Twierdzenie cosinusów (Carnota)
a b
c α
W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
cosα
2 2
2
2 b c bc
a = + −
Dowód
1.
Pierwszy dowód opiera się na pojęciu iloczynu skalarnego i jego własnościach.
Przypominam: iloczyn skalarny wektorów to działanie przyporządkowujące parze wekto- rów liczbę zgodnie ze wzorem:
cosα
⋅
⋅
= a b a ob
b
a, – długości odpowiednich wektorów, które możemy też oznaczyć a, b.
α – kąt między nimi
a b
c α
Z rysunku widać, że
c b a+ = Stąd
b c a= −
Podnieśmy tę równość do kwadratu (skalarnego)
(
c b) (
c b)
c c b b c b b ca
ao = − o − = o + o − o − o Z definicji iloczynu skalarnego mamy
0 2
cos a
a a a
ao = ⋅ ⋅ °= Ponadto iloczyn skalarny jest przemienny.
Mamy więc
c b b c
a2 = 2+ 2 −2 o Wykorzystajmy jeszcze definicję iloczynu skalarnego.
cosα
2 2
2
2 c b bc
a = + −
Gotowe.
2.
Przypadek I – wysokość trójkąta opada na jego bok.
a
b
c
b - x x
h
α
Wykorzystajmy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia a.
( )
2 22 b x h
a = − +
Można jeszcze napisać:
2 2
2 c x
h = −
Zatem:
( )
bx c
b a
x c x bx b
a
x c x b a
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
− +
=
− + +
−
=
− +
−
=
Widzimy, że
cosα c = x
Stąd:
cosα x =c
Zatem ostatecznie:
cosα
2 2
2
2 b c bc
a = + −
Przypadek II – wysokość opada na przedłużenie boku.
a
b c
x
b + x h
α
( )
( )
bx b
c a
x x bx b
c a
x x b c a
x b c h
x h a
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
−
−
=
+
−
−
−
=
+ +
−
=
+
−
= +
=
Widać, że
b c
x
c x b
c x b
−
=
= + + =
α α α
cos cos cos
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 cos 2
cos 2
b bc
b c a
b c
b b c a
+
−
−
=
−
⋅
−
−
=
α α
Zatem
cosα
2 2
2
2 b c bc
a = + −
Twierdzenie udowodnione.
