Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y

ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI

UMOWA. Pisząc ekstremum mam na myśli ekstremum lokalne. Będziemy jeszcze rozważać ekstrema globalne i warunkowe.

PRZYKŁAD 1. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x³− 3x + y³− 3y.

TROCHĘ TEORII.

Jak pamiętamy z pierwszego semestru, szukając ekstremów funkcji jednej zmiennej f (x), po ustaleniu dziedziny, szukaliśmy punktu “podejrzanego” o ekstremum licząc pochodną f⁰(x) i przyrównując ją do zera. Podobnie postąpimy dla funkcji dwóch, trzech, ... zmiennych. Nie- stety, pochodnych (cząstkowych) będzie więcej (dwie, trzy, ...). Jeśli się komuś nie podoba słowo

“podejrzany”, to może pisać inaczej, na przykład “krytyczny”, “stacjonarny”, czy też “punkt, w którym funkcja może osiągać ekstremum, ale nie musi”.

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM. Jeżeli funkcja f (x, y) ma eks- tremum lokalne w punkcie (x₀, y₀) i jeżeli istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x₀, y₀), to

f_x⁰(x₀, y₀) = 0 i f_y⁰(x₀, y₀) = 0.

WNIOSEK. Punkty “podejrzane” o ekstremum to te, w których obie pochodne cząstkowe się zerują, albo te, w których pochodna nie istnieje.

UWAGA 1. Funkcja może w takim punkcie “podejrzanym” osiągnąć ekstremum, ale nie musi.

UWAGA 2. Co istotne, na pewno w żadnym innym punkcie (“nie-podejrzanym”) funkcja nie osiąga ekstremum.

Jak już mamy punkty “podejrzane” (jak ich nie ma, to funkcja nie ma ekstremów), to sprawdzamy, czy funkcja w każdym z takich punktów osiąga ekstremum, czy nie, a jeśli tak, to jakie (minimum, czy maksimum).

OZNACZENIE. Wyrażenie

D(x, y) =^hf_xy⁰⁰(x, y)ⁱ²− f_xx⁰⁰ (x, y)f_yy⁰⁰(x, y) nazywamy wyróżnikiem funkcji f w punkcie (x, y).

Wyróżnik D(x, y) jest funkcją dwóch zmiennych. W każdym “konkretnym” punkcie, na przykład (2, 1) wy- różnik D(2, 1) jest liczbą. Dość często zamiast wyróżnika stosuje się wyznacznik (ja nawet wolę wyznacznik, bo łatwo się uogólnia na funkcje trzech, czterech, ... zmiennych, my rozpatrujemy tylko funkcje dwóch zmiennych).

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM Załóżmy, że w pewnym otoczeniu punktu (x₀, y₀) istnieją ciągłe pochodne drugiego rzędu funkcji f (x, y) oraz że f_x⁰(x₀, y₀) = 0 i f_y⁰(x₀, y₀) = 0.

(1) Jeżeli D(x₀, y₀)> 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie (x₀, y₀).

(2) Jeżeli D(x₀, y₀)< 0, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie (x₀, y₀);

gdy f_xx⁰⁰ (x₀, y₀)< 0, to osiąga maksimum, a gdy f_xx⁰⁰ (x0, y0)> 0 to osiąga minimum.

1

UWAGA.

Gdy D(x0, y0) = 0, to może być różnie. Funkcja f może w tym punkcie osiągać minimum lokalne, tak jak f (x, y) = x⁴+ y⁴ w punkcie (0, 0); może w tym punkcie osiągać maksimum lokalne, tak jak f (x, y) = −x⁴− y⁴ w punkcie (0, 0); może też nie mieć ekstremum, tak jak f (x, y) = x³+ y³ w punkcie (0, 0).

Dopasujmy tę teorię do naszego zadania.

ROZWIĄZANIE PRZYKŁADU 1.

Dziedziną funkcji f (x, y) = x³− 3x + y³− 3y jest cała płaszczyzna, co możemy zapisać D = R², czy też x ∈ R ∧ y ∈ R.

Obliczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (dziedziną obu pochodnych jest cała płaszczyzna): f_x⁰ = 3x²− 3, f_y⁰ = 3y²− 3.

Szukamy punktów zerujących obie pochodne, czyli spełniających układ równań:

( 3x²− 3 = 0 3y² − 3 = 0 . Z pierwszego równania otrzymamy dwa rozwiązania x = 1 lub x = −1.

Podobnie z drugiego: y = 1 lub y = −1.

Nie ma w tym zadaniu zależności (związku) między x i y typu y = x, czy y = −x².

Są zatem cztery punkty “podejrzane” o ekstremum

P1(1, 1), P2(1, −1), P3(−1, 1), P4(−1, −1).

Sprawdzamy, po kolei, czy w tych punktach funkcja osiąga ekstremum.

Obliczamy pochodne drugiego rzędu:

f_xx⁰⁰ = (3x²− 3)⁰_x= 6x, f_xy⁰⁰ = (3x²− 3)⁰_y = 0, f_yy⁰⁰ = (3y²− 3)⁰_y = 6y oraz wyróżnik:

D(x, y) = 0²−6x· 6y = −36xy.

Następnie badamy znak wyróżnika punktach „podejrzanych”.

Zaczniemy od punktu P₁(1, 1):

D(1, 1) = −36 · 1 · 1 = −36< 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P₁.

O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu.

Oczywiście f_xx⁰⁰(P1) oraz f_yy⁰⁰(P1) są tego samego znaku, gdyby były innych znaków, to wyróżnik by był dodatni, a jest ujemny. Zwykle badamy znak pochodnej względem xx.

W tym punkcie f_xx⁰⁰ (1, 1) =6 · 1> 0, co oznacza, że funkcja osiągaminimum w P₁. Kolejny punkt to P₂(1, −1):

D(1, −1) = −36 · 1 · (−1) = 36> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremum w punkcie P₂. Następny punkt to P3(−1, 1):

D(1, −1) = −36 · (−1) · 1 = 36> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremum w punkcie P₃. Ostatni punkt do zbadania to P₄(−1, −1):

D(−1, −1) = −36 · (−1) · (−1) = −36< 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P₄. O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu. W tym punkcie f_xx⁰⁰ (−1, −1) =6 · (−1)< 0, co oznacza, że funkcja osiąga maksimum w punkcie P₄.

ODPOWIEDŹ. Funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (1, 1) oraz osiąga maksimum lokalne w punkcie (−1, −1).

PRZYKŁAD 2. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x⁵− 5xy − y⁵. ROZWIĄZANIE.

Dziedzina: D_f = R².

Pochodne cząstkowe: f_x⁰(x, y) = 5x⁴− 5y, f_y⁰(x, y) = −5x − 5y⁴. Przyrównujemy je do zera:

( 5x⁴− 5y = 0

−5x − 5y⁴ = 0 , dzieląc:

( x⁴− y = 0 x + y⁴ = 0 .

Wyliczony y = x⁴ z pierwszego równania podstawiamy do równania drugiego:

x + (x⁴)⁴ = 0, x + x¹⁶= 0, x(1 + x¹⁵) = 0.

Zatem albo x = 0, albo 1 + x¹⁵= 0, czyli x¹⁵= −1.

Mamy dwa rozwiązania: x1 = 0, x2 = −1.

Skoro y = x⁴, otrzymamy y₁ = (x₁)⁴ = 0⁴ = 0, y₂ = (x₂)⁴ = (−1)⁴ = 1.

Są dwa punkty “podejrzane” o ekstremum: P1(0, 0), P2(−1, 1).

Obliczamy pochodne drugiego rzędu:

f_xx⁰⁰ = 20x³, f_xy⁰⁰ = −5, f_yy⁰⁰ = −20y³ oraz wyróżnik:

D(x, y) = (−5)²−20x³· (−20y³) = 25 + 400x³y³. Następnie badamy znak wyróżnika punktach „podejrzanych”.

Zaczniemy od punktu P₁(0, 0):

D(0, 0) = 25 + 400 · 0³· 0³ = 25> 0,

zatem funkcja f nie osiąga ekstremumw punkcie P₁. Kolej na P₂(−1, 1):

D(−1, 1) = 25 + 400 · 1³· (−1)³< 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P2. O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu. W tym punkcie f_xx⁰⁰ (−1, 1) = 20 · (−1)³< 0, co oznacza, że funkcja osiąga maksimum w P₂.

ODPOWIEDŹ. Funkcja osiąga maksimum lokalne w punkcie (−1, 1).

PRZYKŁAD 3.

Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x²+ y² w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, −1).

TROCHĘ TEORII.

Zadania tego typu rozwiązuje się długo i żmudnie.

Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji f (x, y) w zbiorze domkniętym i ograniczonym D wystarczy:

[1] znaleźć punkty „podejrzane o ekstremum” we wnętrzu zbioru D;

[2] obliczyć wartości funkcji f w tych punktach;

[3] znaleźć punkty „podejrzane” na brzegu zbioru D (na ogół dzieląc brzeg na „do- godne” fragmenty) oraz obliczyć wartości funkcji f w tych punktach;

[4] z uzyskanych liczb wybrać największą i najmniejszą.

ROZWIĄZANIE PRZYKŁADU 3.

Szukamy punktów “podejrzanych” o ekstremum lokalne.

Pochodne cząstkowe f_x⁰(x, y) = 2x, f_y⁰(x, y) = 2y zerują się dla x = 0, y = 0, zatem punktem „podejrzanym” o ekstremum jest (0, 0).

1 1

0 x

y

D

1 1 b₁

b2

b₃ B₄

B₅

B₆ x y

W tym przykładzie punkt (0, 0) należy do zbioru D, ale punkt ten nie leży we wnętrzu zbioru D - leży na brzegu zbioru D.

Mamy dwie możliwości: albo go teraz uwzględniamy przy szukaniu ekstremów globalnych (i wyliczymy teraz f (0, 0)), albo - tak zrobimy postępując zgodnie ze schematem - uwzględnimy go dopiero w drugiej części badając f na brzegu zbioru D.

Przechodzimy do kolejnego punktu: badamy f na brzegu zbioru D.

Uwaga: funkcja f (x, y) na brzegu zbioru D “zrobi się” funkcją jednej zmiennej.

Dzielimy brzeg na sześć fragmentów, trzy odcinki otwarte i trzy punkty sklejenia:

b₁ : y = x, 0 < x < 1; b₂ : y = −x, 0 < x < 1; b₃ : x = 1, −1 < y < 1;

B₄(0, 0); B₅(1, 1); B₆(1, −1).

Zaczniemy od b₁ : y = x, x ∈ (0, 1).

Funkcja f (x, y) = x²+ y² nab₁ przyjmuje postać: f |_b1 = x²+x² = 2x². Oznaczmy tę funkcję przez f₁(x). Stosujemy standardową metodę szukania punktów “podejrzanych”

o ekstremum lokalne funkcji jednej zmiennej.

Ponieważ f₁⁰(x) = 4x, jedynym punktem zerującym tę pochodną jest x = 0. Nie uwzgęd- niamy go, gdyż 0 /∈ (0, 1), inaczej: nie uwzględniamy, gdyż punkt (0, 0) nie leży na odcinku b₁, odcinek ten jest otwarty - bez końców; punkt (0, 0) uwzględnimy później jako B4.

Kolejny fragment: b₂ : y = −x, x ∈ (0, 1).

Funkcja f na b₂ przyjmuje postać: f |_b2 = x²+ (−x)² = 2x². Oznaczmy tę funkcję przez f₂(x). Ponieważ f₂⁰(x) = 4x, jedynym punktem zerującym tę pochodną jest x = 0. Nie uwzgędniamy go, gdyż 0 /∈ (0, 1).

Ostatnim odcinkiem do zbadania jest: b₃ : x = 1, y ∈ (−1, 1).

Funkcja f na b₃ przyjmuje postać: f |b3 = (1)² + y² = y² + 1. Oznaczmy tę funkcję przez f3(y). Ponieważ f₃⁰(y) = 2y, jedynym punktem zerującym tę pochodną jest y = 0.

Uwzgędniamy go, gdyż 0 ∈ (−1, 1). Liczymy f3(0) = 0²+ 1 = 1.

Pozostaje nam sprawdzenie, co się dzieje w punktach sklejenia.

f (B₄) = f (0, 0) = 0²+ 0² =0, f (B₅) = f (1, 1) = 1²+ 1² =2, f (B₆) = f (1, −1) = 1²+ (−1)² =2.

Z uzyskanych wartości, czyli z liczb: 1, 0, 2, 2, wybieramy największą i najmniejszą.

ODPOWIEDŹ. Wartością największą jest 2, a najmniejszą 0.

PRZYKŁAD 4.

Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13.

PRZYKŁAD 4B.

Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13, dla x ¬ 0.

PRZYKŁAD 4C.

Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13, dla y ­ 0.

TROCHĘ TEORII.

Jednym ze sposobów na rozwiązanie takiego zadania jest wyliczenie jednej ze zmiennych z warunku, na przykład y, w naszym zadaniu mamy dwa przypadki: y =√

13 − x² lub y = −√

13 − x² i podstawienie do funkcji f (x, y), a następnie “standardowe” szukanie ekstremów globalnych funkcji jednej zmiennej.

Zadanie nasze możemy też traktować jak przykład na szukanie ekstremów globalnych funkcji f (x, y) w zbiorze D : x²+ y²= 13.

My zastosujemy metodę Lagrange’a.

SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH FUNKCJI f (x, y) PRZY WARUNKU g(x, y) = 0.

Tworzymy funkcję Lagrange’a:

F (x, y) = f (x, y) + λg(x, y).

Punkty „podejrzane” o warunkowe ekstremum (lokalne) otrzymujemy rozwiązując układ trzech równań:

F_x⁰(x, y) = 0, F_y⁰(x, y) = 0, g(x, y) = 0.

Dalszy sposób postępowania zależy od postaci krzywej opisanej warunkiem (tzn. zbioru punktów opisanych równaniem g(x, y) = 0). Na nasz użytek podam tylko dwie możli- wości.

Jeżeli krzywa opisana warunkiem jest krzywą zamkniętą, to liczymy wartości funkcji f w punktach „podejrzanych” i wybieramy z nich wartość największą i najmniejszą.

Jeżeli krzywa opisana warunkiem ma „końce”, to liczymy wartości funkcji f w punk- tach „podejrzanych” leżących na tej krzywej oraz liczymy wartości f na końcach krzywej i następnie z uzyskanych wartości wybieramy wartość największą i najmniejszą.

ROZWIĄZANIE PRZYKŁADU 4.

Szukamy największą i najmniejszą wartość funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13.

Warunek (w “regułce” ma postać g(x, y) = 0) możemy zapisać jako x²+ y²− 13 = 0.

Z tej postaci widzimy, że u nas g(x, y) = x²+ y²− 13.

Tworzymy funkcję Lagrange’a:

F (x, y) = 2x + 3y + λ(x²+ y²− 13).

Obliczamy pochodne cząstkowe funkcji F : F_x⁰ = 2 · 1 + 0 + λ · (2x + 0 − 0) = 2 + λ · 2x, F_y⁰ = 0 + 3 · 1 + λ · (0 + 2y − 0) = 3 + λ · 2y.

Punkty “podejrzane” znajdziemy rozwiązując układ równań







F_x⁰(x, y) = 0 F_y⁰(x, y) = 0 g(x, y) = 0

, czyli







2 + λ · 2x = 0 3 + λ · 2y + 0 x²+ y²− 13 = 0

.

Oczywiście trzecie równanie (warunek) można zapisać x²+ y²= 13. Sposobów rozwiązania jest kilka.

Dodam, że nie interesują nas wszystkie trzy zmienne x, y, λ. Przy szukaniu ekstremów globalnych, λ nas nie interesuje (nie musimy jej wyliczać), pełni tylko funkcję pomocniczą.

Powiedzmy, że z pierwszego równania wyliczamy λ i podstawiamy do drugiego.

Z pierwszego: λ = ⁻²_2x, czyli λ = ⁻¹_x . Podstawiamy do drugiego: 3+⁻¹_x ·2y = 0, uzyskując zależność 3 − ^2y_x = 0, skąd ^2y_x = 3 oraz y = ³₂ · x.

Dwa pierwsze równania już wykorzystaliśmy, czas na równanie trzecie; podstawiamy

“nasz” y do ostatniego równania: x² + (³₂ · x)²− 13 = 0. Dalej już łatwo:

x²+ ⁹₄ · x² = 13, 4x²+ 9x² = 13 · 4, 13x² = 13 · 4, x² = 4.

Są dwa rozwiązania x₁ = 2, x₂ = −2. Uwzględniając zależność y = ³₂ · x otrzymamy y₁ = ³₂ · 2 = 3, y₂ = ³₂ · (−2) = −3.

Mamy dwa punkty “podejrzane” P1(2, 3), P2(−2, −3).

Sprawdzamy, jak wygląda krzywa opisana warunkiem x² + y² = 13. Jest nią okrąg (krzywa “zamknięta”).

1

√13 x y

P₁

P₂

Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f (x, y) = 2x + 3y w punktach „podejrza- nych”:

f (2, 3) = 2 · 2 + 3 · 3 = 4 + 9 = 13, f (−2, −3) = 2 · (−2) + 3 · (−3) = −4 − 9 = −13.

ODPOWIEDŹ. Wartością największą jest 13, a najmniejszą −13.

ROZWIĄZANIE PRZYKŁADU 4B.

Szukamy wartości największej i najmniejszej funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13, dla x ¬ 0.

Na początku postępujemy jak w przykładzie 4 uzyskując dwa punkty “podejrzane”

P1(2, 3), P2(−2, −3).

Sprawdzamy, jak wygląda krzywa opisana warunkiem x² + y² = 13, dla x ¬ 0.

Tym razem jest to (lewa) połowa okręgu,

−√ 1

13 x

y

P₁

P₂ K₂ K1

czyli półokrąg razem z “końcami”.

Na tym fragmencie okręgu leży jedynie punkt P₂(−2, −3), który uwzględnimy. Punkt P₁ nas nie interesuje. Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f (x, y) = 2x + 3y w punkcie P₂ i na “końcach” krzywej:

f (P₂) = f (−2, −3) = −13, f (K₁) = f (0,√

13) = 2 · 0 + 3 ·√

13 = 3√ 13, f (K₂) = f (0, −√

13) = 2 · 0 + 3 · (−√

13) = −3√ 13.

ODPOWIEDŹ. Wartością największą są 3√

13, a wartością najmniejszą jest −13.

ROZWIĄZANIE PRZYKŁADU 4C.

Szukamy wartości największej i najmniejszej funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13, dla y ­ 0.

Na początku postępujemy jak w przykładzie 4 uzyskując dwa punkty “podejrzane”

P₁(2, 3), P₂(−2, −3).

Sprawdzamy, jak wygląda krzywa opisana warunkiem x² + y² = 13, dla y ­ 0.

Tym razem jest to (górna) połowa okręgu,

1

√ 13

x y

P1

P₂

K₂ K₁

czyli półokrąg razem z “końcami”.

Na tym fragmencie okręgu leży jedynie punkt P₁(2, 3), który uwzględnimy. Punkt P₂ nas nie interesuje. Wystarczy zatem obliczyć wartości funkcji f (x, y) = 2x + 3y w punkcie P1 i na “końcach” krzywej:

f (P₁) = f (2, 3) = 13, f (K₁) = f (√

13, 0) = 2 ·√

13 + 3 · 0 = 2√ 13, f (K₂) = f (−√

13, 0) = 2 · (−√

13) + 3 · 0 = −2√ 13.

ODPOWIEDŹ. Wartością największą jest 13, a wartością najmniejszą są −2√ 13.

DWA ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA właściwy numer zestawu to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,

na rozwiązane zadania czekam do 26.04.2020

[04] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁷+ 7xy + y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x − 3y przy warunku x²+ y² = 13.

[05] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁷+ 7xy − y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 3x − 2y przy warunku x²+ y² = 13.

[17] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − x⁷+ 7xy + y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + 2y przy warunku x²+ y² = 5.

[32] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − x⁷− 7xy − y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − 2y przy warunku x²+ y² = 5.

[53] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁷− 7xy + y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x − y przy warunku x²+ y² = 5.

[56] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁹+ 9xy + y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + y przy warunku x²+ y² = 5.

[58] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁹+ 9xy − y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + 4y przy warunku x²+ y² = 17.

[63] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − x⁹+ 9xy + y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − 4y przy warunku x²+ y² = 17.

[67] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁹− 9xy + y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 4x − y przy warunku x²+ y² = 17.

[69] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − x⁹− 9xy − y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 4x + y przy warunku x²+ y² = 17.

[70] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₇x⁷+ xy + ¹₇y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 5x + y przy warunku x²+ y² = 26.

[74] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₇x⁷+ xy − ¹₇y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 5x − y przy warunku x²+ y² = 26.

[75] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₇x⁷− xy + ¹₇y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − 5y przy warunku x²+ y² = 26.

[77] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − ¹₇x⁷+ xy + ¹₇y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + 5y przy warunku x²+ y² = 26.

[80] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − ¹₇x⁷− xy − ¹₇y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 5x + 2y przy warunku x²+ y² = 29.

[81] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₉x⁹+ xy + ¹₉y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 5x − 2y przy warunku x²+ y² = 29.

[84] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₉x⁹+ xy − ¹₉y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x − 5y przy warunku x²+ y² = 29.

[86] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₉x⁹− xy + ¹₉y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + 5y przy warunku x²+ y² = 29.

[87] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ¹₉x⁹− xy − ¹₉y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 6x + y przy warunku x²+ y² = 37.

[88] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − ¹₉x⁹− xy − ¹₉y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 6x − y przy warunku x²+ y² = 37.

[89] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁷+ 7xy + y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − 6y przy warunku x²+ y² = 37.

[92] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − x⁷− 7xy + y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + 6y przy warunku x²+ y² = 37.

[93] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − x⁹− 9xy + y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 4x − 3y przy warunku x²+ y² = 25.

[94] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − ¹₉x⁹− xy + ¹₉y⁹.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 4x + 3y przy warunku x²+ y² = 25.

[95] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 − ¹₇x⁷− xy + ¹₇y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 3x − 4y przy warunku x²+ y² = 25.

[96] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 1 + x⁷+ 7xy + y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 3x + 4y przy warunku x²+ y² = 25.

[97] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 2x⁷+ 14xy + 2y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − 7y przy warunku x²+ y² = 50.

[98] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 2x⁷− 14xy + 2y⁷.

(2) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 7x + y przy warunku x²+ y² = 50.