Sprawdzian przykªadowy numer 4 (niekoniecznie zadania b¦d¡ takie same, ale mog¡ by¢ podobne).
Do zdobycia b¦dzie 2400 punktów wi¦c niektóre z zada« mog¡ wypa±¢ z listy.
1. (300 punktów) Metod¡ najmniejszych kwadratów dopasowa¢ krzyw¡ f(x) = ax2+bdo punktów empirycznych: (0, −2); (1, 1); (2, 0).
2. (400 punktów) Wyznaczy¢ (je±li istniej¡) ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) = x4 + 1y przy warunku x12 + y12 = 4.
3. (500 punktów) Wyznaczy¢ (je±li istniej¡) ekstrema lokalne funkcji f(x, y, z) = x33 − x2y + y2x + z2− 4x − 2z + 1.
4. (200 punktów) Funkcja popytu na hamburgery Q(x, y) = 50 − 2x+3yxy zale»y od ceny buªek (x) i ceny woªowiny (y). Dla x = 20 i y = 100 obliczy¢ popyt kra«cowy na hamburgery ze wzgl¦du na cen¦ buªek i elastyczno±¢ popytu na hamburgery ze wzgl¦du na cen¦ woªowiny. Zinterpretowa¢
otrzymane wyniki.
5. (100 punktów) Wykorzystuj¡c ró»niczk¦ zupeªn¡ funkcji 2 zmiennych, obliczy¢ przybli»on¡
warto±¢ wyra»enia: 2, 962 · e0,02.
6. (200 punktów) Za pomoc¡ lematu Eulera zbada¢, czy poni»sza funkcja jest jednorodna, a je±li tak, to jakiego stopnia: f(x, y, z) =√
x3+√xzy − 2y√ z.
7. (300 punktów) Funkcja y : R ⊃ Dy → R dla ka»dego x ∈ Dy speªnia równanie xy2(x) +√
x = 4y(x)x + 5y3(x). Ponadto y(4) = 1. Udowodni¢, »e y0(4) istnieje i obliczy¢ warto±¢
y0(4).
8. (200 punktów) Zbada¢, czy funkcja u»yteczno±ci u(x, y) = px3 2y speªnia prawo Gossena ma- lej¡cej u»yteczno±ci kra«cowej, a nast¦pnie wyznaczy¢ kra«cow¡ stop¦ substytucji towaru y przez towar x i jej elastyczno±¢ w punkcie x = 1, y = 4. Poda¢ sªown¡ interpretacj¦ wyników.
9. (200 punktów) Konsument przy wydatkach na koszyki towarów (x, y) kieruje si¦ funkcj¡ u»y- teczno±ci u(x, y) = ln(2x + y2)(zawarto±¢ koszyka w tym zadaniu mierzona jest wydatkami na ka»dy typ towaru w koszyku). W jakich proporcjach powinien rozdzieli¢ kolejn¡ jednostk¦ wydatków tak, by maksymalnie zwi¦kszy¢ u»yteczno±¢ koszyka, je±li obecnie posiada koszyk (3, 1) ?
10. (200 punktów) Firma rozdziela wydatki na inwestycje kapitaªowe (K), pensje i premie dla pracowników (L) i na reklam¦ (A), tak by zmaksymalizowa¢ funkcj¦ dochodu R(K, L, A) = A2L −
A
K + log3K. Czy dochód ten wzro±nie, czy zmaleje, je±li przy wydatkach na te trzy czynniki (3, 5, 1) zwi¦kszymy o dwie jednostki wydatki na reklam¦ i o jedn¡ jednostk¦ wydatki na inwestycje kapita- ªowe, kosztem zmniejszenia o 3 jednostki wydatków na pensje i premie.
11. (200 punktów) Metod¡ algebraiczn¡ wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f (x) = 2y − 2x − 1 na zbiorze opisanym nierówno±ciami:
x ≥ −1, y ≤ 2, x − y ≥ 0, 2x − y ≥ 0, x + y ≤ 7.
