Metody quasi-monte Carlo

(1)

Metody quasi-Monte Carlo

Michał Balcerek

Wstęp do matematyki finansów

5.12.2018

(2)

Notacja

Dla D = [0, 1)^d, niech ~x = [x₁, . . . , x_d]^T ∈ D niech h~0, ~x_df

= [0, x₁) × . . . × [0, x_d)

oznacza d wymiarowy prostokąt w D, „zakotwiczony” w ~0.

Zakładamy też, żeh

~0,~0

= ∅.

Celem jest przybliżenie całki I_d =

Z

D

f (~x )d~x poprzez

1 n

n

X

j =1

f (~tj) dla konkretnie wybranych liczb ~t1, . . . , ~tn.

(3)

Dyskrepancja

Definicja (Dyskrepancja)

Dyskrepancją (z gwiazdką) danego zbioru n punktów ~t_j ∈ [0, 1)^d, 1 ≤ j ≤ n nazywamy wielkość

DISC^∗_d(~t₁, . . . , ~t_n) = sup

~ x ∈D

|DISC_d(~x ; ~t₁, . . . , ~t_n)|, gdzie

DISC_d(~x ; ~t₁, . . . , ~t_n) = x₁. . . x_d−

#n

j : ~t_j ∈h

~0, ~xo

n .

Ponieważ x₁. . . x_d jest d -wymiarową objętością prostokąta h

~0, ~x , dyskrepancja pokazuje jak dobrze danych n punktów aproksymuje objętość tych prostokątów.

(4)

Twierdzenie 1 (Nierówność Koksamy-Hlawki) Jeśli f ∈ C²(D) to błąd metody quasi-Monte Carlo

QMC_{d ,n}(f ) = 1 n

n

X

j =1

f (~tj)

dla aproksymacji całki I_d =R

Df (~x )d~x szacuje się przez

|I_d− QMC_{d ,n}(f )| ≤ DISC^∗_d(~t1, . . . , ~tn) · C (d , f ).

(5)

Ciągi o niskiej dyskrepancji

Definicja

Ciąg nieskończony ~t1, ~t2, . . . nazywamy ciągiem o niskiej dyskrepancji jeśli istnieje C_d > 0 taka, że dla wszystkich n

DISC^∗_d(~t₁, . . . , ~t_n) ≤ C_dln^dn n .

Istnieje bardzo dużo efektywnych konstrukcji ciągów punktów o niskiej dyskrepancji. Jednym z nich jest ostatnio poznany ciąg Van der Corputa.

(6)

Ciągi Haltona

Jednowymiarowy ciąg Van der Corputa {ψ_b(k)}_k≥0 jest podstawą konstrukcji wielu ciągów w wyższych wymiarach d . Jedna z nich prowadzi do ciągu Haltona { ~h_k}_k≥0, dla którego k-ty elementy wynosi

h~_k = [ψ_b₁(k), ψ_b₂(k), . . . , ψ_b_d(k)]^T, k = 0, 1, . . . . Liczby b₁, . . . , bd są tu bazami. Wybór b₁, . . . , bd jest jak najbardziej istotny. Zwykle, by uniknąć pewnych problemów, za liczby b₁, . . . , b_d wybiera się pierwsze d liczb pierwszych.

(7)

Ciągi Haltona

k ψ2(k) ψ3(k)

0 0 0

1 1/2 1/3

2 1/4 2/3

3 3/4 1/9

4 1/8 4/9

5 5/8 7/9

6 3/8 2/9

7 7/8 5/9

8 1/16 8/9

9 9/16 1/27

10 5/16 10/27 11 13/16 19/27

Tablica 1: Ciąg Haltona: ~h₂= [ψ₂(k), ψ₃(k)]^T.

(8)

Rysunek 1:Rzut 1 i 2 współrzędnej ciągu Haltona na płaszczyznę.

Narysowane 12 pierwszych elementów ciągu.

(9)

(10)

(11)

(12)

Przestępne ciągi Haltona

By pozbyć się niektórych problemów rozważa się przestępne ciągi Haltona (leaped Halton sequence { ~xk}_k≥1, dla którego k-ty elementy wynosi

~

x_k = [ψ_b₁(k`), ψ_b₂(k`), . . . , ψ_b_d(k`)]^T, k = 0, 1, . . . , dla pewnej liczby naturalnej ` ≥ 2. Wskazane jest też by ` było względnie pierwsze z liczbami b₁, . . . , b_d.

(13)

Rysunek 5:Rzut 29 i 30 współrzędnej przestępnego ciągu Haltona na płaszczyznę. Porównanie parametrów ` = 3, 107, 127.

(14)

Rysunek 6:Rzut 29 i 30 współrzędnej przestępnego ciągu Haltona na płaszczyznę. Parametr ` = 3.

(15)

(16)