1 Operacje elementarne na uk ladach wektor´ ow

(1)

Wyk lad 9

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

1 Operacje elementarne na uk ladach wektor´ ow

Niech α

1

, . . . , α

n

b ed

_,

a dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyr´

_,

o˙zniamy nast epuj

_,

ace operacje elementarne nad uk ladem wektor´

_,

ow (α

₁

, . . . , α

_n

):

O1. Zamiana miejscami wektor´ ow α

i

z α

j

(dla i 6= j) oznaczana przez w

i

↔ w

_j

. Oczywi´ scie operacja ta jest do siebie odwrotna.

O2. Pomno˙zenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a ∈ K, oznaczenie: a · w

i

. Poniewa˙z dla a 6= 0 jest a

⁻¹

◦ (a ◦ α

_i

) = (a

⁻¹

a) ◦ α

_i

= 1 ◦ α

_i

= α

_i

, wi ec operacj

_,

a odwrotn

_,

a do a · w

_, _i

jest operacja a

⁻¹

· w

_i

.

O3. Dodanie do wektora α

_i

wektora α

_j

(dla i 6= j) pomno˙zonego przez dowolny skalar a ∈ K, oznaczenie: w

i

+ a · w

j

. Poniewa˙z (α

i

+ a ◦ α

j

) + (−a) ◦ α

j

= α

i

+ a ◦ α

j

+ (−(a ◦ α

j

)) = α

i

, wi ec operacj

_,

a odwrotn

_,

a do operacji w

_, _i

+ a · w

_j

jest operacja w

_i

+ (−a) · w

_j

.

Twierdzenie 9.1. Je˙zeli uk lad wektor´ ow (β

₁

, . . . , β

_n

) przestrzeni liniowej V nad cia lem K powstaje z uk ladu wektor´ ow (α

₁

, . . . , α

_n

) przez kolejne wykonanie sko´ nczonej liczby operacji elementarnych, to

L(β

1

, . . . , β

n

) = L(α

1

, . . . , α

n

).

Dow´ od. Indukcja pozwala nam ograniczy´ c si e do jednej operacji. Ponadto operacje ele-

_,

mentarne s a odwracalne, wi

_,

ec wystarczy wykaza´

_,

c, ˙ze L(β

1

, . . . , β

n

) ⊆ L(α

1

, . . . , α

n

), czyli, ˙ze {β

₁

, . . . , β

_n

} ⊆ L(α

₁

, . . . , α

_n

). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, ˙ze β

_j

= α

_j

dla j 6= i oraz β

_i

= a ◦ α

_i

∈ L(α

₁

, . . . , α

_n

). Dla operacji O3 β

_k

= α

_k

dla k 6= i oraz β

i

= α

i

+ a ◦ α

j

∈ L(α

₁

, . . . , α

n

). 2

Twierdzenie 9.2. Je˙zeli uk lad wektor´ ow (β

1

, . . . , β

n

) przestrzeni liniowej V nad cia lem K powstaje z uk ladu (α

₁

, . . . , α

_n

) przez kolejne wykonanie sko´ nczonej liczby operacji elementarnych, to uk lad (β

₁

, . . . , β

_n

) jest liniowo niezale˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (α

₁

, . . . , α

_n

) jest liniowo niezale˙zny.

Dow´ od. Indukcja pozwala nam ograniczy´ c si e do jednej operacji elementarnej. Ponadto

_,

operacje elementarne s a odwracalne, wi

_,

ec wystarczy wykaza´

_,

c, ˙ze je˙zeli uk lad (α

1

, . . . , α

n

) jest lnz, to uk lad (β

1

, . . . , β

n

) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy,

˙ze β

_j

= α

_j

dla j 6= i oraz β

_i

= a ◦ α

_i

dla pewnego a 6= 0. We´ zmy dowolne a

₁

, . . . , a

_n

∈ K takie,

˙ze a

1

◦ β

₁

+ . . . + a

n

◦ β

_n

= Θ. Wtedy a

1

◦ α

₁

+ . . . + (a

i

a) ◦ α

i

+ . . . + a

n

◦ α

_n

= Θ. St ad z

_,

liniowej niezale˙zno´ sci uk ladu (α

1

, . . . , α

n

) mamy, ˙ze a

1

= a

2

= . . . = a

i

a = . . . = a

n

= 0. Ale

a 6= 0, wi ec st

_,

ad a

_, ₁

= . . . = a

_i

= . . . = a

_n

= 0, czyli uk lad (β

₁

, . . . , β

_n

) jest lnz.

(2)

Dla operacji O3 bez zmniejszania og´ olno´ sci mo˙zemy zak lada´ c, ˙ze β

1

= α

1

+a◦α

2

oraz β

j

= α

j

dla j = 2, . . . , n. We´ zmy dowolne a

₁

, . . . , a

_n

∈ K takie, ˙ze a

₁

◦ β

₁

+ . . . + a

_n

◦ β

_n

= Θ. Wtedy a

1

◦ (α

₁

+ a ◦ α

2

) + a

2

◦ α

₂

+ . . . + a

n

◦ α

_n

= Θ, czyli a

1

◦α

₁

+(a

1

a+a

2

)◦α

2

+. . .+a

n

◦α

_n

= Θ, sk ad z lnz uk ladu (α

_, 1

, . . . , α

n

) mamy, ˙ze a

1

= a

1

a + a

2

= a

3

= . . . = a

n

= 0, czyli a

1

= a

2

= . . . = a

_n

= 0, a wi ec uk lad (β

_, ₁

, . . . , β

_n

) jest lnz. 2

Nietrudno jest wykaza´ c, ˙ze dla ka˙zdego podzbioru X przestrzeni liniowej V nad cia lem K istnieje najmniejsza w sensie inkluzji podprzestrze´ n L(X) zawieraj aca zbi´

_,

or X. Np. L(∅) = {Θ} oraz dla niepustego X, L(X) sk lada si e ze wszystkich kombinacji liniowych dowolnego

_,

sko´ nczonego podzbioru wektor´ ow zawartego w X. Je˙zeli V = L(X), to m´ owimy, ˙ze X generuje V .

Twierdzenie 9.3. Niech X b edzie zbiorem liniowo niezale˙znym wektor´

_,

ow przestrzeni liniowej V nad cia lem K. W´ owczas dla ka˙zdego wektora α ∈ V :

α ∈ L(X) ⇔ [α ∈ X lub zbi´ or X ∪ {α} jest liniowo zale˙zny].

Dow´ od. ⇐. Za l´ o˙zmy, ˙ze α 6∈ L(X). Wtedy α 6∈ X, gdy˙z X ⊆ L(X). Zatem zbi´ or X ∪ {α}

jest liniowo zale˙zny. Ale zbi´ or X jest liniowo niezale˙zny, wi ec istniej

_,

a parami r´

_,

o˙zne wektory α

₁

, . . . , α

_n

∈ X takie, ˙ze zbi´ or {α, α

₁

, . . . , α

_n

} jest liniowo zale˙zny. Zatem istniej a skalary

_,

a, a

1

, . . . , a

n

∈ K nie wszystkie r´ owne 0 i takie, ˙ze a◦α+a

1

◦α

₁

+. . .+a

n

◦α

_n

= Θ. St ad z liniowej

_,

niezale˙zno´ sci wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_n

wynika, ˙ze a 6= 0. Zatem α = (−

^a_a¹

) ◦ α

₁

+ . . . + (−

^a_aⁿ

) ◦ α

_n

∈ L(X), czyli α ∈ L(X) i mamy sprzeczno´ s´ c.

⇒. Istniej a α

_, 1

, . . . , α

n

∈ X oraz a

₁

, . . . , a

n

∈ K takie, ˙ze α = a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

. Zatem 1 ◦ α+(−a

₁

) ◦ α

₁

+ . . . + (−a

_n

) ◦ α

_n

= Θ, sk ad wynika, ˙ze α ∈ X albo α 6∈ X i zbi´

_,

or X ∪ {α}

jest liniowo zale˙zny. 2

2 Baza przestrzeni liniowej

Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a nad cia lem K. Powiemy, ˙ze podzbi´

_,

or X ⊆ V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezale ˙znym, je´ sli X jest zbiorem liniowo niezale˙znym oraz dla ka˙zdego zbioru liniowo niezale˙znego Y ⊆ V takiego, ˙ze X ⊆ Y jest X = Y .

Definicja 9.4. Ka˙zdy maksymalny liniowo niezale˙zny podzbi´ or X wektor´ ow przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy baz a tej przestrzeni.

_,

Przyk lad 9.5. W przestrzeni zerowej V = {Θ} mamy tylko dwa podzbiory: ∅ i V , przy czym V jest lz, a ∅ jest lnz. Zatem ∅ jest baz a przestrzeni zerowej V . Je´

_,

sli przestrze´ n liniowa W nie jest zerowa, to istnieje w niej wektor niezerowy α i w´ owczas zbi´ or {α} jest lnz, wi ec ∅ ⊂ {α}

_,

i wobec tego ∅ nie jest baz a W .

_,

Twierdzenie 9.6. Ka˙zdy liniowo niezale˙zny zbi´ or wektor´ ow X

₀

przestrzeni liniowej V nad

cia lem K mo˙zna rozszerzy´ c do bazy X ⊇ X

₀

tej przestrzeni. W szczeg´ olno´ sci, ka˙zda przestrze´ n

liniowa posiada baz e.

_,

(3)

Twierdzenie 9.7. Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a nad cia lem K. Zbi´

_,

or X ⊆ V jest baz a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´

_,

or X jest liniowo niezale˙zny i generuje V .

Dow´ od. Za l´ o˙zmy, ˙ze X jest baz a przestrzeni V . W´

_,

owczas X jest zbiorem liniowo niezale˙znym. We´ zmy dowolne α ∈ V i za l´ o˙zmy, ˙ze α 6∈ L(X). Wtedy z twierdzenia 9.3 wynika,

˙ze α 6∈ X oraz zbi´ or X ∪ {α} jest liniowo niezale˙zny. Zatem X nie jest maksymalnym zbiorem liniowo niezale˙znym i mamy sprzeczno´ s´ c.

Na odwr´ ot, za l´ o˙zmy, ˙ze zbi´ or X jest liniowo niezale˙zny oraz V = L(X). We´ zmy dowolny liniowo niezale˙zny zbi´ or Y ⊆ V taki, ˙ze X ⊆ Y . Gdyby X 6= Y , to dla pewnego α ∈ Y by loby,

˙ze α 6∈ X i zbi´ or X ∪ {α} ⊆ Y jest liniowo niezale˙zny. Zatem z twierdzenia 9.3 mieliby´ smy, ˙ze α 6∈ L(X) = V , co prowadzi do sprzeczno´ sci. Zatem X = Y i zbi´ or X jest baz a przestrzeni V .

_,

2 Przyk lad 9.8. Dla dowolnego cia la K zbi´ or {1, x, x

²

, . . .} generuje przestrze´ n K[x] i jest liniowo niezale˙zny, wi ec na mocy twierdzenia 9.7 jest on baz

_,

a tej przestrzeni.

_,

2 Przyk lad 9.9. Niech K b edzie dowolnym cia lem i niech n ∈ N. W´owczas z twierdzenia 9.7

_,

oraz z przyk lad´ ow 8.12 i 8.14 wynika od razu, ˙ze zbi´ or {ε

₁

, . . . , ε

_n

} jest baz a przestrzeni K

_, ⁿ

. Nazywamy j a baz

_,

a kanoniczn

_,

a.

_,

2 Z twierdze´ n 9.1, 9.2 i 9.7 wynika od razu nast epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 9.10. Niech α

₁

, . . . , α

_n

b ed

_,

a parami r´

_,

o˙znymi wektorami i niech β

₁

, . . . , β

_n

b ed

_,

a

_,

parami r´ o˙znymi wektorami przestrzeni liniowej V . Za l´ o˙zmy, ˙ze uk lad wektor´ ow (β

1

, . . . , β

n

) powstaje z uk ladu (α

₁

, . . . , α

_n

) przez kolejne zastosowanie sko´ nczonej liczby operacji elementarnych. W´ owczas zbi´ or {β

1

, . . . , β

n

} jest baz a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´

_,

or {α

₁

, . . . , α

n

} jest baz a tej przestrzeni.

_,

2 Twierdzenie 9.11. Niech α

1

, . . . , α

n

b ed

_,

a wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem

_,

K. W´ owczas ka˙zdy maksymalny (wzgl edem liczby element´

_,

ow) podzbi´ or liniowo niezale˙zny A ⊆ {α

1

, . . . , α

n

} jest baz a podprzestrzeni L(α

_, 1

, . . . , α

n

).

Dow´ od. Niech A ⊆ {α

1

, . . . , α

n

} b edzie maksymalnym (wzgl

_,

edem liczby element´

_,

ow) pod- zbiorem liniowo niezale˙znym. W´ owczas oczywi´ scie L(A) ⊆ L(α

₁

, . . . , α

_n

) = W . Niech i = 1, . . . , n. Je´ sli α

i

∈ A, to α

_i

∈ L(A); je´sli za´s α

_i

6∈ A, to z maksymalno´sci A wynika, ˙ze zbi´ or A ∪ {α

_i

} jest liniowo zale˙zny. Zatem z twierdzenia 9.3 α

_i

∈ L(A). St ad {α

_, ₁

, . . . , α

_n

} ⊆ L(A), czyli W ⊆ L(A) i ostatecznie L(A) = W . Zatem z twierdzenia 9.7 zbi´ or A jest baz a

_,

podprzestrzeni W . 2

Przyk lad 9.12. Niech a

11

, a

22

, . . . , a

nn

b ed

_,

a niezerowymi elementami cia la K, niech α

_, 1

= [a

₁₁

, a

₁₂

, . . . , a

_1n

], α

₂

= [0, a

₂₂

, a

₂₃

, . . . , a

_2n

], α

₃

= [0, 0, a

₃₃

, . . . , a

_3n

], . . . , α

_n

= [0, 0, 0, . . . , a

_nn

] i niech

A =







a

11

a

12

a

13

. . . a

1n

0 a

22

a

23

. . . a

2n

0 0 a

₃₃

. . . a

_3n

.. . .. . .. . . .. .. . 0 0 0 . . . a

_nn







, (1)

(4)

tzn. wektory α

1

, . . . , α

n

mo˙zna uwa˙za´ c za kolejne wiersze macierzy A. Latwo zauwa˙zy´ c, ˙ze stosuj ac operacje elementarne na wierszach macierzy A mo˙zna j

_,

a przekszta lci´

_,

c do macierzy jednostkowej I

n

. Zatem uk lad wektor´ ow (α

1

, α

2

, . . . , α

n

) mo˙zna przy pomocy operacji elementarnych przekszta lci´ c do uk ladu (ε

1

, ε

2

, . . . , ε

n

). Zatem na mocy twierdzenia 9.11 i przyk ladu 9.9, zbi´ or {α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n

} jest baz a przestrzeni K

_, ⁿ

i w szczeg´ olno´ sci ten zbi´ or jest lnz, a wi ec

_,

ka˙zdy jego podzbi´ or jest te˙z lnz. 2

Przyk lad 9.13. Rozwa˙zmy og´ olniejszy przypadek ni˙z omawiany w przyk ladzie 9.12. Niech α

_i

= [a

_i1

, a

_i2

, . . . , a

_in

] ∈ K

ⁿ

dla i = 1, 2, . . . , n i niech

A =







a

11

a

12

a

13

. . . a

1n

a

21

a

22

a

23

. . . a

2n

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃

. . . a

_3n

.. . .. . .. . . .. .. . a

n1

a

n2

a

n3

. . . a

nn







, (2)

tzn. wektory α

1

, . . . , α

n

mo˙zna uwa˙za´ c za kolejne wiersze macierzy A. Za l´ o˙zmy, ˙ze det(A) 6= 0.

Wtedy istnieje A

⁻¹

i z analizy algorytmu odwracania macierzy przy pomocy operacji elementarnych wynika, ˙ze macierz A mo˙zna przekszta lci´ c do macierzy I

_n

przy pomocy operacji elementarnych na wierszach macierzy A. Zatem uk lad wektor´ ow (α

1

, α

2

, . . . , α

n

) mo˙zna przy pomocy operacji elementarnych przekszta lci´ c do uk ladu (ε

₁

, ε

₂

, . . . , ε

_n

). Zatem na mocy twierdzenia 9.11 i przyk ladu 9.9, zbi´ or {α

1

, α

2

, . . . , α

n

} jest baz a przestrzeni K

_, ⁿ

i w szczeg´ olno´ sci ten zbi´ or jest lnz.

Na odwr´ ot, za l´ o˙zmy, ˙ze {α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n

} jest baz a przestrzeni K

_, ⁿ

. Wtedy dla i = 1, 2, . . . , n:

ε

i

= b

1i

◦ α

₁

+ b

2i

◦ α

₂

+ . . . + b

ni

◦ α

_n

dla pewnych skalar´ ow b

1i

, b

2i

, . . . , b

ni

∈ K. St ad A · B = I

_, n

dla B = [b

ij

]

i,j=1,2,...,n

i z twierdzenia Cauchy’ego det(A) 6= 0.

Twierdzenie 9.14. Niech α

1

, . . . , α

n

b ed

_,

a parami r´

_,

o˙znymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. W´ owczas zbi´ or {α

₁

, . . . , α

_n

} jest baz a przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy

_,

ka˙zdy wektor α ∈ V mo˙zna jednoznacznie zapisa´ c w postaci

α = a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

dla pewnych a

₁

, . . . , a

_n

∈ K.

Dow´ od. Za l´ o˙zmy, ˙ze zbi´ or {α

₁

, . . . , α

_n

} jest baz a przestrzeni V . W´

_,

owczas z twierdzenia 9.7 mamy, ˙ze V = L(α

1

, . . . , α

n

) oraz zbi´ or {α

1

, . . . , α

n

} jest liniowo niezale˙zny. Zatem dla dowolnego α ∈ V istniej a a

_, ₁

, . . . , a

_n

∈ K takie, ˙ze α = a

₁

◦α

₁

+ . . . + a

_n

◦α

_n

. Je´ sli b

₁

, . . . , b

_n

∈ K s a takie, ˙ze α = b

_, ₁

◦ α

₁

+ . . . + b

_n

◦ α

_n

, to a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

= b

₁

◦ α

₁

+ . . . + b

_n

◦ α

_n

, czyli (a

1

− b

₁

) ◦ α

1

+ . . . + (a

n

− b

_n

) ◦ α

n

= Θ, wi ec z liniowej niezale˙zno´

_,

sci zbioru {α

1

, . . . , α

n

} mamy,

˙ze a

_i

− b

_i

= 0, czyli a

_i

= b

_i

dla i = 1, . . . , n.

Na odwr´ ot, je˙zeli a

₁

, . . . , a

_n

∈ K s a takie, ˙ze a

_, ₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

= Θ, to a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

= 0 ◦ α

1

+ . . . + 0 ◦ α

n

, sk ad z jednoznaczno´

_,

sci zapisu wektora a

i

= 0 dla i = 1, . . . , n, czyli zbi´ or {α

₁

, . . . , α

_n

} jest liniowo niezale˙zny. Ponadto z za lo˙zenia V = L(α

₁

, . . . , α

_n

), wi ec

_,

z twierdzenia 9.7 zbi´ or {α

1

, . . . , α

n

} jest baz a przestrzeni V .

_,

2 Definicja 9.15. Niech {α

1

, . . . , α

n

} b edzie baz

_,

a przestrzeni liniowej V nad cia lem K.

_,

W´ owczas ci ag (α

_, 1

, . . . , α

n

) nazywamy baz a uporz

_,

adkowan

_,

a przestrzeni V . Niech α ∈ V .

_,

(5)

Wtedy na mocy twierdzenia 9.14 istnieje dok ladnie jeden wektor [a

1

, . . . , a

n

] ∈ K

ⁿ

taki, ˙ze α = a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

. Wektor [a

₁

, . . . , a

_n

] nazywamy ci agiem wsp´

_,

o lrz ednych wektora

_,

α w bazie (α

1

, . . . , α

n

), a element a

i

, dla ka˙zdego i = 1, . . . , n, nazywa si e i-t

_,

a wsp´

_,

o lrz edn

_,

a

_,

wektora α w tej bazie.

Wniosek 9.16. Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a nad cia lem K i niech, dla pewnej

_,

liczby naturalnej n, (α

₁

, . . . , α

_n

) b edzie baz

_,

a uporz

_,

adkowan

_,

a tej przestrzeni. Przyporz

_,

adkujmy

_,

ka˙zdemu wektorowi α ∈ V , ci ag jego wsp´

_,

o lrz ednych w bazie (α

_, 1

, . . . , α

n

). Otrzymane w ten spos´ ob odwzorowanie φ jest bijekcj a zbioru V na zbi´

_,

or K

ⁿ

. Przy tym φ(α

_i

) = ε

_i

dla i = 1, . . . , n. 2

3 Wymiar przestrzeni liniowej

Lemat 9.17. Niech wektory α

1

, . . . , α

n

tworz a baz

_,

e przestrzeni V i niech α = a

_, 1

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

, przy czym a

_j

6= 0. W´ owczas wektory

α

1

, . . . , α

j−1

, α, α

j+1

, . . . , α

n

(3) te˙z tworz a baz

_,

e przestrzeni V .

_,

Dow´ od. Zauwa˙zmy, ˙ze wektory (3) powstaj a z wektor´

_,

ow α

₁

, . . . , α

_n

przez kolejne wykonanie nast epuj

_,

acych operacji elementarnych:

_,

a

j

· w

_j

, w

j

+ a

1

· w

₁

, . . . , w

j

+ a

j−1

· w

_j−1

, w

j

+ a

j+1

· w

_j+1

, . . . , w

j

+ a

n

· w

_n

. Zatem na mocy twierdzenia 9.10, wektory (3) tworz a baz

_,

e przestrzeni V .

_,

2 Twierdzenie 9.18 (Steinitza o wymianie). Je´ sli wektory α

₁

, . . . , α

_n

tworz a baz

_,

e prze-

_,

strzeni liniowej V nad cia lem K, a wektory β

1

, . . . , β

s

s a liniowo niezale˙zne, to

_,

(i) s ≤ n oraz

(ii) spo´ sr´ od wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_n

mo˙zna wybra´ c n − s wektor´ ow, kt´ ore l acznie z wektorami

_,

β

1

, . . . , β

s

tworz a baz

_,

e przestrzeni V .

_,

Dow´ od. Zastosujemy indukcj e wzgl

_,

edem s. Dla s = 0 teza jest oczywista. Za l´

_,

o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla liczb mniejszych od pewnej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektor´ ow liniowo niezale˙znych β

1

, . . . , β

s

. Wektory β

1

, . . . , β

s−1

s a liniowo niezale˙zne, a wi

_,

ec z za lo˙zenia induk-

_,

cyjnego s − 1 ≤ n i istnieje n − s + 1 = n − (s − 1) wektor´ ow spo´ sr´ od wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_n

, kt´ ore l acznie z β

_, ₁

, . . . , β

_s−1

tworz a baz

_,

e przestrzeni V . Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, ˙ze

_,

tymi wektorami s a α

_, 1

, . . . , α

n−s+1

.

Wyka˙zemy najpierw, ˙ze s − 1 < n. W przeciwnym razie by loby n = s − 1 (bo s − 1 ≤ n), a zatem ju˙z wektory β

₁

, . . . , β

_s−1

tworzy lyby baz e przestrzeni V , a st

_,

ad wynika loby, ˙ze β

_, _s

∈ L(β

1

, . . . , β

s−1

), co na mocy twierdzenia 9.3 prowadzi do sprzeczno´ sci (gdy˙z wektory β

1

, . . . , β

s

s a liniowo niezale˙zne). Wobec tego s − 1 < n, a st

_,

ad s ≤ n. To dowodzi (i).

_,

Poniewa˙z wektory β

1

, . . . , β

s−1

, α

1

, . . . , α

n−s+1

tworz a baz

_,

e przestrzeni V , wi

_,

ec β

_, s

jest ich

kombinacj a liniow

_,

a. Wobec liniowej niezale˙zno´

_,

sci wektor´ ow β

1

, . . . , β

s

i twierdzenia 9.3, w kom-

binacji liniowej przedstawiaj acej β

_, _s

, co najmniej jeden z wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_n−s+1

wyst epuje ze

_,

wsp´ o lczynnikiem r´ o˙znym od zera. Bez zmniejszania og´ olno´ sci rozwa˙za´ n mo˙zemy przyj a´

_,

c, ˙ze

(6)

a

n−s+1

6= 0. Wtedy z lematu 9.17 wektory β

₁

, . . . , β

s−1

, α

1

, . . . , α

n−s

, β

s

tworz a baz

_,

e prze-

_,

strzeni V , czyli wektory β

₁

, . . . , β

_s

, α

₁

, . . . , α

_n−s

tworz a baz

_,

e przestrzeni V , co ko´

_,

nczy dow´ od twierdzenia. 2

Wniosek 9.17. Je´ sli n-elementowy zbi´ or jest baz a przestrzeni liniowej V nad cia lem K, to

_,

ka˙zda baza tej przestrzeni sk lada si e z dok ladnie n wektor´

_,

ow.

Dow´ od. Niech wektory α

₁

, . . . , α

_n

tworz a baz

_,

e przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Niech

_,

X b edzie inn

_,

a baz

_,

a tej przestrzeni. Gdyby zbi´

_,

or X mia l wi ecej ni˙z n element´

_,

ow, to by lyby one liniowo niezale˙zne i otrzymaliby´ smy sprzeczno´ s´ c z twierdzeniem Steinitza o wymianie. Zatem

|X| ≤ n. Ale wektory α

₁

, . . . , α

_n

s a liniowo niezale˙zne i zbi´

_,

or sko´ nczony X jest baz a przestrzeni

_,

V , wi ec znowu z twierdzenia Steinitza o wymianie n ≤ |X|, czyli ostatecznie |X| = n.

_,

2 Definicja 9.20. Liczb e element´

_,

ow dowolnej sko´ nczonej bazy przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim

_K

V lub dim V , je´ sli wiadomo nad jakim cia lem rozpatrujemy przestrze´ n V .

W ten spos´ ob wymiar jest okre´ slony dla wszystkich takich przestrzeni, kt´ ore maj a sko´

_,

nczon a

_,

baz e. Je´

_,

sli dana przestrze´ n liniowa V nie ma sko´ nczonej bazy, to m´ owimy, ˙ze jej wymiar jest niesko´ nczony i piszemy dim V = ∞. Mo˙zna udowodni´ c, ˙ze wszystkie bazy dowolnej przestrzeni liniowej V maj a t

_,

e sam

_,

a moc. Wobec tego mo˙zna okre´

_,

sli´ c wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy przestrzeni V .

Przyk lad 9.21. Poniewa˙z dla dowolnego cia la K przestrze´ n K

ⁿ

posiada baz e n-elementow

_,

a

_,

(np. baz e kanoniczn

_,

a), wi

_,

ec dim

_, _K

K

ⁿ

= n. 2

Przyk lad 9.22. Poniewa˙z dla dowolnego cia la K zbi´ or {1} jest baz a przestrzeni liniowej

_,

K

, wi ec dim

_, K

K = 1. W szczeg´ olno´ sci dim

_C

C = 1 oraz dim

_R

C = 2, gdy ˙z zbi´ or {1, i} jest baz a przestrzeni C

_, R

. 2

Przyk lad 9.23. Poniewa˙z zbi´ or pusty jest baz a przestrzeni zerowej {Θ}, wi

_,

ec dim{Θ} = 0.

_,

2 Przyk lad 9.24. Poniewa˙z dla dowolnego cia la K zbi´ or {1, x, x

²

, . . .} jest baz a przestrzeni

_,

K[x], wi ec dim

_, K

K[x] = ∞. 2

Przyk lad 9.25. Dla dowolnego cia la K w przestrzeni liniowej K

^∞

wektory ε

1

= [1, 0, 0, . . .], ε

2

= [0, 1, 0, . . .], . . . s a liniowo niezale˙zne. Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim K

_, ^∞

=

∞. 2

Twierdzenie 9.26. Je´ sli przestrze´ n liniowa V ma wymiar n, to ka˙zda jej podprzestrze´ n W ma wymiar nie wi ekszy ni˙z n.

_,

Dow´ od. Niech X b edzie baz

_,

a podprzestrzeni W . Wtedy zbi´

_,

or X jest liniowo niezale˙zny, wi ec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie |X| ≤ n.

_,

2 Twierdzenie 9.27. Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiaru sko´ n- czonego r´ ownowa˙zne s a warunki:

_,

(i) dim W = dim V , (ii) W = V .

(7)

Dow´ od. (ii)⇒(i). Oczywiste. (i)⇒(ii). Oznaczmy n = dim V . Wtedy istnieje baza {α

₁

, . . . , α

_n

} przestrzeni V . Ale dim W = n, wi ec istnieje baza {β

_, ₁

, . . . , β

_n

} podprzestrzeni W . Zatem wektory β

1

, . . . , β

n

s a liniowo niezale˙zne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie

_,

mo˙zna je uzupe lni´ c do bazy przestrzeni V , n − n = 0 wektorami wybranymi spo´ sr´ od wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_n

. Zatem wektory β

₁

, . . . , β

_n

tworz a baz

_,

e przestrzeni V , sk

_,

ad V = L(β

_, ₁

, . . . , β

_n

) = W . 2

Z twierdzenia 9.11 wynika od razu nast epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 9.28. Niech α

1

, . . . , α

n

b ed

_,

a wektorami przestrzeni liniowej V . W´

_,

owczas dim L(α

₁

, . . . , α

_n

) ≤ n. Ponadto dim L(α

₁

, . . . , α

_n

) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α

₁

, . . . , α

_n

s a liniowo niezale˙zne.

_,

2 Twierdzenie 9.29. Niech α

₁

, . . . , α

_n

b ed

_,

a wektorami przestrzeni liniowej V wymiaru n.

_,

W´ owczas r´ ownowa˙zne s a warunki:

_,

(i) zbi´ or {α

₁

, . . . , α

_n

} jest baz a przestrzeni V ,

_,

(ii) zbi´ or {α

₁

, . . . , α

_n

} jest liniowo niezale˙zny, (iii) zbi´ or {α

1

, . . . , α

n

} generuje przestrze´ n V .

Dow´ od. (i)⇒(ii). Oczywiste. (ii)⇒(iii). Wynika od razu z twierdzenia Steinitza o wymianie.

(iii)⇒(i). Z za lo˙zenia wynika, ˙ze V = L(α

₁

, . . . , α

_n

). Zatem dim L(α

₁

, . . . , α

_n

) = n i na mocy twierdzenia 9.25 zbi´ or {α

1

, . . . , α

n

} jest liniowo niezale˙zny. Zatem ostatecznie ten zbi´ or jest baz a przestrzeni V .

_,

2 Twierdzenie 9.30. Niech V

₁

i V

₂

b ed

_,

a sko´

_,

nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. W´ owczas podprzestrzenie V

1

∩V

₂

i V

1

+V

2

s a r´

_,

ownie˙z sko´ nczenie wymiarowe i zachodzi wz´ or:

dim(V

1

+ V

2

) = dim V

1

+ dim V

2

− dim(V

₁

∩ V

₂

). (4) Dow´ od. Poniewa˙z V

1

∩ V

₂

jest podprzestrzeni a przestrzeni sko´

_,

nczenie wymiarowej V

1

, wi ec z

_,

twierdzenia 9.26 przestrze´ n V

1

∩ V

₂

jest sko´ nczenie wymiarowa. Niech {α

1

, . . . , α

_k

} b edzie baz

_,

a

_,

przestrzeni V

₁

∩V

₂

. Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbi´ or mo˙zna uzupe lni´ c do bazy {α

₁

, . . . , α

k

, β

1

, . . . , β

s

} przestrzeni V

₁

i mo˙zna go te˙z uzupe lni´ c do bazy {α

1

, . . . , α

k

, γ

1

, . . . , γ

r

} przestrzeni V

2

. Wtedy dim(V

1

∩ V

₂

) = k, dim V

1

= k + s i dim V

2

= k + r, wi ec pozo-

_,

staje wykaza´ c, ˙ze dim(V

₁

+ V

₂

) = k + s + r. Ale V

₁

+ V

₂

= L(α

₁

, . . . , α

_k

, β

₁

, . . . , β

_s

) + L(α

1

, . . . , α

k

, γ

1

, . . . , γ

r

) = L(α

1

, . . . , α

k

, β

1

, . . . , β

s

, γ

1

, . . . , γ

r

), wi ec wystarczy wykaza´

_,

c, ˙ze wektory α

₁

, . . . , α

_k

, β

₁

, . . . , β

_s

, γ

₁

, . . . , γ

_r

s a liniowo niezale˙zne. W tym celu we´

_,

zmy dowolne skalary a

₁

, . . . , a

_k

, b

₁

, . . . , b

_s

, c

₁

, . . . , c

_r

∈ K takie, ˙ze a

₁

◦α

₁

+. . .+a

_k

◦α

_k

+b

₁

◦β

₁

+. . .+b

_s

◦β

_s

+c

₁

◦γ

₁

+. . .+

c

r

◦γ

_r

= Θ. Oznaczmy: α = a

1

◦α

₁

+. . .+a

k

◦α

_k

, β = b

1

◦β

₁

+. . .+b

s

◦β

_s

, γ = c

1

◦γ

₁

+. . .+c

r

◦γ

_r

.

Wtedy γ = −(α +β) ∈ V

₁

∩V

₂

. Zatem istniej a d

_, ₁

, . . . , d

_k

∈ K takie, ˙ze γ = d

₁

◦α

₁

+. . . +d

_k

◦α

_k

,

sk ad c

_, ₁

◦ γ

₁

+ . . . + c

_r

◦ γ

_r

+ (−d

₁

) ◦ α

₁

+ . . . + (−d

_k

) ◦ α

_k

= Θ. Zatem z liniowej niezale˙zno´ sci

wektor´ ow α

1

, . . . , α

_k

, γ

1

, . . . , γ

r

mamy, ˙ze c

1

= . . . = c

r

= −d

1

= . . . = −d

_k

= 0, czyli γ = Θ

oraz Θ = α + β. Zatem z liniowej niezale˙zno´ sci wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_k

, β

₁

, . . . , β

_s

otrzymamy, ˙ze

a

1

= . . . = a

k

= b

1

= . . . = b

s

= 0 i ostatecznie wektory α

1

, . . . , α

k

, β

1

, . . . , β

s

, γ

1

, . . . , γ

r

s a

_,

liniowo niezale˙zne. 2

(8)

Wniosek 9.31. Niech V

1

, V

2

b ed

_,

a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V wymiaru n.

_,

Wtedy dim(V

₁

∩ V

₂

) ≥ dim V

₁

+ dim V

₂

− n.

Dow´ od. Poniewa˙z dim(V

1

+ V

2

) ≤ n, wi ec z twierdzenia 9.30 uzyskujemy, ˙ze dim V

_, 1

+ dim V

2

− dim(V

₁

∩ V

₂

) ≤ n, sk ad mamy tez

_,

e.

_,

2 Przyk lad 9.32. Znajdziemy baz e podprzestrzeni W przestrzeni R

_, ⁴

generowanej przez wektory: [−1, 4, −3, −2], [3, −7, 5, 3], [3, −2, 1, 0], [−4, 1, 0, 1]. W tym celu stosujemy twierdzenie 9.1. Wygodnie jest wykonywa´ c operacje elementarne na wierszach macierzy A - tego uk ladu wektor´ ow. Wszystkie r´ ownowa˙zno´ sci dotycz a podprzestrzeni generowanej:

_,







−1 4 −3 −2

3 −7 5 3

3 −2 1 0

−4 1 0 1







w2−w3

≡







−1 4 −3 −2

0 −5 4 3

3 −2 1 0

−4 1 0 1







w3+3·w1

≡







−1 4 −3 −2

0 −5 4 3

0 10 −8 −6

−4 1 0 1







w4−4·w1

≡







−1 4 −3 −2

0 −5 4 3

0 10 −8 −6

0 −15 12 9







w3+2·w2

≡







−1 4 −3 −2

0 −5 4 3

0 0 0 0

0 −15 12 9







≡







−1 4 −3 −2

0 −5 4 3

0 −15 12 9







w3−3·w2

≡







−1 4 −3 −2

0 −5 4 3

0 0 0 0





 ≡

"

1 4 −3 −2

0 −5 4 3

# .

Zatem z twierdzenia 9.1 W = L([−1, 4, −3, −2], [0, −5, 4, 3]}. Ponadto na mocy przyk ladu 9.12 zbi´ or {[−1, 4, −3, −2], [0, −5, 4, 3], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]} jest baz a przestrzeni R

_, ⁴

i wektory [−1, 4, −3, −2], [0, −5, 4, 3] s a lnz. St

_,

ad zbi´

_,

or {[−1, 4, −3, −2], [0, −5, 4, 3]} jest baz a W oraz

_,

dim(W ) = 2. 2

Zauwa˙zmy, ˙ze wiersze macierzy A ∈ M

_m×n

(K) mo˙zemy traktowa´ c jako wektory przestrzeni K

ⁿ

, za´ s jej kolumny-jako wektory przestrzeni K

^m

.

Twierdzenie 9.33. Niech A = [a

_ij

] ∈ M

_m×n

(K). W´ owczas r(A) = m wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze macierzy A s a liniowo niezale˙zne.

_,

Dow´ od. Za l´ o˙zmy, ˙ze r(A) = m. Wtedy pewien minor stopnia m macierzy A jest niezerowy.

Z przyk ladu 9.13 wynika, ˙ze wiersze tego minora s a lnz. A st

_,

ad ju˙z wynika, ˙ze wiersze macierzy

_,

A s a lnz.

_,

Na odwr´ ot. Za l´ o˙zmy nie wprost, ˙ze wszystkie minory stopni ≥ m macierzy A s a r´

_,

owne 0.

Oznaczmy α

i

= [a

i1

, . . . , a

in

] dla i = 1, 2, . . . , m. Z liniowej niezale˙zno´ sci wierszy macierzy A wynika, ˙ze α

1

6= Θ, a wi ec a

_, 1j

6= 0 dla pewnego j = 1, 2, . . . , n. Istnieje zatem r ∈ N, kt´ore jest najwi ekszym stopniem niezerowego minora macierzy A, przy czym r < m. Dla przejrzysto´

_,

sci zapisu niech

a

11

. . . a

1r

.. . . .. .. . a

r1

. . . a

rr

6= 0.

(9)

Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdego j = 1, 2, . . . , n prawdziwa jest r´ owno´ s´ c:

a

11

. . . a

1r

a

1j

.. . . .. .. . .. . a

_r1

. . . a

_rr

a

_rj

a

r+1,1

. . . a

r+1,r

a

r+1,j

= 0.

Istotnie, dla j = 1, 2, . . . , r w tym wyznaczniku s a dwie identyczne kolumny, za´

_,

s dla j > r jest to minor stopnia r + 1 macierzy A r´ owny 0 na podstawie okre´ slenia liczby r. Po rozwini eciu ostat-

_,

niego wyznacznika wzgl edem ostatniej kolumny i oznaczeniu przez D

_, _j

= (−1)

^j+r+1

· det(B

_j,r+1

) dla j = 1, 2, . . . , r + 1 oraz

B =







a

₁₁

. . . a

_1r

a

_1r+1

.. . . .. .. . .. . a

r1

. . . a

rr

a

r,r+1

a

_r+1,1

. . . a

_r+1,r

a

_r+1,r+1





 ,

uzyskamy, ˙ze

a

1j

D

1

+ a

2j

D

2

+ . . . + a

r+1,j

D

r+1

= 0 dla j = 1, 2, . . . , r + 1. A to oznacza, ˙ze

D

₁

◦ α

₁

+ . . . + D

_r

◦ α

_r

+ D

_r+1

◦ α

_r+1

= Θ.

Ale D

_r+1

=

a

11

. . . a

1r

.. . . .. .. . a

_r1

. . . a

_rr

6= 0, wi ec wektory α

_, ₁

, . . . , α

_r

, α

_r+1

s a liniowo zale˙zne i mamy

_,

sprzeczno´ s´ c. 2

Twierdzenie 9.34. Niech A = [a

ij

] ∈ M

m×n

(K). W´ owczas wymiar podprzestrzeni generowanej przez wiersze macierzy A jest r´ owny r(A). Ponadto wymiar podprzestrzeni generowanej przez kolumny macierzy A te˙z jest r´ owny r(A).

Dow´ od. Dla macierzy zerowej teza jest oczywista. Niech dalej A b edzie niezerowa. Oznaczmy

_,

przez k wymiar podprzestrzeni W generowanej przez wiersze macierzy A i przez r jej rz ad.

_,

Wtedy k, r ∈ N. Ponadto z twierdzenia 9.11 pewne k wierszy macierzy A tworzy baz e podprze-

_,

strzeni W . Dla uproszczenia notacji niech to b ed

_,

a pierwsze k wiersze tej macierzy. W´

_,

owczas z twierdzenia 9.33 w macierzy B powstaj acej z A przez wykre´

_,

slenie wierszy o numerach wi ekszych

_,

ni˙z k istnieje minor niezerowy stopnia k, kt´ ory jednocze´ snie jest minorem macierzy A. Wobec tego r ≥ k.

Dalej, w macierzy A istnieje niezerowy minor stopnia r. Dla uproszczenia znakowania

za l´ o˙zmy, ˙ze tym minorem jest wyznacznik macierzy C powstaj acej z A przez wykre´

_,

slenie wszyst-

kich wierszy i wszystkich kolumn o numerach wi ekszych od r. W´

_,

owczas z twierdzenia 9.33

wszystkie wiersze macierzy D powstaj acej z A przez wykre´

_,

slenie wierszy o numerach wi ekszych

_,

od r s a lnz. Zatem k ≥ r i ostatecznie k = r.

_,

(10)

Poniewa˙z wierszami macierzy A

^T

s a kolumny macierzy A i r(A

_, ^T

) = r(A), wi ec st

_,

ad i z

_,

pierwszej cz e´

_,

sci dowodu uzyskujemy, ˙ze wymiar podprzestrzeni generowanej przez kolumny macierzy A te˙z jest r´ owny r(A). 2

Uwaga 9.35. Z twierdze´ n 9.11 i 9.34 mamy, ˙ze rz ad macierzy A jest r´

_,

owny maksymalnej liczbie jej liniowo niezale˙znych wierszy i jest te˙z r´ owny maksymalnej liczbie jej liniowo niezale˙znych kolumn. Mo˙zemy zatem stosowa´ c rz ad macierzy przy obliczaniu wymiaru podprzestrzeni prze-

_,

strzeni K

ⁿ

generowanej przez sko´ nczony zbi´ or wektor´ ow oraz do badania liniowej niezale˙zno´ sci sko´ nczonego uk ladu wektor´ ow przestrzeni K

ⁿ

.

Przyk lad 9.36. Znajdziemy wymiar podprzestrzeni W przestrzeni R

⁴

generowanej przez wektory [1, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 3], [3, 3, 5, 4], [3, 0, 1, 5]. Macierz a tego uk ladu wektor´

_,

ow jest A =







1 2 3 1 2 1 2 3 3 3 5 4 3 0 1 5







. Obliczamy rz ad macierzy A wykonuj

_,

ac operacje w

_, 1

− 2 · w

₂

i w

3

− 3 · w

₂

:

r(A) = r







−3 0 −1 −5

2 1 2 3

−3 0 −1 −5

3 0 1 5







= 1 + r







−3 −1 −5

3 1 5





 . Po wykonaniu operacji w

1

+ w

3

oraz w

₂

+ w

₃

uzyskamy ostatecznie, ˙ze r(A) = 1 + 1 = 2. Zatem z twierdzenia 9.34 dim(W ) = 2. 2

Przyk lad 9.37. Zbadamy dla jakich warto´ sci parametru a wektory [a, 1, 0], [1, a, 3], [a, 1, 1] ∈

R

³

s a liniowo niezale˙zne. Macierz tego uk ladu wektor´

_,

ow ma posta´ c A =







a 1 0 1 a 3 a 1 1





 . Z twierdzenia 9.29 i z przyk ladu 9.13 wynika, ˙ze nasze wektory s a liniowo niezale˙zne wtedy i tylko

_,

wtedy, gdy det(A) 6= 0. Ale det(A)

^w³

=

^−w¹

a 1 0 1 a 3 0 0 1

= (−1)

³⁺³

· 1 ·

a 1 1 a

= a

²

− 1, wi ec

_,

det(A) = 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy a = −1 lub a = 1. Zatem nasze wektory s a liniowo

_,

niezale˙zne jedynie dla wszystkich liczb rzeczywistych a 6= −1, 1. Z twierdzenia 9.29 wynika, ˙ze dla takich a nasze wektory tworz a baz

_,

e przestrzeni R

_, ³

. 2

4 Zadania do samodzielnego rozwi azania

_,

Zadanie 9.38. W przestrzeni R

⁴

zbada´ c liniow a niezale˙zno´

_,

s´ c wektor´ ow:

[1, 4, 7, 10], [2, 5, 8, 11], [2, 6, 9, 12].

Odp. Wektory te s a liniowo zale˙zne.

_,

Zadanie 9.39. Dla jakich a ∈ R wektory [1, 1, 1], [1, a, 2], [2, 3, 4] tworz a baz

_,

e przestrzeni

_,

R

³

?

Odp. a 6=

³₂

.

(11)

Zadanie 9.40. Pokaza´ c, ˙ze V = {[x, y, z] ∈ R

³

: x + y + z = 0} jest podprzestrzeni a

_,

przestrzeni R

³

. Wyznaczy´ c baz e i wymiar V .

_,

Odp. Baz a V jest {[1, 0, −1], [0, 1, −1]} i dim V = 2.

_,

Zadanie 9.41. Znale´ z´ c baz e i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni R

_, ⁴

generowanej przez wektory: [−1, −3, 4, −2], [3, 5, −7, 3], [3, 1, −2, 0], [−4, 0, 1, 1].

Odp. Baz a V jest {[−1, −3, 4, −2], [0, −4, 5, −3]} oraz dim(V ) = 2.

_,

Zadanie 9.42. Znajd´ z baz e i wymiar podprzestrzeni V przestrzeni R

_, ⁵

generowanej przez wektory: [−3, 1, 5, 3, 2], [2, 3, 0, 1, 0], [1, 2, 3, 2, 1], [3, −5, −1, −3, −1], [3, 0, 1, 0, 0].

Uzupe lnij znalezion a baz

_,

e podprzestrzeni V do bazy ca lej przestrzeni R

_, ⁵

. Odp. Baz a V jest {[−1, 3, −1, 1, 0], [0, 1, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 12, 9]},

_,

dim(V ) = 3. Szukan a baz

_,

a przestrzeni R

_, ⁵

jest

{[−1, 3, −1, 1, 0], [0, 1, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 12, 9], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]}.

Zadanie 9.43. W przestrzeni liniowej R

⁴

dane s a podprzestrzenie:

_,

V = L([1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1]), W = L([1, 0, 1, 0], [0, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 2]). Wyznacz baz e i

_,

wymiar podprzestrzeni: a) V , b) W , c) V + W , d) V ∩ W .

Odp. a) Baz a V jest {[1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1]} oraz dim V = 3.

_,

b) Baz a W jest

_,

{[1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, −1]} oraz dim W = 3.

c) Baz a V + W jest {[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]},

_,

dim(V + W ) = 4 i V + W = R

⁴

. d) Baz a V ∩ W jest {[1, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 0]} oraz dim(V ∩ W ) = 2.

_,