azywaniem uk lad´ow r´owna´

Rozdzia l 7

Uk lady r´ owna´ n liniowych

W tym rozdziale zajmiemy si e rozwi

_,

azywaniem uk lad´ow r´owna´

_,

n liniowych (2.2). Stosuj ac zapis macierzowy zadanie formu lujemy nast

_,

ej

_,

aco. Dla danej

_,

macierzy (wsp´ o lczynnik´ ow) A ∈ K

^m,n

oraz wektora (wyraz´ ow wolnych) ~b ∈ K

^m

nale˙zy znale´z´c wszystkie wektory (niewiadome) ~x spe lniaj ace r´owno´s´c

_,

A ∗ ~x = ~b. (7.1)

7.1 Zbi´ or rozwi aza´ _, n

7.1.1 Twierdzenie Croneckera-Capelliego

Mamy trzy mo˙zliwo´sci:

(i) ∀~x ∈ K

ⁿ

A ∗ ~x 6= ~b =⇒ uk lad jest sprzeczny (ii) ∃~x ∈ K

ⁿ

A ∗ ~x = ~b =⇒ uk lad jest niesprzeczny (iii) ! ∃~x ∈ K

ⁿ

A ∗ ~x = ~b =⇒ uk lad jest oznaczony

¹

Twierdzenie 7.1 (Kroneckera-Capelliego)

Uk lad A ∗ ~x = ~b jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy rz(A) = rz([A,~b]),

tzn. rz ad macierzy A jest r´

_,

owny rz edowi A rozszerzonej o wektor ~b.

_,

1

Symbol “! ∃” czytamy jako “istnieje dok ladnie jeden”.

61

Dow´ od. Je´sli rz([A,~b]) = rz(A) to wektor ~b nale˙zy do pzrestrzeni rozpi etej

_,

przez wektory-kolumny macierzy A. To za´s oznacza, ˙ze ~b jest liniow a kom-

_,

binacj a tych wektor´ow. Wsp´o lczynniki tej kombinacji tworz

_,

a rozwi

_,

azanie ~x

_,

uk ladu.

Z drugiej strony, je´sli istnieje ~x ∈ K

ⁿ

taki, ˙ze A ∗~x = ~b to~b jest kombinacj a

_,

liniow a wektor´ow-kolumn macierzy A, czyli ~b nale˙zy do przestrzeni rozpi

_,

etej

_,

na tych wektorach. To za´s implikuje ˙ze rz([A,~b]) = rz(A) i ko´ nczy dow´od.

Mo˙zemy r´ownowa˙znie stwierdzi´c, ˙ze uk lad A ∗ ~x = ~b jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy ~b ∈ R(A), czyli wektor wyraz´ow wolnych le˙zy w obrazie macierzy wsp´o lczynnik´ow.

7.1.2 Zbi´ or rozwi aza´ _, n jako warstwa

Niech

L(A,~b) = { ~x ∈ K

ⁿ

: A ∗ ~x = ~b } b edzie zbiorem wszystkich rozwi

_,

aza´

_,

n uk ladu A ∗ ~x = ~b.

Definicja 7.1 Powiemy, ˙ze dwa uk lady, A

1

∗ ~x = ~b

¹

oraz A

2

∗ ~x = ~b

²

, s a

_,

r´ownowa˙zne gdy maj a ten sam zbi´

_,

or rozwi aza´

_,

n, tzn. gdy

L(A

¹

,~b

1

) = L(A

²

,~b

2

).

Twierdzenie 7.2 Je´sli uk lad A ∗ ~x = ~b jest niesprzeczny to zbi´or rozwi aza´

,

n L(A,~b) = { ~x

0

+ ~y : ~y ∈ N (A) } = W (~x

0

, N (A)) ,

gdzie ~x

0

jest dowolnych rozwi azaniem szczeg´

_,

olnym uk ladu.

Dow´ od. Je´sli ~x

0

jest rozwi azaniem szczeg´olnym i ~y

_,

∈ N (A) to A ∗ (~x

⁰

+ ~y) = A ∗ ~x

⁰

+ A ∗ ~y = ~b + ~0 = ~b,

czyli ~x

₀

+ ~y jest te˙z rozwi azaniem. To za´s implikuje ˙ze W (~x

_{, 0}

, N (A)) ⊆ L(A,~b).

Z drugiej strony, je´sli A ∗~x = ~b to A∗(~x −~x

0

) = ~b −~b = ~0, czyli (~x −~x

0

) ∈

N (A). A wi ec ~x = ~x

, ₀

+ (~x − ~x

0

) jest z jednej strony rozwi azaniem uk ladu, a

_,

z drugiej elementem warstwy W (~x

0

, N (A)). St ad

_,

L(A,~b) ⊆ W (~x

0

, N (A)).

7.2. EFEKTYWNA METODA ROZWI AZANIA

_,

63

7.1.3 Uk lady nieosobliwe

Rozpatrzmy przez chwil e uk lady z macierzami kwadratowymi.

_,

Twierdzenie 7.3 Macierz kwadratowa A ∈ K

^n,n

jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy rz(A) = n.

Dow´ od. Wobec nier´owno´sci

n = rz(I

n

) = rz(A ∗ A

⁻¹

) ≤ min rz(A), rz(A

⁻¹

)

mamy, ˙ze je´sli A jest nieosobliwa to rz(A) = n = rz(A

⁻¹

). Z drugiej strony, je´sli rz(A) = n to kolumny A s a wektorami liniowo niezale˙znymi. St

_,

ad

_,

istnieje macierz X ∈ K

^n,n

taka, ˙ze A ∗ X = I

ⁿ

. Podobnie, istnieje Y ∈ K

^n,n

taka, ˙ze A

^T

∗ Y = I

n

, czyli Y

^T

∗ A = I

n

. Ponadto

Y

^T

= Y

^T

∗ I

n

= (Y

^T

∗ A) ∗ X = I

n

∗ X = X,

tzn. odwrotno´sci lewostronna i prawostronna istniej a i s

_,

a sobie r´owne, A

_, ⁻¹

= X = Y

^T

. To ko´ nczy dow´od.

Wiemy, ˙ze je´sli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa to rozwi azaniem

_,

uk ladu A ∗~x = ~b jest ~x

^∗

:= A

⁻¹

∗~b i jest to jedyne rozwi azanie, tzn. uk lad jest

,

oznaczony. Ale te˙z odwrotnie, je´sli uk lad A ∗ ~x = ~b z macierz a kwadratow

_,

a

_,

A jest oznaczony dla pewnego ~b to macierz A jest nieosobliwa. Rzeczywi´scie, wtedy j adro

_,

N (A) = {~0}. To znaczy, ˙ze wektory-kolumny macierzy tworz a

,

uk lad liniowo niezale˙zny i rz(A) = n. Na podstawie twierdzenia 2.1 wnio- skujemy ˙ze A jest nieosobliwa.

Wniosek 7.1 Niech A b edzie macierz

_,

a kwadratow

_,

a. Uk lad A

_,

∗ ~x = ~b jest oznaczony wtedy i tylko wtedy gdy A jest nieosobliwa.

7.2 Efektywna metoda rozwi azania _,

Dla danej macierzy A ∈ K

^m,n

i wektora ~b ∈ K

^m

chcemy zbada´c, czy uk lad (7.1) jest niesprzeczny, a je´sli tak to znale´z´c zbi´or jego rozwi aza´

_,

n (warstw e)

_,

L(A,~b) = ~x

⁰

+ N (A),

gdzie N (A) = span(~z

s+1

, ~z

s+2

, . . . , ~z

n

) i s = rz(A).

7.2.1 Og´ olny schemat

Najpierw wyznaczymy s = rz(A) i t = rz([A,~b]), a nast epnie w przypadku

_,

s = t skonstruujemy rozwi azanie szczeg´olne ~x

_, 0

oraz baz e ~z

_, s+1

, . . . , ~z

n

j adra

_,

N (A).

Og´olny schemat post epowania prowadz

_,

acy do postaci r´ownania, z kt´orego

_,

mo˙zna ju˙z stosunkowo latwo odczyta´c rozwi azanie jest nast

_,

epuj

_,

acy. Star-

_,

tuj ac z uk ladu wyj´sciowego (7.1), kt´ory oznaczymy przez (U

_, 0

), kolejno dla k = 1, 2, . . . , s konstruujemy “prostsze” i (prawie) r´ownowa˙zne (U

0

) uk lady (U

_k

) z macierzami A

^(k)

tego samego formatu co A. Macierz A

^(s)

uk ladu docelowego (U

s

) oka˙ze si e tr´ojk

_,

atn

_,

a g´orn

_,

a.

_,

Dopuszczamy przy tym nast epuj

_,

ace operacje na uk ladnie r´owna´

_,

n:

(i) zamiana kolejno´sci r´owna´ n (wierszy macierzy),

(ii) zamiana kolejno´sci niewiadomych (kolumn macierzy),

(iii) dodanie do jednego z r´owna´ n innego r´ownania pomno˙zonego przez ska- lar.

Zauwa˙zmy, ˙ze operacje (i) oraz (iii) prowadz a do uk lad´ow r´ownowa˙znych,

_,

za´s (ii) powoduje jedynie zmian e kolejno´sci niewiadomych. W szczeg´olno´sci,

_,

rz ad macierzy uk ladu nie ulega zmianie.

_,

Schemat sprowadzania uk ladu wyj´sciowego do postaci z macierz a tr´oj-

_,

k atn

_,

a g´orn

_,

a przy pomocy zdefiniowanych operacji, kt´ory teraz dok ladniej

_,

opiszemy, nazywamy Eliminacj a Gaussa.

_,

7.2.2 Eliminacja Gaussa

Za l´o˙zmy, ˙ze wykonali´smy ju˙z k przekszta lce´ n uk ladu wyj´sciowego, (U

0

) → (U

1

) → . . . → (U

k

),

gdzie 0 ≤ k ≤ s − 1, otrzymuj ac uk lad

,

A

^(k)

∗ ~x

^(k)

= ~b

^(k)

z nacierz a

_,

A

^(k)

=

 R

k

T

k

0 V

_k



,

7.2. EFEKTYWNA METODA ROZWI AZANIA

_,

65 gdzie R

k

∈ TRIU

^k,k

jest kwadratow a i nieosobliw

_,

a macierz

_,

a tr´ojk

_,

atn

_,

a g´orn

_,

a.

_,

Oczywi´scie, za lo˙zenie to jest spe lnione dla k = 0, czyli dla uk ladu wyj´scio- wego, bowiem wtedy A

⁽⁰⁾

= V

₀

= A.

Krok (k + 1)-szy eliminacji

1. Wybieramy w V

k

element r´o˙zny od zera, powiedzmy v

p,q

6= 0, k + 1 ≤ p ≤ m, k + 1 ≤ q ≤ n. (Taki element istnieje, bo inaczej mieliby´smy rz(A

^(k)

) = k < s = rz(A).)

2. Przestawiamy wiersze (k + 1)-szy z p-tym oraz kolumny (niewiadome) (k + 1)-sz a z q-t

_,

a.

_,

3. Dokonujemy eliminacji (k + 1)-szej niewiadomej z r´owna´ n od (k + 1)- szego do m-tego odejmuj ac od r´ownania i-tego r´ownanie (k + 1)-sze

_,

pomno˙zone przez l

i,k+1

:= a

^(k)_i,k+1

/a

^(k)_k+1,k+1

, i = k+1, k+2, . . . , m. (Tutaj a

^(k)_i,j

oznacza tu element aktualnie stoj acy na przeci

_,

eciu i-tego wiersza

_,

i j-tej kolumny macierzy uk ladu).

Po wykonaniu (k + 1)-szego kroku metody dostajemy uk lad z macierz a

_,

A

^(k+1)

, kt´ora ma wyzerowane wsp´o lczynniki o indeksach (i, j) dla 1 ≤ j ≤ k + 1, j < i ≤ m.

Po wykonaniu s = rz(A) krok´ow dostajemy uk lad (U

s

) postaci A

^(s)

∗ ~x

^(s)

= ~b

^(s)

,

przy czym

A

^(s)

=

 R

s

T

s

0 0

 ,

a wektor ~x

^(s)

r´o˙zni si e od ~x

_, ⁽⁰⁾

jedynie przestawieniem (permutacj a) wsp´o l-

_,

rz ednych. Rzeczywi´scie, gdyby odpowiednia podmacierz V

_{, s}

macierzy A

^(s)

by la niezerowa to mieliby´smy rz(A) = rz(A

^(s)

) > s.

Dodajmy jeszcze, ˙ze w przypadkach s = 0 i s = min(m, n) niekt´ore bloki macierzy A

^(s)

s a puste.

_,

7.2.3 Konstrukcja rozwi azania og´ _, olnego

Przyjmuj ac

_,

~x

^(s)

=

"

~x

^(s)_I

~x

^(s)_II

#

, ~b

^(s)

=

"

~b

^(s)_I

~b

^(s)_II

#

,

gdzie ~x

^(s)_I

,~b

^(s)_I

∈ K

^s

, ~x

^(s)_II

∈ K

^n−s

, ~b

^(s)_II

∈ K

^m−s

, uk lad (U

s

) mo˙zemy zapisa´c

jako (

R

_s

∗ ~x

^(s)I

+ T

_s

∗ ~x

^(s)II

= ~b

^(s)_I

~0 = ~b

^(s)_II

.

Je´sli teraz ~b

^(s)_II

6= ~0 to uk lad jest sprzeczny i nie ma rozwi aza´

_,

n. Je´sli za´s

~b

^(s)_II

= ~0 to uk lad (U

s

) redukuje si e do

_,

R

s

∗ ~x

^(s)I

+ T

s

∗ ~x

^(s)II

= ~b

^(s)_I

.

Przyjmuj ac ~x

_, ^(s)_II

= ~0 otrzymujemy rozwi azanie szczeg´olne

_,

~x

^(s)₀

=  ~u

₀

~0

 ,

gdzie ~u

₀

∈ K

^s

jest rozwi azaniem nieosobliwego uk ladu

_,

R

s

∗ ~u

⁰

= ~b

^(s)_I

z macierz a tr´ojk

_,

atn

_,

a doln

_,

a R

_, s

. Baz e j

_,

adra macierzy A

_, ^(s)

,

N (A

^(s)

) = N ([R

s

, T

s

]),

znajdujemy rozwi azuj

_,

ac (n

_,

− s) liniowo niezale˙znych rozwi aza´

_,

n uk lad´ow jed- norodnych

R

s

∗ ~x

^(s)I

+ T

s

∗ ~x

^(s)II

= ~0

k lad ac kolejno za ~x

_, ^(s)_II

wersory ~e

1

, ~e

2

, . . . , ~e

n−s

∈ K

^n−s

. Oznaczaj ac

_,

T

s

= [~t

s+1

, ~t

s+2

, . . . , ~t

n

]

otrzymujemy

~z

_j^(s)

=

 ~u

j

~e

j−s



, gdzie R

s

∗ ~u

^(s)j

= −~t

^j

, s + 1 ≤ j ≤ n. Ostatecznie dostajemy

L(A

^(s)

,~b

^(s)

) = ~x

0

+ span(~z

_s+1^(s)

, . . . , ~z

^(s)_n

).

S a to r´ownie˙z wszystkie rozwi

_,

azania uk ladu wyj´sciowego, z dok ladno´sci

_,

a do

_,

odpowiedniej permutacji wsp´o lrz ednych.

_,

7.3. INTERPRETACJA MACIERZOWA ELIMINACJI 67

7.3 Interpretacja macierzowa eliminacji

Zobaczymy teraz jak proces eliminacji Gaussa wygl ada z punktu widzenia

_,

rachunku macierzy.

7.3.1 Analiza operacji elementarnych

Za l´o˙zmy najpierw, dla uproszczenia, ˙ze nie musimy wykonywa´c przestawie´ n ani wierszy ani kolumn uk ladu (tzn. w ka˙zdym kroku element k-ty na g l´ownej przek atnej jest niezerowy). Wtedy eliminacja w k-tym kroku odpowiada

_,

mno˙zeniu macierzy A

^(k−1)

z lewej strony przez macierz kwadratow a

_,

L

_k

:= I

_m

− ~l

k

∗ ~e

^Tk

=



 

 

 

 

 

 1

1 . ..

1

−l

k+1,k

. ..

.. . . ..

−l

m,k

1



 

 

 

 

 



∈ K

^m,m

,

gdzie ~ L

k

:= [0, . . . , 0, l

k+1,k

, . . . , l

m,k

]

^T

oraz

l

_i,k

:= a

^(k−1)_i,k

a

^(k−1)_k,k

, k + 1 ≤ i ≤ m. (7.2)

Dlatego

A

⁽¹⁾

= L

1

∗ A,

A

⁽²⁾

= L

2

∗ A

⁽¹⁾

= L

2

∗ L

¹

∗ A,

· · ·

A

^(s)

= L

_s

∗ A

^(s−1)

= · · · = L

s

∗ L

s−1

∗ · · · ∗ L

1

∗ A, a st ad A = (L

_, ⁻¹₁

∗ · · · ∗ L

⁻¹s

) ∗ A

^(s)

.

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze

L

⁻¹_i

= (I

m

− ~l

i

∗ ~e

^Ti

)

⁻¹

= (I

m

+ ~l

i

∗ ~e

^Ti

).

Rzeczywi´scie, wobec tego, ˙ze ~e

^T_i

∗ ~l

ⁱ

= 0 mamy bowiem

(I

m

− ~l

i

∗ ~e

^Ti

) ∗ (I

m

+ ~l

i

∗ ~e

^Ti

) = I

m

− ~l

i

∗ (~e

^Ti

∗ ~l

i

) ∗ ~e

^Ti

= I

m

. St ad

_,

L

⁻¹₁

∗ · · · ∗ L

⁻¹s

= (I

m

+ ~l

1

∗ ~e

^T1

) ∗ · · · ∗ (I

m

+ ~l

s

∗ ~e

^Ts

)

= I

m

+ ~l

1

∗ ~e

^T1

+ · · · + ~l

s

∗ ~e

^Ts

.

Oznaczaj ac ˆ

_,

L := L

⁻¹₁

∗ · · · ∗ L

⁻¹s

oraz ˆ R := A

^(s)

otrzymujemy ostatecznie rozk lad (faktoryzacj e) macierzy,

_,

A = ˆ L ∗ ˆ R, gdzie

L = ˆ

 L 0 H I



∈ K

^m,m

, R = ˆ

 R T 0 0



∈ K

^m,n

,

L ∈ TRIL

^s,s

jest kwadratow a macierz

_,

a tr´ojk

_,

atn

_,

a doln

_,

a z jedynkami na

_,

g l´ownej przek atnej oraz R

_,

∈ TRIU

^s,s

jest macierz a tr´ojk

_,

atn

_,

a g´orn

_,

a.

_,

Dodajmy jeszcze, ˙ze wsp´o lczynniki l

_i,k

macierzy ˆ L s a dla 1

_,

≤ k ≤ s, k < i ≤ m, zdefiniowane przez (7.2).

Rozpatrzmy teraz og´olny przypadek, gdy dokonujemy przestawie´ n wier- szy i/lub kolumn macierzy. Przypomnijmy, ˙ze przestawienie wierszy i-tego z j-tym jest r´ownowa˙zne pomno˙zeniu macierzy przez elementarn a macierz per-

_,

mutacji (transpozycj e) T

_, i,j

, natomiast pomno˙zenie macierzy z prawej strony przez T

i,j

jest r´ownowa˙zne przestawieniu kolumny i-tej z j-t a. Dlatego w

_,

obecno´sci przestawie´ n dostajemy

A

⁽¹⁾

= L

1

∗ T

^1,p1

∗ A ∗ T

^1,q1

,

A

⁽²⁾

= L

2

∗ T

2,p²

∗ A

⁽¹⁾

∗ T

2,q²

= L

2

∗ T

2,p²

∗ L

1

∗ T

1,p¹

∗ A ∗ T

1,q¹

∗ T

2,q²

· · ·

A

^(s)

= L

s

∗ T

s,ps

∗ · · · ∗ T

2,p2

∗ L

1

∗ T

1,p1

∗ A ∗ T

1,q1

∗ T

2,q2

∗ · · · ∗ T

s,qs

, przy czym zawsze i ≤ p

i

, j ≤ q

j

, 1 ≤ i, j ≤ s.

Zauwa˙zmy, ˙ze

T

2,p2

∗ L

1

∗ T

1,p1

= (T

2,p2

∗ L

1

∗ T

2,p2

) ∗ T

2,p2

∗ T

1,p1

.

7.3. INTERPRETACJA MACIERZOWA ELIMINACJI 69 Dalej

T

2,p2

∗ L

¹

∗ T

^2,p2

= T

2,p2

∗ (I

^m

− ~l

¹

∗ ~e

^T1

) ∗ T

^2,p2

= I

m

− (T

2,p2

∗ ~l

1

) ∗ (~e

^T1

∗ T

2,p2

)

= I

m

− ~l

1⁰

∗ ~e

^T1

=: L

⁽¹⁾₁

,

gdzie L

⁽¹⁾₁

r´o˙zni si e od L

_{, 1}

jedynie przestawieniem wyraz´ow 2-go i p

₂

-go w pierwszej kolumnie. Uog´olniaj ac to rozumowanie dostajemy

_,

L

s

∗ T

^s,ps

∗ · · · ∗ T

^2,p2

∗ L

¹

∗ T

^1,p1

= L

s

∗ T

^s,ps

∗ · · · ∗ L

²

∗ L

⁽¹⁾1

∗ T

^2,p2

∗ T

^1,p1

= L

_s

∗ T

s,ps

∗ · · · ∗ (T

3,p³

∗ L

2

∗ T

3,p³

) ∗ (T

3,p³

∗ L

⁽¹⁾1

∗ T

3,p³

)

∗T

3,p³

∗ T

2,p²

∗ T

1,p¹

= L

s

∗ T

s,ps

∗ · · · ∗ L

3

∗ L

⁽²⁾2

∗ L

⁽²⁾1

∗ T

3,p3

∗ T

2,p2

∗ T

1,p1

· · ·

= (L

^(s−1)_s

∗ L

^(s−1)s−1

∗ · · · ∗ L

^(s−1)3

∗ L

^(s−1)2

∗ L

^(s−1)1

) ∗ (T

s,ps

∗ · · · ∗ T

1,p1

).

Definiuj ac macierze permutacji

_,

Q

⁻¹

= Q

^T

:= T

1,q1

∗ · · · ∗ T

^s,qs

, P := T

s,ps

∗ · · · ∗ T

^1,p1

, otrzymujemy ostatecznie

A

^(s)

= L

^(s−1)_s

∗ · · · ∗ L

^(s−1)1

∗ P ∗ A ∗ Q

^T

= ˆ R, czyli po˙z adany rozk lad

_,

P ∗ A ∗ Q

^T

= ˆ L ∗ ˆ R, L = (L ˆ

^(s−1)₁

)

⁻¹

∗ · · · ∗ (L

^(s−1)s

)

⁻¹

, ˆ R = A

^(s)

.

7.3.2 Rozk lad tr´ ojk atno-tr´ _, ojk atny macierzy _,

Wynikiem naszej analizy jest nast epuj

_,

ace twierdzenie.

_,

Twierdzenie 7.4 (o rozk ladzie tr´ ojk atno-tr´

_,

ojk atnym macierzy)

_,

Dla dowolnej macierzy A ∈ K

^m,n

rz edu s istniej

_,

a (na og´

_,

o l niejednoznaczne)

macierze permutacji P ∈ K

^m,m

i Q ∈ K

^n,n

takie, ˙ze macierz ˆ A = P ∗ A ∗ Q

^T

ma jednoznaczny rozk lad tr´ ojk atno-tr´

_,

ojk atny

_,

A = ˆ ˆ L ∗ ˆ R, gdzie ˆ L ∈ K

^m,m

, ˆ R ∈ K

^m,n

, ˆl

i,i

= 1 ∀i,

L = ˆ

 L 0 H I



, R = ˆ

 R T 0 0

 , L ∈ TRIL

^s,s

, R ∈ TRIU

^s,s

.

Dow´ od. Istnienie rozk ladu udowodnili´smy przez konstrukcj e macierzy ˆ

_,

L i R (za pomoc ˆ a eliminacji Gaussa). Aby pokaza´c jednoznaczno´s´c, przedsta-

_,

wimy ˆ A w postaci blokowej,

A = ˆ

 A

1,1

A

1,2

A

2,1

A

2,2



, A

1,1

∈ K

^s,s

. Wtedy dla danego rozk ladu ˆ A = ˆ L ∗ ˆ R mamy

A

1,1

= L ∗ R, A

^1,2

= L ∗ T, A

^2,1

= H ∗ R, A

^2,2

= H ∗ T.

Gdyby istnia l inny rozk lad z macierzami L i H to mieliby´smy L ∗ R = L ∗ R, czyli

L

⁻¹

∗ L = R ∗ R

⁻¹

.

Po lewej stronie ostatniej r´owno´sci mamy macierz tr´ojk atn

_,

a doln

_,

a z jedyn-

_,

kami na przek atnej, a z prawej tr´ojk

_,

atn

_,

a g´orn

_,

a. To wymusza L

_, ⁻¹

∗ L = I

s

= R ∗ R

⁻¹

, czyli L = L i R = R. Jednoznaczno´s´c pozosta lych blok´ow w rozk ladzie wynika z r´owno´sci T = L

⁻¹

∗ A

^1,2

i H = A

2,1

∗ R

⁻¹

.

7.4 Eliminacja bez przestawie´ n

Podamy teraz warunek konieczny i dostateczny na to, aby istnia l rozk lad tr´ojk atno-tr´ojk

_,

atny oryginalnej macierzy A, a tym samym, aby eliminacja

_,

Gaussa by la wykonalna bez przestawie´ n wierszy i/lub kolumn.

Twierdzenie 7.5 Aby macierz A = (a

i,j

) ∈ K

^m,n

rz edu s mia la rozk lad

_,

tr´ ojk atno-tr´

_,

ojk atny bez przestawie´

_,

n wierszy i/lub kolumn potrzeba i wystar-

cza, ˙ze wszystkie macierze k atowe A

_, k

= (a

i,j

)

^k_i,j=1

∈ K

^k,k

dla k = 1, 2, . . . , s

s a nieosobliwe.

_,

7.4. ELIMINACJA BEZ PRZESTAWIE ´ N 71 Dow´ od. Je´sli macierz ma rozk lad A = ˆ L ∗ ˆ R to A

k

= ˆ L

k

∗ ˆ R

k

jest nieosobliwa dla 1 ≤ k ≤ s. Dow´od w drug a stron

_,

e podamy przez indukcj

_,

e po s. Dla

_,

s = 1 twierdzenie jest oczywiste, bo wtedy a

_1,1

6= 0 i eliminacja pierwszej kolumny jest wykonalna. Za l´o˙zmy, ˙ze twierdzenie jest prawdziwe dla s − 1.

Oznaczaj ac

_,

A

s

 A

s−1

~a

~c

^T

a

s,s

 ,

mamy z za lo˙zenia indukcyjnego, ˙ze istnieje rozk lad A

_s−1

= L

^(s−1)

∗ R

^(s−1)

dla pewnych nieosobliwych macierzy

L

^(s−1)

∈ TRIL

^s−1,s−1

oraz R

^(s−1)

∈ TRIU

^s−1,s−1

. Oznaczaj ac

_,

L

^(s)

=

 L

^(s−1)

~0

~g

^T

1



, R

^(s)

=

 R

^(s−1)

~0

~g

^T

1

 ,

i rozwi azuj

_,

ac r´ownanie A

_, ^(s)

= L

^(s)

∗ R

^(s)

otrzymujemy

~a = L

^(s−1)

∗~b,

~c

^T

= ~g

^T

∗ R

^(s−1)

(albo (R

^(s−1)

)

^T

∗ ~g = ~c), a

s,s

= ~g

^T

∗~b + r

s,s

,

sk ad kolejno wyliczamy ~b, ~g i r

_, s,s

. Rozk lad tr´ojk atno-tr´ojk

_,

atny macierzy

_,

k atowej A

_, ^(s)

w oczywisty spos´ob implikuje ju˙z rozk lad ca lej macierzy A.

Na koniec podamy wa˙zne klasy macierzy, dla kt´orych eliminacja Gaussa jest mo˙zliwa bez przestawie´ n wierszy i/lub kolumn. S a to macierze:

_,

(a) diagonalnie dominuj ace wierszami

_,

WDD

^n,n

= n

A = (a

i,j

) ∈ K

^n,n

: |a

i,i

| >

X

n i6=j=1

|a

i,j

|, 1 ≤ i ≤ n o .

(b) diagonalnie dominuj ace kolumnami

_,

KDD

^n,n

= {A ∈ K

^n,n

: A

^T

∈ WDD

^n,n

}.

(c) hermitowskie dodatnio okre´slone

HPD

^n,n

= {A ∈ K

^n,n

: A

^H

= A oraz ∀~x 6= ~0 ~x

^H

∗ A ∗ ~x > 0}.

(d) hermitowskie ujemnie okre´slone

HND

^n,n

= {A ∈ K

^n,n

: ( −A) ∈ HPD

^n,n

}.

Aby pokaza´c, ˙ze w tych przypadkach przestawienie wierszy/kulumn nie jest konieczne, wyka˙zemy, ˙ze spe lnione s a za lo˙zenia twierdzenia 7.5.

_,

W przypadku (a) zauwa˙zamy, ˙ze je´sli A ∈ WDD

^n,n

to A jest nieosobliwa, N (A) = {~0}. Je´sli bowiem A ∗ ~x = ~0 i ~x 6= ~0 to dla p takiego, ˙ze |x

p

| = k~xk

∞

mamy a

p,p

x

p

+ P

j6=p

a

p,j

x

j

= 0, a st ad

_,

|a

^p,p

| ≤ X

j6=p

|a

^p,j

|    

x

j

x

p

    ≤

X

j6=p

|a

^p,j

|,

co przeczy dominacji g l´ownej diagonali macierzy. Uzasadnienie uzupe lnia obserwacja, ˙ze je´sli A ∈ WDD

^n,n

to r´ownie˙z macierze k atowe A

_, k

∈ WDD

^k,k

, 1 ≤ k ≤ n.

Dla przypadku (b) wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze jes li A ∈ KDD

^n,n

to A

^T

∈ WDD

^n,n

, oraz wykorzysta´c fakt, ˙ze nieosobliwo´s´c A jest r´ownowa˙zna nieoso- bliwo´sci A

^T

.

W przypadku (c) (i zupe lnie podobnie w (d)) zauwa˙zamy, ˙ze ka˙zda ma- cierz A ∈ HPD

^n,n

jest nieosobliwa. Je´sli bowiem ~x 6= ~0 i A ∗ ~x = ~0 to

~x

^H

∗ A ∗ ~x = 0. Ponadto, wszystkie macierze k atowe A

_, k

∈ HPD

^k,k

, bo dla dowolnego niezerowego ~y ∈ K

^k

mamy

~y

^H

∗ A

k

∗ ~y =  ~y

~0



H

∗ A ∗  ~y

~0



> 0.