1. Niech 0 ≤ k ≤ n. Niech A b edzie zbiorem macierzy hermitowskich rozmiaru n , × n, kt´orych rz ad wynosi dok ladnie k. ,

(1)

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 2

Egzamin (drugi termin) 15-09-2006

Uwaga: ka˙zdy podpunkt ma warto´s´c 10 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

1. Niech 0 ≤ k ≤ n. Niech A b edzie zbiorem macierzy hermitowskich rozmiaru n , × n, kt´orych rz ad wynosi dok ladnie k. _,

(a) Wyka˙z, ˙ze relacja przystawania jest w zbiorze A relacj a r´ownowa˙zno´sci. ,

(b) Ile jest klas abstrakcji relacji przystawania w zbiorze A?

2. Niech V n b edzie przestrzeni _, a rzeczywistych wielomian´ow parzystych stopnia co najwy- _,

˙zej 2n. Niech ϕ : V n × V n → IR b edzie form _, a dwuliniow _, a postaci _, ϕ(u, v) = u(0)v(0) +

Z 1

−1 u

⁰⁰

(x)v

⁰⁰

(x) dx.

(c) Wyka˙z, ˙ze ϕ jest iloczynem skalarnym w V n .

(d) Stosuj ac ortogonalizacj _, e Grama-Schmidta znajd´z dowoln _, a baz _, e ortonormaln _, a prze- _, strzeni V 2 .

3. Niech V n b edzie przestrzeni _, a funkcji ci _, ag lych f : [0, n + 1] _, → IR takich, ˙ze f(0) = 0 = f (n + 1) oraz f jest wielomianem liniowym na ka˙zdym z podprzedzia l´ow [j, j + 1], 0 ≤ j ≤ n. Niech (f, g) = ^R 0 ⁿ⁺¹ f (t)g(t)dt b edzie iloczynem skalarnym w V _, n .

(e) Wyka˙z, ˙ze funkcje f i , 1 ≤ i ≤ n, spe lniaj ace warunek f , i (j) = 0 dla j 6= i oraz f i (i) = 1 s a jednoznacznie wyznaczone i tworz _, a baz _, e V _, n .

(f) Dla n = 4 znajd´z macierz rzutu ortogonalnego w bazie {f ⁱ } na podprzestrze´n rozpi et _, a przez f _, 2 i f 3 .

4. (g) Niech A ∈ IK ^n,n . Wyka˙z, ˙ze je´sli det A 6= 0 to dla ka˙zdej macierzy B ∈ IK ^n,n ma- cierze AB i BA s a podobne. Czy za lo˙zenie o nieosobliwo´sci A jest istotne? Uzasadnij. _, 5. Niech

A =

"

4 9

−1 −2

#

.

(h) Znajd´z posta´c Jordana macierzy A.

(i) Oblicz A ¹²³ .

6. (k) Niech ϕ : V → IR b edzie dan _, a form _, a kwadratow _, a. Wyka˙z, ˙ze ϕ jest okre´slona _,

wtedy i tylko wtedy gdy zbi´or {x ∈ V : ϕ(x) = 0} jest podprzestrzeni a liniow , a w V . _,

Wskazówka: mo˙zna wykorzystać ogólne twierdzenie Sylwestra.

1. Niech 0 ≤ k ≤ n. Niech A b edzie zbiorem macierzy hermitowskich rozmiaru n , × n, kt´orych rz ad wynosi dok ladnie k. ,

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 2

Egzamin (drugi termin) 15-09-2006

Uwaga: ka˙zdy podpunkt ma warto´s´c 10 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

1. Niech 0 ≤ k ≤ n. Niech A b edzie zbiorem macierzy hermitowskich rozmiaru n , × n, kt´orych rz ad wynosi dok ladnie k. ,

(a) Wyka˙z, ˙ze relacja przystawania jest w zbiorze A relacj a r´ownowa˙zno´sci. ,

(b) Ile jest klas abstrakcji relacji przystawania w zbiorze A?

2. Niech V n b edzie przestrzeni , a rzeczywistych wielomian´ow parzystych stopnia co najwy- ,

˙zej 2n. Niech ϕ : V n × V n → IR b edzie form , a dwuliniow , a postaci , ϕ(u, v) = u(0)v(0) +

Z 1

−1 u

(x)v

(x) dx.

(c) Wyka˙z, ˙ze ϕ jest iloczynem skalarnym w V n .

(d) Stosuj ac ortogonalizacj , e Grama-Schmidta znajd´z dowoln , a baz , e ortonormaln , a prze- , strzeni V 2 .

3. Niech V n b edzie przestrzeni , a funkcji ci , ag lych f : [0, n + 1] , → IR takich, ˙ze f(0) = 0 = f (n + 1) oraz f jest wielomianem liniowym na ka˙zdym z podprzedzia l´ow [j, j + 1], 0 ≤ j ≤ n. Niech (f, g) = R 0 n+1 f (t)g(t)dt b edzie iloczynem skalarnym w V , n .

(e) Wyka˙z, ˙ze funkcje f i , 1 ≤ i ≤ n, spe lniaj ace warunek f , i (j) = 0 dla j 6= i oraz f i (i) = 1 s a jednoznacznie wyznaczone i tworz , a baz , e V , n .

(f) Dla n = 4 znajd´z macierz rzutu ortogonalnego w bazie {f i } na podprzestrze´n rozpi et , a przez f , 2 i f 3 .

4. (g) Niech A ∈ IK n,n . Wyka˙z, ˙ze je´sli det A 6= 0 to dla ka˙zdej macierzy B ∈ IK n,n ma- cierze AB i BA s a podobne. Czy za lo˙zenie o nieosobliwo´sci A jest istotne? Uzasadnij. , 5. Niech

A =

"

4 9

−1 −2

#

.

(h) Znajd´z posta´c Jordana macierzy A.

(i) Oblicz A 123 .

6. (k) Niech ϕ : V → IR b edzie dan , a form , a kwadratow , a. Wyka˙z, ˙ze ϕ jest okre´slona ,

wtedy i tylko wtedy gdy zbi´or {x ∈ V : ϕ(x) = 0} jest podprzestrzeni a liniow , a w V . ,

Wskazówka: mo˙zna wykorzystać ogólne twierdzenie Sylwestra.

1. Niech 0 ≤ k ≤ n. Niech A b edzie zbiorem macierzy hermitowskich rozmiaru n , × n, kt´orych rz ad wynosi dok ladnie k. _,

2. Niech V n b edzie przestrzeni _, a rzeczywistych wielomian´ow parzystych stopnia co najwy- _,

˙zej 2n. Niech ϕ : V n × V n → IR b edzie form _, a dwuliniow _, a postaci _, ϕ(u, v) = u(0)v(0) +

(d) Stosuj ac ortogonalizacj _, e Grama-Schmidta znajd´z dowoln _, a baz _, e ortonormaln _, a prze- _, strzeni V 2 .

3. Niech V n b edzie przestrzeni _, a funkcji ci _, ag lych f : [0, n + 1] _, → IR takich, ˙ze f(0) = 0 = f (n + 1) oraz f jest wielomianem liniowym na ka˙zdym z podprzedzia l´ow [j, j + 1], 0 ≤ j ≤ n. Niech (f, g) = ^R 0 ⁿ⁺¹ f (t)g(t)dt b edzie iloczynem skalarnym w V _, n .

(e) Wyka˙z, ˙ze funkcje f i , 1 ≤ i ≤ n, spe lniaj ace warunek f , i (j) = 0 dla j 6= i oraz f i (i) = 1 s a jednoznacznie wyznaczone i tworz _, a baz _, e V _, n .

(f) Dla n = 4 znajd´z macierz rzutu ortogonalnego w bazie {f ⁱ } na podprzestrze´n rozpi et _, a przez f _, 2 i f 3 .

4. (g) Niech A ∈ IK ^n,n . Wyka˙z, ˙ze je´sli det A 6= 0 to dla ka˙zdej macierzy B ∈ IK ^n,n ma- cierze AB i BA s a podobne. Czy za lo˙zenie o nieosobliwo´sci A jest istotne? Uzasadnij. _, 5. Niech

(i) Oblicz A ¹²³ .

6. (k) Niech ϕ : V → IR b edzie dan _, a form _, a kwadratow _, a. Wyka˙z, ˙ze ϕ jest okre´slona _,

wtedy i tylko wtedy gdy zbi´or {x ∈ V : ϕ(x) = 0} jest podprzestrzeni a liniow , a w V . _,