Wykład IX. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM NAPIĘĆ.
METODA OCZKOWA. METODA WĘZŁOWA
Równania równowagi względem napięć
Zakładając, że obwodzie nie występują gałęzie bezrezystancyjne (tzn. są tylko takie, jakie pokazano poniżej na rysunku, przy czym Ek oraz Iźr.k mogą być równe zeru), zapisano zależności (4.10a) i (4.10b):
Uk =Rk ⋅Ik −Ek , k = 1, .. , g ,
U R I E
g g g g
g×1 × ×1 ×1
−
⋅
= ,
w następującej postaci:
(
k k)
k k k kk
k G U E G U G E
I = ⋅ + = ⋅ + ⋅ , k = 1, .. , g , (4.15a)
E G U G
I
g g g g g g g×1 × ×1 × ×1⋅ +
⋅
= , (4.15b)
przy czym konduktancja k-tej gałęzi
k
k R
G = 1 , zaś macierz konduktancji gałęziowych
[ ]
kk g g[
g]
g g
G G G
G
= G × =diag 1, 2 ,...,×
. (4.15c) W związku z tym, wyrażenia (4.7c) i (4.7d):
źrk
h g
k ik k
g
k
ik I I .
1 1
) (− ⋅
=
⋅
∑
∑
+=
= λ λ , i = 1, ... , m ,
c źr c
I I
h g h g g m
g
m .
1 ) ( )
1 ×( + + ×
×
×
⋅
=
⋅
− λ
λ
,przybierają formy:
k źr h
g
k
ik k
k g
k
ik k
k g
k
ik G U G E I .
1 1
1
) ( )
(− ⋅ ⋅ + − ⋅
=
⋅
⋅
∑ ∑
∑
+=
=
=
λ λ
λ , i = 1, ... , m , (4.16a)
c źr c
I G E
U G
h g h g g m
g g g g m
g g g
m .
1 ) ( ) 1 (
1
) ( )
(
× + +
× ×
× ×
×
×
×
⋅ +
⋅
⋅
=
⋅
⋅
− λ − λ
λ
(4.16b)albo
I
wE G U
G
g m g g g g m
g g g
m 1 1 1
) (
× ×
× ×
×
×
×
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
− λ
λ
, (4.16c) gdziec źr c
w
I
I
h g h g m
m .
1 ) ( ) (
1 × + + ×
×
⋅
=
− λ
jest wektorem wydajności źródeł prądowych do węzłów (4.12d).Wyrażenia (4.16b) lub (4.16c), wraz z napięciowym równaniem równowagi (4.9b):
n g
U
g n× ⋅ × = ×
δ
10
1 ,tworzą razem układ g równań z g niewiadomymi, którymi są napięcia gałęziowe (równania obwodu względem napięć). Równania te można zapisać łącznie, w dwóch równoważnych postaciach, jako:
- pełne równanie równowagi względem napięć
c źr c
E I G U
G
h g h g n
h g m g g g g n
g m
g g n
g m
g g g n
g m
.
1 ) ( ) ( . . . .
) (
1 .
. . . 1 .
. . . .
. . .
0 0 0
0
+ ×+
× +
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
− λ − λ
δ λ
, (4.17a) Iźr.k
Ek Rk ; Gk Ik
Uk
albo
' 0
0
0
( .)1) ( . . . .
) (
1 .
. . . .
. .
. źrc
c
U I G
h g h g n
h g m g g n
g m
g g g n
g m
× + +
× +
×
×
×
×
×
×
× ⋅
=
⋅
+
⋅
− λ
δ λ
, (4.17b)
- skrócone równanie równowagi względem napięć
=
⋅
×
×
×
×
×
0 '
1 . . . . . .
1
1 . . . . .
n m g
g n
g
m i
I
wU G
δ
, (4.18) gdzie:- wektor zastępczych źródłowych prądów gałęzi i pseudogałęzi
=
×
×
×
+ źrh
źr c
źr
I
I I
h g
h
g .
.
1 . . . . .
1
1 ) (
'
'
, (4.19a)- wektor zastępczych źródłowych prądów gałęziowych źr
źr
G E I
I
g g g
g 1 g 1 1
'
× ×
× ×
+
⋅
= , (4.19b)
- macierz konduktancji gałęziowych w węzłach (skierowanych od węzłów)
m g m g g g
G
iG
× =
λ
× ⋅ × , (4.19c) - wektor zastępczych wydajności źródeł do węzłów, tj. zastępczych źródłowych prądów dopływa- jących do węzłów (wydawanych do węzłów)w i
c źr c
w
G E I G E I
I
g m g m h
g h g g m
g g g m
m1 1 ( ) ( )1 1 1
) (
) ( )
(
'
.× ×
×
× + +
× ×
× ×
×
+
⋅
=
⋅ +
⋅
⋅
=
− λ − λ −
. (4.19d)albo
' ( )
.'
1 ) ( ) ( 1 1
1 w c źrc
w
G E I I
I
h g h g m g m
g g g m
m× × × × × × + + ×
⋅
= +
⋅
⋅
=
− λ − λ
. (4.19e) Wektor Iźr’ złożony z g elementów odnosi się do zastępczychgałęzi o postaci prądowej (rys. obok). Wyraża on wartości prą- dów źródłowych gałęzi danych w postaci prądowej albo otrzy- manych po sprowadzeniu gałęzi o postaci napięciowo-prądowej lub napięciowej do postaci prądowej.
Trzeba wyjaśnić, że:
- elementy macierzy Gi są konduktancjami k-tych gałęzi, przy czym opatrujemy je znakiem
„plus”, jeśli prąd Ik wypływa z i-tego węzła, a znakiem „minus”, jeśli prąd Ik dopływa do i-tego wę- zła,
- elementy wektora Iw’ są zastępczymi źródłowymi prądami, dopływającymi do kolejnych wę- złów, tzn. sumami zastępczych źródłowych prądów gałęziowych i prądów pseudogałęzi, dopływają- cych do węzłów (zgodnie z umową, napięcia źródłowe i prądy źródłowe mają taki sam zwrot jak prądy w rezystancjach gałęziowych).
Iźr.k’ Ik’ Gk
Uk
Przykład. Obwód – z poprzednich przykładów – jest pokazany na rys. a; graf obwodu – na rys. b.
Na schemacie obwodu zaznaczono napięcia gałęziowe. Obliczane są ich wartości, a następnie – wartości prądów gałęziowych.
Węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2) wybrano tak, jak poprzednio. Źródło prądowe i gałąź z prądem I4 są jednym obiektem (w obwodzie nie ma pseudogałęzi, więc h = 0).
I. Wyznaczono macierze incydencji, macierz konduktancji gałęziowych oraz wektory źródłowych napięć i prądów gałęziowych:
=
× 0 1 0 -1 0 1 1 - 1
λ
-g m
,
λ λ
g h m g
m c
+ ×
×
=
) (
,
=
× 0 1 1 1 0 1 0
δ
1g n
,
G
g g× =
1
10 0 0 0 0 1
10 0 0 0 0 1
24 0 0 0 0 1 10
,
=
×
180 0
0 140
E
1 g,
=
×
4,6 0 0 0
1
I
źrg
,
źr c
źr
I
I
g h
g )1 1
( .
×
× +
= .
Ze wzoru (4.19b) wyznaczono wektor zastępczych źródłowych prądów gałęziowych
=
+
⋅
=
=
×
×
22,6 0
0 14
4,6 0 0 0
180 0
0 140
10 1 0 0 0
0 24 1 0 0
0 0 10 1 0
0 0 0 10
1
. .
1 1
'
źrcc
źr
I
I
g g
.
Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.17b):
⋅
=
⋅
+
⋅
22,6 0
0 14
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 1 - 0
0 1 - 1 1
1 1 1 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
10 1 0 0 0
0 24 1 0 0
0 0 10 1 0
0 0 0 10
1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 - 0 1 0
0 1 1 - 1 -
4 3 2 1
U U U U
. a) b)
1 2
1 2
3 4
1 2
I1 10Ω I2 10Ω 10Ω I4
140V
I3
1 2
1 24Ω 2 4,6A
U1 U2 180V
U3 U4
Po wykonaniu działań (wyniki można odczytać ze schematu, zgodnie z podanymi wyżej regułami):
−
−
−
=
×
10 1 0 10 1 0
0 24 1 10 1 10
1
G
ig m
,
=
× 22,6
'
141
I
wm
,
otrzymano równanie w skróconej formie (4.18):
=
⋅
−
−
−
0
0 22,6 14
1 1 1 0
0 1 0 1
10 1 0 10 1 0
0 24 1 10 1 10
1
4 3 2 1
U U U U
, którego rozwiązaniem jest
=
=
×
179 -
132
47
132 -
4 3 2 1
1
U U U U
U
gV.
II. Zapisano równania równowagi – wg schematu obwodu – na podstawie wzorów: (4.16a) i (4.9a), pamiętając o przeciwnych zwrotach prądu i napięcia gałęziowego (sumowanie napięć przy prze- ciwnym zwrocie obiegu oczka):
10 140 1 24
1 10
1 10
1
3 2
1− + = ⋅
− U U U ,
6 , 4 10 180
1 10
1 10
1
4
2 − U = ⋅ +
U ,
3 0
1+U =
U ,
4 0
3
2 +U +U =
U .
Równanie macierzowe, scalające powyższy układ równań, odpowiada podanemu wyżej równaniu skróconemu.
III. Obliczono wartości prądów gałęziowych, wg wzoru (4.15a):
I1 = G1 (U1 + E1) = 0,8 A; I2 = G2 U2 = 4,7 A; I3 = G3 U3 = 5,5 A; I4 = G4 (U4 + E4) = 0,1 A.
Metoda oczkowa (dla obwodów ze źródłami napięciowymi)
Przedmiotem rozważań są obwody liniowe prądu stałego, w których nie ma idealnych źródeł prądowych, tzn. nie występują pseudogałęzie, a wszystkie aktywne gałęzie (gałęzie zastępcze) mają postać napięciową (rys. obok).
Dla ujednolicenia zapisu wszystkie prądy gałęziowe i źródłowe napięcia gałęziowe są traktowane jako prądy oraz źródłowe napięcia zastępczych gałęzi o postaci napięciowej.
Umyśliwszy sobie takie prądy Iol (l = 1, ... , n), zwane prądami oczkowymi, które płyną wokół n oczek niezależnych, przedstawia się prądy gałęziowe jako sumy lub różnice niektórych z tych prą- dów, stosownie do incydencji oraz zwrotów gałęzi i oczek:
I
oI
n n g
g 1
'
1× ×
×
⋅
=
α
, (4.20a) gdzie wektor prądów oczkowych[ ]
n ol n
I
o I× = ×
1
1 . (4.20b) Elementy macierzy przekształcenia αααα wyznacza się wg tych sa- mych reguł, co elementy macierzy incydencji δδδδ (chodzi o incy- dencję oczek i gałęzi oraz o zwrot obiegu oczka i zwrot incy- dentnej z nim gałęzi). Wyjaśniono to obok na rysunku.
Ik’ Ek’ Rk
Uk
k
δlk =1 l
Ikl =Iol =αkl ⋅Iol ; αkl =1 αkl =δlk
ΣIkl =Ik >0 Rk
Iol
Macierz incydencji δδδδ określa przynależność gałęzi do oczek. Macierz przekształcenia αααα określa przynależność oczek do gałęzi. Przestawione są więc wskaźniki elementów, co oznacza, że ma- cierz αααα jest macierzą transponowaną macierzy δδδδ :
T n g T
g n n
g
δ δ
α
× = × = × , (4.20c) zatemT
I
oI
n n
g 1
'
g 1× ×
×
⋅
=
δ
. (4.20d) Napięciowe równanie równowagi (4.11b):n g g g
R I
g n gE
g× ⋅ × ⋅ × = × ⋅ ×
δ
1δ
1, po podstawieniach: I = I’ ,E = E’ i (4.20d), przyjmuje postać:
'
1 1
I E
R
g n g g Tn g g g g
n o
×
× ×
×
×
×
⋅
=
⋅
⋅
⋅
δ δ
δ
, (4.21a) co można zapisać jako'
1
1 o
o
o
I E
R
n n n
n× × ×
=
⋅ , (4.21b) gdzie:
- macierz rezystancji oczkowych (własnych i wzajemnych)
n n n g g g g n
T
n g g n
R
oR R
l T× × × × × ×
=
δ
⋅ ⋅δ
= ⋅δ
, (4.21c) - określona wzorem (4.12c) macierz rezystancji gałęziowych w oczkachn g n g g g
R
lR
× =
δ
× ⋅ × , (4.21d) - określony wzorem (4.13e) wektor zastępczych źródłowych napięć gałęziowychI
źrR E E
g g g g
g 1
'
1 1× ×
×
× = + ⋅ . (4.21e) - określony wzorem (4.13f) wektor źródłowych napięć (sem) oczkowych
' '
1 1
E E
g g n n
o × ×
×
⋅
=
δ
. (4.21f) Dzięki przekształceniu (4.20a), liczba rozwiązywanych równań obwodu zmniejsza się z g równań równowagi (g – liczba gałęzi) do n równań oczkowych (n – liczba oczek niezależnych).Macierz rezystancji oczkowych (symetryczna)
n n
[ ]
jl n n
R
o R× = × , (4.22) gdzie: j, l – numery oczek,
składa się z następujących elementów:
- leżących na głównej przekątnej (j = l) rezystancji własnych oczek Rjj , które są sumami rezy- stancji gałęzi wchodzących w skład j-tych oczek,
- leżących poza przekątną główną, symetrycznie po obu jej stronach (j ≠ l), rezystancji wzajem- nych oczek Rjl = Rlj , których wartości bezwzględne są równe wartościom rezystancji gałęzi wcho- dzących jednocześnie w skład j-tych i l-tych oczek, natomiast znaki zależą od zgodności obiegania tych wspólnych rezystancji w rozważanych oczkach, tzn. przy zgodnym zwrocie obiegu w oczkach j-tym i l-tym Rjl = Rlj są dodatnie, a przy przeciwnym – ujemne.
Warto przypomnieć, że reprezentantami wybranych oczek niezależnych obwodu są oczka podsta- wowe grafu obwodu, tworzone przez konary drzewa i jego cięciwy. Prądy oczkowe są wobec tego prądami w gałęziach obwodu reprezentowanych przez cięciwy. Prądy w gałęziach obwodu repre- zentowanych przez konary są natomiast liniową kombinacją prądów oczkowych, zwykle sumą dwóch z nich, albo różnicą.
Przykład 1. Obwód dany – rys. a; obwód zastępczy (po zamianie źródła prądowego) – rys. b; graf obwodu zastępczego – rys. c. Obliczane są prądy gałęziowe obwodu danego.
Zaznaczonym oczkom niezależnym: 1 i 2, odpowiadają prądy oczkowe: Io1 i Io2 Zapisano równanie oczkowe (4.21b) obwodu zastępczego:
=
⋅
226 140 44
24
24 34
2 1 o o
I
I i rozwiązano je uzyskując
=
4,7 0,8
2 1 o o
I
I A.
Określono wartości prądów gałęziowych w obwodzie zastępczym (wg rys. b) i danym (wg rys. a):
I1 = Io1 = 0,8 A, I2 = Io2 = 4,7 A, I3 = Io1 + Io2 = 5,5 A, I4 = I2 – 4,6 = 0,1 A.
Przykład 2. Obwód dany (z przyjętymi prądami oczkowymi) pokazano na rys. a. Obliczane są prą- dy gałęziowe tego obwodu.
Rozwiązaniem równania oczkowego danego obwodu (rys. a):
=
⋅
15 -
15 -
30 3
3 - 0
3 - 12 6 -
0 6 - 9
3 2 1
o o o
I I I
, jest
=
7 -
2 -
2
3 2 1
o o o
I I I
, zatem: I1 = Io1 = 2 A, I2 = Io2 = –2 A,
I3 = Io1 – Io2 = 4 A, I4 = –Io3 = 7 A, I5 = Io2 – Io3 = 5 A, I6 = –Io2 = 2 A.
Postawiony problem można rozwiązać prościej (szybciej), ponieważ gałąź nr 4 jest bezrezystancyjna i źródło tej gałęzi zasila bezpośrednio gałąź nr 5. Wartość prądu I5 = 5 A oblicza się z prawa Ohma.
Eliminując gałąź nr 5 (połączenie „nieistotne” dla części obwodu poza gałęziami nr 4 i 5), otrzymuje się obwód pomocniczy o dwóch oczkach, pokazany na rys. b. Rozwiązaniem jego równania:
=
⋅
30 -
30 9
6 -
6 - 9
2 1
o o
I
I , jest
=
2 -
2
2 1
o o
I
I , zatem I1 = Io1 = 2 A, I2 = Io2 = –2 A,
I3 = Io1 – Io2 = 4 A, I6 = –Io2 = 2 A, oraz I5 = 5 A, I4 = I5 – I2 = 7 A.
Metoda węzłowa (dla obwodów ze źródłami prądowymi)
Przedmiotem rozważań są obwody liniowe prądu stałego, w któ- rych nie występują gałęzie będące idealnymi źródłami napięcio- wymi (wszystkie aktywne gałęzie można sprowadzić do postaci prądowej – rys. obok); mogą też występować pseudogałęzie.
Dla ujednolicenia zapisu wszystkie źródłowe prądy gałęziowe są traktowane jako źródłowe prądy zastępczych gałęzi o postaci prądowej.
a) b) c)
1 2
1 3 2
I1 10Ω I2 20Ω
140V
I3
Io1
Io2 226V 24Ω I1 10Ω I2 10Ω 10Ω I4
I3
4,6A 140V
24Ω 180V
Iźr.k’ Gk
Uk
a) b) I1 3Ω I2 3Ω I4
I3
30V
6Ω 15V
3Ω I5
I6
15V
Io1 Io2 Io3
I1 3Ω I2 3Ω I3
30V
6Ω 15V
I6
15V
Io1 Io2
Zgodnie z zależnością (4.16b), prądowe równanie równowagi wyraża się następująco:
c źr c
I E
G U
G
h g h g g m
g g g g m
g g g
m .
1 ) ( ) 1 (
1
) ( )
(
× + +
× ×
× ×
×
×
×
⋅ +
⋅
⋅
=
⋅
⋅
− λ − λ
λ
(4.23)Jeśli jeden z węzłów obierze się za węzeł odniesienia i przypisze mu potencjał równy zeru Vo = 0, to zależności między potencjałami w pozostałych węzłach Vi (i = 1, ... , m) i napięciami gałęziowy- mi Uk (k = 1, ... , g) można przedstawić za pomocą wyrażenia:
g g m m
U V
× = × ⋅ ×
1
β
1 , (4.24a) gdzie wektor potencjałów węzłowychm
[ ]
i mV
V× = ×
1 1 . (4.24b) Elementy macierzy przekształcenia ββββ wyznacza się wg tych sa- mych reguł, co elementy macierzy incydencji λλλλ (chodzi o incy- dencję węzłów i gałęzi oraz o zorientowanie gałęzi względem incydentnych z nią węzłów). Wyjaśniono to obok na rysunku.
Macierz incydencji λλλλ określa przynależność gałęzi do węzłów. Macierz przekształcenia ββββ określa przynależność węzłów do gałęzi. Przestawione są więc wskaźniki elementów, co oznacza, że ma- cierz ββββ jest macierzą transponowaną macierzy λλλλ:
T m g T
g m m
g
β λ λ
×
× ×
=
= , (4.24c)
zatem
U V
m m g g
T
1
1 × ×
×
⋅
=
λ
. (4.24d) Podstawiając (4.24d) do (4.23) otrzymuje się równanie:c źr
T
V G E
cI
G
h g h g g m
g g g m m
m g g g g
m .
1 ) ( ) 1 (
1
) ( )
(
× + +
× ×
× ×
× ×
×
×
⋅ +
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
λ − λ − λ
λ
. (4.25a)co można zapisać w następującej, krótszej postaci:
'
1 w1
w
V I
G
m m m
m× × ×
=
⋅ , (4.25b) gdzie:
- macierz konduktancji węzłowych (własnych i wzajemnych)
m m m g g g g m m g g m
G
wG
TG
i T× × × × × ×
=
λ
⋅ ⋅λ
= ⋅λ
, (4.25c) - określona wzorem (4.19c) macierz konduktancjii gałęziowych w węzłachm g m g g g
G
iG
× =
λ
× ⋅ × , (4.25d) - określony wzorem (4.19d) wektor zastępczych wydajności źródeł do węzłów, tj. zastępczych źródłowych prądów dopływających do węzłów (wydawanych do węzłów)w i
c źr c
w
G E I G E I
I
g m g m h
g h g g m
g g g m
m1 1 ( ) ( )1 1 1
) ( )
( )
(
'
.× ×
×
× + +
× ×
× ×
×
+
⋅
=
⋅ +
⋅
⋅
=
− λ − λ −
. (4.25e)Dzięki przekształceniu (4.24d), liczba rozwiązywanych równań obwodu została zmniejszona: z g równań równowagi (g – liczba gałęzi) do m równań węzłowych (m – liczba węzłów niezależnych).
Macierz konduktancji węzłowych (symetryczna)
m m
[ ]
jk m m
G
w G× = × , (4.26)
i k j
λik =1 λjk =–1 Vi Ik Gk Vj
βki =1=λik ; βkj =–1= λ
Uk =Vi –Vj
Uk =βki ⋅Vi –βkj ⋅Vj
gdzie: j, k – numery węzłów, składa się z następujących elementów:
- leżących na głównej przekątnej (j = k) konduktancji własnych węzłów Gjj , które są sumami konduktancji gałęzi incydentnych z j-tym węzłem,
- leżących poza przekątną główną, symetrycznie po obu jej stronach (j ≠ l), konduktancji wza- jemnych węzłów Gjk = Gkj , które są wartościami konduktancji gałęzi incydentnych jednocześnie z węzłami: j-tym i k-tym, wziętymi ze znakiem „minus”.
Przykład. Obwód dany – rys. a; obwód zastępczy (po zamianie źródeł napięciowych) – rys. b; graf obwodu – rys. c. Obliczane są potencjały w węzłach, następnie – prądy gałęziowe obwodu danego, po czym sporządzany jest bilans mocy obwodu.
Wybrano węzły niezależne (1 i 2) i oznaczono potencjały węzłowe (V1 i V2).
Zapisano równanie węzłowe (4.25b) obwodu zastępczego – wg rys. b:
= +
⋅
+ +
+
,6 4 18
14 10
1 10 1 10 - 1
10 - 1 24
1 10
1 10
1
2 1
V
V , tzn.
29 120 - 1
10 - 1
10 1 5
14 22,6
⋅
=
V
V
1 2
,
którego rozwiązaniem są następujące wartości potencjałów w węzłach: V1 = 132 V i V2 = 179 V.
Wobec tego, prądy w gałęziach danego obwodu – wg rys. a – wynoszą:
I1 = G1 (E1 – V1) = 0,8 A, I2 = G2 (V2 – V1) = 4,7 A, I3 = G3 V1 = 5,5 A, I4 = G4 (E2 – V2) = 0,1 A.
Moce wydawane przez źródła oraz odbierane w rezystorach wynoszą:
4 , 953 6 , 4 179 1 , 0 180 8 , 0
. 140
1 .
. =
∑
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑
= kgen
n
k
gen k k
gen
k U I
P W,
4 , 953 1
, 0 10 5 , 5 24 7 , 4 10 8 , 0
10 2 2 2 2
1 2
. =
∑
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑
= n
k
k k k
odb
k R I
P W,
tzn. bilansują się
∑
=∑
k odb k k
gen
k P
P. . .
a)
b)
1 2
1 2
3 4
I1 10Ω I2 10Ω 10Ω I4
140V
I3
V1 V2
4,6A 24Ω
(E1)
180V V2 –V1
V1 V2
(E2)
E1 –V1 E2 –V2
V0 =0V
I1 I2 10Ω I4
I3
V1 V2
4,6A
10Ω 24Ω 10Ω V0 =0V
I4’ I1’
14A 18A
c)
!["Sztuka w służbie reformacji : śląskie ambony 1550-1650", Jakub Pokora, Warszawa 1982 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)