Twierdzenie osumach typu ^i jego zastosowanie

M.

(Warszawa)

Twierdzenie o sumach typu ^ i jego zastosowanie

Poniżej udowodnimy twierdzenie o snmach {N frf), gdzie a(x) jest liczbą wyrazów zmierzającego do nieskończoności nie malejącego ciągu liczb dodatnich Sj < x, a rt są to wyrazy innego takiego ciągu.

Twierdzenie to pozwala na bardzo prosty i przejrzysty dowód znanego twierdzenia o ilości liczb < N mających к czynników pierwszych.

Le m a t.

Niech s,j i rL oznaczają zmierzające do nieskończoności niema- lejące ciągi liczb dodatnich, a o(x) i

ilości wyrazów tych ciągów, które nie przewyższają x. Zachodzi następująca zależność:

gdzie A jest dowolną liczbą dodatnią.

D o w ó d . Suma У a(N/rf) jest ilością rozwiązań nierówności r^Sj < N.

ri<x

W każdym takim rozwiązaniu mamy ^ < N jA lub A. Ilość rozwiązań pierwszego typu jest równa a(N[ri), ilość rozwiązań drugiego typu jest równa q (N/S j -), a ilość rozwiązań należących do obu typów daną

Sj^A

jest iloczynem a(A) q ( N/А). Otrzymujemy zatem żądany wzór.

Udowodnimy następujące

Tw i e r d z e n i e

1. Niech a{N) i q {N) równają się asymptotycznie funk­

cjom a'(N) i q (N) o następujących własnościach: л

(1)

a’ (N) N

fil ogN) ’ ^q '(N) = N

<p(logN)

przy czym f i (p są to funkcje o wzroście regularnym, tzn. niemałejące i dla każdego 0 < u < 1 spełniające warunek

(

2

f(ux) (p (их)

---> u : --- -

f (x) <p(x) w gdy

gdzie g i у są to stałe parametry, g > 0 , у > 0 .

Prace Matematyczne IX. 2 9

130 M. K a l e c k i

Niech dalej У — i У — równają się asymptotycznie funkcjom r^N + Sj^N Sj

o wolnej zmienności: $(logN ) i R(logN), zmierzającym do oo, gdy N -> oo, tzn. takim, że dla każdego 0 < u < 1

(3)

(4)

S {их) R{ux)

S(x) R(x)

Zachodzi wówczas zależność N

1 , gdy x -> o o ,

r,<N 2

<Tl — | = (<r' (JV) «(log JV) + e' (ЛГ)« (log JF)) ( 1 -1-0 (X)).

D o w ó d . W tezie lematu przyjmijmy N (A = Ne i A = N 1 % gdzie s jest stałą, O < e <

Możemy wówczas napisać:

( 5 ) =

i > ( + I + ) + 2 . . ( + < - > < - > •

s,-<iVe We<e^<W1-® 7 Z warunku (3) mamy

i = S (£lo g ff)(l + o (l)) = S(logN)(l + oa))-,

Я.;<ЛТ£

(6) V i = {«((1 — ejlogJV)—«(elogJT)) (1 + o(l)) = o(Sr(log JT));

N e< S j< N 1~ e ’

^ — = B (e lo g 2 f) (l + o (l)) = B ( l o g i f ) ( l + o (l)) . r,-<NE

Eozpatrzmy po kolei cztery wyrazy prawej strony równania (5).

Mamy

N\ N l + o (l) V i N l + o (l)

r , < N E

2

y i N l + o (l) V i N

Га A . N \ ^ Га

r ^ N E / l o g _{ri /} <*■ 1 / U _{\ \ logN} ^logn

Ponieważ f, w myśl warunku (2), jest funkcją niemałejącą, JV(l + o(l)) y , J1 < y J N \ ^ ^ (1 + 0(1))

> V. ć ćJ

p) logi?

N f{logN) Ti " \ r, ^

J r^N* г r^Ne 2 ^{i -}

Stąd, biorąc pod uwagę wzór (6), mamy

-y (l + o { l ) ) f i ( l o g J Q ( l + o(l)) < у ^-У(1 + о(1))Д(1оё У ) (l + o(l)) / ( l o g # ) ^ s—J ⁺ n

i, w myśl warunku (2),

# # ( l o g # ) (1 + 0(1 ))

r,-<Are

/ ( ( l - e ) l o g f f )

s£

2 '

N\ < NR(\ogN)[l + o(l))

albo

(7)

/ ( l o g # ) " ^ L J ' \ r i l ^" ( l - e ) ff/ ( l o g # )

r^<ive

# \ o ' ( # ) # ( l o g # ) ( l + o(l))

2 *

r„-*cNE

aef

gdzie 0 < a < 1. Podobnie otrzymujemy

N\ e'(N)S(\ogN)(l + o(l))

8

Sy<iVe gdzie O < fi < 1. Dalej

Z *B- z

( i - / f c ) ł

# 1 + 0 ( 1 )

__ __ s . I jy

Ns<SjtąN1~s ' "1 ' iVE<s,-<iV1- £ ?

2

9 log N (l + o(l))

NE<Sj^.Nl e Q9 ł - Э Н " 1 (1 i, pamiętając, że <p jest funkcją niemalejącą, mamy:

N (l + o(l))

ę>((l — s)logJT) NE<s^Nl- e 7 2 iV£<s1-<Wl- e 2 ^{.( t ) <}

Ж(1 + о(1 ))

2

y ( ( l - ( l - e ) ) l o g j y ) №<+ rI_ . * r Biorąc pod uwagę wzór (6) oraz warunek (2) otrzymujemy

# 4 / # '

o ) 2

NE<sj^N]

Wreszcie

=

e'(N)o{e (\ogN)).

N(l + o(l))

f((l — e)\ogN)(p(e\ogN)

132 M. K a le c k i

i, w myśl warunku (2)

(10) o ( N l- ) e (N’ ) = ■У (1 + 0(1 ) ) ________ е'(У )(1 + о ( 1 )) ( l - e ) ’ <?f(logN)<p(\ogN) (1 —e)V /(logjV )’

Ze wzorów (5), (7), (8), (9) wynika

A l e --- ---

( l - e f e vf(l ogN) — -—= o($(logA )), ponieważ $ (logA ) -> oo, gdy N ^ o o -, mamy zatem ostatecznie

a'(N)B(logN) ( q ' {N) S(logN)

( l - a e f 1 ( l - f i e ) r ) (1 + 0(1 ))

co, wobec 0 < a < l i 0 < / 5 < l oraz możliwości przyjęcia dla s dowolnie małej wartości, dowodzi twierdzenia.

W

. W przypadku r,- = Sj, a(x) — q ( co ), mamy

W szczególności, oznaczając przez p liczby pierwsze a przez я (cc) ilość tych liczb < x, otrzymujemy:

Dowiedziemy teraz znanego twierdzenia o ilości liczb < N mają­

cych к czynników pierwszych. Część wstępna dowodu wzorowana jest na dowodzie Hardy’ego i Wrighta ([1], str. 369, 370), trzon zaś jego wynika niemal bezpośrednio z twierdzenia 1 .

T

2. Niech rk(N) oznacza ilość liczb < N mających к czynników pierwszych, a nk{N) ilość liczb < N mających к różnych czynni­

ków pierwszych. Udowodnimy, że rk{N) i nk(N) są asymptotycznie równe N ilo g lo g N f-1

(k — 1) ! logiT *

D o w ód. Oznaczmy przez ITk(N) ilość zespołów к czynników pierw­

szych, których iloczyny są < N, uważając za różne zespoły również i takie, które różnią się tylko porządkiem czynników. Zachodzą nierów­

ności

log Ж N

( u )

gdyż liczba permutacji w zespołach złożonych z к różnych czynników pierwszych jest niniejsza (dla к > 2) od liczby wszystkich permutacji, a tych z kolei jest mniej od liczby permutacji, w przypadku, gdyby wszyst­

kie powtarzające się czynniki traktować jako różne. rk(N) — btk(N) jest liczbą iloczynów < N zawierających co najmniej dwa jednakowe czynniki pierwsze. Przedstawiając te iloczyny w postaci kanonicznej i odejmując po jednym z powtarzających się w danym iloczynie czynników pierw­

szych otrzymujemy zespoły o k — 1 czynnikach pierwszych, różniące się co najmniej porządkiem. Mamy więc

(12) rk(N) — nk{N) < IIk-.i{N).

Ustawmy teraz iloczyny objęte liczbą Пк(Ж) według wielkości i oznacz­

my je jfrzez rk i (oczywiście w tym niemalejącym ciągu ta sama wartość będzie się powtarzała kilka razy). Łatwo wykazać, że

(13)

Istotnie, mamy

У rM = (loglogff)*(l + o(l)).

rk,i<N

k r —

gdyż przy p ^ V N każde rki ^ IV, a przy p +! N obok wszystkich rk>i

< N istnieją rkfi > N. Zważywszy, że

^ — = (log log ж) (1 + 0 (1 )) otrzymujemy

(loglog'jy —logfc)*(l + o(l)) < У ] —- < (loglogJV)ft(l + o (l)), rk,i rk>i

co dowodzi wzoru (13).

Dowiedziemy teraz, że jeżeli

m m = — ^ ( l o g i o g ^ f- 1 ( i + o ( i ) ) ,

to taka sama zależność zachodzi dla jfc + 1. Stąd wyniknie już łatwo dowód twierdzenia.

Zachodzi przede wszystkim zależność

Пк+х {Щ 4

gdyż liczby rk+lti możemy tworzyć w ten sposób, że w każdym zespole

rk>i dodajemy kolejno po czynniku pierwszym + N /rk)i. Do rozwinięcia

134 M. K a le c k i

n(Nfrk {) możemy zastosować twierdzenie 1. Przyjmujemy

rk , i < N

П = rk>i, sj = p it a{N) = tc (N), q (N) = IIk(N).

Mamy dalej

Ж(Щ = ^ (1 + 0<1)>; ПЛЩ = i ^ ^ l o g i o g - S - M l + otl)) oraz

= lo g lo g # (l + o (l)); ^ = ( lo g lo g ^ f( l + o (l));

P<N P r/Ti<N Tk<i

S(logN) = loglogiV; i^(logJV) = (log log N)k.

Otóż funkcje

1— лТ * 1— — ^(loglogJVj^ 1 oraz log log W i (log log Ж)*

о о

spełniają' warunki postawione w twierdzeniu 1. Wobec tego możemy zastosować wzór (4):

= ( 1о|дг (loglog У f - I — ic (log log N f 'l o g l o g if j (l + o (l)) =

= (S -+ l)(lo g lo g J f)‘ (l + <.(l));

c. b. d. o.

Ponieważ wzór

(14) N

lo g N jest słuszny dla Tc = 1, gdyż

n t (N) = n{N)

ПЛЩ = --- - L f l o g l o g j y ^ - ’ fl + otl))

N

logJV (l + o (l)),

a gdy jest słuszny dla Tc, jest również słuszny dla Tc-j-1, możemy uważać wzór (14) za udowodniony. Wynika z niego, że

П„-г(Щ = о [ Щ ( Щ

i następnie na podstawie tego wzoru oraz wzorów ( 1 1 ) i (1 2 ) N (logio g N f - 1

rk(N) ~ лк{Ж)

log W (fc — 1 )!

Praca cytowana

[1] Gr. H. H a r d y and E. M. W r i g h t ,

A n Introduction to the Theory o f Num­

bers,

M. Kalecki (Warszawa)

A TH E O R E M ON SUMS OF T H E T Y P E A N D ITS A P P L IC A TIO N

SUMMARY

Let

Sj

n

sj ->

-> оо;

a{x)

(

)

s}-

x

ri

x,

Let a(N ) and

(N) be asymptotically equal to non-decreasing functions

o '(N ) N

/(lo g

N)

e'(N )

N p

N) such that

f{u x )

/(®) ^{uy ;}

cp(ux)

/(*) ^uv when N ->

for each

и

where g and у are non-negative constants. Moreover, let £

l8i an^ 2

lri be asym-

Sj^N ri<N

ptotically equal to functions 8 (lo g N ) and B (lo g N ) such that 8 (их) В (их) S (x) —*■

B (x )

as x —*■

for each

и

Then

8 (x) 1 , _{B (x )}

r,;<N

2

= (a'(N)B ^0SN) + e'(N)8(\ogN))(l + o(l)).

From this equation a very simple and lucid demonstration is derived of the well-known theorem on the quantity of numbers <

N

h