niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ P , P R P ) .

Share "niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ P , P R P ) ."

(1)

Pier±cienie Dedekinda, Lista 9

R jest dziedzin¡ i K = R 0 .

1. Niech φ b¦dzie norm¡ na K. Udowodni¢, »e istnieje równowa»na norma φ ⁰ taka, »e dla ka»dych x, y ∈ K mamy φ ⁰ (x + y) 6 φ ⁰ (x) + φ ⁰ (y) . 2. Niech φ b¦dzie norm¡ na K, d indukowan¡ metryk¡ i ( ˆ K, ˆ d) uzupeªnie-

niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ _P , P R _P ) .

4. Niech R b¦dzie DVR i R ⁰ podpier±cieniem K zawieraj¡cym R. Udowod- ni¢, »e R ⁰ = R lub R ⁰ = K .

5. Niech v, v ⁰ b¦d¡ waluacjami na K takimi, »e v(K ^∗ ) = v ⁰ (K ^∗ ) = Z i R _v = R _v

⁰

. Udowodni¢, »e v = v ⁰ .

6. Zaªó»my, »e R jest normalny, K ⊆ L jest sko«czonym rozszerzeniem Galois i S caªkowitym domkni¦ciem R w L. Udowodni¢, »e dla ka»dych P, Q ∈ Spec(S) je±li

niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ P , P R P ) .

Pier±cienie Dedekinda, Lista 9

R jest dziedzin¡ i K = R 0 .

1. Niech φ b¦dzie norm¡ na K. Udowodni¢, »e istnieje równowa»na norma φ 0 taka, »e dla ka»dych x, y ∈ K mamy φ 0 (x + y) 6 φ 0 (x) + φ 0 (y) . 2. Niech φ b¦dzie norm¡ na K, d indukowan¡ metryk¡ i ( ˆ K, ˆ d) uzupeªnie-

niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ P , P R P ) .

4. Niech R b¦dzie DVR i R 0 podpier±cieniem K zawieraj¡cym R. Udowod- ni¢, »e R 0 = R lub R 0 = K .

5. Niech v, v 0 b¦d¡ waluacjami na K takimi, »e v(K ∗ ) = v 0 (K ∗ ) = Z i R v = R v

. Udowodni¢, »e v = v 0 .

6. Zaªó»my, »e R jest normalny, K ⊆ L jest sko«czonym rozszerzeniem Galois i S caªkowitym domkni¦ciem R w L. Udowodni¢, »e dla ka»dych P, Q ∈ Spec(S) je±li

P ∩ R = Q ∩ R ∈ Max(R), to istnieje σ ∈ Gal(L/K), taki »e σ(P ) = Q.

1

1. Niech φ b¦dzie norm¡ na K. Udowodni¢, »e istnieje równowa»na norma φ ⁰ taka, »e dla ka»dych x, y ∈ K mamy φ ⁰ (x + y) 6 φ ⁰ (x) + φ ⁰ (y) . 2. Niech φ b¦dzie norm¡ na K, d indukowan¡ metryk¡ i ( ˆ K, ˆ d) uzupeªnie-

niem (K, d). Udowodni¢, »e istniej¡ ˆ+,ˆ·, ˆφ takie, »e (K, +, ·) ⊆ ( ˆ K, ˆ +,ˆ·) jest rozszerzeniem ciaª i ˆφ jest norm¡ na ˆ K indukuj¡c¡ metryk¦ ˆ d . 3. Niech P ∈ Max(R). Udowodni¢, »e \ (R, P ) ∼ = (R \ _P , P R _P ) .

4. Niech R b¦dzie DVR i R ⁰ podpier±cieniem K zawieraj¡cym R. Udowod- ni¢, »e R ⁰ = R lub R ⁰ = K .

5. Niech v, v ⁰ b¦d¡ waluacjami na K takimi, »e v(K ^∗ ) = v ⁰ (K ^∗ ) = Z i R _v = R _v

. Udowodni¢, »e v = v ⁰ .