Twierdzenie cosinusów

(1)

Twierdzenie cosinusów

Tomasz Lechowski Batory 2LO 17 września 2017 1 / 10

(2)

Musimy znać twierdzenie cosinusów i umieć je zastosować do obliczania boków oraz kątów trójkąta.

Na następnych slajdach omówione zostaną trzy przykłady zastosowania

twierdzenia cosinusów.

(3)

Twierdzenie cosinusów

a

²

= b

²

+ c

²

− 2bc cos α b

²

= a

²

+ c

²

− 2ac cos β c

²

= a

²

+ b

²

− 2ab cos γ

Uwaga: α to kąt na przeciwko boku a, β to kąt na przeciwko boku b, γ to kąt na przeciwko boku c.

(4)

Twierdzenie cosinusów

a

²

= b

²

+ c

²

− 2bc cos α b

²

= a

²

+ c

²

− 2ac cos β c

²

= a

²

+ b

²

− 2ab cos γ

Uwaga: α to kąt na przeciwko boku a, β to kąt na przeciwko boku b, γ to

kąt na przeciwko boku c.

(5)

Twierdzenie cosinusów

Gdy szukamy kątów, powyższe równania można przekształcić do postaci:

cos α = b

²

+ c

²

− a

²

2bc cos β = a

²

+ c

²

− b

²

2ac cos γ = a

²

+ b

²

− c

²

2ab

(6)

Przykład 1

W trójkącie ABC mamy dane |AB| = 8, |BC | = 5, ∠ABC = 120

^◦

. Oblicz długość boku AC .

Ważna obserwacja: bok AC leży na przeciwko kąta ∠ABC .

Przy standardowych oznaczeniach, z twierdzenia cosinusów mamy:

b

²

= a

²

+ c

²

− 2ac cos β

b

²

= 5

²

+ 8

²

− 2 × 5 × 8 × cos 120

^◦

b

²

= 25 + 64 − 80 ×

− 1 2

b

²

= 129 b =

√

129

(7)

Przykład 1

W trójkącie ABC mamy dane |AB| = 8, |BC | = 5, ∠ABC = 120

^◦

. Oblicz długość boku AC .

Ważna obserwacja: bok AC leży na przeciwko kąta ∠ABC .

Przy standardowych oznaczeniach, z twierdzenia cosinusów mamy:

b

²

= a

²

+ c

²

− 2ac cos β

b

²

= 5

²

+ 8

²

− 2 × 5 × 8 × cos 120

^◦

b

²

= 25 + 64 − 80 ×

− 1 2

b

²

= 129 b =

√ 129

(8)

Przykład 1

W trójkącie ABC mamy dane |AB| = 8, |BC | = 5, ∠ABC = 120

^◦

. Oblicz długość boku AC .

Ważna obserwacja: bok AC leży na przeciwko kąta ∠ABC .

Przy standardowych oznaczeniach, z twierdzenia cosinusów mamy:

b

²

= a

²

+ c

²

− 2ac cos β

b

²

= 5

²

+ 8

²

− 2 × 5 × 8 × cos 120

^◦

b

²

= 25 + 64 − 80 ×

− 1 2

b

²

= 129 b =

√

129

(9)

Przykład 2

W trójkącie ABC mamy dane |AB| = 4, |AC | = 3 √

2 i |BC | = √ 10.

Oblicz miarę kąta ∠BAC .

Ważna obserwacja: kąt ∠BAC leży na przeciwko boku BC . Przy standardowych oznaczeniach, z twierdzenia cosinusów mamy:

cos α = b

²

+ c

²

− a

²

2bc cos α = (3 √

2)

²

+ 4

²

− ( √ 10)

²

2 × 4 × 3 √

2 cos α = 18 + 16 − 10

24 √ 2

(10)

Przykład 2

W trójkącie ABC mamy dane |AB| = 4, |AC | = 3 √

2 i |BC | = √ 10.

Oblicz miarę kąta ∠BAC .

Ważna obserwacja: kąt ∠BAC leży na przeciwko boku BC .

Przy standardowych oznaczeniach, z twierdzenia cosinusów mamy:

cos α = b

²

+ c

²

− a

²

2bc cos α = (3 √

2)

²

+ 4

²

− ( √ 10)

²

2 × 4 × 3 √

2 cos α = 18 + 16 − 10

24 √

2

(11)

Przykład 2

W trójkącie ABC mamy dane |AB| = 4, |AC | = 3 √

2 i |BC | = √ 10.

Oblicz miarę kąta ∠BAC .

Ważna obserwacja: kąt ∠BAC leży na przeciwko boku BC . Przy standardowych oznaczeniach, z twierdzenia cosinusów mamy:

cos α = b

²

+ c

²

− a

²

2bc cos α = (3 √

2)

²

+ 4

²

− ( √ 10)

²

2 × 4 × 3 √

2 cos α = 18 + 16 − 10

24 √ 2

(12)

Przykład 2

Upraszczając otrzymujemy:

cos α = 1

√ 2 cos α =

√

2

2 α = 45

^◦

(13)

Przykład 3

Wykaż, że trójkąt o bokach 2,3,4 jest rozwartokątny.

Wystarczy wykazać, że cosinus kąta na przeciwko najdłuższego z boków jest ujemny. (Dlaczego?)

Niech α to kąt na przeciwko boku o długości 4. Wtedy: cos α = 2

²

+ 3

²

− 4

²

2 × 2 × 3 cos α = 4 + 9 − 16

12 cos α = −3

12 = − 1 4

(14)

Przykład 3

Wykaż, że trójkąt o bokach 2,3,4 jest rozwartokątny.

Wystarczy wykazać, że cosinus kąta na przeciwko najdłuższego z boków jest ujemny.

(Dlaczego?)

Niech α to kąt na przeciwko boku o długości 4. Wtedy: cos α = 2

²

+ 3

²

− 4

²

2 × 2 × 3 cos α = 4 + 9 − 16

12 cos α = −3

12 = − 1

4

(15)

Przykład 3

Wykaż, że trójkąt o bokach 2,3,4 jest rozwartokątny.

Wystarczy wykazać, że cosinus kąta na przeciwko najdłuższego z boków jest ujemny. (Dlaczego?)

Niech α to kąt na przeciwko boku o długości 4. Wtedy: cos α = 2

²

+ 3

²

− 4

²

2 × 2 × 3 cos α = 4 + 9 − 16

12 cos α = −3

12 = − 1 4

(16)

Przykład 3

Wykaż, że trójkąt o bokach 2,3,4 jest rozwartokątny.

Wystarczy wykazać, że cosinus kąta na przeciwko najdłuższego z boków jest ujemny. (Dlaczego?)

Niech α to kąt na przeciwko boku o długości 4. Wtedy:

cos α = 2

²

+ 3

²

− 4

²

2 × 2 × 3 cos α = 4 + 9 − 16

12 cos α = −3

12 = − 1

4

(17)

Na wejściówce będzie zadania podobne do powyższych.

(18)

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.