Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Wykład Nr 7

METODA ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

http://zwmik.imir.agh.edu.pl

7.1. CHARAKTERYSTYKA METODY

Trwałość elementu jest uzależniona od amplitudy lokalnego odkształcenia w miejscu inicjacji pęknięcia.

 Krótkie trwałości, materiały ciągliwe - znaczne strefy plastyczne w miejscach koncentracji naprężeń. Metoda odkształcenia lokalnego jest znacznie dokładniejsza, niż metoda naprężenia nominalnego.

 Długie trwałości, gdy można pominąć wpływ uplastycznienia.

Metoda odkształceń lokalnych daje wyniki tożsame z metodą naprężeń nominalnych.

Rys. 7.1. Schemat metody odkształcenia lokalnego w zastosowaniu do obciążenia stałoamplitudowego.

7.2. WYZNACZANIE KRZYWEJ 

-N

(PN-84/H-04334)

Badania zmęczeniowe próbek gładkich przy _a = const., _min/_max = - 1. Rejestruje się pętlę histerezy, której kształt stabilizuje się najpóźniej w połowie trwałości (por. p. 3.3). Z każdego badania otrzymuje się punkt (_a, N_f) lub parę punktów (_a/E, N_f) i (_ap, N_f), przy czym (por.

równania 3.5). Liczba cykli N_f odpowiada momentowi zniszczenia próbki, lub oznacza liczbę cykli po której amplituda naprężeń _a spadła do 50% wartości początkowej.

ap a

ap ae

a   E 

     _(7.1)

gdzie: _ap, _ae i _a odczytuje się z ustabilizowanej pętli histerezy. Zazwyczaj punkty wykresów (_ae, N_f) i (_ap, N_f) układają się na krzywych, które można opisać równaniem:

 

a f

ae N

E E  2

    ^ (7.2a) ^_ap ^_f

 

Rów. (7.2a) jest równaniem krzywej S-N (rów. Basquina, por. 4.1b): ^_a ^_f

 

Z podstawienia (7.2) do (7.1) otrzymujemy

równanie Coffina – Mansona: _a ^f

 

 

E 2  2

   

 ^(7.4)

7.2. WYZNACZANIE KRZYWEJ 

-N

(PN-84/H-04334)

Procedurę wyznaczania krzywej _a-N_f ilustruje rys. 7.2, a znaczenie stałych materiałowych w równaniu 7.4 objaśnia rys. 7.3.

Rys. 7.2. Wyniki badań zmęczeniowych stali RQC-100 w celu wyznaczenia krzywej  - N.

Rys. 7.3. Wyjaśnienie znaczenia stałych materiałowych w równaniu (7.4)

 

 

f

a N N

E 2  2

   ^



7.3 UWAGI O STAŁYCH MATERIAŁOWYCH W RÓWNANIU COFFINA- MANSONA (7.4)

Duże trwałości: _ap  _ae , krzywa _a (N_f)  _ae (N_f) Krótkie trwałości: _ae  _ap , krzywa _a (N_f)  _ap (N_f)

Przecięcie wykresów _ae (N_f) i _ap (N_f) w punkcie (_ap = _ae, N_tr) N_tr - tzw. trwałość przejściowa.

Z (7.4) i z definicji N_tr mamy: stąd

Zmęczenie niskocyklowe: N_f < N_tr (_ap > _ae) Zmęczenie wysokocyklowe: N_f> N_tr (_ae > _ap)

Z równania Ramberga - Ozgooda (3.5) cyklicznej krzywej  - :









f N N

E 2  2

   ^{c b}

f f

tr E

N

















 

1

2 1



 (7.5)

(7.2b)

c

f ap

Nf

1

2 











 



 (7.3)

bc bc ap f

f

a 



 



 

' _apⁿ'

a H 

 

c n' b

bc f

H f







 

 _{(7.8a) (7.8b)}

(7.7) (7.6)

7.3 UWAGI O STAŁYCH MATERIAŁOWYCH W RÓWNANIU COFFINA  MANSONA (7.4)

c n' b

bc f

H f







 

 _{(7.8a) (7.8b)}

Związki (7.8) wskazują, że z sześciu parametrów materiałowych n, b, c, H, _f, _f tylko cztery są niezależne. Jednak zależności (7.8) są spełnione tylko w sposób przybliżony, gdyż H i n są wyznaczane z innych eksperymentów (por. p.3.3 i 3.4) niż pozostałe cztery stałe materiałowe (por. p. 7.2).

Materiały ciągliwe: znaczna poprawa korelacji równań (7.2), (7.4), (7.7) z danymi doświadczalnymi jeżeli użyje się ෤𝜎_𝑎, ǁ𝜀_𝑎, ǁ𝜀_𝑎𝑝 zamiast 𝜎_𝑎, 𝜀_𝑎, 𝜀_𝑎𝑝.

Wówczas: 𝜎′_𝑓 ≅ ෤𝜎_𝑓, 𝜀′_𝑓 ≅ ǁ𝜀_𝑓 (por. równania (2.10) i (2.11)).

7.4. PRZYBLIŻONE OSZACOWANIE STAŁYCH MATERIAŁOWYCH STOSOWANYCH W METODZIE ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

Jeżeli używa się naprężeń i odkształceń rzeczywistych, to: 𝜎′_𝑓 ≅ ෤𝜎_𝑓 𝜀′_𝑓 ≅ ǁ𝜀_𝑓 (7.9) Metale o wysokiej wytrzymałości (względnie kruche):

wysokie wartości ෤𝜎_𝑓 i niskie ǁ𝜀_𝑓, niska trwałość N_tr, płaska krzywa _a-N_f  rys. 7.4 linia 1.

Metale ciągliwe:

(niska wytrzymałość ale duże odkształcenia plastyczne, duża energia do zniszczenia)

niskie wartości ෤𝜎_𝑓 i wysokie ǁ𝜀_𝑓, wysoka trwałość N_tr, stroma krzywa _a-N_f  rys. 7.4 linia 3.

Metale o dużej udarności:

(duże pole pod wykresem rozciągania, stosunkowo duża wytrzymałość i dobre własności plastyczne) Zachowanie pośrednie  rys. 7.4 linia 2.

Rys. 7.4

Tendencje obserwowane w krzywej

_a - N_f (a) i pętli histerezy (b) dla metali:

(1) o wysokiej wytrzymałości, (2) o wysokiej udarności, (3) ciągliwych.

7.4. PRZYBLIŻONE OSZACOWANIE STAŁYCH MATERIAŁOWYCH STOSOWANYCH W METODZIE ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

Większość metali inżynierskich: dla _a = 0.01 N_f = 10³ cykli (7.10) Stale R_m < 1400 MPa: dla N_f = 10⁶ cykli _ar (R = -1)  R_m/2 (7.11)

Z (7.11) i (7.3) uwzględniając (7.9):

m f

b 2R^~ 3log

. 6

 1

 _(7.12)

Ogólnie dla stali:

c = -0.5 do -0.8, najczęściej c = -0.6

b = -0.05 do -0.12, najczęściej b = -0.085 Wysokie b - metale miękkie

Niskie b - metale o wysokiej wytrzymałości.

Z innych badań (McMahon, Lawrence -1984), dla stali:

_f= 0.35R_m+ 370 (MPa) (7.13a)

_a(10⁶) = 0.5R_m (MPa) (7.13b)

b = -1/6[log(2.1 + 917)/R_m] (7.13c)

2N_tr = 5.710⁵ exp(-4.9310^-3R_m) (liczba nawrotów) (7.13d) gdzie: R_m w MPa.

7.4. PRZYBLIŻONE OSZACOWANIE STAŁYCH MATERIAŁOWYCH STOSOWANYCH W METODZIE ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

2N_tr = 5.710⁵ exp(-4.9310^-3R_m) (liczba nawrotów) gdzie: R_m w MPa.

Przykładowo: (7.13d) wynika z wyników badań doświadczalnych, rys. 7.5, jeżeli przyjmuje się:

… dla stali:

R_m = 3,45 (HB), MPa (7.14)

Rys. 7.5 Obserwowana zależność między trwałością przejściową N i twardością Brinella HB dla stali.

Cykliczna granica plastyczności (amplituda _a przy której _a = 0.002):

R_e0.2 = 0.608R_m

stąd i z równania Ramberga – Osgooda (por. rów. 7.7):

(7.15)

 

 

2 . 0

' ' 0.002 0.608 0.002

' _{a ap}ⁿ R_e ⁿ R_m ⁿ

H      (7.16)

(7.13d)

gdzie: n - z (7.8a)

Z (7.5) mamy:

 

E N_tr ^{c b}

f f

 

  2



gdzie: N_tr z wykresu rys.7.5 lub wg (7.13d)

7.4. PRZYBLIŻONE OSZACOWANIE STAŁYCH MATERIAŁOWYCH STOSOWANYCH W METODZIE ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

Tabela 7.1. Wartości stałych potrzebnych w metodzie odkształcenia lokalnego dla wybranych metali.

Materiał

R_e MPa

R_m MPa

Z

%

Cykliczna krzywa -(3.5) Krzywa _a- N_f (7.4) E

MPa

H’

MPa n' _f b _f c

stale

SAE 1015

normalizowana 227 415 68 206 000 1058 0.24 976 - 0.14 0.76 - 0.59 Man - Ten

walcowana na gorąco 322 577 67 203 000 1096 0.187 1089 - 0.115 0.912 - 0.606 RQC - 100

hart. i odpuszczana 683 758 64 200 000 903 0.0905 938 - 0.0648 1.38 - 0.704 SAE 4142

hart. i odpuszczana 1584 1757 42 207 000 2080 0.0903 1937 - 0.0762 0.706 - 0.869 AISI 4340

lotnicza 1103 1172 56 207 000 1655 0.131 1758 - 0.0977 2.12 - 0.774 metale

nieżelazne

2024 - T4 Al. 303 476 35 73 100 738 0.080 1294 - 0.0142 0.327 - 0.645 Ti - 6Al - 4V

przesycony i starzony 1185 1233 41 117 000 1772 0.106 2030 - 0.104 0.841 - 0.688

7.5 UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH

7.5.1. Podejście doświadczalne na podstawie badań zmęczeniowych próbek gładkich.

a) Badania pod kontrolą odkształcenia: _a = const i _m = const, gdzie: _m  0 – odkształcenie średnie.

Cykliczna relaksacja naprężenia średniego: _m.  const, rys. 7.6a. Wysokie wartości _ap - _m osiąga wartość zerową po niewielkiej liczbie cykli. Niskie wartości _ap - po pewnej liczbie cykli szybkość relaksacji d_m(N)/dN maleje i _m ustala się na poziomie niższym od początkowego.

b) Badania pod kontrolą naprężenia: _a = const i _m = const, gdzie: _m  0 – naprężenie średnie.

Przy _ap  0 cykliczne pełzanie, tzn w kolejnych cyklach może rosnąć odkształcenie średnie _m, rys. 7.6b. Jeżeli uplastycznienie występuje tylko lokalnie (np. w obszarze karbu), to proces pełzania jest ograniczony przez kontrakcję sprężystego materiału otaczającego strefę plastyczną.

Rys. 7.6 Schemat cyklicznej relaksacji naprężenia średniego (a) i cyklicznego pełzania (b) Uwaga: Cykliczne pełzanie i relaksacja mogą występować równocześnie i towarzyszyć cyklicznemu umocnieniu (osłabieniu) materiału. Zależą od czasu, a więc i częstotliwości obciążenia.

7.5 UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH

7.5.2. Wzory empiryczne - gdy brak krzywej _a- N_f dla danego poziomu naprężenia średniego.

wzór Morrowa (4.8):

równania Ramberga - Osgooda (3.5):



 

a '  2N

  





a

a  E  H

  

c b n'

bc f

Hf  (7.8a):

(7.8b):

 

 

c

f m f

b f f

f m

a N N

E 1 2 1  2











 

 













 

 



 



 

 ^(7.18)

Równania (4.8) i (7.18) - to samo rozwiązanie N_f (w przybliżeniu, bo związki (7.8) są spełnione tylko w sposób przybliżony).

Przy wysokich wartościach _a (zakres krótkich trwałości) równanie (7.18) prowadzi do przesadnie zachowawczych (tzn. zbyt niskich) ocen N_f.

Powód: intensywna relaksacja naprężeń średnich.

 

 

f f m

a N N

E 1 2  2



 

   











 

  ^(7.19)

Dlatego częściej stosuje się zmodyfikowaną formę (7.17), pomijając wpływ _m. w drugim członie (tj. na  ):

Doświadczenia dowodzą, że zależność między _a i _a nie zależy od poziomu_m

7.5 UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH

Przykład 7.1:

Wyznaczyć trwałość do rozpoczęcia pękania płytki ze stali AISI 4340 (lotniczej) rozważanej w przykładzie w p.6.4.1, k_t = 2.8, S_max = 750 MPa, S_min = 50 MPa.

Rozwiązanie:

W przykładzie w p.6.4.1 wyznaczono naprężenie lokalne _max = 972 MPa, _a = 755 MPa,

_max = 0.02192, _a = 0.00615.

Stąd: _m = _max _a = 217 MPa

Przyjmując wpływ naprężeń średnich wg (7.18) i własności z Tabeli 7.1 mamy:

   

0 00615 1758

207000 1 217

1758 2 2 12 1 217

1758 2

0 0977

0 774

0 0977 0 774

. ^. .

.

. .

  

 

   

 







N_f N_f 

 

 

c

f m f

b f f

f m

a N N

E 1 2 1  2











 

 













 

 



 



 

(7.18):  E = 207 000 MPa ’_f=1758 MPa

’_f=2.12 c=-0.774 b=-0.0977 z Tabeli 7.1:

Po rozwiązaniu metodą Newtona (por. p. 6.3) dostajemy N_f = 780 cykli Wynik nie uwzględnienia wpływu relaksacji naprężenia średniego

7.6 OKREŚLENIE TRWAŁOŚCI PRZY ZMĘCZENIU ZMIENNOAMPLITUDOWYM

W celu określenia liczby powtórzeń B_f danej historii obciążenia (por. równanie 3.10) aż do powstania pęknięcia (zniszczenia) w elemencie z karbem należy:

1) Dla każdego naliczonego metodą Rainflow cyklu „i” o amplitudzie lokalnego odkształcenia _a i lokalnym naprężeniu średnim _m,i (patrz p.6.4.2) określić trwałość N_f,i z (7.18) lub (7.19).

2) Wyznaczyć liczbę powtórzeń bloku do zniszczenia B_f na podstawie odpowiedniej hipotezy kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych – np. reguły Palrgena-Minera (por. rów. 3.10).

7.7 PODSUMOWANIE METODY ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO i PORÓWNANIE Z METODĄ NAPRĘŻENIA NOMINALNEGO

Metoda odkształcenia lokalnego powstała na przełomie lat 1950 i 1960, jako sposób analizy zmęczenia niskocyklowego (części reaktorów atomowych, silniki odrzutowe). Później zaczęto ją stosować do analizy zmęczenia zmiennoamplitudowego, gdy w historii obciążenia występują cykle o dużych amplitudach, powodujące lokalne odkształcenia plastyczne w karbach elementów konstrukcyjnych (np. elementy samochodów i innych pojazdów i maszyn, turbiny i generatory, elementy aparatów latających i in.).

Sposób uwzględniania uplastycznienia jest racjonalniejszy niż w metodzie naprężenia nominalnego. Metoda odkształcenia lokalnego jest zalecana głównie do analizy zmęczenia niskocyklowego (N_f < N_tr). Przy wysokich trwałościach obie metody dają tożsame wyniki.

Zalecane użycie metody naprężenia nominalnego: gdy dysponujemy krzywą S-N elementu konstrukcyjnego z danego materiału bardzo podobnego do elementu właśnie rozważanego (np.

połączenia spawane, nitowane lub sworzniowe, osie o specjalnej obróbce powierzchni itp.). Taka krzywa automatycznie ujmuje już wpływ różnych złożonych czynników (metalurgicznych, technologicznych, geometrii, frettingu i in.), trudnych do uwzględnienia w analizie metodą odkształcenia lokalnego. Może to równoważyć brak szczegółowej analizy lokalnego odkształcenia.

7.7 PODSUMOWANIE METODY ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO i PORÓWNANIE Z METODĄ NAPRĘŻENIA NOMINALNEGO

Uwaga:

Wartości N_f otrzymane metodą odkształcenia lokalnego odnoszą się do zniszczenia lub powstania znacznych pęknięć w małych (5-10 mm średnicy) próbkach gładkich. Dla elementu z karbem przewidujemy więc, że po „liczbie” cykli N_i = N_f powstanie widoczne gołym okiem pęknięcie (tzw. pęknięcie o wymiarach inżynierskich a_i ) o długości rzędu 1-5 mm. Jeżeli powstanie takiego pęknięcia nie oznacza definitywnego zniszczenia elementu, można obliczyć pozostającą jeszcze trwałość N_p korzystając z mechaniki pękania. Jest to tzw. podejście dwustopniowe.

N

= N

+ N

gdzie: N_f - całkowita trwałość elementu konstrukcyjnego

N_i - tzw. okres inicjacji pęknięcia - równy liczbie cykli do powstania pęknięcia o wymiarze a_i obliczonej metodą odkształcenia lub naprężenia nominalnego,

N_p - okres propagacji pęknięcia - równy liczbie cykli po których pęknięcie o wymiarze a_i osiągnie wymiar krytyczny a_kr (por. rys. 1.2).