Prosz¦ przedstawi¢ z−1 w postaci a + ib, gdzie a, b ∈ R

Zadania z algebry (zestaw 2)

1. Prosz¦ wyliczy¢ |5 − 7i| oraz (5 − 7i)⁻¹.

Prosz¦ sprawdzi¢ wyniki pakietem Mathematica.

2. Prosz¦ przedstawi¢ dane liczby zespolone w jawnej postaci a + ib, gdzie a, b ∈ R (a) 3 + 5i

2 − 7i, (b) 3e^iπ/3, (c) e^iπ/6
35

, (d) (1 + i)¹¹.

Prosz¦ sprawdzi¢ wyniki pakietem Mathematica.

3. Niech z = x + iy, x, y ∈ R. Prosz¦ przedstawi¢ z⁻¹ w postaci a + ib, gdzie a, b ∈ R.

Prosz¦ sprawdzi¢ wyniki pakietem Mathematica.

4. Wiedz¡c, »e dla φ ∈ R, e^iφ = cos φ + i sin φ, prosz¦ pokaza¢, »e

cos φ = e^iφ+ e^−iφ

2 , i sin φ = e^iφ− e^−iφ 2i . 5. Prosz¦ wyrazi¢ Rez i Imz przez z i ¯z.

6. Prosz¦ znale¹¢ wszystkie warto±ci z speªniaj¡ce równania:

(a) z²+ (−3 + 2i)z − 7 + 11i = 0, (b) z²+ (−1 + i)z + 4 + 7i = 0.

Prosz¦ sprawdzi¢ wyniki pakietem Mathematica.

7. Prosz¦ wykaza¢ to»samo±¢: |z1+ z₂|²+ |z₁− z₂|² = 2|z₁|²+ 2|z₂|². 8. Prosz¦ wyliczy¢ wynik dziaªa« na macierzach:

(a)  1 3 −2 1

3 −1 2 0

T

2 7 6

−2 4 1



, (b)

 0 i

−i 0

  3 + 5i 4 − 2i

 ,

(c)

 i 1 − i 2 + i 0 −1 + 3i 2 − 3i

†

0 3 − i i 3i 4 1 − i

 ,

(d) X^†Y, Y X^†, XY^†, gdzie X^T = ( 3 − 2i 1 + i 5 ), Y^T = ( i 3 − i 5 + i ).

Prosz¦ sprawdzi¢ wyniki pakietem Mathematica.

Inormacje nt. instalacji studenckiej wersji pakietu Mathematica mozna znale¹¢ pod adresem http://ribes.if.uj.edu.pl/mathematica/licencja2011.html

A. Rostworowski