ZEITSCHRIFT
FÜR DEN PHYSIKALISCHEN UND CHEMISCHEN UNTERRICHT
54. J A H R G A N G 1941 H E F T 2
D er Energiesatz
bei ungedäm pften lind gedäm pften Schwingungen. I.
Von Emst Lenz, z. Zt. im Felde.
Die folgende Zusam m enstellung entstand aus dem Bemühen, eine m öglichst e in fache A b le itu n g der w ichtig sten Gesetze der Schwing- und W ellenlehre zu geben.
„E in fa c h “ soll heißen: ohne A nw en du ng solcher m athem atischen H ilfs m itte l, die den B lic k vom physikalisch W esentlichen ablenken. So u nb efried ige nd es fü r den E x p e ri
m e n ta lu n te rric h t ist, fe rtig e F orm eln an die T a fe l zu schreiben, so u nbefriedigend und störend sind gerade in diesem F a lle längere m athem atische E n tw ic k lu n g e n . Meist sind solche E n tw icklu n g e n die unve rm eid lich e F olge des A uftre ten s von D iffe re n tia l
gleichungen und diese die F olge der in der P h y s ik zu r Berechnung der Vorgänge üblicherw eise verw endeten „K ra fta n s ä tz e “ . A ls Beispiel fü r diese Aussage diene eine elastische S chw ingung einer Masse m an einer Feder
m it der R ic h tk ra ft C (Fig. 1 ) , wo der Ne w t o nsehe K ra fta n s a tz : Treibende K r a ft = Masse X Beschleuni
gung, zu der D iffe re n tia lg le ic h u n g
— C x = m • - j p - (1) fü h rt, aus der die E igenschw ingzahl
(2)
F ig . 1. E in elastisch er S ch w ingkreis, be
stehend aus einer Masse m u n d einer S chraubenfeder C. Das S c h a tte n b ild der schw ingenden Masse bew egt sich genau so, als ob die Masse a u f einem K re is e m it dem H albm esser s u n d de r B ahn ge
s c h w in d ig k e it v = (o s u m la u fe n w ürd e.
berechnet w ird .
E in ig e einleitende, ,,klassische“ Beispiele sollen im folgenden daran e rinn e rn , daß der Energiesatz auf m eist einfachere W eise zu den gleichen Ergeb- nissen fü h rt, w ie der K ra fta nsa tz. Die W e ite rfü h ru n g dieser Ü berlegungen zeigt dann den Nutzen des Energieansatzes fü r schw ierigere F älle, v o r allem bei der A nw endung auf gedäm pfte mechanische
und elektrische Schw ingungen und W ellen. A n die vorliegende erste Zusam menstellung über den Energiesatz bei ungedäm pften und gedäm pften Schwingungen w ird sich eine zw eite anschließen über den Energiesatz bei ungedäm pften und gedäm pften W ellen.
I. F r e i e , u n g e d ä m p f t e S c h w i n g u n g e n .
Ein bekanntes Beispiel für die elegante Lösung einer Schwingungsaufgabe mit Hilfe des Energieansatzes bietet die THOMSONSche Formel für die Schwingdauer in einem e l e k t r i s c h e n S c h w i n g k r e i s (Fig. 2). Die Schwingung besteht in dem Umsatz der elektrischen Feldenergie ^ G U 2 des Speichers m it der K a p a z itä t C und der Span
nung U in die magnetische Feldenergie \ L I 2 der Spule m it der In d u k tiv itä t L und dem Strom I . D er Energiesatz
\ c ü 2 = \ L I 2 (3)
fü h rt zusammen m it dem OHMSchen Gesetz fü r W echselström e I = w C ■ U
U- 54.
(4 )
-*
3 4 Er n s t Le n z: De r En e r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n. I . Zeitschrift für den physikalischen Vierundfünfzigster Jahrgang.
sofort zu d er S chw ingzahl
und d er Schw ingdauer
co - i L C
T-- 2 n
0) ■,Vl g
(5)
(6) des Kreises.
Als G egenstück einer elektrischen Schw ingung betrachten w ir die eingangs e r
w ähnte e l a s t i s c h e S c h w i n g u n g einer Masse (Fig. 1). In diesem F a lle setzt sich die Bewegungsenergie der Masse in Spannungsenergie der Feder um. Die größte kinetische Energie ~ m v 2 im A u g e n b lic k des D urchganges d urch die Ruhelage (m Masse, v G eschw indigkeit) is t gleich der größten Spannungsenergie ^ C s2 im A u g e n b lic k des größten Ausschlages (G R ic h tk ra ft der Feder, s Ausschlag). D er Energieansatz
y2 = A -C s2
lie fe rt zusammen m it der kinem atischen 'Beziehung v = 2 m
T ■ cos
(7)
(8 )
G n n n m n n n rö ^ - L
Fig. 2. D e r e le ktrisch e S chw ingkreis, bestehend aus K a p a z itä t C u n d
I n d u k t iv it ä t L .
sofort die Eigenschwingzahl
w = ] / ~ [v g>- (2)1 und die Schw ingdauer
T = 2 n ^ \m
IT (9)
1 2 n H
i-Gnnnnnnnr'-*-GnnRr^^
I
c m cK m c
IF ig . 3. Z w e i elastisch gekoppe lte, elastische S chw ingkreise (K o p p e lle d e r Ck).
des „mechanischen S chw ingkreises“ , bestehend aus Masse m und E la s tiz itä t (oder F e d e rk ra ft) G.
D ie Ä h n lic h k e it der mechanischen und elektrischen Gesetze, w ie sie in den Gl. (2) bis (9) zum Vorschein kom m t, ist a u ffa lle n d ; sie lä ß t sich, w ie w ir zeigen werden, noch w e ite r führen. W ir m erken uns, daß der trägen Masse m die m agnetische T rä g
heitsgröße L e ntspricht und der F ed er
k r a ft G die elektrische K a pa zitä t. Eine Bem erkung sei an die kinem atische Beziehung Gl. (8) gekn üp ft. Sie ent
s p rich t dem OHMschen Gesetz Gl. (4) fü r Wechselströme und fo lg t aus der Beobachtung, daß das Schattenbild d er schw ingen
den Masse (vgl. F ig . 1) sich genau gleich bew egt w ie das Schattenbild einer Masse, die auf einem K reise m it dem Halbmesser s und der K reisfrequenz co bzw. der B ahn
gesch w in dig keit v — co • s um läuft.
A ls nächstes Beispiel w ollen w ir die Schw ingungen von e l a s t i s c h g e k o p p e l t e n M a s s e n berechnen. A uch in dem vereinfachten F alle, daß zw ei gleiche Massen m an zw ei gleichen F edern m it der R ic h tk ra ft G durch eine d ritte Feder (R ic h tk ra ft C¿) zusam m engekoppelt sind (Fig. 3), lie fe rt der Energieansatz eine Einsicht in die p h y s i
ka lisch wesentlichen Größen und Beziehungen. A llg e m e in gesprochen, han de lt es sich bei diesem Beispiel um die Schw ingungen in zw ei elastischen Schw ingkreisen, die m iteina n de r gekoppelt sind. D re i Sonderfälle von Schw ingungen lassen sich aus den überhaupt m öglichen hervorheben:
1. D er F a ll, daß beide Massen m it gleicher Schw ingzahl, Schw ingw eite und in gleichem Schwingzustand (Phase) m ite in a n d e r schwingen. Die Schwingungen erfolgen so, als ob die beiden Massen s ta rr m ite in a n d e r gekoppelt w ären, oder als ob die K oppelfeder ganz fehlte. Es t r it t n u r eine Schw ingzahl auf, und zw a r von der gleichen Größe w ie im letzten Beispiel [F ig . 1, Gl. (2)]: M = 1 / — .
1 V m
und chemischen Unterricht.
1941. H eft 2. Er n s t Le n z: De r En k r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n. I . 3 5
W ir nennen diese Schw ingung die erste oder langsam e H auptschw ingung des Schw ing
gebildes.
2. D er F a ll, daß beide Massen gegeneinander schwingen, w iederum m it gleicher S chw ingzahl und -weite. In diesem F a ll t r it t zu r F e d e rk ra ft C je d e r Masse m noch die F e d e rk ra ft CK der K o ppelfeder hinzu, und zw ar m it doppelter W irk u n g , w e il die Feder durch die gegen- und voneinander schwingenden Massen doppelt gespannt w ird . Infolgedessen e rh ält jede Masse eine Schw ingzahl co// gemäß der Beziehung
c o fj = C + 2 ~ g (10)
oder
m i m
2 Gr
: co/ ■+• 2Gr
in
(11)
dem
m m
Diese Schw ingung nennen w ir die schnelle oder zweite H auptschw ingung S chw ingkreis.
8. D er F a ll, daß eine der Massen festgehalten w ird , g ib t fü r die bewegliche eine Eigenschw ingung gemäß d er Beziehung
, G + Cr coz = ---
0 m (12)
i L + ^ = w f + ^ . .
m m 1 m (13)
oder
Diese E igenschw ingung steht in folgendem Zusam menhang m it den beiden H a u p t
schw ingungen :
cot F ühren w ir die Größe
ein, so fo lg t
C O /
C O / /
u m
» ä + v F
(14)
Z - ° E .l (15)
m C05
OJ0 I
f l + K ’O)0 (16)
n — k ) W ir nennen die Größe K den „ K o p p l u n g s f a k t o r “ d urch E rw e ite ru n g der Gl. (15) zu
K = s*CK
2 ms2 a>2
Er
E„
seine Bedeutung e rg ib t sich
(17)
d. h. der K o p p lu n g s fa k to r is t gleich dem V e rhä ltnis der Energie Er , die in dem K opplungsgliede steckt, zu der gesamten E n ergie E 0 = E 1-{- Er , die in jedem e in zelnen Schw ingkreise steckt. D er W e rt der Energie E 0= E ^ f - Er e rg ib t sich durch E rw e ite ru n g der Gl. (13). D er K o p p lu n g s fa k to r K is t demnach eine reine Zahl, seine Größe schw ankt sinngemäß zwischen 0 und 1. Is t K k le in gegen 1, so sprechen w ir von „lo s e r“ Koppelung, n äh ert sich K der Zahl 1, so bedeutet dies eine „fe s te “ K o pp e lung. D er Sonderfall K = 0 e rg ib t nach Gl. (15) die Schwingzahlen co/= co/Z = co0 ; es t r it t n u r eine Schw ingung auf, das S chw inggebilde is t „e in w e llig “ . Sobald Ä=j =0 ist, treten zw ei Schw ingungen coz und « / / auf, der K re is w ird „z w e iw e llig “ . D er G re n zfa ll der starren K o pp e lu ng K = 1 g ib t die Schwingzahlen
C O / = (')<!
V2
= /
2 TO undWjl = oo .
3 *
3 6 Er n s t Le n z : De r En e r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n I Zeitschrift für den physikalischen _ _______________ ___________ __________ ' ' Vierundfünfzigster Jahrgang.
F ig . 4. A u s zw ei m ite in a n d e r (oben) u n d zw ei gegeneinander (M itte ) schw ingenden ge ko p p e l
te n P endeln lä ß t sich de r F a ll h e rste lle n , daß ein P endel am A n fä n g e r u h t
(u n te n ).
D ie eine der H auptschw ingungen, <o7, e rg ib t sich daraus, daß je tz t die doppelte Masse 2 m an der Feder C hängt.
D ie B e d e u t u n g d er beiden H a u p t s c h w i n g u n g e n a>j und (oji erkennen w ir anschaulich an dem folgenden Beispiel (F ig . 4). Denken w ir uns z u r Abw echslung statt der elastischen S chw ingkreise andere mechanische Schw ingkreise, w ie z. B. ge
koppelte Pendel. W ir sehen sofort, daß es m ög lich ist, durch Ü b e rla ge ru n g der beiden H auptschw ingarten, n äm lich des M it
einanderschw ingens (oberer T e il von F ig . 4) und des Gegen
einanderschw ingens (F ig . 4, M itte) der beiden Pendel den Sonder
fa ll zu bilden, daß das eine Pendel schw ingt und das andere gerade in Buhe is t (Fig. 4, unten), vorausgesetzt, daß die Pendel in beiden F ä lle n gleiche Schw ingzahl und -weite haben. M athe
m atisch lä ß t sich diese Ü be rla ge ru n g der zw ei Schwingungen folgenderm aßen ansetzen: Die beiden H auptschw ingungen und s2 ergeben ü b e rla g e rt (addiert)
si = so s*n mi t 1 s2 = so SI"n mi l t J eine Gesam tschwingung
« = s1 + «2 = 2s0cos ( " > U 2 j t • sin t , (18) wie aus bekannten trigonom etrischen Form eln fo lg t. Dieser A u sd ru ck läß t sich deuten als eine Sinusschw ingung m it der m ittle re n Schw ingzahl com = 0JU + (OI_ uncj der S chw ingw eite 2 s 0 cos —■ g " ‘r j t , die sich m it der Z eit sinu sfö rm ig ändert.
<Pr<Pr° <Pf-<pg-2x <p,-cpg-3x <p,-<p2~f3C <p,-<pr 5 ji <pr <p2-6 x
F ig . 5. D ie Überlagerung- zw eier S chw ingungen v o n a n nähe rnd gleichen S chw ingza hlen m g ib t Schwebungen.
F ig . 5 zeigt im unteren T e ile die beiden Einzelschw ingungen, im oberen das E r
gebnis der Ü be rla g e ru n g : cs bilden sich „S chw ebungen“ aus. Dasselbe zeigt auch der bekannte Versuch: stoßen w ir bei zw ei gekoppelten Pendeln das eine Pendel an, w ährend das andere a nfä n g lich in Ruhe ist, so beobachten w ir, w ie der Ausschlag des ersten Pendels a llm ä h lich k le in e r w ird und das zweite m ehr und m ehr zu schwingen beginnt, bis schließlich das erste Pendel in Ruhe is t und das zweite die vo lle S chw ingung ausführt. F ig . 6 zeigt nebeneinander die Ab- und Zunahme der Ausschläge der beiden gekoppelten Pendel.
Das N ützliche an diesen Ü berlegungen über gekoppelte Schw ingungen besteht in d er M ög lich keit, sie auf alle A rte n p h y s ik a lisch e r Schw ingungen zu übertragen. Statt von Pendeln oder elastisch schwingenden Massen brauchen w ir n u r von S chw ingkreisen zu re d e n , die entw eder aus Masse und E la s tiz itä t oder In d u k tiv itä t und K a p a z itä t g e b ild e t sind. Haben w ir die beiden ge
koppelten S chw ingkreise aufeinander „ a b g e stim m t“ , d. h. die Schw ingzahlen in den Einzelkreisen gleich g ro ß gem acht, so gelten gemäß den Voraussetzungen alle e ntw ickelte n G leichungen und Folgerungen in g le iche r Weise fü r jede S chw ingart. F ü r den F a ll g e k o p p e l t e r e l e k t r i s c h e r
F ig . 6. D ie S chw ebungen in zw ei ge koppe lten S ch w in g kre ise n .
und chemischen Unterricht. Er n s t Le n z: De k En e r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n. I . 3 7 1941. H eft 2.
S c h w i n g k r e i s e (F ig . 7) w olle n w ir wegen der W ic h tig k e it ih re r Anw endung in der N ach rich te nte chn ik noch einm al die Hauptergebnisse zusammenfassen. Bei loser K o p p lu n g ( K < 1) schw ingt je d e r K re is m it seiner E igenschw ingung ft)0 = w / = cojj.
Bei fester K o p p lu n g ( K ~ 1) treten in jedem K reise zwei Schw ingungen auf, die, einander ü b e rla g e rt, als „re s u ltie rende“ S chw ingung in jedem K re ise Schwebungen erzeugen (v g l. F ig . 6). Diese Ü berlegungen gelten allgem ein, auch fü r den F a ll, daß die In d u k tiv itä te n L und die K apazitäten G in den beiden S chw ingkreisen n ic h t gleich sind, sondern n ur die je w e ilig e n E igenschw ingzahlen der K reise. Auch die E n ergiebetrachtung über den K o p p l u n g s f a k t o r Gl. (17) läß t sich e rw eitern. F ü r den F a ll, daß die Energien in den Schw ingkreisen ungleich sind, e rg ib t sich der allgem ein-
g ü ltig e Satz: der K o p p lu n g s fa k to r is t das geometrische M itte l aus den Energien der beiden K re ise gemäß der Beziehung
F ig . 7. Z w ei in d u k tiv g e ko p pe lte, e le k tris c h e S ch w in g kreise ( G e g e n in d u k tiv itä t M ).
K * K \ ( Ek\ Eo ) 1 \ -®o / 2
(19) Die bekannte F orm el fü r die in d u k tiv elektrische K o p p lu n g (Fig. 7)
K = ' M - (20)
V 1*2
läß t sich sofort als Sonderfall von G l. (19) erkennen, denn die E nergien in den m agnetischen F eld ern der Spulen bzw. in ihrem K o pp e lfeld sind L ± J \ bzw. L 21\
und 1 M I ^ z , w enn L x und L t die S e lb s tin d u k tiv itä te n bzw. M die G egeninduk- 2
t iv itä t d er beiden Spulen bedeuten.
I I . G e d ä m p f t e S c h w i n g u n g e n .
U n te r den f r e i e n , g e d ä m p f t e n S c h w i n g u n g e n n im m t die Schw ingung m it
„lin e a re r“ D äm pfung eine Sonderstellung ein. Ih re nähere Untersuchung e rg ib t, daß die R eib un gskraft „p ro p o rtio n a l“ der Ge
s c h w in d ig k e it ist, was äußerlich d a rin zum Vorschein kom m t, daß die Schw ingung w ährend ihres ganzen zeitlichen Verlaufes eine gleichbleibende Schw ingzahl co ze ig t und außerdem nach einer E x p o n e n tia l
fu n k tio n a b k lin g t. F ig . 8 s te llt einen solchen V e rla u f d a r; er läß t sich durch die G leichung
U — U n ^ - e cos .(tu t - f w) (21) ausdrücken. U 0 is t die anfängliche Schw ingweite, d das Däm pfungsmaß, co die S chw ingzahl. D er Schw ingzustand ist
d e ra rt gew ählt, daß die Größe die W irk u n g des Phasenwinkels cp gemäß der A n fangsbedingung fü r t — 0 so ausgleicht, daß
F le . 8. D er z e itlic h e V e rla u f einer , , lin e a r“ g e d ä m p fte n S chw ingung. B e i eine r e le ktrisch e n S chw ingu ng be
d e u te t U die S pannung, / den S tro m ; bei einer e la s ti
schen S chw ingu ng is t V de r A usschlag-Ja), I die Ge
s c h w in d ig k e it od er Schnelle (u = d sld t). D ie E in h ü lle n d e is t eine E x p o n e n tia lfu n k tio n , w elche die O rd i
n a te be i dem W e rte — -Uo schneidet.
ist.
ft)0 =
D enken w ir uns als --- die S chw ingzahl f L C
cos cp = 1 (22)
a>
Beispiel einen e l e k t r i s c h e n S c h w i n g k r e i s , so ist der freien, ungedäm pften S chw ingung des Kreises. M it
3 8 Er n s t L,e n z: De r En e r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n. I Zeitschrift fü r den physikalischen
— __________ Vierundfünfzigster Jahrgang.
der Gl. (21) e rg ib t sich der W echselstrom w iderstand des Kondensators
B r cos cp
- V
(23)co0 ' O <x>- C
als unabhängig von der D äm pfung und der Schw ingzahl der gedäm pften Schw ingung.
Die V e rkle ine ru ng von co0 w ird durch die V e rk le in e ru n g von cos <p ausgeglichen.
Ausgehend von der L a d u n g Q = C U 0 b ild e t sich in dem S chw ingkreis ein S t r o m / aus nach der G leichung:
7 /-V -rj (Da
1 = C ' U 0 — e sin c o t. (24)
Dies is t ebenfalls eine gedäm pfte Schwingung, deren Phase um (90° + <p) gegen die Spannung U verschoben is t (F ig . 8).
Die A n w en du ng des E n e r g i e s a t z e s auf den S chw ingvorgang lie fe rt nun sofort die G rundbeziehungen fü r freie, gedäm pfte Schwingungen. L etzten Endes setzt sich die a nfängliche E nergie ~ C ü 2 des Kondensators um in die gesamte Strom w ärm e / R I 2 d t w ährend des Schw ingverlaufes. Also ist
o
ri rj2 00 OO
V = / B I * d t = B U * ' C * ? * - ± [ e - r. 0 ) CO J s i n2 cot d ( cot ).'
0 0
Das in der M athem atik w ohlbekannte In te g ra l (Fig. 9) lie fe rt die Summe
- 2 öt
4ö(o)a+(52) die siel, auch L { - j v + ff)r
lä ß t, w odurch der Zusammenhang m it dem F a k to r ~ der „ E ffe k tiv w e rte “ von W echselstrom größen fü r
<5 = 0 besser zu erkennen is t (vgl.
F ig . 9). Insgesam t w ird C ü l ^ R U l - W - K
2 4 (5 (eu2+ <52) ’
w oraus fü r das Däm pfungsm aß die Beziehung fo lg t
a>o cu2 + d2
(25)
(26)
¡4 schreiben
was die bekannte B edingung
d = ~ - C o > t - R
2 L
(28)
(29) (30) lie fe rt, fa lls
ist. W iederum erhalten w ir a lle in auf G rund des Energieansatzes n ich t bloß die w ichtig sten Größen des Schw ingvorganges, sondern auch ihren Zusammenhang. Die beiden G leichungen (29) und (30) hängen m it cp zusammen. Denken w ir uns ein re c h tw in k lig e s D re ieck (Fig. 10) m it der H ypotenuse co0, den Katheten m und d\ dann is t der W in k e l gegenüber der Seite ö g le ich der Phasenverschiebung cp.
D ie Bedeutung der Gl. (29) e rg ib t sich aus der E rw e ite ru n g
^ _ R_ _ R P 1 -Er
2 L ~ 4 ( ¿ / 2j ~ ; (31)
d. h. das Däm pfungsm aß 6 is t gleich dem v ie rte n T e il des Verhältnisses der Iieibungs- energie zu r Schw ingenergie. Die Zahl J/ 4 rü h rt daher, daß w ir d als Maß der D äm pfung der Spannungs- bzw. S tro m ku rve und n ich t der ..Inte n s itä ts k u rv e “ sre-
1 - -1 - *• ' " öt
F ig . 10. Das P hasendreieck d e r fre ie n ge
d ä m p fte n S chw ingung.
w ä h lt haben, die m it dem Q uadrat von e also m it e 2<S t a b n im m t; außerdem
und chemischen Unterricht.
1941. H eft 2. Er n s t Le n z: De r En b r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n. I . 3 9
fe h lt in dem E nergieausdruck R I 2 der N enner 2, der aus Ä h nlich ke itsg rü n d e n bei allen quadratischen Energieausdrücken e in ge fü hrt ist.
Bei m e c h a n i s c h e n , gedäm pften S c h w i n g u n g e n lä ß t sich der Gl. (30) eine einfache Deutung geben. E rw e ite rn w ir diese G leichung m it so w ird
TO S2C02 (32) 2
tu X - <52 oder
E = E — Es -L/co — co0 u ’
d. h. die E nergie E m der gedäm pften S chw ingung e rg ib t sich aus der E nergie E„h der ungedäm pften Eigenschw ingung, w enn von dieser letzten die Eeibungsenergie E ä a b gezogen w ird . W ie w ir sehen, is t der Ansatz (33) gleich dem Energieansatz, fa lls w ir dem A u sdru ck fü r die Reibungsenergie
E ö= m ^ (34)
einen v e rn ü n ftig e n Sinn geben können. Das is t m ö g lic h ; a lle rd in g s müssen w ir einige ungewohnte Beziehungen zu H ilfe nehmen. Die Bewegungsenergie
m v 2 m2v2 Sp2
E-- (35)
2 2 m 2 m
hängt m it dem Im pu ls = m v zusammen, der sich bei einer gedäm pften Schwin gun g zu
^ = R - s
e rg ib t; denn die R eib un gskraft is t bei „lin e a re r“ D äm pfung sinngemäß
D araus e rg ib t sich die Reibungsenergie
Sß2 ^ ^ ms2B2 _ ms2d'2 2 » _ 2 «i! 2 ’
(36)
(37)
E x
w enn w ir u nte r 6’ die Größe d’ - R
m verstehen. W ie w ir oben gezeigt haben, ist dies das Maß fü r die A bnahm e d er Schw ingstärke (Inten sität). H a t Ö die Größe
is t die Gl. (30) n u r eine Beziehung der Schw ingzahlen a> und a>0; be-
<5 = R
2 m ’
deutet d die Größe & = " , so is t Gl. (30) g le ic h w e rtig m it dem Energiesatz.
Auch die e r z w u n g e n e g e d ä m p f t e S c h w i n g u n g läß t sich m it dem Energie satz behandeln. Sehen w ir zunächst von der D äm pfung ab, so lie fe rt der E n ergie
ansatz
Cf_
2
m s‘ or 2
s . Ä „
den A u sdru ck
S = __
TO (tO§--
CO2)(38)
(39) m it dem bekannten „ R e s o n a n z n e n n e r “ . Die Bedeutung der einzelnen Buchstaben d ü rfte nach dem Vorhergehenden k la r sein; ms °L is t die kinetische E nergie der e r
zw ungenen S chw ingung der Masse m, die Spannungsenergie der Feder, die w ir nach den Gl. (7) und (8) durch die Eigenschw ingungsenergie ersetzen können; —g- 0 is t die A rb e it der Z w a n g s k ra ft gegen die F e d e rk ra ft, D er F a k to r 1/ 2 rü h rt von dem ze itlich en M itte lw e rt von sin2 cot her und e rg ib t sich bei der M u ltip lik a tio n der beiden sinu sfö rm ig ve rä nd erlich e n Größen s und K . D er FallcoQ = m lie fe rt die „Resonanz“ ; o)q = 0 bedeutet, daß die A rb e it der Z w a n g s k ra ft sich ganz in die Energie der Zw angs
schw ingung umsetzt. Dies ist d er F a ll, w enn die R ic h tk ra ft 0 ist, entsprechend d er G leichung tu0 = l / ^ - , und e ntspricht z. B. dem Bew egungsvorgang einer Masse m,
4 0 Er n s t Le n z: De r En e r g ie s a t z b e i Sc h w in g u n g e n. I . Zeitschrift für den physikalischen Vierundfünfzigster Jahrgang.
die in d er w aagerechten Ebene bei s ta rre r K o pp e lu ng m it d er Z w a n g s k ra ft re g e l
m äßig hm - und hergeschoben w ird .
W ir d die S chw ingung durch R eibung g e d ä m p f t , so t r it t eine P h a s e n v e r s c h i e b u n g zwischen der Z w a n g s k ra ft K und der bisherigen Größe K 0 bzw.
dem Ausschlag s ein, die um so größ er ist, je größ er die D äm pfung w ird . Is t die D äm pfung „ lin e a r “ , also die D ä m p fu n g skra ft K d = R - s- w p ro p o rtio n a l zur a ug en blicklich en G e schw ind igke it s ■ eo, so e rg ib t sich die Größe der Z w a n g s k ra ft genau w ie im vorhergehenden Beispiel (Fig. 10) aus dem Phasendreieck (Fig. 11) zu
K —. ] / K * -f- K %, (40)
F ig . 11 w oraus sich die S chw ingw eite
Das Phasen- K
dreieck de r l/m 2(o>! — ft)2j2 + Ä 2(o2 (41)
g e d ä m p fte n und die Phasenbeziehung
S chw ingung. , R co
^ V ~ TO (ß)2---(o2) (42)
^ ucu v c l,a u i von » cnw ingw eite und Schw ingzustand gemäß diesen Gl. (41) und (42) w ie d e r; durch ric h tig e W a h l der entspechenden Größen lassen sich diese A usdrucke le ic h t auf elektrische und optische Resonanzvorgänge übertragen
F ig . 12. D ie S ch w in g w e ite n der erzwungenen S chw ingu ng bei verschieden s ta rk e r D ä m p fu n g in A b h ä n g ig k e it v o n dem V e rh ä lt
nis d e r S chw ingza hlen d e r e r
zw ungenen u n d de r E ig e n s c h w in gung. Daneben die ^Phasenver
schiebung zw ischen de r erregen
den Z w a n g s k ra ft u n d dem A u s schlage d e r S chw ingu ng. Man beachte die W e rte s„ = — ~ f ü r
m (»0
w = 0 u n d fü r a}=
K (D0 : « 0 .
/u m Abschluß eine Bem erkung1 über den Energiesatz in der A t o m m e c h a n i k . Die BoHRschen Ansätze über das G leichgew icht der mechanischen F lie h k ra ft K z = m s o ß m it der elektrischen A n z ie h u n g s k ra ft — und die Q uantelung des B ahn
impulses iß = wn • a • ii = 7i ^ ^ lassen sich in der Energiegleichung
E = i n 2m s 2v2= — = n - h - v = h ^ (43 )
4 n e s n 2
zusammenfassen. Denn der K ra fta n s a tz K z = K e lie fe rt die G leichheit des zweiten und d ritte n Gliedes d er Gl. (43), also die G leichheit d er Energie m c 2 m it der e le k trischen Energie, und der Bahnim puls iß durch E rw e ite ru n g m it der Schw ingzahl v die G leichheit des zweiten und vierten Gliedes, also die Q uantelung der Energie.
4 1 und chemischen Unterricht, jj Bo c k: Fe h l e r w a h r s c h e i n l i c h k e i t b e i Ko n s t r u k t io n e n.
1941. H eft 2.
Das letzte, fü n fte G lied der Gl. (43) fo lg t zw angsläufig, w e il die W eite s und die S chw ing
zahl v n ic h t u nabhängig voneinander sind. Aus dem d ritte n und v ie rte n G lied fo lg t:
e2 (44)
4 n e h - n ' außerdem aus dem vierte n und fü nften G lied
V _ R j
V? (45)
m it
R y m e4
8s*h3 ‘ (46)
R y is die RyDBEBGsche Konstante, deren Schreibweise infolge der W ahl eines anderen Maßsystems von der meist üblichen
n 2 jt2 m e1
Ry =
c v (47)abweicht. Die W ellenm echanik lie fe rt fü r eine Masse m m it der E nergie f7wt = 4 j t 2w s 2r 2 die E igenw erte E = n - h - v und unabhängig davon fü r eine elektrische L a d u n g e m it
— von Feinheiten der der potentiellen E nergie U,
Q uantenzahlen abgesehen.
die E igenw erte E = h-
4: 71 ES ° Ti1
D ie E n erg ie gle ichu ng (43) zeigt, daß die BoHRschen A n sätze gleichbedeutend sind m it der Behauptung der G leichheit der Energien
— E n U e, — E n (48)
Ein solcher Ansatz ist wegen der Koppelung der Ladung e an eine Masse m denkbar, bedeutet aber eine weitergehende physikalische Aussage, als zur wellenmechanischen Berechnung der RYDBERGSchen Zahl und der Energieterme des Wasserstoffatomes er
fo rd e rlic h ist.
Die angegebene Zusam m enstellung beweist, daß der Energiesatz a lle in die wesent
lichsten Beziehungen der ungedäm pften und gedäm pften Schw ingungen lie fe rn kann.
Den großen N utzen des Energieansatzes zeigt eine w eitere Zusam menstellung, in der seine A nw endung auf ungedäm pfte und gedäm pfte W e llen zu behandeln ist. Die gegebenen Beispiele sollen als G rundlage fü r die E rw e ite ru n g unserer bisherigen Ü b e r
legungen dienen; die Ergebnisse der D urchrechnung von S chw ingvorgängen lassen erw arten, daß der Energiesatz auch die w esentlichsten Gesetzm äßigkeiten d e r W e lle n ausbreitung lie fe rn w ird . 1. Physik. Institut der Technischen Hochschule Stuttgart.
K l e i n e M i t t e i l u n g e n .
Fehlet-Wahrscheinlichkeit hei geometrischen Konstruktionen.
Von H. Bock in Hamburg.
D er A n fä n g e r w u n d e rt sich bei A u sfü hrun g von K rä fte p lä n e n und d e rg l. o ft darüber, daß die Zeichnung n ic h t stim m en w ill und
etw aige P rü fu n g sve rfa h re n zu k e in e r E rk lä ru n g fü h re n ; m an habe doch „g e n a u “ gearbeitet, die Lupe angewendet usw. Daß keine K o n s tru k tio n fe h le rfre i sein kann, bedenkt er kaum . Im folgenden soll an einem h äufig vo rkom m enden F a lle gezeigt werden, w ie Zeichenfehler entstehen und w ie sie sich v e r
halten.
Man habe m it H ilfe zw eie r Geraden G (F ig . 1) den S c h n ittp u n k t 0 bestim m t. D abei w erden die Ge
raden durch Z eichenungenauigkeit geringe P a ra lle l
verschiebungen e rlitte n haben; w e il sie k le in sein d ürfte n und d er A u sgangspunkt der L in ie n meistens
re la tiv w eit a b lie g t, d a rf von ih re r V e rd re h u n g abgesehen werden. Gesetzt den F a ll, P u n kt P sei die ric h tig e Stelle, w oh in 0 bei fe h le rfre ie r K o n s tru k tio n kom m en müßte, so w ird man den W e rt
4 2 H . Bo c k: Fe h l e r w a h h s c h e i n l i c h k e i t b e i Ko n s t r u k t io n e n Zeitschrift fü r den physikalischen ____________________ ___________________________________ Vierundfünfzigster Jahrgang.
-b2
(1) als m i t t l e r e n q u a d r a t i s c h e n F e h l e r d er K o n s tru k tio n von 0 anzusehen haben.
Aus den geom etrischen Beziehungen
a = y ■ cos a — x • sin a|
b = y ■ cos a -j- x ■ sin al fo lg t:
«2 + 62
2 c
oder
X 2
£2/sin2 a
x 2 • sin2 a + y 2 ■ cos2 a
+ r
e2/cos2<x 1 .
(2)
(3)
(4) Das is t die bekannte F e h l e r e l l i p s e ; jedem ih re r P unkte is t derselbe m ittle re F e h le r e zugeordnet, und ih re beiden Halbachsen - J — und —— lassen sich ein-
sin a cos a
fach konstruieren, w ie in d er F ig u r zu sehen ist. Die zw ei Geraden G sind k o n ju g ie rte Durchm esser (vgl. T T ) . F ü r oc = ^ - n im m t die Fehlerellipse K re is fo rm an, und fü r a = O degeneriert sie zu 2 p arallele n Geraden (Fig. 2 und 3).
W ir w o lle n in jedem P unkte der x - y -Ebene eine K o o rd i
nate z errichte n, deren Län ge ein Maß d er W a h rsch e in lich k e it d a fü r sein soll, daß der „ w ir k lic h e “ P u n k t d o rt lieg t.
A u f diese Weise entsteht ein W a h r s c h e i n l i c h k e i t s h ü g e l , den w ir je tz t untersuchen w ollen. Seine G leichung lau te t u n te r Z ug rundelegung des GAtissschen Fehlergesetzes:
z — C ■ e ~ h 's’ = C • e~h2 (®*' sin2 01 + v 2 • cosaa ) . ^
h is t das Maß d er Präzision, und d ie K onstante G b estim m t sich daraus, daß d er In h a lt des gesamten H ügels g le ich 1 zu sein hat, w e il ja irg e n d e in F e h le r vorhanden sein muß.
Da alle H o rizo n ta lsch n itte des Hügels nach Gl. (5) ähnliche E llipse n sind, so kann m an ihn durch eine affine T ra n s fo rm a tio n in einen K o ta tio n s k ö rp e r ve rw andeln, indem m an etw a alle K o o rd in a te n y im V e rh ä ltn is c t g a : l v e rg rö ß e rt; je tz t is t der In h a lt J ' le ic h t zu e rm itte ln , und schließlich e rg ib t sich d er In h a lt J des e lliptisch en H ügels durch M u ltip lik a tio n m it t g a . Es w ird :
1
Fig-. 3. Fehlergeraden.
w o rin nach Gl. (4) r = sin a Nach der S ubstitution e-h
J ' — G -Je h* e‘ ■ 2 jz r ■ d r . o
ist.
i 2 fo lg t sofort durch In te g ra tio n :
71 ■ C J ’ -.
M ith in e rg ib t sich:
oder
J — J ' ■ tg oc =
A2 • sin2 a
7t - C • tga.
C - -
h2 ■ sin2 a A2 • sin 2 a
S om it la u te t die G leichung des W a h rsch ein lich keitsh üg els e n d g ü ltig : 2 = ~ — sin 2 a • e~h’ <■x‘ ' sln! « + v ‘ - cos! a)_A2
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) Das Maß der Präzision h lä ß t sich n a tü rlic h n ic h t von v o rn h e re in bestim men.
Zu seiner E rm ittlu n g hat man eine größere A n z a h l K o n s tru k tio n e n der gleichen A r t
43
und chemischen Unterricht. H . Bo c k: FEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT BEI KONSTRUKTIONEN.
1941. H eft 2. ______
durchzu fü hren und d a ra u f den S c h w e r p u n k t d er so gewonnenen Punktm enge als den „ric h tig e n “ P u n k t anzusehen, dessen K o o rd in a te n \ und rj sein mögen. Dann is t d er m ittle re F e h le r d er Lage des S chnittpunktes O d er Geraden G:
[X = ] / f 2 • sin2 a + r\ ■ cos2 a . (11) Daß d er S ch w erpu nkt jenes Punkthaufens w irk lic h der plausibelste P u n k t ist, e rg ib t sich (vgl. F ig . 4, w o rin S den S chw erpunkt bedeutet) auf folgende Weise. F ü r irgendeinen gefundenen S c h n ittp u n k t P m is t der „ w ir k lic h e “ F eh ler e,
2 ¿4 = p2 + q2 = [ (ym — rj) cos a — {xm — |) sin a ]2 + f(ym — rj) cos oc
= 2 - ( y m — rj)2 cos2 oc + 2 • (xm — £)2 sin2 «.
Die Summe a lle r Fehlerquadrate
Z ( 4 ) = cos2 oc Z (ym — r])2 + sm2a . -Z {xm — £)2 (13) soll fü r den plausibelsten P u n k t ein M in im u m w e rd e n ; also muß sein:
8 2 (e l) _ 8 Z ( e l) 8£
(xn
n u n m e h r:
— | ) s i n a ] 2 1 (12)
0 r] 0. (14)
(16)
F ig . 4. P la u sib e lste r P u n k t S.
Aus (13) und (14) fo lg t sogleich:
Z_(XW) und = Z(ym)_
n n
w o rin n die A nzahl der P unkte ist. D aher w ird 8 in d er T a t der plausibelste Punkt.
In diesem Zusammenhänge sei d a ra u f hin ge wiesen, daß m an auch in der Geodäsie den Schw er
p u n k t S des d urch dre im a lig es A n v is ie re n entstandenen Fehlerdreiecks als p la u sibelsten P u n k t betrachtet, eben w e il die Summe der Quadrate seiner Entfernungen vo n den d re i S chnitt- oder E ckp un kte n ein M inim um ist. Dagegen hat der LEMOiNEsche P u n k t L ( F ig . 5) die Eigenschaft, daß die Summe
der Quadrate seiner Abstände von den drei Suchlinien (Dreiecksseiten) den klein sten m ög
liche n W e rt hat. E r is t der S c h n ittp u n kt der M itteltra nsve rsa len d re ie r A n tip a ra lle le n , von denen in F ig . 5 eine g e striche lt eingetragen ist.
A n a ly tis c h ist:
h = H ■ 2 F
+ ft2 + cs leich t
■a usw., zeigen läßt.
- 62 + c2 a‘
was sich goniom etrisch F is t der D reiecksinhalt.
Da ¡x als m ittle re r q uadratischer F e h le r der K o n s tru k tio n gemäß Gl. (11) b ekannt ist, kann das Maß der P räzision h so gefunden w erde n : Die dem F eh lere zugeordnete Ellipse hat nach Gl. (4) den In h a lt F = vt— *--- : der F lächenraum zwischen ih r und
u a i 1 g m « C b S a 7
d er nächst größeren, unendlich benachbarten is t som it:
d F = 4 n ■ e ■ d s
( I ß )
Ih m ko m m t w ie d e r der F eh ler e und außerdem die W a h rsch e in lich ke it z (e) = —— sin 2 a • e h' e~
71
zu. F o lg lic h g ilt fü r den m ittle re n quadratischen F eh ler wenn man die V e rh ä lt
nisse der zw eidim ensionalen Gaußischen F e h le rfu n k tio n auf den dreidim ensionalen W a h rsch e in lich ke itsh ü g e l sinngemäß ü b e rträ g t:
1 = Je2 • z (e) • d F . (IT)
44 F . Br u n n e r: De r Wir k u n g s g r a d e in e s Gl e ic h s t r o m m o t o r s. Zeitschrift für den physikalischen Vierundfünfzigster Jahrgang.
D a rm bedeutet die 1 den ganzen H ü g e lin h a lt, Setzt und in te g rie rt w ied er m it H ilfe d er S ubstitution — ■h2
m an d F und z(e) h ie rin ein
= m, so e rg ib t sich schließlich:
1
— h ' (18)
Das Maß der Präzision h is t also m it H ilfe des besprochenen Punkthaufens fest
gestellt. L a u t Gl. (18) is t h h ie r identisch m it der sog. m athem atischen G enauigkeit, als welche der K e h rw e rt von ¡i betrachtet w ird .
An einem Z a h l e n b e i s p i e l mögen die dargelegten Verhältnisse erläutert werden. Ein Punkt O sei duich den Schnitt zweier Geraden, die miteinander den Winkel 60° bilden (a = 30°), festgelegt worden • nachher habe sich irgendwiei herausgestellt, daß der Abstand von O bis zum „wirklichen“ Punkt S durch die Koordinaten f - 2,5 mm und rj = 2 mm gekennzeichnet sei (vgl. Fig. 4). Dann wird der mittlere Fehler ^ der Konstruktion nach Gl. (11) gleich 2,14 mm, sowie das Maß der Präzision h nach Gl. (iS ) gleich 0,467 (mm) sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der „wirkliche“ Punkt z. B inner halb einer Ellipse m it den Halbachsen 0,5 und 0,5 • tg 30» = 0,288 mm liegt, ergibt sich so. Zu dieser Fehlerellipse gehört nach Gl. (3) der mittlere Fehler e = 0,5 • sin 30» = 0,288 • cos 30° = 0 25 mm
Das Volumen des über der Ellipse befindlichen Zylinders des Wahrscheinlichkeitshügels ist somit [vgh
0,25 o
fz(e) ■ d F = J e-A«-i».d(— e2A2) ~ I , 4 % ,
Ö 0,25
und das ist zugleich die gesuchte Wahrscheinlichkeit. — Errichtet man weiter auf der zu e = p ge- ichlTeTt so fsT PSÖ 6men Senkrechten ZFlinder> der g^ade die Hälfte des ganzen Hügelinhalts 1 „m - -
Q
woraus folgt:
J'z(e) ■ d F = 0
i
log 2 löge '
ln unserem Beispiel w ird o = 1,77 mm. q is t der sog. w a h rs c h e in lic h e F e h le r, der ebenso le ich t die K 0nS tm kti0n aUSfÜhrt- E r entsPric h t FHipse m it den Bem erkensw ert sind noch die K r ü m m u n g s V e r h ä l t n i s s e des W a h rsch e in lich keitshügels. W ie schon die Anschauung zeigt, befindet sich um den U rs p ru n g ein Bereich m it e llip tis c h e r und w e ite r außen ein solcher m it h ype rb olische r In d ik a tr ix Die G ren zkurve zwischen beiden, auf der einer der H auptkrüm m ungshalbm esser unend
lic h und das Krüm m ungsm aß N u ll w ird , hat nach der Flächentheorie die D iffe re n tia l
g le ichu ng :
82 z 82z i 82 z \ 2 8 x2 8 y2 \ 8 x ■ 8 y)
F ü h rt m an diese O perationen an Gl. (10) aus, so fo lg t:
/ 1 _ /X
(19)
h- ]/ 2 -¡2
D iejenige Ellipse des H ügels also, w elcher d e r F eh ler e zugeordnet die gesuchte G renzkurve. Sie ist eben und zu r x-y-E bene p a ra lle l.
1 Etwa durch andere Geraden, die durch O gehen sollten, n solcher Linien liefern deren Schwerpunkt dann als „rich tig “ zu gelten hat.
(20) ist, ist selbst
(X)
Punkte,Der Wirkungsgrad eines Gleichstrommotors.
U n t e r s u c h u n g e n in e i n e r p h y s i k a l i s c h e n A r b e i t s g e m e i n s c h a f t . Von F. Brunner in St. Pölten.
Na,ch den in „E rz ie h u n g und U n te rric h t“ niedergelegten Grundsätzen sollen die n aturw issenschaftlichen A rbeitsgem einschaften m öglichst P roblem e v o lk s w irts c h a ft
lic h e r Bedeutung behandeln. V on diesem G esichtspunkt aus scheint es besonders w ic h tig , den B e g riff des W irk u n g s g ra d e s von Maschinen zu behandeln. Ü b e r die bei den einfachen Maschinen d er M echanik einzuschlagende Methode bietet das
ünd chemischen Unterricht,. p . BRUNNER: Der WIRKUNGSGRAD EINES GLEICHSTROMMOTORS. 4 5 1941. H eit 2.
„H a nd b uch der p hysika lisch e n S chülerübungen“ von He r m a n n Ha h n genügend Stoff.
F ü r E le ktro m o to re n und G eneratoren fin d e t m an B e leh ru ng und A n re g u n g in dem B eiheft 14 zu dieser Z e its c h rift: K . Sc h m id t und W . Vo l k m a n n: „E le k tris c h e M a
schinen“ . Im folgenden soll über A rb e ite n m it einem k le in e n Nebenschluß-G leich
strom m otor von 0,2 K W b eric h te t w erden, die ich m it Schülern d er Klasse 7 aus
fü h rte und a u f W unsch d er Schüler v ie l w e ite r ausdehnte, als u rs p rü n g lic h gep la nt w ar.
A ls H ilfs m itte l w urden v e rw en d et: E in V o ltm ete r, ein Am perem eter, ein U m drehungszähler, eine T afelw aage und ein von den Schülern selbst hergestellter PRONYscher Zaum. Zunächst w urde durch Messung vo n Spannung und Strom stärke d er OHMsche W id e rs ta n d von F e ld und A n k e r e rm itte lt, und z w a r w urde d er A n k e r bei d er Messung auch in R otation
versetzt. U m den A n ke rw id e rs ta n d genau zu erhalten, w urden von der Meßspannung dieBürstenübergangs- spannungen in A bzug gebracht.
L etztere w urden bei ruhendem, strom durchflossenem A n k e r in der W eise bestim m t, daß das V oltm eter zwischen L am e lle und K ohle gelegt w urde, w obei die K o hle d urchb oh rt und so der A b nahm edraht bis fast an die A uflagefläche der Kohle h e ra n g e fü h rt w erden konnte.
D er Brem szaum w urde so v e r
w endet, daß der eine H ebelarm m it d er L ä n g e l [m ] auf die Tafelw aage d rü ckte und d o rt d urch das Ge
w ich t P [k g ] im G leichgew icht ge
halten w urde. D urch stärkeres A n ziehen der Schrauben des Zaumes
w urde die Belastung d er Maschine stufenweise gesteigert. F ü r jede B elastung w urden außer l und P die folgenden Größen abgelesen: Die D rehzahl n [je M in,], die S trom stärke I [A ] und z u r K o n tro lle die Spannung V [V]. Berechnet w urde n in jedem F a ll: das D rehm om ent D = P • l [m kg], die zugeführte L e is tu n g i * = V • I [W att], die B rem sleistung L e - - — 9’8- [W a tt] und der W irk u n g s g ra d r j = [ %] . Die Ergebnisse w urden in eine T ab elle 1 m it 8 Spalten eingetragen, deren letzte Zeile (F a ll der größten Belastung) lautete:
T a b e lle 1.
n * 1 V P D L i Le 1 n
1985 1,24 220 0,457 0,0816 273 165 60,5 %
In F ig . 1 is t die graphische D a rs te llu n g der T abelle wiedergegeben, so daß alle übrig e n Größen als F u n ktio n e n des Drehmomentes D erscheinen. Man e rh ält auf diese W eise die sogenannte B e lastu n gsch arakteristik.
Dieses D ia g ra m m w urde nun sehr eingehend besprochen und u. a. d arau f h in gewiesen, daß selbst bei (nahezu) V o lla s t der W irk u n g s g ra d bei so kle in e n M otoren n u r 60, 5% b e trä g t, som it 3 9, 5 % oder 108 von 273 W a tt als „V e rlu s te “ zu buchen sind.
Von einem Schüler w urde nun die F ra g e aufgew orfen, wo denn e ig en tlich diese großen Verluste zu suchen seien.
Zunächst w urde k la rg e s te llt, daß sich die V erluste in d re i Gruppen glie de rn , in die K u p f e r v e r l u s t e , E i s e n y e r l u s t e und die m e c h a n i s c h e n V e r l u s t e . Von
F . Br u n n e r: De r Wir k u n g s g r a d EINES Gl e ic h s t r o m m o t o r s. Zeitschrift für den physikalischen
= = = = _ _ =^ ________________ Vierundfünfzigster Jahrgang.
diesen sind die K u p fe r Verluste ohne w eiteres zu berechnen. Sie setzen sich zu
sammen aus den JouLEschen V erlusten im A n k e r und im E rre g e rfe ld und aus den Bürstenübergangsverlusten.
D e r W id e rsta n d des A n kers w a r R Ä = 25 Q , d er des E rregerfeldes RE = 953 Q und d er Spannungsverlust an je d e r Bürste betrug A V = 1 V. D araus ergab sich die S trom stärke im E rre g e rfe ld I e = g = 0 ,2 3 A , im A n k e r I A = / - I E = i , 0 l A Die K u pferverluste betrugen m ith in ■ R Ä + 1% ■ RE + 2 I A ■ A U = 25,5 + 50,5 + 2 = 78W att, wozu noch etwa 1 W a tt fü r das eingeschaltete A m perem eter kom m t. Als gesamte K u p fe rve rlu ste ergaben sich som it 79 W a tt.
W esentlich sch w ie rig er is t es, die Eisen- und mechanischen V erluste zu be
stim men. Man d a rf zunächst einm al n ic h t einfach schließen, daß der verbleibende est 108 79 — 29 W a tt die Summe aus Eisen- und mechanischen V erlusten d a r
s te llt; denn es w ürden dann diesen auch die Beobachtungsfehler zugerechnet werden, was zu v ö llig falschen W erten führen könnte.
Es mußte daher der Versuch gem acht werden, die Eisenverluste (Hysteresis und W irbe lström e) und die mechanischen V e r
luste (Lager- und B ürstenreibung, L u f t w iderstand) g e tre n n t zu berechnen. H ie r h a lf folgende Ü berlegung: L ä u ft ein M otor m it fester U m la ufza h l, w ährend die B etriebs
spannung v e rm in d e rt w ird , so nehmen der K ra ftflu ß und die in d u z ie rte Gegenspannung ab, fo lg lic h auch die Eisenverluste. D aher w urde folgenderm aßen v e rfa h re n : A n k e r un e dklem m en w urden getrennt, und in je einer Spannungsteilerschaltung an die etzspannung g e le g t; im A n k e rk re is la g ein Am perem eter, und die A n ke rkle m m e n w urden durch ein V o ltm ete r ü be rb rü ckt. N un w urde der unbelastete M otor in B etrieb gesetzt und fü r eine Reihe im m e r k le in e r w erdender Betriebsspannungen die A n ke r- leerleistung bestim m t. Dabei mußte, um jew e ils dieselbe T ourenzahl ra = 1985 zu haben, bei den ersten Versuchen, um das F e ld zu stärken, in den E rre g e rk re is noch eine B a tte iie (30 V) g elegt werden, w ährend bei den späteren Versuchen die konstante ouienzahl durch Feldschw ächung m ittels der S pannungsteilerschaltung e rre ich t w urde.
Die Ergebnisse dieser U ntersuchung sind in der nachstehenden T abelle 2 nieder- gelegt, wobei / „ und E 0 A n k e rs tro m und A n kersp an nu ng bedeuten. In der d ritte n Spalte finden w ir die dem A n k e r zugeführte elektrische L eistung, in der vierte n die K u pferverluste im A n k e rk re is , in der fü nften endlich die Summe aus Eisen- und mechanischen V erlusten (als D iffe re n z d er Spalten 3 und 4).
Fig. 2. Aufspaltung der Leerlaufverluste.
la b 3Ile 2.
I , Eq I o - E 0 i f r l i i + 2 /„ Eisen-
+ mech.
Verluste i . Eq Iq - Eq I o • Ra+ 2 I o Eisen- + mech.
Verluste 0,134 196 26,32 0,448 + 0,268 25,60 0,146 129,5 18.90 0,532 + 0,292 18,07 0,134 190 25,46 0,448 + 0,268 24,74 0,189 97,5 18,42 0,893 + 0,378 17,15 0,132 182,5 24,09 0,435 + 0,264 23,39 0,199 87 17,71 0,99 - f 0,398 16,33 0,131 174 22,79 0,429 + 0,262 22,10 0,232 75 17,40 1,345 + 0,464 15,59 0,13l 161 21,09 0,429 + 0,262 20,40 0,345 53,5 18,45 2,79 + 0 ,6 9 0 14,79 0,134 151 20,23 0,448 + 0,268 19,51 0,740 40 29,06 13,69 + 1,48 14 43 0,138. 140 19,32 0,476 + 0,276 18,57
In F ig . 2 is t diese T abelle graphisch dargestellt. Die Versuche konn ten n u r bis zu r Betriebsspannung 40 V herab fortgesetzt w e rde n , da bei g e rin g e re r Betriebs-
und chemischen Unterricht. p Br u n n e r: De r WIRKUNGSGRAD EINES GLEICHSTROMMOTORS. 4 7
Spannung d er M otor n ic h t m ehr ru h ig arbeitete. K önnten sie bis zu r Betriebsspan
nung N u ll fortgesetzt w erden, so würden, da keine ind uzie rte Gegenspannung m ehr da ist, auch keine Eisenverluste, sondern n u r noch mechanische V erluste auftreten.
W enn also die K u rv e bis zur Betriebsspannung N u ll e x tra p o lie rt w ird , dann müßte der A b sch n itt auf d er Ordinatenachse die mechanischen V erluste ergeben, die im vorliegenden F a lle som it w en ig e r als 14 W a tt betragen w ürden.
U m die Summe aus Eisen- und mechanischen Verlusten zu erhalten, is t zu be
achten, daß sie von der im A n k e r ind uzie rten elektrom otorischen Gegenspannung abhängen. Es muß also in der L e e rla u fk u rv e eine solche Betriebsspannung g ew äh lt werden, daß die gleiche elektrom otorische Gegenspannung in d u z ie rt w ird w ie beim norm alen B etrieb der Maschine. D ie elektrom otorische Gegenspannung is t bei L e e r
la u f E 0 — ' R A, bei norm alem B etrieb E — I A - R A. Also m uß Ä 0 so g ew äh lt w erden, daß E 0 — I 0 - Ba = E — I A - Ra ist. Daraus fo lg t
E 0 = E — ( I A — 70) • Ra = 220 — (1,01 — 0,134) • 25 = 198 V.
Zieht man also an dieser Stelle die zugehörige O rdinate, so lie fe rt sie die Summe aus mechanischen und Eisenverlusten, im betrachteten F a lle 26 W att.
Da aber e in durch E xtra p o lie re n gewonnenes Ergebnis nie v o lls tä n d ig b efried igt, w urde versucht, die mechanischen Verluste auch auf d ire kte m Wege zu gewinnen, und z w a r durch U ntersuchung des Auslaufvorganges nach Abschalten des Motors.
In diesem F a lle w ird die kinetische E nergie des auslaufenden A n kers durch die m echa
nischen Verluste a llm ä h lich aufgezehrt, und zw ar muß die Abnahm e der kinetischen Energie m it d er Z eit jew eils die mechanischen V erluste decken, also (<9 ■“ ) =
d fi) 4 d Tb •
0 c o - - - = 0 — ¡ n (f t sein, w enn 0 das Trägheitsm om ent des Ankers, n die T o u re n zahl je M inute und <x> die W in k e lg e s c h w in d ig k e it ist.
Da eine Berechnung von & n ic h t in Frage kom m t, muß es e xpe rim en tell be
stim m t werden. Dies geschah in der Weise, daß über die W elle ein Faden g e w icke lt und zunächst durch Anhängen eines passenden Gewichtes p die R eibung kom pensiert w urde. Dann w urde ein weiteres G ew icht P hinzugefügt und m it der Stoppuhr die Z eit t beobachtet, die v e rg in g , bis das G ew icht um die Höhe h gefallen w ar. Is t r d er Halbm esser der W elle und y die Beschleunigung des sinkenden Gewichtes, so fo lg t : h — 2 i 2 ttnd y _ _ _ w oraus sich 0 = r 2 P g t 2
2h -V e rg ib t.
Nach m eh rm alig er Messung m it P = 2 0 0 g , f = 4 , l s, A = 800 cm, p = 2 0 0 g und r = 2,01 cm ergab sich als M itte lw e rt 0 = 6710 g • cm2 m it a lle rd in g s beträchtlichem m ittle re n F ehler. Diese Bestim m ung des Trägheitsm om entes is t n ic h t sehr genau wegen des unsicheren Ü berganges von der R uhereibung in die der Bewegung und wegen der F eh ler bei der Zeitmessung, die sich um so s tä rk e r ausw irken, je k le in e r die F allstree ken sind. Es w urde darum der A n k e r ausgebaut und sein T rä g h e its m om ent auch durch T orsionsschw ingungen bestim m t. Zu diesem Zwecke w urde das eine Ende eines 60 cm langen Stahldrahtes an einem H olzbalken, das andere Ende an einem im K ö rn e rp u n k t d er W elle eingeschraubten klein en B o hrko pf festgeklem m t.
N un w urde der A n k e r in T orsionsschw ingungen versetzt und die Schw ingungsdauer T x gemessen; dann w urde quer über den A n k e r ein leichtes Holzstäbchen so gelegt, daß m ittels einer klein en E in k e rb u n g der T orsion sdra ht durch seinen M itte lp u n k t lie f, und das Stäbchen an beiden Enden m it zw ei gleichen G ewichten von zusammen m = 137 g im gegenseitigen Abstande Z = 31,2 cm beschwert. Nachdem so das T rä g h e itsm o m e n t#
der beiden G ewichte h inzugefügt w ar, w urde die neue Schw ingungsdauer T z gemessen.
Aus T x = 2 n | / und T 2 = 2 n j / e r g i b t sich 0 = y | 4 r j f r Gemessen w u rd e : T x = 5, 69s und T a = 1 3 , l 6 s. Da $ = — 1 = 3 3 300 g ■ cm2 4 ° w a r , so ergab sich 0
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7660 g - c m 2, m it ganz kleinem m ittle re n Fehler, w ie m ehrm als w iederholte Messungen zeigten.
Da dieser Wert für <9 wesentlich mehr Vertrauen verdiente als der durch die Fallbewegung gefundene, so wurde er den weiteren Rechnungen zugrunde gelegt.
W e ite r muß nun eine m öglichst genaue K e nn tn is von v e rla n g t werden. Dazu is t es notw endig, fü r den A uslauf n als F u n k tio n der Z eit w = / ( f ) zu bestimmen. Bei großen Maschinen m it lan ge r A u slau fd au er w ürde dies keine S ch w ie rig keite n b ie te n : es w äre n u r nötig, alle p aa r Sekunden den m itlaufenden Drehzahlm esser abzulesen.
Da es sich aber h ie r um einen A u sla u f von n u r w enigen Sekunden handelt, mußte der auslaufende A n k e r selbst zu r R e g istrie ru n g von Z eit und D rehzahl herangezogen werden.
Zu diesem Zwecke w urde der M otor höher gestellt und d a ru n te r auf den Tisch p a ra lle l zu seiner W e lle ein 1 m la n g e r Spiegelglasstreifen g e le g t, der m it H ilfe einer L ib e lle genau w aagerecht ausgerichtet w urde. A u f dieser Bahn konnte ein nahezu reibungsloses W ägelchen nach leichtem Anstoß g le ic h fö rm ig w eite rla ufen . Die geringe, noch vorhandene R eibung des W agens w urde durch U nterlegen von P a p ie r
streifen u nte r die G lasplatte aufgehoben. D er W agen tru g seinerseits einen berußten S piegelglasstreifen (60 cm). A n d er W elle des M otors w urde ein k le in e r Zeiger, der in eine Schweinsborste endete, als „S c h re ib e r“ befestigt. F e ld und A n k e r w urden g etrennt und zu einem gemeinsamen Ausschalter gefü hrt. Nachdem der M otor einige Z eit im B etrieb w ar, bis die Achsen sich w a rm gelaufen hatten, w urde der W agen angestoßen und lie f nun u nte r dem Schreibstifte vorbei, der bei je d e r U m drehung der W elle einen kurzen S trich auf dem G lasstreifen verzeichnete. W aren diese Striche nun v ö llig gle ich w e it voneinander e ntfernt, dann w a r d er gleichm äßige L a u f des W agens bereits gew ährleistet, and ernfalls w urde durch U nterlegen von P apierstreifen so lange k o rrig ie rt, bis dies d er F a ll w ar.
N un w urde zu dem Auslaufversuche geschritten. E in Schüler hatte den Wagen anzustoßen, ein zw eite r im geeigneten M oment den M oto r abzuschalten und m it der Stoppuhr die D auer des A uslaufs festzustellen (nu r z u r K o n tro lle , w ie aus dem Späteren h e rvorge ht). D e r W agen w u rd e nun in B ew egung gesetzt. N achdem etwa 10 Striche bei laufendem M oto r aufgezeichnet w aren, w u rd e er abgeschaltet und nun d urch die Schreibborste d er A u s la u f re g is trie rt. D er D rehzahlm esser, d er kaum L eistu ng ve rb ra uch t, b le ib t am besten an die W e lle ang ed rü ckt, um Schw ankungen längs der Achse zu verm eiden. E r zeigte v o r B eginn des Auslaufes 2400 U m d re hungen je M inute.
D ie A u sw ertu ng des R eg istrie rstre ife n s geschieht in der Weise, daß zunächst der Strichabstand als M itte l aus etwa 10 Strichabständen bei eingeschaltetem M otor gemessen w ird . L ä u ft der M oto r m it v U m drehungen je M inute, dann bedeutet so
m it 1 m m - / , wenn b den S trichabstand in M illim e te rn bedeutet.
v b
N un w erden von dem (durch seine U n re g e lm ä ß ig k e it le ic h t zu erkennenden) Strich an, bei dem der A b la u f begann, die E ntfe rnu ng en d er folgenden S triche in M illi
m etern m it H ilfe eines aufgelegten Papierm aßstabes abgelesen und in eine Spalte e in getragen ; in eine zw eite Spalte k o m m t die E n tfe rn u n g je zw eier benachbarter Striche.
M u ltip lik a tio n der Zahlen d e r ersten Spalte m it ~ ~ lie fe rt fü r eine d ritte Spalte die entsprechenden Zeiträum e. W ir d w e ite r v b durch die Zahlen d er zw eiten Spalte d iv id ie rt, so lie fe rt eine v ie rte Spalte die m ittle re U m drehungszahl je M inute in den je w e ilig e n Z e itin te rv a lle n oder genau genug die U m drehungszahlen fü r die M itte der betreffenden Z e itin te rv a lle . S te llt m an also noch eine fü n fte Spalte auf , die die M itte n der Z e itin te rv a lle enthält, so geben uns die Spalten 4 und 5 zusammengehörige W erte von n — w ie sie in der nachstehenden T ab elle 3 erscheinen. W erden samt-
