Wiedza probabilistyczna maturzystów(Wnioski z trzech egzaminów wstępnych na studia)1 Uwagi wstępne

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO SERIA V: DYDAKTYKA MATEMATYKI 18(1996)

Maciej Major

WSP Kraków

Wiedza probabilistyczna maturzystów

(Wnioski z trzech egzaminów wstępnych na studia)

1

U w a g i w s tę p n e

częścią rozwiązywania zadania1.

Zadania formułowane są tak, aby ich rozwiązywanie obejmowało takie ak­ tywności matematyczne jak:

a) racjonalne konstruowanie pytań, przekład na język matematyki problemu pozamatematycznego (formułowanie sensownych zagadnień matematycznych na tle pozamatematycznej sytuacji);

b) poszukiwanie źródeł informacji o nieznanym modelu, jaki należy przyjąć dla doświadczenia, oraz środków zdobywania tych informacji (dobór narzędzi i środków matematyzacji);

c) racjonalizacja postępowania (wykorzystywanie analogii, symetrii i izomor­ fizmów);

d) wyjaśnienie na gruncie matematyki odkrytych prawidłowości;

e) argumentowanie, organizacja myślenia matematycznego i wspieranie go różnymi środkami (np. rysunkiem, danymi statystycznymi);

f) odkrywanie, formułowanie oraz weryfikowanie twierdzeń; g) interpretowanie rezultatów dedukcji w realnym świecie;

h) wykorzystywanie rozwiązania zadania do rozwiązania innych zadań (np. wykorzystanie metody, wyniku, przedłużanie zadania), (por. Krygowska, 1980, s. 3-4; Płocki, 1992, s. 204-267; Treliński, 1982, s. 33-77).

Celem tej pracy jest analiza rozwiązań zadań przez kandydatów na mate­ matykę WSP w Krakowie, głównie pod kątem powyższych aktywności. Wnio­ ski z tej analizy traktujemy jako sygnały pewnych zjawisk. Ich ekstrapolacja na wszystkich maturzystów byłaby oczywiście ryzykowna.

2

P r o b le m a ty k a p r o b a b ilisty c z n a na e g z a m in a c h

w s tę p n y c h

Od lat egzamin pisemny na kierunek matematyka w WSP w Krakowie obej­ muje sześć zadań, z których jedno dotyczy rachunku prawdopodobieństwa.

2.1 Z adanie z 1993 roku

Z a d a n ie 1

1.1. Z urny o sześciu kulach ponumerowanych liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, losujemy jednocześnie dwie kule. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) suma numerów wylosowanych kul będzie liczbą parzystą (zdarzenie

A),

Wie d z a p r o b a b il is t y c z n a m a t u r z y s t ó w 105

b) suma numerów wylosowanych kul będzie liczbą nieparzystą (zdarzenie B).

1.2. W grze losuje się równocześnie dwie kule z powyższej urny. Przed losowaniem gracz skreśla na kuponie (rys. 1) jedną liczbę od 3 do 11. Jeśli suma numerów wylosowanych kul jest równa wcześniej skreślonej liczbie, to gracz zdobywa punkt. Czy taka gra przypomina Ci w czymś totolotka i dlaczego? Czym, według Ciebie, różni się ona od prawdziwego totolotka?

1.3. Postanowiłeś wziąć udział w tej grze. Jaką podejmiesz w tej sytuacji decyzję co do wypełniania kuponu?

3 4 5 6 7 8 9 10

11

rys. 1

Przedstawimy rozwiązanie zadania l 2.

Rysunek 2 prezentuje klasyczną przestrzeń probabilistyczną dla równocze­ snego losowania dwu kul z urny.

Każdy odcinek reprezentuje inną dwuelementową kombinację zbioru sześciu kul, wszystkich wyników losowania jest zatem tyle, ile wspomnianych odcinków, a więc ^ , tj. 15.

rys. 2

Zdarzenie B jest w tym ujęciu modelu zbiorem tych odcinków, które łączą wierzchołek „nieparzysty” z „parzystym”. Jest takich odcinków 3 X 3, a więc 9 jest mocą zbioru B. Model jest klasyczny, a zatem P{B) — = g. Zdarzenie

A jest w tym modelu zbiorem pozostałych odcinków. A i B — to zdarzenia

przeciwne, a więc P{A) = 1 — P(B) = 1 — | = f.

Najistotniejszym podobieństwem dwu gier (zad 1.2) jest analogia ich „struktur”. W obydwu grach przeprowadza się doświadczenie losowe. Zanim to jednak nastąpi, gracz stawia na wynik tego doświadczenia, uzyskując pewną „korzyść” 3 jeśli typowanie okaże się trafne. W obu grach wygrana gracza jest

2Szczegółowe rozwiązanie tego zadania znajduje się w artykule (Major i Płocki, 1993, s. 59-63).

więc pewną zmienną losową. Różnicą tych dwu gier jest to, że w grze z za­ dania 1 istnieje możliwość wpływania na szanse wygrania. W totolotku nie

ma racjonalnej strategii typowania liczb, natomiast w grze z zadania 1 taka

strategia istnieje.

Rozpatrując zagadnienie racjonalnej strategii w modelu probabilistycz­ nym (rys. 2), stwierdzamy, że gracz skreślając liczbę z kuponu, stawia na

jedno ze zdarzeń Cj = {suma numerów wylosowanych kul będzie równa j} ,

(j = 3,4,5,6,7,8,9,10,11). Prawdopodobieństwo zdarzenia C7 jest najwięk­

sze (P(C ) = 5), więc na kuponie warto skreślić liczbę siedem.

Komentarz do zadania 1

Celem zadania — oprócz kontroli sprawności rachunkowych — było spraw­ dzenie, jak kandydaci na studia matematyczne potrafią dostrzegać i uzasadniać pewne analogie oraz jak opisują istotne różnice odmiennych na pozór sytuacji losowych. Chodziło o to, czy kandydaci potrafią zauważać to, co z punktu widzenia matematyki jest istotne. Zadanie to miało również sprawdzać, czy i w jaki sposób kandydat potrafi odkrywać kryteria pozwalające podejmować racjonalną decyzję, jak uzasadnia tę decyzję na gruncie matematyki. Oprócz organizacji fazy rachunków, rozwiązywanie zadania obejmuje organizację fazy matematyzacji i fazy interpretacji. Organizacja tych dwu ostatnich faz istot­ nych dla rozwiązywania problemów stochastycznych była szczególnie analizo­ wana i oceniana. Szczegółową analizę rozwiązań tego zadania przedstawiono w oddzielnym opracowaniu (Major, Płocki, 1993, s. 57-83).

2.2 Z adanie z 1994 roku

Z a d a n ie 2

2.1. W urnie U są 3 kule białe i 4 czarne, a w urnie V jest 6 kul białych i 1 czarna. Obie urny są identyczne z wyglądu. Najpierw losujesz jedną z tych urn i nie zaglądając do jej wnętrza losujesz z niej kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej?

2.2. Znajdź prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w takim do­ świadczeniu losowym, gdy w urnie U jest 9 kul białych i 1 czarna, a w urnie V 2 białe i 8 czarnych.

2.3. Czy dostrzegasz, czym jest zarazem w obu przypadkach policzone prawdopodobieństwo? Czy jest to jakaś prawidłowość czy zbieg okolicz­ ności? Spróbuj ująć tę prawidłowość w formie twierdzenia. Udowodnij je.

Przedstawimy jedno z rozwiązań tego zadania4.

Opisane w tym zadaniu doświadczenie losowe jest dwuetapowe. Pierwszym etapem jest losowanie jednej z dwu urn, drugim losowanie kuli z wylosowanej

Wie d z a p r o b a b il is t y c z n a m a t u r z y s t ó w 107

urny. Do konstrukcji przestrzeni probabilistycznej jako modelu dla doświad­ czenia opisanego w zadaniu 2 . 1 wykorzystamy drzewo.

w 6 ft: U 0 U• Vo !/• p{u) : 3 14 4 14 6 14 1 14 rys. 3

Rozważmy zdarzenie C = {wylosowana kula będzie czarna}. W modelu proba­ bilistycznym C = {U*, K*}, a więc P{C) = p(U• ) -\-p(V•) = 3 • f + 2 • 7 = R-

Rozwiązanie zadania 2.2 uzyskujemy prowadząc rozumowanie analogiczne do opisanego powyżej (oznaczając przez C zdarzenie {wylosowana kula będzie

czarna} otrzymujemy P(C) = 5 *ik + i “ fe =

&)-W zadaniu 2 . 1 mamy P(C) = ^ , w zadaniu 2.2- P{C) = 5 5. W obu przy­

padkach policzone prawdopodobieństwo jest stosunkiem liczby kul czarnych w obydwu urnach do liczby wszystkich kul w tych urnach. Prawdopodobieństwo zdarzenia C można więc zinterpretować jako prawdopodobieństwo wylosowa­ nia kuli czarnej z urny powstałej ze zsypania wszystkich kul z tych dwu urn. Rozwiązanie sugeruje następujące twierdzenie:

Jeżeli w urnie U jest 61 kul białych i C\ kul czarnych, a w urnie V b2 kul białych i c2 kul czarnych oraz b\ + cx = &2 + c2 = s , to

prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej według schematu opisanego w zadaniach 1 i 2 jest równe prawdopodobieństwu wy­

losowania kuli z urny, w której jest 6j -f b2 kul białych i c\ + c2

kul czarnych (tj. urny powstałej ze zsypania do jednego pojemnika zawartości obu urn U i V).

Biorąc pod uwagę założenia i postępując analogicznie jak przy rozwiązaniu zadania 2 . 1 otrzymujemy, że

n o = \ _{b\ + Cj} C \ l ₂ C2 &2 + c2

ci + C2 2 3

K o m en tarz do zadania 2

Zadania 2.1 i 2.2 są „tradycyjnymi” szkolnymi zadaniami na obliczanie prawdopodobieństwa, a więc można zakwalifikować je do zadań-zw ykłych zastosow ań teo rii (Krygowska, 1980, s. 20-23). Zadanie 2.2 różni się od za­ dania 2.1 tylko danymi liczbowymi, a zostało ono umieszczone jedynie po to, aby sugerowało odkrycie twierdzenia, o którym mowa w zadaniu 2.3.

Zadanie 2.3. nie jest typowe, chodzi w nim bowiem o sformułowanie i we­ ryfikację mało znanego twierdzenia z rachunku prawdopodobieństwa. To zada­ nie miało sprawdzić, czy kandydat na studia matematyczne potrafi formułować wnioski z uzyskanych przez siebie wyników liczbowych i uogólnić je formułując oraz dowodząc stosowne twierdzenie. Na tę aktywność zwraca uwagę Krygow­ ska pisząc: „twierdzenia matematyki elementarnej powinny być w możliwie szerokim zakresie wykrywane przez samych uczniów jako rezultat rozwiązania odpowiednio sformułowanych zadań” (1980, s. 102-103). Rozwiązanie zada­ nia 2.3 wymaga przeanalizowania danych zawartych w zadaniach 2.1 i 2.2, a także zinterpretowania uzyskanych tam wyników liczbowych, a więc dokona­ nia rz u tu oka w stecz. Chodzi tu o wykorzystanie wyniku i sposobu jego uzyskania do sformułowania i udowodnienia twierdzenia (por. Polya, 1993, s. 58, 73-76). Odkrycie twierdzenia może nastąpić przez dokonanie uogólnienia ty p u indukcyjnego stwierdzeń uzyskanych w zadaniach 2.1 i 2.2. (Krygow­ ska, 1980, s. 114-115). O tego rodzaju uogólnieniach pisze też Ciosek (1995) w artykule omawiającym rolę przykładów w badaniu matematycznym. W celu łatwiejszego dostrzeżenia twierdzenia liczba kul w poszczególnych urnach zo­ stała tak dobrana, aby w każdym przypadku uzyskane wyniki liczbowe były ułamkami nieskracalnymi. Liczby kul w urnach U i V są równe. Czy ta rów- noliczność urn U i V jest istotna i jak to rozstrzygnąć? Są to pytania, których sformułowania także oczekiwaliśmy od kandydatów na studia matematyczne. 2.3 Z adanie z 1995 roku

Na egzaminie wstępnym w roku 1995 zaproponowano następujące zadanie z rachunku prawdopodobieństwa:

Z adanie 3 Dane są trzy urny:

Wie d z a p r o b a b il is t y c z n a m a t u r z y s t ó w 109

3.2. Masz prawo wybrać sobie jedną z trzech urn, jedną z dwu po­ zostałych wybierze sobie Twój przeciwnik w grze. Każdy z Was losuje następnie liczbę i zwycięża ten, kto wylosuje liczbę większą. Czy jest wśród tych urn najlepsza? Czy prawo pierwszeństwa jest w tej sytuacji dla Ciebie przywilejem? Jak uzasadnisz odpowiedzi na gruncie rachunku prawdopodobieństwa?

Przedstawimy trzy rozwiązania tego zadania. Dwa pierwsze są rozwiąza­ niami, jakich oczekiwano od kandydatów na studia, trzecie jest pewną propo­ zycją wykorzystania geometrycznej interpretacji modelu probabilistycznego. R ozw iązanie I

Załóżmy, że wybrałem urnę U\, mój przeciwnik ma więc urnę U%. Doświad­ czenie opisane w zadaniu możemy potraktować jako dwuetapowe: pierwszym etapem jest losowanie kuli z urny U\, drugim — losowanie kuli z urny f/2

-u) ę fli 10 14 60 64 p(u>): 2 3 4 9 1 9 2 9 rys. 4

Para (D,p), którą prezentuje tabela na rys. 4, jest modelem omawianego doświadczenia losowego5. Rozważmy zdarzenia:

A ={ zwycięży gracz losujący z urny U1} =

= {numer kuli wylosowanej z urny U\ będzie większy od numeru kuli wyloso­

wanej z urny U2}, oraz

B = {zwycięży gracz losujący z urny U2) —

= {numer kuli wylosowanej z urny U\ będzie mniejszy od numeru kuli wyloso­

wanej z urny (/2}.

W modelu probabilistycznym (D,p) jest: A = {10,60,64}, a więc P(A) = § -3 + 3- 5 + 5- 5 = I ' B = <14)> a wi«c = 5 • 3 =

5-Mamy tu P{A) > P(B), a więc szanse gracza, który wybrał urnę U\ , są większe od szans jego przeciwnika w grze. Urnę U\ można w opisanej sytuacji nazwać „lepszą” od urny l/2. Z rozwiązania zadania 3.1 wynika, że gracz który wy­ biera urnę pierwszy, powinien wybrać urnę U\. Aby odpowiedzieć na pytania

postawione w zadaniu 3.2 należy rozstrzygnąć, czy istnieje wśród tych trzech urn najlepsza, a więc taka, której wybór daje większe szanse na zwycięstwo, niezależnie od tego, którą z pozostałych urn wybierze przeciwnik.

Postępując analogicznie jak poprzednio stwierdzamy, że urna U2 jest „lep­

sza” od Uz a urna Uz „lepsza” od U\. Wśród tych urn nie ma zatem najlepszej. Wynika stąd, że gracz wybierający urnę jako drugi, jest w lepszej sytuacji, gdyż do każdej z urn wybranej przez pierwszego gracza może on spośród pozosta­ łych wybrać sobie urnę lepszą. Prawo pierwszeństwa nie jest w tej sytuacji przywilejem dla gracza. W tej grze lepiej jest być drugim przy wyborze urny. R ozw iązanie II

Załóżmy, że wybrałem urnę lĄ, mój przeciwnik urnę U2. Określmy model

probabilistyczny doświadczenia.

fi = {1,6} X {0,4}

W celu określenia rozkładu prawdopodobieństwa na zbiorze fi (tj. funkcji

p) skonstruujmy pomocniczy teoretyczny model. Rozróżnijmy między sobą

kule o numerach 1 i 4 (urna U\ zawiera dwie kule o numerze 1, urna U2 dwie

kule o numerze 4) oznaczając je 1/, 1//, 4/, 4/;. Ten teoretyczny zabieg (kule są w praktyce nierozróżnialne) pozwala określić przestrzeń fi* następująco:

fi* = { (l/,4 /),(l/,4 //),(l/,0 ),(l//,4 /),(l//,4 //),(l//,0 ),(6 ,4 /),(6 ,4 //),(6 ,0 )} Poklasyfikujmy elementy zbioru fi* pod kątem tego, do jakiego wyniku do­ świadczenia one prowadzą6. Wynikowi (1,4) odpowiadają cztery jednakowo- prawdopodobne przypadki: (1 /,4 /), ( l/,4 //) , ( l//,4 /) , ( l//,4 //) . Mamy więc p ((l,4 )) = ! + ! + ! + ! = | . Postępując analogicznie otrzymujemy:

u: _{(1,4) (1,0)} (6,4) (6,0) p{u): 4 9 2 9 2 9 91

Rozważmy zdarzenie A — {wygra gracz losujący z urny U\}. W modelu probabilistycznym (fi,p) jest: A = {(6,4),(1,0),(6,0)}, P(A) = p((6,4)) +

p( ( M ) ) + p((6>°) = i + i + 9 = i*

Rozwiązanie zadania 3.2 uzyskujemy postępując analogicznie. R ozw iązanie II I

Przeanalizujmy, jak etapami rozdziela się jednostkowe prawdopodobień­ stwo pomiędzy poszczególne wyniki doświadczenia opisanego w zadaniu. W tej sytuacji środkiem matematyzacji i argumentacji jest rysunek 5.

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 111 1 6 -*— 14 64 & * lo ^ 60 u2 2 3 13 rys. 5

Pionowa linia podziału kwadratu odpowiada losowaniu kuli z urny Ui, linia pozioma — losowaniu kuli z urny U2 . Każde z czterech oczek otrzymanej sieci reprezentuje jeden wynik doświadczenia. W tej interpretacji prawdopo­ dobieństwo wyniku jest polem odpowiadającego mu oczka sieci. Zakreskowane oczka reprezentują zdarzenie A = {zwycięży gracz losujący z urny Z7i}, po­ zostałe oczka zdarzenie B =. {zwycięży gracz losujący z urny t/2}. Pole za-

kreskowanej części kwadratu, tj. | , jest prawdopodobieństwem zdarzenia A,

P(B) = 1 — P(A), P{A) > P(B), a więc urna U \ jest lepsza od urny U2

-Odpowiedź na pytania postawione w zadaniu 3.2 można uzyskać postępu­ jąc analogicznie.

Kom entarz do zadania 3

Przedstawione zadanie także różni się formą i treścią od większości zna­ nych zadań egzaminacyjnych z rachunku prawdopodobieństwa proponowanych kandydatom na studia w ostatnich dziesięcioleciach.

Problem przedstawiony w zadaniu w istocie nie został opisany w języku matematyki. Aby udzielić odpowiedzi na postawione w nim pytania należy najpierw dokonać przekładu treści zadania na język matematyki, „osadzając” problem w odpowiednim modelu probabilistycznym, wykonać stosowne obli­ czenia, a następnie zinterpretować otrzymane rezultaty rachunków. Zadanie to miało:

— sprawdzać, w jaki sposób kandydaci na matematykę organizują fazę mate- matyzacji,

— kontrolować sprawności rachunkowe w zakresie rachunku prawdopodobień­ stwa (konstrukcja modelu, stosowanie twierdzeń do racjonalizacji rachunków, dobór matematycznych środków argumentacji, obliczanie prawdopodobień­ stwa), a także

Poszukiwanie odpowiedzi na postawione w zadaniu pytania wiąże się z pro­ blemem podejmowania decyzji. Chodziło o sprawdzenie, czy i w jaki sposób absolwent szkoły średniej zamierzający studiować matematykę potrafi wyko­ rzystać pojęcie prawdopodobieństwa jako narzędzie racjonalizacji postępowa­ nia przy podejmowaniu decyzji w sytuacjach niepewności. Zadanie 2 można by więc zaliczyć z jednej strony do zadań-zastosow ań m a te m aty k i, gdyż problem w nim nie został opisany w języku matematyki, a uzyskane wyniki liczbowe służą do podjęcia pewnych decyzji w „realnym świecie” (zob. Kry­ gowska, 1980, s. 53-72). Z drugiej zaś strony, rozwiązanie zadania 3.2 ujawnia zaskakujący paradoks związany z nieprzechodniością pewnej relacji, a więc za­ danie to ma znamiona z ad a n ia -m a te m aty c z n ej niespodzianki (zob. Kry­ gowska, 1980, s. 50-52). Interesujące było, czy i w jaki sposób kandydaci na matematykę zinterpretują uzyskane wyniki rachunków, formułując ten para­ doks oraz wnioski będące jego konsekwencjami. Autorom zadania chodziło też o uzyskanie informacji dotyczących języka, jakim egzaminowani opisują prowa­ dzone konstrukcje, komentują wykonywane rachunki i interpretują uzyskane rezultaty.

3

A n a liz a r o z w ią z a ń z a d a n ia 2

3.1 A n a liza je d n e g o rozw iązan ia

Zaprezentujemy i przeanalizujemy jedno (uznane za poprawne) rozwiązanie zadania 2 (zob. arkusz pracy). Na początku rozwiązujący wypisał dane zadania 2.1: U 3 k u le b ia łe (6), 4 k u le c z a r n e (c z), y f 6 k u l b ia ły c h (6), I 1 k u la c z a r n a { c z ) . P r a w d o p o d o b ie ń s tw a w y lo s o w a n ia obu u rn s ą je d n a k o w e .

Wie d z a p r o b a b il is t y c z n a m a t u r z y s t ó w 113

m « } ) = M + H = n + ń = n

-• P r a w d o p o d o b ie ń s tw o w y lo s o w a n ia k u li c z a r n e j w y n o s i

Dalej — powtarzając ten sam schemat zapisu — egzaminowany w ana­ logiczny sposób rozwiązał zadanie 2.2 i przeszedł do rozwiązywania zadania 2.3.

W obu p r z y p a d k a c h o b lic z o n e p r a w d o p o d o b ie ń s tw o j e s t s to s u n k ie m ilo ś c i k u l c z a r n y c h w y s tę p u ją c y c h w obu u rn a c h d o s u m y w s z y s tk ic h k u l w y s tę p u ­ j ą c y c h w obu u rn a c h . O tr z y m a n y ilo r a z to c z ę s t o ś ć w y lo s o w a n ia ku li c z a r n e j s p o ś r ó d w s z y s tk ic h kul. J e ż e li m a m y d w ie u r n y U i V , w k tó r y c h z n a jd u je s ię r a z e m p o ty le s a m o kul, w U k ku l w ty m n c z a r n y c h , w V — k kul w ty m m c z a r n y c h , to p r a w ­ d o p o d o b ie ń s tw o w y lo s o w a n ia k u li c z a r n e j w y n o s i nk^ = Z1^ Z1. D o w ó d b — ku le in n e g o k o lo ru c z — ku le c z a r n e _ l i_l_ to _ _n__i UL _

T o ‘ ł — ot. T ni, —to _ n+TO co n a le ż a ło u d o w o d n ić .

P ( { c z } ) ~ 2 ' k ~ r 2 ' k ~ 2k ~ r 2k ~ 2k

dostrzec kilka nieścisłości. Przy obliczaniu prawdopodobieństwa wylosowania kuli czarnej z uprzednio wybranej urny, a także w dowodzie twierdzenia egza­ minowany użył zapisu: P ( { c z } ) — ..., który w tej sytuacji nie jest poprawny,

ponieważ symbol c z został wcześniej użyty do zakodowania wyniku drugiego

etapu doświadczenia losowego (losowania kuli z urny). W tej sytuacji należało zastosować symbol P ( { U c z , V c z } ) .

Sformułowanie twierdzenia autor rozwiązania poprzedził dwoma stwierdze­ niami. Drugie z nich: O tr z y m a n y ilo r a z to c z ę s t o ś ć w y lo s o w a n ia k u li c z a r n e j s p o ś r ó d w s z y s tk ic h k u l jest błędne, gdyż otrzymany wynik (prawdopodobień­

stwo) jest wielkością teoretyczną, a częstość zdarzenia (frekwencja zdarzenia) jest wielkością empiryczną (częstość zdarzenia jest ilorazem liczby zajść zda­

rzenia w n powtórzeniach i liczby n). Można przypuszczać, że rozwiązującemu

nie chodziło o częstość zdarzenia, a wniosek miał w „innym języku” wyrażać zaobserwowaną prawidłowość.

3.2 A n a liza rozw iązań zadań na o b licza n ie p ra w d o p o d o b ień ­ stw a

Do egzaminu pisemnego z matematyki w roku 1994 przystąpiło 239 osób. Za­ danie 2.1 i 2.2 rozwiązało lub próbowało rozwiązać 213 osób, pozostałe 26 osób (około 11% zdających) oddało puste kartki. Wszystkie prace, które zawierały jakiekolwiek próby rozwiązań zadań 1 i 2, przeanalizowano pod kątem spo­ sobu konstrukcji modelu probabilistycznego. Analiza ich rozwiązań pozwala wyróżnić następujące trzy grupy:

p i e r w s z ą stanowią prace, w których do konstrukcji modelu zastosowano drzewo stochastyczne (120 prac),

d r u g ą - prace, w których prawdopodobieństwo zdarzenia obliczane jest za pomocą twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (88 prac),

t r z e c i ą , najmniej liczną (pozostałe 5 prac), stanowią te rozwiązania, w których przeprowadzone rachunki sugerują, że zadanie było rozwiązywane w klasycznym modelu probabilistycznym.

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 115

W kilku przypadkach (3 osoby) do rozwiązania zadania 2.1 kandydaci skon­ struowali inne drzewo stochastyczne. W tych rozwiązaniach wszystkie kule z obydwu urn zostały rozróżnione (rys. 7). Warto zauważyć, że osoby te do roz­ wiązania zadania 2.2 konstruowały prostsze drzewo, w którym nie rozróżnia się kul tego samego koloru.

W omawianej grupie prac znajdują się też takie, w których pomimo dobrze narysowanego drzewa nie uzyskano poprawnego rozwiązania (4 prace).

W pierwszej pracy kandydat obliczył P( A ) następująco:

P(A) = P( Au) + Pj Ay )

fi 14

P( Au) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A w urnie U, a P{Ay) prawdopodobieństwo zdarzenia A w urnie V7.

W drugim rozwiązaniu pod poprawnie skonstruowanym drzewem egzamino­ wany napisał:

A

' W = -TT + £ =

Pozostałe dwie osoby wyłiczyły prawdopodobieństwa wylosowania kuli czarnej z urny U oraz z urny V i na tym zakończyły rozwiązanie zadań 2.1 i 2.2.

W trzech pracach drzewo konstruowane było w sposób błędny. Jedno z tych rozwiązań przedstawia rysunek 8.

U :

Ub .

i/fc

V

: ł J

V

IktocĆDÓęujchfedfad

■ju to U ciuła.

a p. [ { ( > } ) ? i ' : : .ą f c p A : ( 9 ) ? { & ] ) ? . i y ; £ ' . ~ ■;u * a . Q y ; p f k U ) ' P t ' $ . ' - i rys. 8 12 • * 7 • • Of+

R ozwiązanie oparte na tw ierdzeniu o prawdopodobieństwie całkowitym

Osoby, których prace zaliczono do tej grupy, uzyskały rozwiązanie zadania za pomocą twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Część z nich (24 osoby) poprzedziła rachunki drzewem stochastycznym takim, jak na rys. 4.Po­ zostali ograniczyli się jedynie do zacytowania tezy twierdzenia, podania war­ tości stosownych prawdopodobieństw i podstawienia ich do wzoru. Typowe rozwiązanie dla tej grupy przedstawia się następująco:

Wie d z a p r o b a b il is t y c z n a m a t u r z y s t ó w 117 Zdarzenie A — wylosowanie kuli czarnej,

Zdarzenie B\ — wylosowanie urny U, Zdarzenie B2 — wylosowanie urny V.

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym: P(A) = P(A\B\) • P(B 1) -f P( A\ B2) ■ P( B2).

P{Bi) = i P (B i) = j , P( A\ Bl ) = i , P{A\Bi ) = \ , P (/t) = H ' + H =

5 14 *

W pracach brak na ogół jakiejkolwiek refleksji nad założeniami twierdzenia. Tylko nieliczne osoby sprawdzały, że spełnione są jego założenia.

W czterech rozwiązaniach zaliczonych do tej grupy wystąpiły błędy przy wyznaczaniu prawdopodobieństw występujących w stosowanym wzorze oraz błędy związane z myleniem prawdopodobieństwa całkowitego z warunkowym.

Rozwiązanie w „modelu klasycznym ”

Osoby, których prace zaliczono do tej grupy, usiłowały uzyskać rozwiązanie za pomocą twierdzenia klasycznego (w podręcznikach szkolnych twierdzenie to nosi nazwę „definicji klasycznej”). W rozwiązaniach tych „manewrowano” kombinatorycznymi wzorami, ale sposób operowania nimi nie był jednak po­ prawny. W dwu przypadkach z tego powodu uzyskano prawdopodobieństwa większe od 1 i fakt ten nie wzbudził zastrzeżeń autorów rozwiązania.

Poniższa tabela prezentuje zestawienie wyników rozwiązań zadań 2.1 i 2.2.

drzewo twierdzenie model

klasyczny

puste kartki popr. niepopr. tw. z drzewem twierdzenie

popr. niepopr. popr. niepopr. popr. niepopr.

113 7 24 — 60 4 — 5 26

Tabela 1. Zestawienie wyników rozwiązań zadań 2.1 i 2.2. 3.3 A n a liza rozw iązań zadania 2.3

Próbę rozwiązania zadania 2.3 podjęło 110 osób, spośród 239 zdających. Za rozwiązania poprawne uznano te, w których egzaminowani poprawnie sfor­ mułowali i udowodnili twierdzenie. Twierdzenie poprawnie sformułowały 23 osoby, z których 14 podało jego dowód. Jeden kandydat na matematykę sfor­ mułował ogólniejsze twierdzenie. W założeniu przyjął n równolicznych urn, w których są kule białe i czarne. W połowie prac, w dowodzie twierdzenia egzaminowani korzystali z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, w pozostałych pracach dowód oparto na wzorze wynikającym z reguł dla drzewa stochastycznego. Siedem osób sformułowało inny wniosek:

Wniosek ten udowodniły trzy osoby.

Prawie czwarta część egzaminowanych (43 soby) dostrzegła, że obliczone prawdopodobieństwa można zinterpretować jako stosunek liczby wszystkich kul czarnych do liczby wszystkich kul. Prawidłowość ta została przez nich sformułowana w postaci następujących twierdzeń:

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej, losując najpierw urnę a potem z niej kulę, jest równe prawdopodobieństwu wylosowania kuli czarnej z jednej urny, której zawartość jest sumą kul z urny U i V (14 prac).

Wyliczone prawdopodobieństwo jest ułamkiem, którego licznik stanowi sumę kul czarnych, a mianownik sumę wszystkich kul pochodzących z obydwu urn

(29 prać).

Obydwa sformułowania twierdzenia są cytatami z prac. Nie są to twierdzenia prawdziwe, ponieważ brak w nich założenia, że liczby kul w obydwu urnach są równe.

W 38 pracach autorzy rozwiązań dostrzegli inne prawidłowości:

„W obydwu przypadkach policzone prawdopodobieństwo jest prawdopodobień­ stwem całkowitym, które mówi, że P(A) = Pb1{A)P{B\) -f Pb2( A) P( B2) ” (21

odpowiedzi).

„ Gdy jest więcej kul czarnych, to prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej

jest większe” (5 odpowiedzi).

„Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej zależy od ilości kul czarnych”

(1 odpowiedź).

„Policzone prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem warunkowym” (1

odpowiedź).

W czterech pracach wymieniano różne własności prawdopodobieństwa, np:

„Policzone prawdopodobieństwo jest ułamkiem”, „Prawdopodobieństwo nie może przekraczać 1 ”.

W pozostałych pracach znalazły się też następujące odpowiedzi:

... policzone prawdopodobieństwo jest sumą prawdopodobieństw wylosowania

kuli czarnej z urn.

... wylosowanie kuli czarnej w urnie U jest bardziej prawdopodobne niż w urnie

V i dlatego też te prawdopodobieństwa sumujemy, w 2) przypadku jest odwrot­ nie.

Losowanie urn w pierwszym przypadku nie miało sensu, gdyż podejście do danej urny jest już losowaniem.

... jeśli chcemy obliczyć prawdopodobieństwo jednego zdarzenia spośród tych wszystkich zdarzeń, które są jednakowo prawdopodobne, to wystarczy 1 podzielić

przez liczbę zdarzeń.

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 119 Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej równe jest sumie iloczynów, przy czym mnożna jest prawdopodobieństwem wylosowania urny, a mnożnik prawdopodobieństwem, z jakim wyciągniemy kulę z urny.

... polega ona [prawidłowość] na tym, że gdy zdarzenia B ,C są między sobą zależne to P (B D C) = P(B) • P(C) oraz P(B U C) = P{B) + P(C) <=> P { B n C ) = Q

Warto zwrócić uwagę na dość dużą nieporadność językową w formułowaniu wypowiedzi twierdzenia. W wielu pracach twierdzenia formułowano w sposób zawiły. W kilku przypadkach próbowano formalizować wypowiedź twierdzenia, symbolicznie uzupełniając wypowiedź słowną zapisem: P(A) = gdzie # A oznacza liczbę kul czarnych, a #0, liczbę wszystkich kul.

4

A n a liz a z a d a n ia 3

4.1 S z c ze g ó ło w a a n a liz a je d n e g o ro z w ią z a n ia

Zaprezentujemy i przeanalizujemy jedno (uznane za poprawne) rozwiązanie zadania 3 (zob. arkusz pracy). Na początku kandydat narysował trzy urny: U\ z jedną kulą o numerze 6 i dwiema o numerze 1, U2 z jedną kulą o numerze

0 i dwiema o numerze 4, U3 z jedną kulą o numerze 2 i dwiema o numerze 3.

Następnie opisał zdarzenia i obliczył ich moce:

A — zdarzenie, że losujący kulę z I urny wygrywa, B — zdarzenie, że losujący kulę z II urny wygrywa,

ua — liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A,

nu — liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B, nA = C \C \ + C \C \ = 1 • 3 + 2 = 5.

(Kandydat wyjaśnił, że symbol C \C \ oznacza: 2 U\ wylosowano szóstkę, z U2

dowolną liczbę, natomiast symbol C \C \ oznacza: z U\ wylosowano jedynkę, z U2 zero.)

nB = C \C \ = 2 - 2 = 4.

(Kandydat wyjaśnił, że symbol C \C \ oznacza: z U\ wylosowano jedynkę, z U2

czwórkę.)

Z powyższych rozważań wynika, że nA > nB

losujący z I urny ma większe szanse wygrania

Rozwiązanie zadania 3.2.

C — zdarzenie, że losujący kulę z III urny wygrał, A\ — zdarzenie, że losujący kulę z I urny wygrał, B\ — zdarzenie, że losujący kulę z II urny wygrał,

1° Ja wybieram U\, mój przeciwnik U3

n Al = C \ - C \ = 1-3 = 3

£ U\ wylosowano szóstkę i dowolną cyfrę z pozostałej urny,

nc = C\ • C\ = 2 • 3 = 6

z U\ wylosowano jedynkę, z U3 dowolną cyfrę.

nc > nAl

U

losujący z trzeciej urny ma największą szansę wygrania.

2° Ja wybieram U2, przeciwnik U3 nB l = C l - C i= 6 czwórka z U2 i dowolna z U3, nc = C\ ■ Cl = 3, zero z U2 i dowolna z U3. nBi > nc

Prawo pierwszeństwa nie jest przywilejem, żadna z urn nie jest najlepsza, gdy wybieram dwie urny z trzech. Wskazać najlepszą urnę możemy jedynie w przypadku gdy porównujemy dwie urny. Wtedy w każdym przypadku inna urna jest lepsza.

Analizując przeprowadzone rozumowanie można stwierdzić, że rozwiązu­ jący nie miał problemu ze zrozumieniem treści zadania i ułożeniem „planu rozwiązania” (zob. Polya, 1993, s. 27). W sposób zorganizowany wykonał obli­ czenia i dokonał interpretacji uzyskanych wyników liczbowych. Pewne zastrze­ żenia może budzić sposób organizowania fazy rachunków i dedukcji. Można tu zauważyć, że osoba egzaminowana po dokonaniu przekładu treści zadania na język matematyki, otrzymane probabilistyczne zadania rozwiązała stosu­ jąc pewien znany ze szkoły „algorytm postępowania” . W rozwiązaniu można

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 121

4.2 A n a liza rozw iązań zad an ia 3.1

Do egzaminu wstępnego w roku 1995 przystąpiło 220 kandydatów. Zadanie 3 rozwiązało lub próbowało rozwiązać 175 osób, pozostałe 45 osób (18% liczby wszystkich zdających) oddało puste kartki. Wszystkie prace zostały przeana­ lizowane pod kątem sposobu konstrukcji modelu probabilistycznego. Przyjęte kryterium pozwoliło na podział prac na trzy grupy:

p i e r w s z ą stanowią prace, w których model konstruowano za pomocą drzewa (71 prac),

d r u g ą — te prace, w których model konstruowano metodami kombinato- ryczno-mnogościowymi (32 prace),

t r z e c i ą — prace, w których brak prób konstrukcji modelu probabilistycz­ nego (72 prace).

Drzewo jako środek konstrukcji modelu

Tylko w ośmiu pracach zaliczonych do pierwszej grupy znalazło się poprawne rozwiązanie. Trzy z nich są rozwiązaniami takimi, jak opisane wcześniej rozwią­ zanie nr 1. W pięciu pozostałych pracach egzaminowani rozróżnili pomiędzy sobą kule o tych samych numerach, otrzymując następujące rozwiązanie:

c.. t»J. ŁJ \j bieleń "U Mi U.-,

f

y ^ 3- ■ k/ - ^ ; / i ^ - ; L t«.Q »W \ y*i , 6 — . . Ł . . , . . ^ 1^ - M; ^ _3b> —_ _y^^9»q/V ... C^2_ _ : z ? i ^ : « ) > z ^ r ^ z i i z ż z z . * i l l i l f . z . _____ I __ : s i ^ s ^ - \ 3 T z . k ~ : z z z z .

rys.

Jeśli chodzi o decyzję wyboru urny, to większość osób (35) podejmuje ją

błędnie, wybierając urnę ć/

. Oto kilka uzasadnień tej decyzji:

Decyduję się na wybór urny U2, albowiem prawdopodobieństwo wylosowania

kuli o nr. Ą jest większe niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli o nr. 6 z

Ui. Podobnie prawdopodobieństwo, że wylosuję kulę o mniejszym numerze, jest mniejsze w U2.

Mając do dyspozycji dwie urny U\ i U2 zdecydowałabym się na urnę U2, gdyż

miałabym większą szansę wylosowania kuli o większych numerach, ponieważ są aż dwie kule o wartości Ą. Natomiast w urnie U\ jest tylko jedna kula o wyższej wartości.

Zacytowane wypowiedzi świadczą o tym, że ich autorzy nie zauważyli, iż

o wygranej decyduje para wylosowanych kul. Szanse na zwycięstwo graczy

rozpatrują oni oddzielnie, bez uwzględnienia sytuacji, gdy gracz losujący z

urny

wylosuje kulę o numerze

, czyli większym od obydwu numerów kul

w urnie C

-Osiem osób zdecydowało się na wybór urny

Decyzja co do wyboru urny

jest właściwa, ale nie można uznać za poprawne rozumowanie uzasadniające

tę decyzję. Kilka osób o wyborze urny zdecydowało po konstrukcji nowego

modelu (bez uwzględniania wcześniej narysowanego drzewa). W ostatnim opi­

sanym rozumowaniu nie dostrzeżono tego, że tak skonstruowany model nie jest

klasyczny. Decyzję co do wyboru urny uzasadniano następująco:

Zdecydowałabym się na wybór urny U\, bo możliwe wyniki to

(6,0), (6,4),

(

,

), (1,4),

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 123 Ui jest kula z największym numerem.

Najlepsza jest urna U\, ponieważ w urnie U\ jest najwyższa wartość liczbowa.

W sześciu pracach stwierdzono, że wybór urny nie ma znaczenia, ale nie uzasadniono tej decyzji.

W 13 pracach przedstawiono inne błędne rozwiązanie, którego przykład ilustruje rys. 11.

rys. 11

Na podstawie takiego rysunku wszystkie osoby decydowały się na wybór urny

U2, argumentując swój wybór faktem, że prawdopodobieństwo wylosowania

czwórki z urny U2 jest większe niż prawdopodobieństwo wylosowania szóstki

z urny U\.

Jeszcze inne, błędne rozwiązanie za pomocą drzewa przedstawia rys. 12.

M odel konstruowany środkami kom binatoryczno-m nogościowym i W tej grupie poprawne rozwiązanie uzyskało 20 osób. W piętnastu pracach otrzymano je w podobny sposób, jak w opisanym na początku rozwiązaniu zadania 3.2. Rozwiązania te uznano za poprawne, pomimo tego, że występo­ wały w nich luki. Najczęściej kandydaci w ogóle nie opisywali przestrzeni wyni­ ków 11, wyznaczając jedynie pary liczb odpowiadające sytuacji, w której zwy­ cięży (przegra) gracz losujący kulę z urny U\. Przeanalizowane rozwiązania pokazują, że kandydaci nie konstruowali modelu probabilistycznego odpowia­ dającego sytuacji opisanej w zadaniu. Obliczenia prowadzili w teoretycznym modelu, zbudowanym dla sytuacji, gdy kule o tych samych numerach są mię­ dzy sobą rozróżnialne. Tak skonstruowany model jest klasyczny, ale nie jest zgodny z doświadczeniem opisanym w zadaniu, ponieważ wylosowane kule o tych samych numerach są nierozróżnialne. Przyjęcie takiego modelu ułatwia rachunki, ale wymaga komentarza, którego w rozwiązaniach zabrakło.

L . b i GA CL rYV. Ą y śd. p o L e ^ a p jc c o o . Lo s o uJcllu'u ___p«ł£a£> s . - ad. kuL". Ód. W ; CflŁu . „ . rux

ruO. Lp&Ou)cuuu.__ p>,'p^ a ___ ^ c*u)<»u fcft

A ... . . ... ... ... rnrue_ __ rvQ. ..y^^oeosjjojuuu.____ p rc u a a t. ą s i. . . . . p^ętfj^^ppęiobfehł^^. ... ... Y * J - X Ą/ » o h ( i . ) ; + ? ( % . ) K * * )- H A/ s * ) ^ : * ( v * , ) * i • i • i + 4 • I * J rd * Jo t. A £ t. . Ą _ * Ł Ó "fU fS fc U u . . ... ... ..irW^alLe —— ... pO'Seuxt/ . _

. r n o |9 t^Cj-asze.____ rto. rne>*y_ .j___

r n u a a ę v ^ V H C a u a s _ ___u ^ t ó s o w a c ] j L j j ę .•Ł "

: :: :

c**6

rys. 13

rysu-Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 125

nek 13. W tych rozwiązaniach są luki. W żadnym z rozwiązań nie sprawdza się, czy spełnione są założenia twierdzenia, tzn. czy zdarzenia-warunki tworzą układ zupełny zdarzeń (chodzi tu o zdarzenia B0 i B4 opisane na rys. 13).

Pozostałe prace zaliczone do tej grupy zawierają błędne rozwiązania. W czterech pracach przy określaniu przestrzeni Q. kandydaci pominęli kilka jej elementów, bądź też powtórzyli jeden z wyników, uzyskali więc błędne wyniki liczbowe. W pozostałych sześciu przypadkach zaproponowano błędne rozwią­ zanie (zob. rys. 14):

CLc / <l) O4 .

--- f i l i o . . 4 . o m t o p

flto& jprfrI fis fr fi. fiu /f

126

Skonstruowany model odpowiada tylko losowaniu kuli z urny

W rozwią­

zaniu tym nie uwzględnia się faktu,

przeciwnik też losuje kulę ze swej urny,

a o wygranej decyduje to, kto wylosuje kulę o większym numerze. Wszystkie

osoby, których prace zaliczono do tej grupy, przy wyborze urny kierowały się

wartościami obliczonych prawdopodobieństw, tzn. decydowały się na wybór tej

urny, dla której prawdopodobieństwo wylosowania kuli o większym numerze

jest większe8.

Brak konstrukcji modelu

W przeważającej liczbie rozwiązań zaliczonych do tej grupy (65 prac), roz­

wiązujący zadanie ograniczyli się do udzielenia słownej odpowiedzi na pytanie

postawione w zadaniu. Najczęściej egzaminowani decydowali się na wybór urny

, argumentując tę decyzję następująco:

Wybrałabym urnę U2, ponieważ prawdopodobieństwo wylosowania kuli z nume­

rem 4 z U2 j est większe od prawdopodobieństwa wylosowania kuli z numerem 6 z urny U\.

Spośród urn U\ i U2 wybieram urnę U2 ponieważ mam większe szanse wy­

ciągnięcia kuli z nr Ą niż przeciwnik kuli z nr 6. Prawdopodobieństwo, że ja

wyciągnę kulę nr 4, wynosi a prawdopodobieństwo, że on wyciągnie kulę nr 6, wynosi 5.

Zacytowane wypowiedzi pozwalają przypuszczać, że ich autorzy (podobnie

jak w grupie z błędnie konstruowanym drzewem) nie zauważyli faktu, że o

zwycięstwie można mówić w sytuacji, gdy obaj gracze dokonali losowania kul

ze swoich urn.

W siedmiu pracach kandydaci zdecydowali się na wybór urny

z na­

stępującym uzasadnieniem tej decyzji:

Wybieram urnę U\, ponieważ jeśli o wygranej decyduje cyfra na kuli, to w urnie U\ 3 kule przewyższają jedną z kul z urny U2, a w urnie U2 istnieje

możliwość przebicia tylko dwie kule zU \ przez dwie kule z U2-

... Wybieram urnę U\

[ponieważ] (...)

6 czyni mnie w 1 0 0% zwycięzcą, a wylosowanie kuli o numerze 1 czyni mnie w 3 3,3% zwycięzcą (przeciwnik wylosuje kulę o numerze 4 ~ prawdopodobieństwo

| lub przeciwnik wylosuje kulę o numerze 0 - prawdopodobieństwo

Zacytowana argumentacja opiera się na założeniu, że wszystkie wyniki do­

świadczenia są jednakowo prawdopodobne, gdy tymczasem model probabili­

styczny omawianego doświadczenia nie jest klasyczny. Rozumowanie to nie

jest więc poprawne (podobnie jak w grupie prac z błędnie konstruowanym

drzewem).

Wie d z a p r o b a b il is t y c z n a m a t u r z y s t ó w

127

Pozostałe 5 osób stwierdza, że nie ma znaczenia, którą urnę wybiorą do

losowania bo:

Prawdopodobieństwo wyboru każdej z urn jest takie samo. Wybór urny nie jest ważny, prawdopodobieństwo wygrania jest takie samo.

W tej grze niezależnie od wyboru urny prawdopodobieństwo wygrania będzie takie samo, gdyż jeśli wybiorę U\, mam mniejsze prawdopodobieństwo wycią­ gnięcia liczby największej niż w U2- Natomiast jeśli bym wybrała U2 wówczas

wyciągnięcie liczby najmniejszej jest mniejsze niż w U\.

Do trzeciej grupy zaliczono ponadto siedem prac, w których egzamino­

wani posłużyli się pojęciem wartości oczekiwanej. Przykład fragmentu takiego

rozwiązania prezentuje rysunek 15.

rys. 15

W dalszej części rozwiązania osoby rozwiązujące zadanie określały

=

•

+ 4 • | = §. Na tej

podstawie wnioskowali, że wybór urny nie ma znaczenia, gdyż wartości ocze­

kiwane obydwu zmiennych losowych

i

są równe. Cytowane rozumowanie

jest błędne, ponieważ w opisanej grze istotne jest jedynie to, kto wylosuje kulę

o większym numerze.

Analiza tych rozwiązań pozwala przypuszczać, że ich autorzy zetknęli się z

zadaniami z rachunku prawdopodobieństwa, w których wykorzystuje się war­

tość oczekiwaną zmiennej losowej. Jest to klasa zadań, w których rozstrzyga

się sprawiedliwość pewnych gier (por. Płocki, 1992, s. 114-118). Przytoczone

rozumowanie możnaby odnieść np. do sytuacji, gdy gracz wybiera jedną z

urn

Następnie z wybranej urny losuje kulę i wygrywa kwotę równą

numerowi wylosowanej kuli. W takiej sytuacji wybór urny nie ma znaczenia,

ponieważ średnie wygrane przy wyborze każdej z urn są takie same.

Tabela 2 prezentuje zestawienie wyników rozwiązania pierwszej części za­

dania:

drzewo kombinatoryka brak modelu puste kartki

ogółem popr. niepopr. popr. niepopr. opis E( X)

8 63 20 12 65 7 45 220

Tabela 2. Zestawienie rozwiązań zadania 3.1 4 .3 A n a liz a rozw iązań za d a n ia 3.2

Zadanie 3.2 rozwiązało lub próbowało rozwiązać 151 osób. Poprawne rozwią­ zanie znalazło się zaledwie w 22 pracach. Prawie we wszystkich przypadkach konsekwentnie przenoszono metodę rozwiązania wykorzystaną w zadaniu 3.1.

Osoby, które dokonały poprawnie przekładu na język matematyki pro­ blemu podejmowania decyzji co do wyboru urny i poprawnie wykonały sto­ sowne obliczenia, nie miały większych trudności z właściwą interpretacją uzy­ skanych wyników liczbowych. Swoje decyzje co do wyboru urny argumento­ wano następująco:

— Wśród urn U\, U2, U3 nie ma najlepszej. Prawo wybierania urny nie jest

więc przywilejem. Gdy ja wybieram urnę, większe prawdopodobieństwo wygra­ nia ma gracz drugi, który może wybrać tę, która wygra z moją urną. (...) W tym przypadku przywilejem jest wybieranie jako osoba druga.

— Prawo pierwszeństwa nie jest przywilejem, żadna z urn nie jest najlepsza,

gdy wybieramy 2 urny z trzech. Wskazać najlepszą urnę można jedynie w przy­ padku, gdy porównujemy dwie urny. Wtedy w każdym przypadku inna urna jest

najlepsza.

Osoby, które w rozwiązaniu pierwszej części zadania posłużyły się drzewem (rys. 10, rys. 11) konstruowały teraz następujące drzewa:

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w

129

rys. 17

Kilka rozwiązań sprowadza się jedynie do rysunku drzewa. Pozostali dokonali

wyboru urny. Większość zdecydowała się na wybór urny

Wybiorę urnę U2 ponieważ w urnie U\ jest większe prawdopodobieństwo wy­

losowania kuli o numerze 1, a w urnie U3 wylosowania kuli o nr 3. Tak więc

największe są szanse w urnie U2, gdzie większe jest prawdopodobieństwo wylo­

sowania kuli o numerze Ą. Nr 4 jest większy od nr 1 i nr 3. Tak więc wybierając pierwsza mam w tej sytuacji przywilej, gdyż mogę wybrać urnę, gdzie są dwie kule o największym numerze. Z tego wynika, że najlepsza z tych dwu urn jest urna U2, gdyż tu jest największe prawdopodobieństwo wylosowania kuli nr 4,

ponieważ są aż dwie kule o tym numerze.

Urny U\ i U2 są korzystniejsze w wyborze. Wybrałabym najprawdopodobniej

urnę U2.

Niektórzy stwierdzili, że w grze wybór urny nie ma znaczenia:

Wśród urn nie ma najlepszej. Prawo pierwszeństwa nie jest dla mnie przywi­ lejem. Każdy ma równe szanse niezależnie od kolejności wybierania urn. W każdej urnie suma liczb na kulach jest taka sama.

W kilku pracach zdecydowano się na wybór urny

lub

w innych

twierdzono, że urny

i

są „równie dobre”.

Wybrałabym urnę U3. Uważam, że ta właśnie urna jest dla mnie najlepszą.

Nie uważam, aby prawo pierwszeństwa było dla mnie przywilejem, ponieważ opierając się na rachunku prawdopodobieństwa wybrałabym U3, mój przeciwnik

zaś wybierając np. U\, w której znajduje się kula z numerem największym, ma szanse na zwycięstwo.

Urna U\ jest najlepsza. Ponieważ, gdy wybiorę U\, a mój przeciwnik urnę U2, to mam większe prawdopodobieństwo wygrania. Wybierając urnę U2, mogę

wygrać tylko wtedy, gdy z urny U2 wylosuję kulę o numerze 4 z prawdopodo­

bieństwem a przeciwnik wylosuje 1 z prawdopodobieństwem | . Wybierając urnę U\ mam 3 szanse, że wygram, a w urnie U2 tylko jedną, że wygram.

Gdy wylosuję urnę U\ a przeciwnik U3 mamy równe szanse wygrania, ponie­

waż, gdy wylosuję 6 a on 2 lub 3 to wygrywam. Przegrywam, gdy wylosuję 1

ponieważ

2 > 1 < 3.

Gdy wybiorę U2 a przeciwnik U3 wygrywam, gdy wylosuję 4 o> przeciwnik 2 lub

130

Osoby, których prace zaliczono do grupy trzeciej (brak konstrukcji mo­

delu), wykazywały podobne preferencje co do wyboru urny.

Wybieram urnę U2. Jeśli wylosuję kulę nr Ą, to przewyższa ona wszystkie kule z U3 i dwie kule z U\. Jedynym zagrożeniem jest, gdy przeciwnik wylosuje z U\

kulę nr 6, ale to wynosi

M o ż liw o ś ć w y c ią g n ię c ia z u r n y U3 n a jw ię k s z e j lic z b y ja k ą j e s t 3 j e s t ta k a s a m a , j a k w y c ią g n ię c ia z u r n y U2 lic z b y n r Ą, a le w ię k s z a o d w y c ią g n ię c ia 6 z u r n y

U \, d la te g o u r n a U3 j e s t u rn ą n a jle p s z ą .

U r n y f/2 i U3 s ą le p s z e o d u r n y U \, p o n ie w a ż i s tn ie je w ię k s z e p r a w d o p o d o b ie ń ­ s tw o w y lo s o w a n ia k u li z n a jw y ż s z y m n u m e r e m w u r n ie U2, U3.

Trudności ze sformułowaniem poprawnej odpowiedzi na pytania posta­

wione w zadaniu 3.2 wynikają z braku poprawnego rozwiązania zadania. Bez

wykonania stosownych obłiczeń nie można dokonać racjonalnego wyboru urny.

Część osób próbuje udzielić odpowiedzi porównując dane liczbowe występu­

jące w zadaniu, formułując błędne (niezgodne z regułami gry) kryteria wyboru

urny.

W pracach, w których błędnie konstruowano drzewo, oraz w pracach zali­

czonych do trzeciej grupy (z wyjątkiem tych z trzeciej grupy, w których sto­

sowano wartość oczekiwaną) odpowiedź na pytanie dotyczące wyboru urny

formułowano na podstawie przeprowadzonego błędnego rozumowania.

W rozumowaniach najczęściej zaniedbywany jest fakt, że o zwycięstwie w

grze decydują numery dwu wylosowanych kul, każdej z innej urny. Dają się tu

wyróżnić dwa sposoby uzasadniania decyzji co do wyboru urny.

Argumentacja pierwsza sprowadza się do wyboru tej z trzech urn, w której

znajduje się kula o największym numerze. W tej argumentacji nie uwzględnia

się prawdopodobieństw, z jakimi każda z kul może zostać wylosowana, a także

faktu, że o zwycięstwie jednego z graczy można rozstrzygać dopiero wtedy,

gdy obaj gracze wylosują kule ze swoich urn.

Zgodnie z drugą argumentacją optymalna decyzja gracza to wybór urny,

z której prawdopodobieństwo wylosowania kuli o większym numerze jest wię­

ksze (w zadaniu 3.2 urny

lub

Ta argumentacja nie uwzględnia faktu,

że drugi z graczy również losuje kulę, a zwycięża ten, kto wylosuje kulę o

większym numerze.

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w

131

5

W n io s k i

Analiza rozwiązań zadań skłania do kilku refleksji na temat wiedzy kandy­

datów na studia matematyczne w zakresie rachunku prawdopodobieństwa i

możliwości jej prezentowania, a więc języka argumentacji, doboru środków

uzasadniania sądów itp. Chodzi nie tylko o kontrolę merytorycznej wiedzy, ale

i o ocenę pewnych ważnych predyspozycji do studiowania matematyki, a także

do zawodu nauczyciela (język, łatwość wypowiedzi, jasność argumentacji).

Podsumowując rozwiązania zadań 2.1 i 2.2 można stwierdzić, że przeważa­

jąca większość osób, które podjęły próbę ich rozwiązania, uzyskała poprawne

wyniki. Najczęściej rozwiązanie uzyskano potępując zgodnie ze znanym ze

szkoły sposobem rozwiązywania tego typu zadań, a więc stosując strate­

gię przyporządkowanego schematu (Ciosek, Krygowska, Turnau, 1974,

s. 12-13). Jednak nie wszystkie rozwiązania są kompletne. W wielu przypad­

kach zabrakło komentarzy objaśniających sposób rozwiązania i prowadzone

rachunki. Szczególnie jest to widoczne w grupie osób, które stosowały twier­

dzenie o prawdopodobieństwie całkowitym. Można przypuszczać, że wiele z

nich rozwiązywało to zadanie według poznanego w szkole algorytmu. Niepo­

kojące jest to, że tylko nieliczne osoby są świadome, że wykorzystując tezę

twierdzenia należy sprawdzić, czy spełnione są jego założenia.

Nie wszystkie osoby, które w rozwiązaniu zadania 2 wykorzystały drzewo,

zdają sobie sprawę z tego, do czego ono w istocie służy. Rozwiązanie uzyskane z

twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym pewna grupa osób poprzedza

konstrukcją drzewa stochastycznego, ale w dalszej części rozwiązania z niego

nie korzysta. Dla nich jest ono jedynie graficzną formą opisu doświadczenia

losowego.

132

Wymowny jest fakt, że zaledwie 28 z 220 osób po maturze poprawnie roz­

wiązało zadanie 3.1, które można zaliczyć do typowych zadań ze szkolnego

rachunku prawdopodobieństwa. Na tak małą liczbę poprawnych rozwiązań

mogło wpłynąć inne niż w szkole sformułowanie zadania i nieco inny pro­

blem (decyzja związana z grą losową). Wspomniane zadanie różni się nieco

formą i treścią od większości zadań proponowanych w podręcznikach i zbio­

rach zadań. Tradycyjne zadania formułowane są zazwyczaj od razu w języku

matematyki, a otrzymywane w procesie rozwiązywania wyniki liczbowe nie

wymagają interpretacji. W rozwiązaniu zadania 3 najwięcej kłopotów sprawił

rozwiązującym przekład pozamatematycznego problemu na język matematyki

jako formułowanie matematycznego zadania na tle pozamatematycznej sytu­

acji. Ujawniona tu pewna bezradność w poszukiwaniu rozwiązania zadania i

w interpretacji rozwiązania tego zadania może wynikać z innego sposobu jego

sformułowania. Aktywności matematyczne związane z tymi procedurami, trak­

towane jako ważne przy ocenie kandydata na nauczyciela matematyki, były

przedmiotem obserwacji i analizy niniejszej pracy.

Przy takim sformułowaniu zadania 3 prawie połowa egzaminowanych nie

zauważyła potrzeby dokonywania jakichkolwiek obliczeń i poprzestała na po­

daniu słownej odpowiedzi na postawione pytania. Wypowiedzi były często

niejasne. Można przypuszczać, że osoby te nie w pełni rozumiały, co to znaczy

rozwiązać zadanie matematyczne. Język komentarzy i opisów był ubogi i mało

precyzyjny, a wnioski formułowane były w sposób zawiły i mało czytelny.

Przeważająca większość egzaminowanych nie ma świadomości, że każde

zadanie z rachunku prawdopodobieństwa rozwiązuje się w odpowiedniej prze­

strzeni probabilistycznej. Zaledwie kilkanaście osób konstruuje tę przestrzeń

jako model w sposób poprawny. Kłopoty z właściwym doborem modelu uwi­

doczniają się w niektórych rozwiązaniach zadania 2.1 (prace zaliczone do grupy

trzeciej), gdzie egzaminowani przyjmują, że każdy wynik jest jednakowo praw­

dopodobny bez jakiejkolwiek refleksji nad argumentacją. Przyczyną tego może

być fakt, że większość rozwiązywanych w szkole zadań dotyczy prawdopodo­

bieństwa klasycznego, a istniejące w różnych zbiorach zadań wzorce rozwiązań

pomijają konstrukcję modelu. Stosunkowo najlepiej z rozwiązaniem zadania 2

poradziły sobie te osoby, które konstruowały model probabilistyczny środkami

kombinatoryczno-mnogościowymi.

Wie d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w

133

zatem pytanie: Dlaczego tak wiele osób rezygnuje z prób rozwiązania zada­

nia z rachunku prawdopodobieństwa? Być może, wpływ na taką decyzję ma

obraz rachunku prawdopodobieństwa widziany przez pryzmat aktualnie roz­

powszechnionych zadań.

Powyższa analiza skłania do wielu refleksji na temat formy i treści zadań

z rachunku prawdopodobieństwa proponowanych uczniom w szkole. Można

przypuszczać, że uczniowie zbyt rzadko mają okazję rozwiązywać zadania,

które sformułowali sami oraz których rozwiązanie obejmuje wszystkie trzy

etapy procesu stosowania matematyki. Wnioski z przeprowadzonej analizy su­

gerują konieczność zmiany formy i treści zadań probabilistycznych, za pomocą

których kontroluje się i ocenia kompetencje w zakresie rachunku prawdopo­

dobieństwa. Chodzi nie tylko o kontrolę i ocenę sprawności rachunkowych, ale

i o uwzględnianie w tej ocenie wnioskowań stochastycznych oraz innych form

aktywności matematycznej. Warto by się zastanowić nad zmianą sposobu na­

uczania, w tym, przede wszystkim, typu zadań z rachunku prawdopodobień­

stwa, gdyż „w życiu od człowieka wymaga się, aby umiał on samodzielnie sfor­

mułować pytanie i stosując matematyczną wiedzę znalazł na nie odpowiedź”

(Erdniew, 1970, s. 7).

Literatura

B u t r y m P.: 1994,

Wydanie

pierwsze. Wydawnictwo S.A.M..

C e w e A., G r a j e k C., N a c h o r s k a H.: 1994,

//, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk.

C i o s e k M.: 1995, O roli przykładów w badaniu matematycznym,

, s. 5-85.

C i o s e k M., K r y g o w s k a Z., T u r n a u S.: 1974, Strategie rozwi-

ązywań zadań matematycznych jako problem dydaktyki matematyki,

, s. 5-16.

E r d n i e w P. M.:1970

, Pros wiesz­

czenie, Moskwa.

K r y g o w s k a Z.: 1980,

cz. 3, Wydawnictwa

Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

L e g u t k o M., T u r n a u S.: 1989, Nauczanie matematyki a nauczanie

teorii matematycznej,

11, s. 9-36.

134

M a j o r M., P ł o c k i A.: 1993, Kontrola i ocena stochastycznej wiedzy

ucznia jako nowy problem dydaktyki tnatematyki,

15,

s. 57-84.

P ł o c k i A.: 1992,

matematycznej dla nauczycieli,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

P ł o c k i A.: 1995, Spór o formę i treści stochastycznego kształcenia nauczy­

ciela matematyki,

17, s. 135-165.

P o l y a G.: 1993,

szawa.

S a d o w s k i W.: 1977,

Państwowe Wydawnictwo

Ekonomiczne, Warszawa.

T r e l i ń s k i G.: 1982,

matematyki,

Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków.

School-leavers’ knowledge in probability

S u m m a r y

Wi e d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w

135

Arkusz pracy — zadanie 2

vtouXdviue > 6 ’ ! I i A.. i I ! i U. jljjluŁz; (H ie : h ip , „i ,/** i ł L * h J 5 £ f ł t ‘ I ! 1 ;r | ; ^ ikui j- H ! i A ;Wm | ttcąurtfC^^ i : . , j j . j ; j ( | ! . . . \ i ; ; ' i j j i . ^tUr«(OM*U>fai4n$bKL; ; viul£*M w ęj*M iu, o t i c - lOUM'. >a JćoŁrtOjkotdC

: ; : ' M M ! m T ; ! : ' 1 ! M M 1 : ; ■

laiuj&n^, iŁu^ '

#*( 4 c«,3) * i* j* *ab ■ i “ it =

^KM<roUfwoU>tłje n,btvc , K*^so*>ncwui i kwL. , xxj?ufr

. Id j

I t u t k u . H/bTHL&X. pK u O X Jty lO O C o U eH ^ O ft M ^O ^O h T O U U i O łx c CU/*. ^

U ; .1T

i

X

10

-fCKS)-’

136

b . “inT o U t j>n^|UfcuUu»Ut ofcU-Mwni£ f i n u i r t f ^ w o U / U i ^ t t s o tfc w x ^ e M . t'Una..

co u w n ^ jU v u - oiau- u v h a .c K Oj j *u>*»uj. u n x t ^ l k i x t o , kuX p ^ u p h .

W o U t u*k< xO t. • O tu a ^ w u * * !^ ilcK M k t o C N p ta iC <** K n g a W & J f u A .

tpoW m oL. , u »3 ^ > V k tc H K u l • ...

. I . i • I-■ ; •& e° <1 *" • 4 3 t* ,W .*U **> U J dwuS U^fvu, II t- IT , WT W ^ *K ■*%. M - i Q A e * n ,

kJ~ Hi-m- • , • * •< * j

w - l i , - k k u l W o d & A . »■ * ' c s u ^ w o v , v 1/ - f i. k u L *cr t y n , f i n - « u w / n ^ , " P . ■ ■ i : bt-ł-n.

“to . piKu«rttoftc<d£t»ie»i^tac Ooww'ot

l^UrjOUTOMUi K-oU CBocurHCj, IO^VvOW, u.*^, A1C

p(\«-!i ) c

(j -. kwli u'U've^i Vji>iont C0Ł - ku^J iAftv**'

Wi e d z a p r o b a b i l i s t y c z n a m a t u r z y s t ó w 137

Arkusz pracy — zadanie 3

TjoA 6

©Gd) a.

I© ©<&)

■ — K.

fi " Ojd&W/ti* loSujquj \imJą zT CWy « «

-Z - O - T : Z . (d . , uy^On/^ Lu4*aĄ a ~ b ~ - livthx ZxUimn 3 % ■ ~ K - ~ tf ' U^Jx, Wn ~ _{^ ■: K > ;* * = * ... ; ' ; ; .} 2 U1 U^LoJoA/O-MO 2 ^ - OZui^rkĄ

Z ety ę<x>yź&yM vtzk>Qjźgj)\ ^yv’<ko.tże ‘ "fi >

.

i

^ _[ .lUV}y wć MśkjfeĄ SZMX l^fjSW^CL f

£—^y.^tncc zbioru-N je ! JeJnJu,^ JM fi, i oĄ u-a w o a ' ^ ^ , '

___ jtAf*< 'ojbcać#,'*

C " CcUi-rz^Yii'f7 , ££ Lo5up(y {mM, z [l! Ltony i ^ v c j /

A»« '_*