i maksymalnymi. Stosowanie modelu kawitacji Schnerr & Sauer pozwala uzyskać symulacje przepływu z kawitacją charakteryzujące się głównymi cechami tego typu przepływu (cykliczność zmian, dynamika struktury kawitacyjnej).

Jednakże uzyskany w trakcie obliczeń okres zmian różni się od wartości zaobserwowanych w trakcie eksperymentu. Przyczyny rozbieżności będą przedmiotem przyszłych badań. Do pełnej analizy należy także dołą- czyć analizę współczynnika siły nośnej i siły oporu dla różnych typów kawitacji. Nie mniej jednak dotychcza- sowe analizy pozwalają stwierdzić, że model matema- tyczny kawitacji Schnerr & Sauer dobrze odwzorowuje przepływy z kawitacją wokół profilu hydraulicznego.

Literatura

1. Arndt R.: Some remarks on hydrofoil cavitation. “Journal of Hydrodynamics” 2012, Vol(24)3, p. 305-314.

2. Brennen C. E.: Cavitation and bubble dynamics. Oxford University Press 1995.

3. Gosset A., Casas V.D. and Pena F.L.: Evaluation of the cavitating foam solver for low Mach number flow around a 2D hydrofoil. In: Fifth OpenFOAM Workshop, 2010, Gothenburg, Sweden.

4. Huang B., Wang G.: Partially averaged Navier-Stokes methods for time-dependent turbulent cavitating flows.

“Journal of Hydrodynamics” 2011, Vol.23(1), p. 26-33.

(8)

5. Li D. Q., Grekula M., Lindell P.: A modified SST k- turbulence model to predict the steady and unsteady sheet cavitation on 2D and 3D hydrofoils. In: Proceedings of the 7th International Symposium on Cavitation CAV2009, Ann Arbor, Michigan, USA, 2009, Vol. 1, p. 39-51.

6. Li, D. Q., Grekula, M., Lindell P.: Towards numerical prediction of unsteady sheet cavitation on hydrofoils. In:

9th International Conference on Hydrodynamics. Shanghai, China, 2010, “Journal of Hydrodynamics” Vol.22(5), supplement: p. 741-746.

7. Li Z., Pourquie M., Van Terwisga T.: A numerical study of steady and unsteady cavitation on a 2D hydrofoil.

In: 9th International Conference on Hydrodynamics. Shanghai, China, 2010, “Journal of Hydrodynamics”

Vol.22(5), supplement: p. 770-777.

8. Puffary B.: Numerical modelling of cavitation, design and analysis of high speed pumps. Educational Notes RTO-EN-AVT-143, 2006, paper 3, p. 3-1 – 3.54..

9. Roohi E., Zahiri A. P. and Pasandideh-Fard M.: Numerical simulation of cavitation around a two – dimensional hydrofoil using VOF method and LES turbulence. “:Applied Mathematical Modelling” 2013, Vol. 37 (9), p.

6469-6488.

10. Yuan W., Schnerr G. H., Sauer J.: Modeling and computation of unsteady cavitating flows in injection nozzles.

“Mecanique and Industries Journal” 2001, Vol. 2, p. 383-394.

11. Wang G., Senocak I., Shyy W., Ikohago T. and Cao S.: Dynamics of attached turbulent cavitating flows. “Pro- gress in Aerospace Sciences” 2001, 37 p. 551- 581.