Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Zmęczenie Materiałów pod Kontrolą

Wykład Nr 6

ANALIZA SPRĘŻYSTO PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRĘŻEŃ i ODKSZTAŁCEŃ

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

http://zwmik.imir.agh.edu.pl

6.1. WYZNACZENIE NAPRĘŻEŃ i ODKSZTAŁCEŃ W PRZYPADKU UPLASTYCZNIENIA MATERIAŁU

a) rozwiązania w formie skończonej - tylko dla prętów pryzmatycznych, por. p.6.2;

b) geometrie złożone:

 metody numeryczne (np. metoda elementów skończonych - MES)

 sposoby uproszczone, np.

- reguła Neubera – punkt. 6.3, - model Glinki

A

 _{A fic}

_AG

_AN

A fic AG AN



6.2. ZGINANIE SPRĘZYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH MONOTONICZNYCH

Rys. 6.1. Belka o przekroju prostokątnym (a) przy czystym zginaniu stałym momentem (b)

powodującym uplastycznienie. Liniowy rozkład odkształceń (c), któremu towarzyszy

nieliniowy rozkład naprężeń (d lub e).

6.2. ZGINANIE SPRĘZYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH MONOTONICZNYCH

Założenia:

zginanie proste: moment zginający działa wzdłuż jednej z głównych osi bezwładności;

Konsekwencja:

przekroje poprzeczne płaskie przed odkształceniem pozo- stają płaskie po odkształceniu nawet gdy wystąpią

odkształcenia plastyczne.

Stąd: liniowy rozkład odkształceń (por. rys. 6.1 c), czyli:

Rys. 6.1.

(6.1)

Wniosek:

Rozkład naprężeń 

(y) w przekroju poprzecznym belki ma kształt krzywej () w zakresie odkształceń od  = 0 do  = 

(wartość odkształcenia w skrajnej warstwie belki).

Warunek równowagi: (6.2)

Rozkład naprężeń 

(y) możemy wyznaczyć wstawiając do równania 6.1 funkcję =f() opisującą krzywą -  materiału.

h y



 _

 







h

h g

g

ydy t ydy

t M

0

2 



6.2. ZGINANIE SPRĘZYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH MONOTONICZNYCH

Rys. 6.1.

Np. materiał sprężysto-idealnie plastyczny (rys. 6.1 d):



= E  dla   R

/E (   

)



= R

dla  > R

/E (  > 

)

Jeśli odkształcenia w przekroju poprzecznym belki w punkcie o współrzędnej y=y

osiągną wartość 

= R

/E (por. prawa strona rys. 6.2), to na podstawie rów. 6.1:

h y

h b





_

(6.4) stąd: (6.5)

h e h

b

E

h h R

y  

 _{ }



Ponieważ rozkład naprężeń w przekroju belki nie jest opisany jednym równaniem, równanie (6.2) musi być całkowane w dwóch przedziałach. W ten sposób, dla materiału sprężysto – idealnie plastycznego, podstawiając (6.4) do (6.2), otrzymamy:

(6.3)

 





 



      

  

y e y

b b

dy y R dy

y E

t M

0

2  ^(6.6)

6.2. ZGINANIE SPRĘZYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM

PRZY OBCIĄŻENIACH MONOTONICZNYCH

Rys. 6.1.

 





 



      

  

y e y

b b

dy y R dy

y E

t M

0

2  _(6.6)

(6.5)

h e h

b

E

h h R

y  

 _{ }



 





 





 

 



 



2 2

3 1 1

h e e

g

E

R R th

M  ^{dla }

^{ R}

^{/ E (6.7)}

6.2. ZGINANIE SPRĘZYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM

PRZY OBCIĄŻENIACH MONOTONICZNYCH

Rys. 6.2. Zależność między znormalizowanym momentem gnącym (M

/M

) a znormalizowanym odkształceniem warstwy skrajnej przekroju (

/

).

 





 





 

 



 



2 2

3 1 1

h e e

g

E

R R th

M  dla 

 ^R

/ ^E (6.7)

M

- moment początku uplastycznienia przekroju ( 

= 

), M

- moment pełnego uplastycznienia przekroju,

Początek uplastycznienia przekroju, gdy 

= R

/E = 

, wówczas:

3 2

i g

R M th

M   (6.8)

Cały przekrój zostanie uplastyczniony, gdy y

=0, wówczas (z rów. 6.6):

i e

pl

g

M th R M

M  

 1 . 5 _(6.9)

g

pl

M

M

h 0

0/

lim



M

M

h



lim Z porównania równań 6.7 i 6.9 wynika, że:

lub

6.2. ZGINANIE SPRĘZYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM

PRZY OBCIĄŻENIACH MONOTONICZNYCH

Rys. 6.3. Powstanie przegubu plas- tycznego przy trójpunktowym zginaniu.

W belce statycznie wyznaczalnej moment M

=M

powoduje utratę nośności, na skutek powstania dodatkowego przegubu w uplastycznionym przekroju (rys.6.3).

Jeżeli M

M

, to z rów. 6.7 można wyznaczyć maksymalne odkształcenie 

jako:





e e

h

th R M

R th E

R





 3 (6.10)

lub uwzględniając (6.9):





e pl

h

M M

M E

R

 

 3 (6.11)

6.3. ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH CYKLICZNYCH (

= const.)

Rys. 6.4. Belka o przekroju prostokątnym przy cyklicznym zginaniu (a) powodującym uplastycznienie przy obciążeniu i odciążeniu.

Rozkład cyklicznych naprężeń (b) i odkształceń (c).

Zmienność naprężeń w funkcji odkształceń we włóknach skrajnych (d) oraz zależność między poziomem odkształceń we włóknach skrajnych a obciążeniem cyklicznym Mg (e).

Niech M

zmienia się cyklicznie między M

i

M

(rys.6.4a).

6.3. ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH CYKLICZNYCH (

= const.)

Równania równowagi na poziomach M

= M

i M

= M

(por. rów. 6.2):

Rys. 6.4.





h

ydy t

M

0 max

max

2  ^{M  t} 

^ydy (6.12)

0 min

min

2 

 ^









h

ydy t

M M

M

0 min

max

2  (6.13)

gdzie:  = 

(y) - 

(y)



(

) – rozkład naprężeń (y) gdy M

=M

(M

=M

)

Na każdym poziomie momentu M

obowiązuje prawo płaskich przekrojów (por. rys. 6.4c):

h y

/

/ 

  

 (6.14)

6.3. ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH CYKLICZNYCH (

= const.)

Rys. 6.4.

 ^





h

ydy t

M

0

2  (6.13)

h y

/

/ 

  

 (6.14)

Równania (6.13) i (6.14) są formalnie identyczne z (6.2) i (6.1):

(6.1) (6.2)

h y

/

/ 

  



 t

ydy M

0

2 

Stąd naprężenia i odkształcenia przy odciążaniu od M

do M

można obliczyć jak przy monotonicznym obciążaniu od O do M

= M, przy czym:

I. M

, 

,  zastępujemy przez M,   ,  

II. posługujemy się dwukrotnie rozszerzoną krzywą

 = f(  ):   /2 = f(/2), tj. 

= f(

)

III. obliczamy: 

= 

   = 

2 

;



= 

 = 

2

IV. przy ponownym obciążeniu stosujemy tę samą procedurę, ale początek układu (, ) jest w punkcie ( 

, 

).

Gdy M

po raz drugi osiąga poziom M

, wierzchołek pętli histerezy znajduje się ponownie w punkcie (

,

), rys.6.4d.

(6.15)

(6.16)

6.3. ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY OBCIĄŻENIACH CYKLICZNYCH (

= const.)

Rys. 6.4.

Przy wyidealizowanym założeniu, że własności materiału nie ulegają zmianie przy obciążeniach cyklicznych, punkt (,) poruszałby się cały czas po jednej i tej samej zamkniętej pętli histerezy.

Jeżeli operujemy amplitudami, a nie zakresami to, równania monotonicznej i cyklicznej krzywej odkształcenia są formalnie identyczne:



=f(

) 

=f(

) (6.17)



= g(M

) 

= g(M

) (6.18) Stąd zależności między 

, i M

oraz między 

i M

są też formalnie identyczne:

Przykład: materiał sprężysto-idealnie plastyczny.

W przypadku uplastycznienia przekroju przy M

i M

dostajemy z równań (6.3b) i (6.11) następujące wartości naprężeń i odkształceń w warstwie skrajnej:

); (

3 _max

max M M

M E

R

pl e pl

h  



max e;

h  R

 _ah  R_e; ^;

) (

3 _{pl a}

e pl

ah M M

M E

R

 

 ^h_min ^h_max 2^ah R^e

ah h

h  

 _min  _max 2

(6.19)

6.4 PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ W STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUŁA NEUBERA

Rys.6.5. Ilustracja reguły Neubera: a) element z karbem i krzywa odkształcenia wraz z hiperbolą

Neubera; b) zmienność współczynnika koncentracji naprężeń k

i odkształceń k

w karbie; c), d)

zmienność odpowiednio odkształceń i naprężeń w karbie w funkcji naprężenia nominalnego (linia

przerywana - rozwiązanie liniowo-sprężyste).

6.4 PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ W STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUŁA NEUBERA

Rys.6.5

Jeżeli materiał w strefie karbu uplastycznia się, to lokalne odkształcenia są większe, niż k

S/E (rys.6.5c), a lokalne naprężenia niższe niż k

S (rys.6.5d). Należy, więc zdefiniować oddzielnie współczynniki koncentracji dla naprężeń i odkształceń:

k  e



 k  S



 (6.20)

gdzie:

e - odkształcenia nominalne związane z naprężeniem nominalnym S w myśl równania krzywej odkształcenia materiału S=f(e).

Jeżeli S  R

(co zazwyczaj ma miejsce), to: ^{e  S E} (6.21) Reguła Neubera:

k

k

k

 (6.22)

6.4 PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ W STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUŁA NEUBERA

Rys.6.5

Reguła Neubera: k

k

 k

(6.22) Jeżeli przy osiowym rozciąganiu nastąpiłoby pełne uplastycznienie przekroju, (S = R

), to k

1, a więc w myśl (6.22), k

k

, co przedstawia rys. 6.5b.

k

k k



k  S



 k  e



 E S

e  ^S

k  E



 k

S E S  



 

E S k

  (6.23)

Jeżeli  = f() ma postać krzywej Ramberga – Osgooda:

H E

1

 

 



 

  

 (6.24)

 

⁰

1 1 1

2

   





 



 

 

 

S k H

E

t n

n



 (6.25)

6.4 PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ W STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUŁA NEUBERA

Rys.6.5

Reguła Neubera: k

k

 k

(6.22)

 

E S k

  (6.23)

 

⁰

1 1 1

2

   





 



 

 

 

S k H

E

t n

n



 (6.25)

Uwaga:

W praktyce w celu wyznaczenia lokalnych odkształceń i naprężeń przy użyciu reguły Neubera najwygodniej jest korzystać z układu równań (6.23) i (6.25).

W celu wyznaczenia amplitud, zastępujemy w (6.23) i (6.25)  ,  i S przez odpowiednio 

, 

i S

.

6.4 PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ W STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUŁA NEUBERA

 

⁰

1 1 1

2

   





 



 

 

 

S k H

E

t n

n



 (6.25)

Przybliżone rozwiązania (6.25) metoda Newtona:

) (

) (

0 0 0

1

f x

x x f

x   

I tak kolejno: ( )

) (

1

n n n

n

f x

x x f

x

  

Proces kontynuowany jest, póki (x

– x

) nie spadnie poniżej pewnej ustalonej wartości.

Szereg {x

} jest zbieżny do pierwiastka równania, o ile f’(x

)  0.

 

in n i

n t i n i

i i

H E n

S k H

E

1 1 1 2 1 1

2

1

1 1

2  









 

 

  















(6.27)

(6.26) Jeżeli x

jest przybliżoną wartością pierwiastka równania f(x) = 0,

to lepsze przybliżenie daje wartość:

6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

6.5.1. Obciążenia stałoamplitudowe:

Założenia:

a) Funkcja  = f() pozostaje przez cały czas niezmienna; zazwyczaj funkcję f przyjmujemy tak, by opisywała ustabilizowaną cykliczną krzywą odkształcenia: 

= f(

)

b) Gałęzie pętli histerezy można opisać równaniem 

= f(

), lub /2 = f(/2), przy czym początek układu (

, 

) lub (, ) każdorazowo leży w punkcie nawrotu obciążenia, na początku danej gałęzi.

 - odkształcenie uogólnione (liniowe lub kątowe w próbce gładkiej lub w karbie)

S - siła uogólniona (siła, moment, ciśnienie, naprężenie nominalne w próbce z karbem)

Jeżeli przy obciążeniu monotonicznym

to przy spełnieniu założeń a) i b) mamy dla obciążeń cyklicznie zmiennych:

Uwaga: Dla elementów z karbami równania (6.28) i (6.29) najkorzystniej jest przekształcić do postaci (6.23) i (6.25).

 = g(S) (6.28) oraz  = f() (6.29)



=g(S

), 

=f( 

),



=g(S

), 

=f(

),



= 

-2 

, 

= 

-2 

^(6.30)

6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

6.5.1. Obciążenia stałoamplitudowe:

Przykład:

Płytka z karbem o współczynniku kształtu k

= 2.8 ze stali AISI 4340 obciążana jest cyklicznie zmieniającą się siłą osiową. Wynikające stąd naprężenia nominalne wynoszą S

= 750 MPa i S

= 50 MPa. Wyznaczyć lokalne naprężenia i odkształcenia w karbie, zakładając, że cykliczną krzywą odkształcenia można opisać równaniem Ramberga - Osgooda, w którym: E = 207000 MPa, H' = 1655 MPa, n' = 0.131.

Rozwiązanie:

Stosujemy procedurę wg równań (6.28) do (6.30), przy czym (6.28) i (6.29) przedstawiamy w formie (6.23) i (6.25).

(6.25) 

 ( E / H

) 

 ( k

S

)

 0

Po podstawieniu wartości liczbowych: 

 ( 207000 / 1655

) 

 ( 2 . 8  750 )

 0

Z przybliżonego rozwiązania metodą Newtona (rów. 6.27) dostajemy:

(6.23) ^{ }   ^k

^S

^{E  }

^{ 2 . 8 750  }

^{207000 972 }

max

max

    

 k

S E



= 972 MPa



= 0.02192

6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Przykład:

Dane: k

= 2.8, S

= 750 MPa, S

= 50 MPa, E = 207000 MPa, H' = 1655 MPa, n' = 0.131 Rozwiązanie (c.d.): _

_{ ( 207000 / 1655}

_{) }

_{ ( 2 . 8  750 )}

_{ 0}







 



max 





_max= 972 MPa

_max= 0.02192

W analogiczny sposób wyznacza się 

i 

: (6.25) 

 ( E / H

) 

 ( k

S

)

 0





 / 2   750  50  / 2  350 MPa

 S S S

 

0 ) 35 8 . 2 ( )

1655 / 207000

(

2



  

a





Z metody Newtona dostajemy:



= 755 MPa (6.23) ^

^  ^k

^S



^{E }



= 0.00615

 ^{2 . 8  350}  

^{207000  755} 

a







= 

 2

= 0.00962



= 

 2 

= - 538 MPa

6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

6.5.2. Obciążenia zmiennoamplitudowe:

Obowiązują założenia z p.6.4.1

Przykład: Dane: element z karbem jak na rys. 6.6a.

funkcja  = g(S) , rys.6.6b funkcja  = f(  ) , rys.6.6b

przebieg naprężenia nominalnego w czasie S(t), rys 6.6c

Rys.6.6.

Analiza naprężeń i odkształceń w elemencie z karbem poddanym zmiennoamplitudowej historii obciążenia, objaśnienia w tekście

_a

a, Sa(MPa)

0.02 0.01

200 400 600

b)

_a=f(_a)

_a=g(S_a)

E1

E/k_t 1

A

D

E

B G

0

H F

 d) 

m

=2_{a }

 200 MPa

0.005

S (MPa) t

0 200 400

-200 -400

A C E

G E’

A

B B’

D

F F’

c)

P P

(,)

k_t= 2.4 S = P/A₀ a)

6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Rozwiązanie:

I. Przestawiamy funkcję S(t) tak, by zaczynała się i kończyła na najwyższym co do modułu ekstremum (S

– Rys. 6.6c).

S (MPa) t

0 200 400

-200 -400

A C E

G E’

A

B B’

D

F F’

Rys 6.6c

II. Wyznaczamy naprężenia i odkształcenia w karbie 

i 

, odpowiednio z (6.25) i (6.23), kładąc  = 

,  = 

, S = S

, tj.:

III. Uwzględniając efekt pamięci materiału, wyznaczamy (zgodnie z IV b-c) amplitudy lokalnych naprężeń i odkształceń 

i 

(lub zakresy , ), gdzie ,  i S są mierzone od punktów odnoszących się do kolejnych ekstremów w S(t). Wartości 

i 

(, ) wyznaczamy z układu równań (6.23) i (6.25) kładąc  = 

(lub /2),  = 

(lub /2) i S = S

(lub S/2).

0 ) (

) /

(

2







A

E H  k S

 

  ^k

^S



^E 

IV.Przy przejściu do każdego kolejnego ekstremum Z w przebiegu S(t) sprawdzamy, czy naliczany jest cykl X-Y metodą Rainflow. Jeżeli tak, to należy:

a) zapamiętać cykl od (S

, 

, 

) do (S

, 

, 

)

b) przy kontynuacji analizy usunąć wydarzenie X-Y- X' z S(t), tzn. gdy S

= S

to 

= 

, 

= 

c) cofnąć się do ekstremum W (poprzedzającego

X) i kontynuować zgodnie z III.



X(_X, _x)

X’(_X’, _x) X

Y Z X’

W

6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Rozwiązanie:

Z IV (a) do (c) wynika, że każda zamknięta pętla histerezy koresponduje z cyklem zliczanym metodą Rainflow.

Dokumentacja zastosowania procedury III i IV do przykładu z rys 6.6 Zakres Naliczany

cykl

Wyznaczony wierzchołek pętli histerezy

(początek układu ,)

Zapomniane wydarzenie

wg (4b)

S_A-B

S_B-C

S-_A-D

S_D-E

S_E-F

S_F-G -

S_E-H - -

-- B-C-

-- F-G- E-H- A-D

B (A) C (B) D (A)B’ B E (D) F (E) G (F) F’ F H (H)

E’ E A’ A

-- B-C-B’

- -- F-G-F’- E-H-E’- A-D-A’



S (MPa) t

0 200 400

-200 -400

A C E

G E’

A

B B’

D

F F’

c) A

D

E

B G

0

H F

 d) 

m

=2_{a }

 200 MPa

0.005

C