MOUVEME TS ONDULATOIRES DE LA MER

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N° 13.

MOUVEME TS ONDULATOIRES DE LA MER

E PROFO DEUR

CONSTANTE OU DÉCROISSANTE.

FORME Lli\lITE DE LA HOULE LORS DE 80 DÉFERLEME T.

APPLICATION AUX DIG E fARlTll\lE . (Suite.) par M. M1cHE,

Directeur technique des Entreprises de grand.s Travaux hydrauliques, Docteur ès Sciences.

DEUXIÈME PARTIE. ( S1tite et fin. )

MOUVEME T DUL TOIRE PÉill DIQUE E PROFO DEUR RÉG Ll.ÈREME T DÉ R01S A TE.

III. - Recherche systématique des solutions de mouvements ondulatoires périodiques en profondeur régulièrement décroissante.

1° DÉTERmNATro DE t.A FONCTI N m~sor,v TE IT(x₀,y_{0 ,} t) À sr GULA.l\lTÉ LOG RlTlll\llQ E À L'OnlGl1 E.

Les recherches précédente ne permettent pas de résoudr le problème de la houle en profondeur d 'croissante, car la méthod d s imag s conduit obligatoire- ment à uo clapotis. Pour envi ag r le probl me sous un angle plus gén 'ral ( t), on introduira les variables imaginaires :

(129) z =-y0

+

+

dont les points représentatifs Met M', en adoptant la direction - y₀ comme ax réel, sont symétriques par rapport à la Ugne de fond ( fig. g).

On voit aisément que la partie réelle de toute expr ssion :

(13 ) G= J(-) +J(z'),

obligatoirement harmonique quand/(.,) esl analytique r pr 's nte un fooction

( 1) Nou~ donnon ici uniquemcnL <les résultats. Pour de plu ampl développements onsult r l'article à paro.flre: Mouvements ondulatoires en profondeur réaulièremenl décroisso.nlc ou \¹0.rio.ble ( Joµrnal de mathématiques pures et applu,uées ).

,

~rOUVEMENTS ONDULATOIRES DE LA MER. 271

résolvante satisfaisant à la condition limite sur le fond. Oo peut d'ailleurs s'arran- ger pour que l'expression ( 130) soit réelle.

Il faut alor déterminer f( z) de façon que la pression soit constante en surface et que le mouvement tende vers 1es valeurs périodiques fi ies à grande distance de l'origine.

La recherche systématique de telles fonctions conduit au - résultats suivants : Si l'angle du food a peut être considéré comme infiniment petit, il existe, quelle quç soit sa valecir, deux solutions au prob)ème cherché; une bornée à l'origine et identique h la solution asymptotique déja trouvée g', l'autre présentant une singularilé logarithmique à l'origine t que nous allons retrouver ci-dessous ( fonc- tion h').

i a es.t l'un des ·angles K+,r , K et m entiers, il a'y 'a pas de solution régu-

2m 1 •

lière à l'origine.

Si a= .2:.. est un diviseur entier de l angle droit, il existe, tout d'abord, la pre-

:rnt

mière solution de clapotis déjlt étudiée G(x0, y_{0 ,} t), réguli re à l'ori!rine, pour laquelle f ( ) prend la forme

in bt m .

f1(z)=-a- ~ Bne""••-•

où

et, de plus, une infinité d autr sous forme de pol ·nomes des quantité {.,) ou

( 1/ ) ,

. Sin bt m

{132)

f

+-a- I

n=•

7rK (x)

= [e-TT

• 0

étFoitement apparentée à la fonction logarithme intégral.

La Jonction résolvante correspondante :

Il(Xo,Yo• t) J~(z)+ f2{z')= 2 i:bt h(:vo,Yo) ( _] 33) _{= 29° -}

in

I oo

_{- ,- c}

I

n+I [zas+y+Co-a.-aCosaXbp]Cosn(a-^{12 )}

,ra n. o 11a fJ

0 \

-(a-(3) Sinn (a-(3)1

est une série convergente quels que soient l'argument (3 et 1 module s du point considéré dan Je coin liquide et qui tend, à l'origine, vers l'infini, comme le loga- rithme de ce module. Les cl rivées d'ordre de Lte crie, prises par rapport à s, tendent, à l'origine, ver l'infini comme s-N; en particulier les déplacements et les vitesses tendent vers l'infini comme l'inverse de la distance du point considéré à la rive.

272 HÉMOIRBS ET DOCUIIE TS.

Les constantes nouvelles entrant clans l'expression ( 133) de H ( Xo•Yo• t) onl comme valeurs

R

a,.=

I ~,

q=• .

C0

=

où p = n - ² lm, l étant entier ou nul et o<p~m.

Jl ré ulte de la formule (132), à grande distance de l'origine (en eau profonde), la valeur suivante de la résolvante :

'

( } IV 2 in bt . [ ( )

r.]

H x_{0 ,} y O, t

= - -

+

Elle correspond à, un mouvement de clapotis en projondeiir indéfinie, de longueur 2L = ' ^2a1r et fl:mplitade Mi, mais do11l les crdtes et les creux sont décalés d'an quart d'onde par rapport ù ceœt: donnés par la première résol ante G,.formule (100).

O RernÉ E~TATfOXS ASYlJPTOTIQUE , POOR DES FOND PEU INCLt~É DE LA Fo~ CTIO ~ nÉ 01.Hi\TB \ Sb G 1. JUTÉ LOGARITIIMIQ E A MOYEN DE FO 'CTIO~ DE BE ^{El. DE}

~ . ' 2 E PECE.

i s ^11· t pa Lrop grand, on p ul . ontrnt r pour J calcul d h(x₀,y₀) ou d d~rivé,· d'uu nolllhre rrslr inl d I rm cl la 'ri ( L33). En pr oanl a. a .. ^l p Lit, c· t-11-dirc 111 a Sl'l grand, le 110111hr' 11 d t rm con rv' p ut c'tr choisi plu petit que~, n p ut alors r mpla cr I A,. par l val ur.

2

(106),Co ^napar1 l i1111a.par11cx;cl plu.,(a-/3) inn(a.-,S) proportionn 1

' ., t ^'...1· 11

a ncx- e n 511 y a ) r.

On appellern I,' (. ·_{0 ,} y0 ) fa Mfoar asymptrJtique de h(.r0 Jo) pour a. asst': prlif,

obte,wr en introdC1isa11l dans ln serie ( 13:\) l,•s 1•af,•1ir.ç npp1·oc:M,•s des di1•rrs1•s

~·onsla11fes et e11 rélnblis.rnnl la sommation j1m111't1 l'itifini lt•s t11rmc.ç au-delà de celui

de m119; étant 11égli9eal,les:

, · g° ~

(-n. )

(ns)

1, (a;o J'o) = .; ~ ^{- a.-} n.n! ~ Z -;

+

i

• 0

= 29° _1r

1 [

~

0

!

Y,,(x)

=;

^{+r ]- (;)-p} I

(~)2

n=o

00 ( )" (ID)'21l

- ( ;)p I -

⁺

o 1rn ,1 ( n

+

est la fonction de Bessel d'ordre pet de deu:xième espèce, série c nvergente quel que . oil x, mais tendant vers l'infini comme .-r;- P à l'origine. La première formule ( 136) est identique à lafo,·male (107), si l'on remplace la résolvante g par la résolvante h

MOUVE fENTS ONDULATOIBES DE LA MER, ' 273 et la jonction de Bessel de première espèce 1₀ par celle de detL'Xième espèce Y _{0 .} Cette similitiide s'étend aux di erses dérivées partielfes de h( Xo, y0 } prises par rapport à ^.i;₀ ety_{0 .} ¹n po ant, comme pr'c'demmC'nt:

/

;;,; • / 1TS

o- = \ -;_ = v

les indices 7' et q indiquant le nombre de d 'rivalion par rapport à ^.1;0 et y O oo en déduit :

h~,,=(-1)P+9/sgo(;.)p+7yp+<,(20-), q pair ou nul,

9+1

1i;,,,=(-1( +-~ g⁰a

c:)p+<1-

Les foncti n de deuxième espèc ati font, c mme celle de première esp ce, aux relation ( 12 7 ).

En cons' quence :

a. L clapoti asymptotiqu h' répondent à la condition limite sur le fond incliné, à de terme en a.⁵ pr' .

b. Le calcul d fonctions Y ou J nécessite uniquem nt la connaissance des va- leur numériqnes de Y₀ et Y1 ou J₀ et J1 , les autre f n tion s'en déduisant par de for mu les de ^1· 'curreoce. Ces tabl s de valeur exi tent; néanmoins, pour notre but, il e t plus simple de rempla er le fon ion de deuxi me espèce par leurs développements asymptotiques, valable pour 20- d 'passant une c rtaioe limite.

En se bornant au premier terme :

Yn { o-)

~ V

^{cr - n; - 7i) ,}

d'où les valeurs appr c'hé cl• lt~9 :

q pair oit nul :

lt _P'I = 9°

(~)p+'7 ·

_V /

(138) q impair :

1t;.,= - ^rJ°a

+

2 fi

• ( 7r

r.)

uP-f-<7 ¹¹¹ 2a+p;-- 7;

, = -

r (

:, l!Zu)1¹+,,-^{1/ •}

Lesfomwfes ( L37) et ( t38) ont une si91tijicntion quel que soit a. ( asse4' petit).

3⁰ ROl'l\lB'i'E ^{1 1} COMPAl\EES DES CLAP TIS DE RE ^{1 1} LVA 'l'E 9 E'l' tl. ¹

L fonnul (t38)scd'dui ntde ~rm11L àlaré-

olvant g pal' le ul r mpla m nt des fon li n uit que dans les régi n lt lulion a ymptoti II nt applicabl , le crèt t les n·ux. du clap li de r' olvant h ·ont d ca.l: d'un quart tl nd par rapport à

J. 05. -- l\Iai-Juin lOM.

274 MÉMOIRES ET DOCUMENTS.

ceux. du clapoti g. il en était déjà de même à grande distance de l'origine ( for- mules 100 et 135). Cette propri'té ap araîtcomme gén'r.ùe :

Les ventrés d'un des mouuements se tro1went approximativement aux nœuds de l'autre et vice-versa.

A cette d~!Jérence essentielle près et abstraction Jaite de l'allu.re des mouvements, sur la riue, la similitude des formules poùr les solutions h et g permet d'étendre à la nouuelle soltition h toutes les propriétés de la solution g. Elles cooc raeat, par ex m- ple, la variati n de la longueur, de l'amplitude et de la cambrure lorsqu on se rapproche de la rive· dao le mêm s conditions, la diminution d environ f>o p. ¹ oo de l énergie; la subdivi ion du coin liquide en quatre zones bien déterminées, etc ...

Le nodales de las lutiou h ( .i:0 y0) abouti anl sensiblement aux crêtes et aux creux de la surface libre, cet-à-du· aux n ud de la solution g (.-J;₀,y_{0 )}, forment un système de courbes intercalé dan c lui de etle dernièr solution; à cette di[é- rence prè , ces nodale ont aoalo¹¹u au,· pr 'cédentes.

La premi' re demi-ondulati n d rive du clapotis h n'est pas réalisable, puis- qu'elle comporte des mouv •men non borné i1 l'origine. Il est donc nécessaire de limiter le mou emeot ver la ri en ap.optant une des surfaces nodales comm paroi limite qui permettra Ja r 'flexion de houles d cambrure notable, même sui·

fond peu incliné.

IV. - Le mouvement et l'extinction de la houle sur des fonds de profondeur régulièrement décroissante.

La combinaison de deux olutions de clapotis décalés 'd'un quart d'onde per- met de déterminer une onde progr ssive simple. Boussine q a déjà utilis' ce pro- cédé dans son II Essai sur la tliéorie des eaux courantes , pour des profils liquid de profondeur constante.

Soit ( 139)

1° DÉTERMI A.TI N DEL F C"l'IQN RÉSOLVA, TE,

Cos bt in bt

~ = -_a 9(:vo, Yo)

+ -

(100) y(x0,y0) N-e--aYQCo

[a: v

(135) donc,

elon l'ex.pression (29), ceci r présente la r' olvanl d'une onde progressive simple en profondeur illimitée, de I ngueur 2 t amplilud 2'1. se dirigeant soit vers l'origine (signe supérieur), soit à !opposé (signe infërieur).

MOUVEI\IE TS ONDULATOIRES DE LA IEB. 275

d . V b L fg[,

La vite se e propagation correspon· ante ==f=-==f=l"'₁,=+\ /i!.::: est con-

<t V ^,r

stante.

Pour l'étude plus près.de la rive, nous nous bornerons au cas courant 11~ 20"

Dans c s conditions, on peut au si subdiviser la tranche liquide en qualre zones à partir de la riv , l'eau très peu profonde, peu prof onde, assez profonde et profonde.

séparées par trois plan verticaux parall les à la ri e passa t aux points de pro-

mx1L L r d ^l'. d '

fondeur-₄- , ; t L. En eau tr s peu pro1on e et p u pro,on e, on pourra repr - s o ter l'ood progressive par I ol ut ions a ym ptotiq u trou ées pl us haut.

Ei eau pelL profonde n parliculi r, pour Tl'< ~.

,r

( l I l ) ₉ ⁽ _{.ru, Yn} ⁾ _. ^{1 ,, 1 , (}

r.)

-fi = \/'Hm O 20--4 '

( t 38) donc,

et, g néralem nL : •

\ 2 («u)r+9+^{1/• 2 1}

1

± (

+

r)J ,

ue;,, = -

[bt±

\/ 2 («a)r+q-1/1 - "

al 'Lli", <l':ipr" 1 r ^{rmul ( ) :}

( )

' ,v /1(1-J) [ (

,r)]

] - )'u = ^{1ê1eo.1 = - ;;;;} .os bt± 20--7.

t Je vites es :

dx ~Je, ₀ l,b Cos [ bt ::1:: ( 20-

-Ti) J

u = - = h - -· '._

+ - ---- _ - _ - - - ,

clt ~L - (au) \/ 2ac;

V= - =<9' ,~êfea.uvI - - l,b----,--(1- J) lll .

[i

±(

,r)J

dL è)L = . \/~«O' . /1

En eau très pe1t pl'cifomle, 1 lormul a ym1 lotique devraient tre exprim s au moyen des fon tion d B el J t Y (r ol ant èle'). 'anmoins, omm il y a défi rlem nt, pui que I mouvcm nt n' t pa born · à l'origine, son 'tnd ne p ut être poursuivie utilem nt de cett faç n.

18 .

276 ^IF. fOIB'ES ET D0Ct rnNTS.

' o LE ::\lO \ EMEN'f DE RF: OLY , TE ;J S \TISr.\lT UIX " C NDITIO:s REQ I B

ro li l"'Œ Il (.l.f: , E l'ROP.\f.E.\NT 011 F ND 1 'CLI ·1: •.

•

1" ;re L harmonj u cl ^.i;0 t y_{0 ;} don Je n In m ut ati fait, au l rcmi r rdr d'appro.-imali n, all · troi quation d l'h dr d 1arnique. Comm , l 11l mouvement du pr•micr ordr ao ourant , ntraio m nl d parli ulcs il t irrotati on l;

2° 111

~a t 'ri tiqu

à ₂ T _=1,^!2'!1' _·

0

d'où

uv m nt t périodiqu par rapport au ternp ; aulT ment dit o un p int d 'termin' reprodui nl à int rvall s d t mp

re;

es ca- 'gaux

en ontact ave le fond s' !'f ln parall le- pour

n I a d~jà 'rifi ·

tt ~ uati n,

donne la vites e de propagation des ondulations.

A la ]imile de l'eau assez profonde ver la riv pour une prof odeur H' = as

=!:',

r.

minue n uil · comme la racine arrée clc ], di tau e à J'oriofoe. Ce résultats, a- labl pour la olulioo ~", sont appro h' ; ll réa.lil ', la vitess de propac,aLinn

mme c à cliff'r r en ibJeme t de sa limite V à parlir d l' au a s z profonrl •.

La vile e cl propa•ration V' esl indépendant d J'amplilud cl la boui du larg, pou1· 1 mou, m nl au premier degré <l appro.·irnalion.

6° Le mouv m nt tend vers elui de Ja houl 'n prof ndcur illimil 'e 1 r qu'on

"loigue incl 'fioimeot de l'origine. Ou l'a éririé ci-d u , formule ( t/i o).

3° PnOPlllÉTÉ r.i Éli LES DE r,A Il lll.F. Slil\ FO, D INCLI É.

a. Trajectoires des particules :

En eau profonde, n sail que c . lr:ijr loir s 11L circulaires l cl diam tr • 2'1.

,

-

'1uatioo d'uu orbite ellit!liqHe

1

de 9ro11d a ,·e lwri 011/rtl : 21'= 2',

(l.(I ,12«a

( 1 /1 )

i

I ')./,', - J)

21' =

\ ^ll«a

2r~ 2r', 'ill' ( CtO"} ::S::: L •

Plu on e rappro ·hc de la ri,c ou du Ji od, plu l orbil aplatil1 car :';. = ' ( ¹ -8)( au} diminue c mme ]a racin carrée de s t comru ( 1 -J') pour s'anoul r sur le food (J'= 1). En réalit; l'aplati emeat d orbite commenc à fafr olir n au a s z pro fi nd t le axe o ool pas e ·ackm nt le dimen- sion (145),mai tndnlsculcmcnl r lie lorqu'ons rappr h del'au lrè p u profi ode. De pl us, 1 · grau cl a'\e d s llipse n' , t pa, slri lem nt hori- zon Lai; n exprimant l d :plac m nl p,u· J deux. premiers l rme de dé elop- P mcnls asymptoliqucs <les fonl'liou d Be sel, ou lrouv rail, n eau peu pro- fonde, que le grand a.ve cles ellipses fait avec l'hori:.o1tlale un angle croissant dei en slLlfarc à a ur lt> Jontl.

1. En ea11 pe11 prc:Ji111clt', la si111ifit11dc d•s e.xpr('ssicrns 1122} cfo clapotis el (1 1~2}

de la houle permet d't!1w11rer plu ieurs propriétés a11alog11t• . \in i : les composantes de la vitesse d'une parlic11lc déterminée sont ma.t·ima Olt minima lorsque l'une ou l'autre des composantes du clépla ement snut nulles. Par .- mpl , la ompo ante horizontal d la ile' LJroporli nn lie ^il ;,e,,o. el] era maximum ou mini-

• <lt '

<)ltfe

mum pour

7°

a11l par rapport au.· lraj loir , op ul dir au i : la ,it' e t horizontal

•t maximum aux point hauls •L ba ; elle L crlicalc L minimum aux points alîgn 'Ur l ⁰raud a. horizonlal d la lrajl' ·Loir··

. Le1s crt¹l,•s et les creu. · d Ja surfac libr , ou plu g ~n 'rai meol l I oinls hauts l ba <l •. urfa 1' 0 = on l.111l .onl d nu'- par l • val LU'S xlrêm · d'

<)¹t1e

(y-y0),c l-a-dir pour - - =;/ _{1, 1}= o. En eau pu profond, :re;,1= 0 t

.ro. 'o

'quivahllà iu

[tJt±(

ont null •s le long d arcs c.lécrîl de l'origiue omruc ·•11L1· l ahouli ·anl en surface, à l'absci e d'une crêle ou d uu creux.

27 MÉMOIRES ET DOCUMENT •

d. A toute valeur u, cest-à-dire i1 Loule aJm:i e xu, ·orre pond, à un momenl donné, une crête ou un creux. La demi-amplitude de J'o11dulation orre p ndante

aut, d'après la deuxième formule ( 142) :

(146)- ^{_ l_, '}

2«0'

quantité lentement décrois anL ju qu'h ~ 1 r qu . ·₀ augm nle jt1squ'll la Jimil

li

de l'eau peu profonde ver le large. En réaliLé, c lle limite infé1·ieure d l'ampli- Lude n' t pas atteioL . a variation Jfecti e à partir du large, cal ulée plu I in L

plu xaclement pal' la méthode énergétique, e t emblal>l à celle trouvée pour 1 clapoti (voir fia-ure 17). '- la limite de l'eau profi nd , la demi-amplitude h décroit lentement d'environ g p. 100 pour croître., n uil , s Ion la loi appr xi- mativ (146). Lamplitude r h·ouve a aleur du large pour:

, ^h L

- -=li, ilcxu=

1 i2

elle croit en uil cl plu en plu wr la riv •. On qualifiera d'isométrique l'air istc proche de la zone Lr'- p u pmfond corT ^>. pondant 11 la pro fi od u r lli;

e. Dans la :;;One 7,eu profonde, la lo119ttetll' 2L' de l'ondulation dont la n;fe ,•si au point x_{0 ,} doon' par J"quation (123), d' roit à parlir d a al ur xlr m•

.2L comme Ja ra in arrée de la di tance à la rive. En réalité, la longueur d'ond · 2L' cl' croît que1qu p u à partir de la zone assez profond . Au poillt isom.étriquc (dontl'absci se a 'l' d~fini i-de us), ia Joogu ur a décru d moitié l 1a houle rait d ux foi plu cambré qu'au large selon ce alcul approcb ffe Lué au moy n de la ré ol ante f1e^0• 11 r' ulle d ·elle dimioulioo proa-ressi e d' 1 ngueur un v r ant, côLé terre, de James plu iocJiné qu l'uutre et cette asym 'trie s'accroft :vers la rive ( 1 ).

4° Noo LES MOlllLt::S DE LA JI uu;.

A part la ligne d fond, la b ulc n mp rl pa. de lign · d ouraul iud~i> ^11- dantes du temps. Néanmoins, on peut distiogu rd• ligne de couraul jouant un

( 1) Il l inléres anl de rcch •rch r l'inOucn c de elle a yin \trie ur 1 1nm pr \s nlant un point de rebrou ement. 11 y o. rcbrous eruenl lor c1uc l s deux ~qunlion da;= dy = o ont alis- J'aites en urface, a; el y ayant Jes valeurs générale (8), 11ulr•ment ùiL, plur ~.~. = ¹ +h::Jet~o=O,

u aLions déterminant l'ab·ci se x0 et 1o temps t corr pondnnlq. Ln tangente des deux brancb · · abouti anl au point de rebroussement fnil avec l'axe x0 , un an1rlo O d,,nn \ par

TgO= ae!~I: :1e;o.

En eau peu profonde, on trouve, en utili ant la forme de la solution exprimée par l foncli n~

' 'JI'

J • .B · sel, Tg O =env.~• A la limilo de l'eau a cz profonde, ^r,.<T = ^1, d'où O = env. - - 'oi

2 2

cl, à la limite de l'eau très peu profond , <T= 'll'/2, d'où O 1,2~ a. L ré ullo.ls . rai•nl identiques pour les clapotis do résolvanlo y ou /t. Une lame s'approchant du ri"agc, o.ul' i ell · L exlrèmcmcnl plate, auquel cas clic esl réO ··chic r6gulièremont, finit par pr' enlcr un point de rebroussement, puisque sa cambrure roll con lammenl. En con équ ne , suivanl quo la po ilion de cc point est plu ou moin \loignée ,de la rive, la langentc au point de rcbrou cm nl, d'abord en iblemeot verLicaJc, lcnd do plu en plus ù c ou cher 'n direction do la l rr' (Gg. 15) On est fort tenté do lier ce pùénomèno à l'apparilion do rouleaux do déf rlomont. On verra néanmoins, plus Join, que lo déferlement se produi L avant lo rebroussement cl débute par l'apparition d'un point anguleux dont l'axe do symétrie paraît n'être quo faiblement incliné côlé terre.

MOUVEMENTS ONDOLATOIBES DE LA MER. 279

rôle analogue à celui des nodales du clapotis et définie par l'équation déduite de la relation générale ( 2 1) :

..fr "il:Fe,._1 _ b Sin bt b Cos bt 1. _

- = - -_{li <IL} - - - -_a 91-1_, -r - -_{, - a} l 1 - 1 -_• o.

a. Ces nodales_comprennent la ligne de fond.

b. A chaque instant, les autres branch s des nodales coupent la ligne de fond nor- malement aux points de vitesse nulle ( œuds du mouvement sur le fond).

La différeoti Il total de l'équalioo (1 ~7) est éviclemm nl nulle:

-aéfe,._, dx

+

l è)L

L s''crit au si:

~r - è)êfeo., • è)if \.o ^Il

--- - . - = ¹

tl.c è)t • L 11

car, Ue_{0 ,_1} étant fin li n h,U'rn nique d ^.i; Ly, ;1e_{2 ,_1} = -<fe0 , 1• ur le food, le o fllcicnt angulair de la otu-be '1, = o aul donc-, soil

Tga . ,

Il

si u = v = o. Cette courbe représente donc, tout d al,ord, la ligne de fond elle-même; quant au.-c autres branches de nodales ayant un pain commim auec le fond, elles ne peuvent aboutir qri'au._-c nœuds dti mouvement, poiir le quels u = v = o. En ce point , c s branche oup nl n rmal meol la lig e de~ nd; on Je verrait en 'galanl à z 'ro la s conde dilPr nli lie tolal de l'équaLioo ( 14 7 ) .

. Les nodales se déplacent de façon continue à la vitesse de propagtltion (variable) de la /ioule et occupent successi ement, à chaque quart de période, les positions des nodales fixes des clapotis de résoluantc 9 et h, dont ⁰¹¹ sait quelles constituent deu.x s,rstèmes de courbés inter alées.

Les 11œuds sur le fond se déplacent à la m~me ¹itesse.

En swface, les nodales aboutissent sensiblement aiu; nœuds de la surf ace libre, c' l-à-<lire au? poinls m hile situ' au ni ·m d r po ( fiaur ).

En effet, d'après l'équatiou (147), le nodale ont r pr' cnlé uccc iv~m nt par le équations des nodales fixes de deux g or de clapotis, oit 9i.-i = ^{o et}

•\ \

' _' \

Nœuds I P,Oints de)\

mobiles\rtlesse nulle;_

---

1 1

1 ~

- - -~_Nodales mobiles

, aela houle

I I

---

Fig. ¹ 5. - Nod..il • mobile de ln boule.

Forme (théorique) de ln crêlo avec point de rcbrou emenl, ,,

I