Jak myśl uczynić widzialną

(1)

R O C Z N IK I P O L S K IE G O T O W A R Z Y S T W A M A T E M A T Y C Z N E G O SE R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 20(1998)

Frantiśek Kufina

Uniwersytet K arola w Pradze

Jak myśl uczynić widzialną

¹

Jest to artykuł o geometrii, ale nie o poznawaniu przestrzeni, ani o logicznej strukturze geometrii, ani o rozwiązywaniu zadań geometrycznych. Jest on o niewerbalnym przedstawianiu — przede wszystkim w matematyce, o tak zwa

nej wizualizacji. W artykule tym będą się przeplatać myśli różnych autorów i rysunki. Na drugim planie naszych rozważań stoi pytanie, czy w ogóle należy propagować wizualny sposób prezentacji myśli, czy można takim sposobem rozwijać myślenie.

Zadumajcie się najpierw nad rysunkami 1 i 2.

rys. 1. rys. 2.

Moim zdaniem można na ich przykładzie pokazać dwie charakterystyczne cechy informacji wizualnej: różni ludzie mogą je rozumieć różnie i informacja nie musi być jednakowo zrozumiała dla wszystkich.

W jednej ze swoich wcześniejszych prac (Kufina, 1969) opublikowałem ry-

1 Jak ućinit myślenku viditelnou. Artykuł ukazał się po czesku w Vyucovani matematice a kultivace myśleni, Prace katedry matematiky V S P Hradec Kralowe, 6 /1 9 9 7 , 61 -7 6. Publi

kujemy go za zgodą autora oraz Redakcji.

(2)

sunek 3, z którego wynika dowód twierdzenia cosinusów dla trójkąta ostrokąt- nego. Do dnia dzisiejszego nie wiem, czy taki dowód wprowadził przede mną inny autor, ale jestem przekonany, że tą ilustracją zaproponowałem dydak

tyczny zabieg, który od lat osiemdziesiątych nazywa się wizualizacją (Zimmer- mann, 1991). Podobnych poglądowych dowodów twierdzenia cosinusów można znaleźć cały szereg. Dla zaspokojenia ciekawości czytelnika przypomnę dwa.

Pierwszy opiera się na potędze punktu względem okręgu, a jego autorem jest Sidney H. Kung (rys. 4). Drugi dowód, według E. Cecha, wychodzi od twier

dzenia Pitagorasa (rys. 5).

74 Frantiśek Kurina

c2* a + b3- 2abcos^

rys. 3.

(3)

Jak myśl uczynić widzialną 75

rys. 4. rys. 5.

Tu i dalej przedstawiam dla każdego wyniku źródła i jestem świadom tego, że nie zawsze chodzi o autora dowodu. Autorstwo bywa niekiedy sporne. W końcu już w X wieku przed naszą erą Salomon napisał:

Czy jest jakaś rzecz, o której mógłbym powiedzieć: patrz, to jest coś nowego?

„Sztukę widzenia” trzeba, moim zdaniem, pielęgnować. W tym kontekście przypomnijmy sobie kilku znanych autorów.

Austriacki historyk sztuki E. H. Gombricht pisze na przykład (Gombricht, 1997):

Sztuka widzenia przyrody to coś, czego człowiek musi się uczyć tak jak sztuki czytania egipskich hieroglifów... Dziecięce wyobrażenia są pozosta

łościami wielu myślowych wrażeń ułożonych w pamięci, gdzie zlały się w typowe kształty. Podobnie jak dziecko, także prymitywny artysta trak

tuje takie reprezentacje utrwalone w pamięci jako punkt wyjścia. Będzie się starał przedstawić ludzkie ciało z przodu, konia z profilu, a jaszczurkę z góry.

Zgadzam się całkowicie z M. Merleau-Ponty, że widzenie łączy się z myśle

niem (Merleau-Ponty, 1971):

Nie ma widzenia bez myślenia. Nie wystarczy jednak myśleć, żeby wi

dzieć: myślenie jest tylko warunkiem widzenia.

Goethe zaś zauważa (Goethe, 1982):

Myśleć to ciekawsze niż wiedzieć, nie jest jednak ciekawsze niż patrzeć.

Przy tym, jak powiedzieli Karel Ćapek i Karel Kosik,

(4)

Obraz przestaje być prezentacją tytułu a jest prezentacją treści?. Czło

wiek widzi zawsze więcej, niż bezpośrednio spostrzega.

Również I. Stewart (Stewart, 1986) ostrzega:

Jest dziwne, jak długo trwa, nim się zobaczy coś, co jest całkiem oczy

wiste.

W dydaktyce matematyki zwrócił uwagę na problem wizualizacji rosyjski matematyk A. Jerszow na szóstym Międzynarodowym Kongresie Dydaktyki Matematyki (ICME 6) w roku 1988 w Budapeszcie (Ershov, 1988):

Jak uwidocznić myśl — to odwieczny i ważny problem, zarówno dla na

ukowców, jak i nauczycieli. Intelektualna grafika ma przy tym tysiącletnią tradycję - od fresków epoki kamiennej aż po prace Eschera.

76 Frantiśek Kurina

rys. 6.

Rysunkiem 6 przypomnimy dla ilustracji wymowną informację o przepra

wie kamiennych bloków przez rzekę. Jest to reprodukcja asyryjskiej płasko

rzeźby z VIII wieku przed naszą erą.

W tym artykule chodzi oczywiście głównie o reprezentacje myśli obec

nych przy dowodzeniu twierdzeń. Jeśli dowód jest, jak uważa Wittgenstein, otoczeniem twierdzenia — rozejrzymy się w dalszym ciągu po kilku takich otoczeniach.

(5)

Ja k m y ś l u c z y n i ć w i d z i a l n ą 77 Arytmetyka

Słynny pomysł Gaussa-ucznia, że sumę n początkowych liczb naturalnych można przedstawić jako pole połowy prostokąta o wymiarach n na n+1 był już znany w starożytnej Grecji. I. Richard wprowadził w roku 1984 chyba jeszcze bardziej poglądowe wyprowadzenie tego wzoru, pokazane na rysunku 7.

Fakt, że suma n początkowych liczb nieparzystych jest równa n2, możemy uzasadnić za pom ocą rysunku 8, który pochodzi najprawdopodobniej z pierw

szego wieku naszej ery. Pięknym potwierdzeniem zasady paralelizmu genetycz

nego (Kordemskij, 1955) jest to, że do tego samego wyniku doszedł ponownie i opublikował w dziecięcym czasopiśmie pięcioletni przyszły matematyk, A. N.

Kołmogorow (Kolmogorov, 1988).

Ciekawsze jest oczywiście pytanie, jak wyprowadzić np. wzory na sumę trzecich potęg n początkowych liczb naturalnych. Postać

l3 + 23 + 33 + ... + n3

podpowiada, iż moglibyśmy w odpowiedni sposób „przestawić” n sześcianów złożonych z sześcianów jednostkowych. Ze to dobry pomysł, pokazał w roku 1985 A. L. Fry za pomocą rysunku 9. Jeśli dodamy liczby w kwadratowej tabeli na rysunku 10, albo w wierszach albo w „winklach” , to otrzymamy również żądany wynik. Takie postępowanie proponuje np. B. A. Kordemski w (Kordemskij, 1955).

Z 7 7

7 7 / /

1 + 2 + 3 + . . . + „ = ! £ + £ 1 + 3 T 5 + ■ ■ • T (2n — 1) — v?

rys. 7. rys. 8.

(6)

78 Fr a n t i ś e k Ku r i n a

l 3 + 23 + 33 + • • • + n3 = Q n (n + 1)^

rys. 9.

rys. 10.

Jednak najelegantsze uzasadnienie naszego wzoru pochodzi od G. Schrage z roku 1992 (rysunek 11).

(7)

Ja k m y ś l u c z y n i ć w i d z i a l n ą 79

rys. 11.

Naturalne wydaje się dziś przedstawianie związków arytmetycznych w kar- tezjańskim układzie współrzędnych.

Słuszność twierdzenia

a c a a-\- c c

6 < b < b + d ^ d

jest bezpośrednim wnioskiem z rysunku 12, który pochodzi od R. A. Gibbse.

rys. 12.

Z dydaktycznego punktu widzenia wydają mi się bardzo pouczające różne interpretacje nierówności. Na przykład nierówność

rr + - ^ 2, x > 0 x

można kilkoma sposobami interpretować geometrycznie, jak to pokazał w roku 1993 R. B. Nelsen (rysunek 13).

(8)

2

rys. 13.

Na koniec przedstawmy piękną ilustrację twierdzenia o sumie nieskończo

nego ciągu geometrycznego według niemieckiego podręcznika z roku 1941 (ry

sunek 14).

rys. 14.

(9)

G e o m e tria

W ydaje mi się, że w ostatnich latach obniża się kultura matematyczna absolwentów szkół średnich, zwłaszcza jeśli chodzi o rozwijanie wyobrażeń o podstawowych zależnościach geometrycznych. Mam tu na myśli np. umiesz

czenie twierdzenia Pitagorasa w różnych związkach, jak na rysunku 15. Mimo że jej geometryczne i analityczne przedstawienie jest zupełnie naturalne, za

zwyczaj nie zwraca się uwagi na to, że równość u\V\ + U2V2 = ⁰

jest „wektorową postacią” twierdzenia Pitagorasa.

\AB\2 = \AC\2 + \CB\2 <=> U1V1 + u2v²

rys. 15.

Poglądowe dowody twierdzenia Pitagorasa zasługują na odrębne studium.

Tu zwrócimy uwagę jedynie na dwa godne uwagi a mniej znane.

G. Polya przedstawia dowód twierdzenia Pitagorasa za pom ocą rysunku 16 (Kahne, 1988). Tak zaprezentowaną myśl jednak mało kto widzi. Dlatego przyjrzyjmy się mu dokładniej. Przy oznaczeniach jak na rys. 17a) jest

Sc — Sa + Sf,. ₍₁₎

(10)

A ponieważ dla pola S trójkąta prostokątnego o kącie a, zbudowanego „na boku x kwadratu” jak na rysunku 17b), zachodzi równość

S — — sin a cos a • x *

2

albo inaczej

S = k • x 2, gdzie k możemy równość (1) zapisać w postaci

1 .

- sin a cos a,

kc2 = ka2 -f kb2, z której wynika, że

c2 = a2 + 62

Leonardo da Vinci widział dowód twierdzenia Pitagorasa w rysunku 18.

a) b)

rys. 17.

(11)

Jeśli oznaczmy pola sześciokątów A B F G H E , A C B K L M odpowiednio przez S\ i S2, to zachodzi

S\ — u2 -t- &2 ab 62 = c2 -f ab.

Rozważane sześciokąty nie są przystające, jednakże mają równe pola, po

nieważ ich połówki, tj. czworokąty E A B F , C A M L , są przystające, co wynika np. z tego, że drugi jest obrazem pierwszego w obrocie wokół środka A o 90°.

Znany jest dowód Euklidesa faktu, że ze wszystkich prostokątów o tym sa

mym obwodzie największe pole ma kwadrat (rysunek 19). Dowód tego twier

dzenia widoczny jest także z konstrukcji P. Mantuchiego z roku 1988 (rysunek 20).

(12)

i ax

- ax — x

2

rys. 19. rys. 20.

Możemy interpretować geometrycznie także wiele wzorów trygonometrycz

nych. I tak np. wyprowadzenie wzoru

cos(o! + /?) — cos Ol cos (3 — sin a sin /?

jest widoczne z rys. 21 (Heyny, 1989).

Wzór

cos(a — (3) = cos a cos (3 + sin a sin j3

możemy wyprowadzić bezpośrednio z geometrycznej interpretacji iloczynu ska

larnego dwu wektorów jednostkowych według rysunku 22 (Polak, 1972).

rys. 21. rys. 22.

Przypomimy dalej przynajmniej jedno poglądowe spojrzenie na geometrię analityczną. Z rysunku 23 (R. L. Eisenmanna) możemy bezpośrednio odczytać wzór na odległość punktu od prostej na płaszczyźnie.

(13)

rys. 23.

Na koniec przedstawimy piękne wyprowadzenie wzoru na objętość ostro

słupa ściętego o podstawie prostokąta, które pochodzi o S. Zachariasa (ry

sunek. 24). Oznaczmy przez S środek sześcianu i rozważmy jednokładność o środku S i współczynniku k (0 < k < 1).

Ostrosłup ścięty, którego objętość mamy obliczyć, możemy konstruować za pomocą rysunku. Oczywiście będzie V

V = - abc — - k 3abc = ~abc( 1 — k2).

6 6 6 v 7

A stąd, że

c = 2v 4- kc otrzymujemy

2v c = 1 - k i dla objętości V mamy ostatecznie

V — \abv • - — = \abv • (1 + k + k2).

O -1. — rC O

Ten wynik możemy, oczywiście, wyrazić w zwykły sposób jako

V = - v - (S\ + \]S1S2 + S2), O

gdzie 5 i i ^2 są polami podstaw ostrosłupa ściętego.

(14)

rys. 24.

Zakończenie

P. J. Davies napisał niedawno:

Matematyka jest jednym z największych wytworów ludzkiej wyobraźni.

Przy tym, jak wszyscy dobrze wiemy, jest rzeczywistością konstruowaną w myśli.

Francuski uczony - specjalista teorii poznania i komunikacji Dan Sperber twierdzi:

Myśli rodzą się, żyją i umierają wewnątrz naszego mózgu. Nigdy na

prawdę nie wychodzą z naszej głowy (i chociaż mówimy o tym tak, jakby się to działo, jest to tylko metafora). Tym, co możem wyprodukować po to, aby być widzianym albo słyszanym, jest jedynie nasze zachowanie i ślady, które za sobą zostawia: ruch, hałas, złamane gałązki, plamy z

(15)

atramentu itd. To wszystko nie są myśli, ani nie zawierają w sobie my

śli (to jest następna metafora). A jednak te rodzaje zachowań czy ich następstwa mogą przekazywać myśli.

W tym artykule zebrałem niewiele przykładów wizualnej komunikacji ma

tematycznego myślenia. Wizualny odbiór nie jest liniowy. Jest to, według mnie, jego zaleta (widzimy w związkach), ale również jego wada (nie wszyscy je szybko rozumieją) (rysunek 25). Jestem jednak przekonany, że powinniśmy rozwijać w matematyce wizualną komunikację.

Pozostaje to w zgodzie z ideami F. Cricka:

Widzenie jest aktywnym, twórczym procesem. Nasz mózg tworzy naj

lepsze interpretacje, do których jest zdolny, a to w zgodzie z przeszłymi doświadczeniami i ograniczonymi wieloznacznymi informacjami dostar

czanymi przez nasze oczy. Ewolucja przyczyniła się do tego, że nasz mózg to zazwyczaj potrafi, ale nie zawsze z wynikiem godnym uwagi.

A ponieważ mój artykuł był obrazkowy, a tworzyć obrazki za pomocą aparatu fotograficznego jest moim hobby, pozwolę sobie na koniec zacytować pogląd V. Flussera z jego książki (Flusser, 1996):

Istnieją dwa przeciwstawne rodzaje obrazów: Pierwszy rodzaj przed

stawia sceny z zewnętrznego albo wewnętrznego świata twórcy obrazu, drugi uwidocznia myślenie abstrakcyjne, np. matematyczne proporcje albo struktury poznawcze.

Jak myśl uczynić widzialną 87

Literatura

E r s h o v , A.: 1988, Computeration of Schools and Mathematical education, in Proceedings o f the Sixth International Congress on Mathematical Education, Budapest.

F l u s s e r , V.: 1996, Moc obrazu, Vytvarbe umeni 3-4.

G o e t h e , J. W.: 1982, 0 pfirode a umeni, Pravda, Bratislava.

G o m b r i c h t, E., H.: 1977, Umenii a iluze, Praha.

H e j n y, M. i inni: 1989, Teoria vyucovania matematiky, 2, SPN, Bratislava.

K a h n e, J., P.: 1988, La Grande Figure de Georges Pólya, w: Proceedings of the Sixth International Congress on Mathematical Education, Budapest.

K o l m o g o r o v , A., N.: 1988, Metematika — nauka i profesija, Nauka, Moskva.

K o r d e m s k i j, B. A.: 1995 Matematiczeskaja smekalka, Moskva.

K ó l l i n g - L ó f f l e r : 1941, Mathematisches Unterrichtswerk, Leipzig.

K u r i n a , F.: 1969, Kosinova veta, Rozhledy matematicko-fyzikalni, c. 6, roc. 47.

(16)

M e r l e a u - P o n t y , M.: 1971, Oko a duch a jine eseje, Obelisk, Praha.

N e 1 s e n, R., B.: 1993, Proofs without Words, MAA.

P o l a k , J.: 1972, Pfehled stfedośkolske matematiky, SPN, Praha.

S p e r b e r, J.: 1995, Jak komunikujeme, w: Ja se veci maji, Archa, Brati

slava.

S t e w a r t , I.: 1986, Cista pfirody, Archa, Bratislava.

Z i m m e r m a n n, W. C u n n i n g h a m , S.: 1991, Visualization in Teaching and Learning, MAA.

Z czeskiego przełożył Adam Płocki