1
Wykład II Mechanika
Zasady dynamiki Newtona
1I zasada dynamiki: Jeśli na ciało nie działa żadna siła bądź działające siły
równoważą się, ciało to porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
(
vconst) lub spoczywa.
Pęd:
p mvII zasada dynamiki: Zmiana pędu ciała w (nieskończenie) krótkim czasie jest
równa sile działającej na to ciało pomnożonej przez ten czas
Masa grawitacyjna (m
*) i bezwładna (m):
*
*
* g m~ m
m a m a
m g m
Fg
,
przyjmuje się m* = mUkład inercjalny: układ w którym zachodzi I zasada dynamiki
Transformacja Galileusza
2Jeśli dany układ jest inercjalny, to układy poruszające się względem niego ze
stałą prędkością też są inercjalne
Zasada superpozycji sił: jeśli na dany punkt działa kilka sił, to siła wypadkowa
jest sumą wektorową sił składowych
1 Isaac Newton 1643-1727
2 Galileo Galilei 1564-1642
t t
t u r r
t t
t u z z
t u y y
t u x x
z y x
2 2 2 2
dt r d dt
r d
dt u r d dt
r d
dt F
p
d
m a F
dt
v
m d
dt
v
m
d
)
(
2
Wykład II cd. Mechanika
II zasada dynamiki dla układu N punktów materialnych:
III zasada dynamiki: siła reakcji jest równa i przeciwnie skierowana do akcji
Suma sił wzajemnego oddziaływania punktów znika
Prawa zachowania
Zachowanie pędu
Środek masy:
dt R M d P m M
r M m
R
i i i
i i
1
,
,Ruch środka masy określają wyłącznie siły zewnętrzne
Zachowanie momentu pędu
N
j
i
F
dt F
p
d
Ni j j
ij i
i
,
2
,
1
,
1
F
i- siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt,
F
ij- siła działająca na i-ty punkt pochodząca od punkty j-tego
ji
ij
F
F
N
j i
j i
ji ij N
j i
j i
ij F F
F
1 , 1
,
2 0
1
F F dt F
P
d N
j i
j i
ij N
i i
1 , 1
1
1
1, 2,
N i i
N i i
P p
i N
F F
- całkowity pęd układu punktów
- całkowita siła zewnętrzna
0 dt
P d
Jeśli siła zewnętrzna znika, całkowity pęd układu jest zachowany:
Nj i
i i i
N i
J J
p r J
1
, 2 , 1
,
- moment pędu i-tego punktu materialnego - całkowity moment pędu układu punktów
i j j i
ij j i i
i i i
j j i
ji j ij i i
i i
i j j i
ij i i
i i
i j j i
ij i
i i
i i i i
F r r F
r F
r F r F
r
F r F
r F
F dt r
p r d p dt v
J d
, , ,
,
, , ,
) 2 (
1 2
1
vipi 0
3
Wykład II cd. Mechanika
Jeśli układ jest izolowany
Fi 0
, a siły wzajemnego oddziaływania centralne
ri rj Fij
||
)
(
Wielkość momentu pędu zależy od wyboru układu współrzędnych.
Układ środka masy (CM)
Położenie środka masy R i promienie wodzące ri* w CM są zdefiniowane:
Promienie wodzące spełniają warunek i i* 0
i
m r
, który umożliwia zapisać moment pędujako:
i
i i i
i
ip J r p
m P
J P R
J * * *
, ,
Zachowanie energii
pojedyncza cząstka m
T p 2
2
to energia kinetyczna. Obliczamy pochodną po czasie dT p dp
dt m dt . Skorzystawszy z II zasady dynamiki dp
dt F, dostajemy dT p dr
F F
dt m dt . Dalej zakładamy, że siła jest potencjalna, czyli można ją zapisać jako gradient energii potencjalnej czyli
F V r( ) V r( ), V r( ), V r( )
x y z
,
V – energia potencjalna. Dodatkowo zakładamy, że układ jest konserwatywny, tj. 0
t
V .
Wtedy dr dr ( ) dx V dy V dz V dV r( )
F V r
dt dt dt x dt y dt z dt
. A zatem mamy
dT dV
dt dt , czyli
0
d T V
dt
.Ostatnie równanie wyraża niezmienność w czasie całkowitej energii tj. T+V , a więc jest prawem zachowania energii.
0 dt
J d
i i
i i i
i i
r R r
m r m R
*
4 układ cząstek
W przypadku układu cząstek powtarzamy te same kroki, co wypadku pojedynczej cząstki.
2
, , ,
( )
, ( ) ( ) ( ) 1 ( )
2 2
i j
i i i i i
i i ij i j i i ij i j
i i i i i j j i i i j i j
d r r
p dT p dp dr dr
T F r F r r F r F r r
m dt m dt dt dt dt
) ( ),
(r F V r
V
Fi i ij ij
siły potencjalne
j i j i
ij i
i V
V U
,
2 ,
1 energia potencjalna układu
U
T energia całkowita układu
2 0 1
, ,
j i j i
ij i
i V
V dt T
d
